進位制塔樓與全域運算關係幾何（第二十篇）

自適應進位觀察、局部最小覆蓋與複合基底的運算辨識優勢

English title: Radix Towers and Global Operational Relation Geometry XX: Adaptive Radix Observation, Path-Conditioned Minimum Covers, and Local Advantages of Composite Bases
版本： v0.1（精確有限域驗證、最小覆蓋定理與可執行辨識證書）
日期： 2026-11-05
研究系列： EveMissLab／進位制塔樓與全域運算關係幾何
研究構想及問題設定： Neo.K；數學形式化與計算驗證：AI 協作
直接承接： 第十四篇的雙作用整數圖、第十六至十八篇的完整進位與歷史壓縮、第十九篇的全圖質數基底最小性定理
正式原始碼： UTF-8 Markdown；數學公式的唯一 canonical delimiter 為 $...$ 和 $$...$$
證據邊界： 指定有限整數語法、標準逐位演算法與已知數值路徑的精確定理和窮舉；不宣稱所有實數、任意演算法或實際機器效能已獲證明。

作者： Neo.K；數學形式化與計算驗證：AI 協作
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司

摘要

第十九篇對有限雙作用圖 $G_K$ 建立一項全域辨識定理：只要在標準加法與卷積乘法的完整逐位進位指紋下區分同一數值邊上的兩種運算，所有不超過 $K$ 的質數基底構成唯一不可再刪減的全圖辨識集合。這項全域結論容易引出另一個問題：若觀察者已經知道當前的完整數值路徑，但尚未知每一步實際採用哪一種運算，是否仍須在所有步驟使用所有質數基底？

本文將全圖辨識、已知路徑的固定基底辨識、以及逐事件的條件式觀察分開。對每條合法雙作用邊 $e$ ，計算所有能使兩種運算產生不同完整進位向量的基底集合 $S(e)$ 。一條固定長度為 $s$ 的數值路徑，其最小共同基底集合，恰好是一個對所有步驟的分離集合進行命中的最小集合覆蓋問題。它與第十九篇的全圖質數基底最小性沒有衝突，因為兩者要求辨識的事件母集合不同。

本文證明：所有 $q>2K$ 的進位基底在 $G_K$ 中均不能區分任何雙作用邊，故若允許全部整數進位制，搜尋只需考慮 $2\le q\le2K$ ；若只允許質數進位制，可用第十九篇的質數充分性對每條路徑給出不超過步數 $s$ 的有限覆蓋上界。當觀察者能夠對每一步使用不同基底、且觀察到的是實際執行所留下的進位紀錄時，每一步只需一個分離基底，即可唯一恢復該步的操作標記。這是明確查詢模型下的觀察次數結果，不是硬體加速定理。

在 $K=40$ 的同一個 $80$ 節點、 $156$ 條邊之雙作用子圖內，完整枚舉所有 30,342 條長度為三的有向數值行走。若限定質數基底，依最小共同基底數分為： $13,460$ 條需一種、 $15,766$ 條需兩種、 $1,116$ 條需三種。若允許全部 $2$ 至 $80$ 的整數基底，則分別為 $14,212$ 、 $15,192$ 、 $938$ 條；其中 930 條路徑可由非純質數限制的觀察方案取得更少基底。

特別地，路徑 $1\to8\to2\to6$ 若限定質數基底，最少需要 $\{2,3\}$ 中兩個基底；但僅用四進位，便可以逐步辨識三條邊的兩種合法運算。四進位在此對最後一條乘法比為 $3$ 的邊也有辨識力，顯示「取乘法比的質因數」是充分的局部觀察策略，不是局部觀察成功的必要條件。全圖仍然必須保留全部十二種質數基底，兩個結論適用的量詞不同。

若以「對路徑的每一步在一種基底下取得一份觀察」作為單位，對全部 30,342 條三步路徑一律使用十二種質數基底共需 $1,092,312$ 份觀察；路徑條件下最小質數基底為 $145,020$ 份、最小任意整數基底為 $142,230$ 份，而逐事件條件式挑選一個分離基底只需 $91,026$ 份。這些精確數字僅代表此觀察模型的測量位置數，不直接代表 CPU 週期、網路延遲或資料總位元數。

本文附有逐邊、逐路徑的完整原始資料、兩套獨立的最小覆蓋解法、逐位進位缺陷重建核對、跨篇原始資料比對，以及一份可拒絕竄改的四進位觀察證書。結論指出：全域最小的觀察工具集，不等於每一次局部運算都需要完整使用它；表示基底的價值取決於當前需要區分哪些真正可選的運算歷史。

關鍵詞： 進位制塔樓、全域算術關係、運算歷史、路徑條件辨識、最小集合覆蓋、質數基底、複合基底、自適應觀察、完整進位指紋、資訊可恢復性、反向驗算、有限域見證。

1. 研究問題：全域最小性是否意味每次都必須全部觀察？

1.1 第十九篇的最小性是對「整張圖」說的

固定整數運算元上限 $K\ge2$ ，令：

A_K=\{2,3,\ldots,K\}.

對正整數 $x<y$ ，若存在整數 $d,r\in A_K$ 使：

y=x+d=xr,

則把 $\{x,y\}$ 設為一條合法的雙作用數值邊。這給出：

G_K=(V_K,E_K),\qquad V_K=\{1,\ldots,2K\}.

每條向上邊可以由加法或乘法完成，反向則由減法或精確除法完成。對逆向除法所用的觀察，是精確逆乘法的歸一化見證，不是一般長除法演算法的暫存器序列。

第十九篇證明，若一組基底必須辨識 $G_K$ 中每一條邊的兩種運算選擇，則全部不超過 $K$ 的質數基底都不可刪除。令：

\mathcal P_K=\{p\le K:p\text{ 為質數}\}.

若 $K=40$ ，則 $|\mathcal P_K|=12$ 。然而，使用者原本要觀察的是特定數值關係如何沿著中間狀態傳播；一條已知數值路徑通常只包含整張圖的一小部分邊，不需要先假定全圖所有事件都會出現。

1.2 本文提出三種不同的觀察預算

第一種是全圖固定基底：選一組基底，無論之後遇到哪條數值邊都能分辨其兩種合法運算。

第二種是已知路徑的固定基底：先確定數值路徑，選一組共同基底，並在這條路徑的每一個步驟觀察這些基底。

第三種是逐事件條件式基底：依當前已知的精確數值端點，只為這一步選擇一種足夠的基底，下一步允許更換。

它們的可觀察母集合、測量位置數與前置知識不同。任何「最少需要幾個進位制」的聲明，都必須先指出自己指的是哪一種問題。

1.3 必須區分演算法真實執行與假設模擬

對已知端點 $x,y$ ，研究者可以模擬加法與乘法在任意基底下各自會產生什麼進位。但是，兩套模擬的存在本身無法得知歷史上實際採用了哪一套。

本篇的辨識模型假設觀察者能取得實際被執行運算在選定基底下的真實進位指紋，或可信任的可重播運算紀錄。若實際運算過程沒有被記錄或無法重播，只能將本文的觀察方案視為可設計的驗證規格，不能聲稱已從數值答案反推出真實歷史。

2. 運算指紋、分離集合與精確等價條件

2.1 標準數位多項式與完整進位

對任意整數基底 $q\ge2$ ，正整數 $n$ 的標準低位先行數位多項式記為：

D_q(n;t)=\sum_{i\ge0}n_it^i,\qquad0\le n_i<q.

沿用第十七篇的標準加法與卷積乘法，定義完整進位多項式：

C_q^+(a,b;t) =\frac{D_q(a;t)+D_q(b;t)-D_q(a+b;t)}{q-t},

C_q^\times(a,b;t) =\frac{D_q(a;t)D_q(b;t)-D_q(ab;t)}{q-t}.

上式皆是整係數多項式，其係數為每個位值欄送出的標準進位數值。實作使用完整進位向量，而非只用進位次數總和。

2.2 單條數值邊的分離集合

對合法雙作用邊 $e=(x,y)$ ，令：

r=y/x,\qquad d=y-x.

其中 $r$ 為精確正整數。定義兩個候選運算指紋：

F_q^0(e)=C_q^+(x,d;t), \qquad F_q^1(e)=C_q^\times(x,r;t).

將可分辨兩個候選的進位基底集合定義為：

S(e)=\{q\in\mathbb Z_{\ge2}:F_q^0(e)\ne F_q^1(e)\}.

若 $q\in S(e)$ ，只要真實運算的觀察指紋確實等於兩個候選之一，便能唯一決定操作選擇位元 $\epsilon\in\{0,1\}$ 。若 $q\notin S(e)$ ，兩個候選具有相同指紋，這一次觀察無法區分它們。

2.3 定理 2.1：高基底完全沒有辨識力

對所有合法 $e\in E_K$ ，若 $q>2K$ ，則：

F_q^0(e)=F_q^1(e)=0.

證明。 所有邊均滿足 $1\le x<y\le2K$ ，而 $d,r\le K$ 。若 $q>2K$ ，所有輸入與結果都小於 $q$ ，故在基底 $q$ 下都是單一數位；加法 $x+d=y$ 與乘法 $xr=y$ 的結果都小於 $q$ ，不存在進位。證畢。

推論 2.1.1。 若候選基底允許全部整數 $q\ge2$ ，搜尋最小覆蓋時只需考慮有限集合：

\mathcal Q_K=\{2,3,\ldots,2K\}.

本篇取 $K=40$ ，所以確實完整檢查 $2$ 至 $80$ 的 79 種整數基底，不是任意挑幾個複合基底示範。

2.4 引理 2.2：每條合法邊皆有質數分離見證

若質數 $p\mid r$ ，則 $p\in S(e)$ 。這是第十九篇的逐位定理；其證明在基底 $p$ 下比較加法與乘法的最早非零欄位。因 $2\le r\le K$ ，每條邊都至少有一個這樣的質數因子。

所以：

S(e)\cap\mathcal P_K\ne\varnothing.

這只說「質因數提供足夠的見證」，並不說只有乘法比的質因數才可能使兩種運算的進位不同。後面的四進位反例會直接說明這點。

3. 路徑最小覆蓋：正式命題與證明

3.1 已知數值路徑

令一條合法的有向數值行走為：

P=(v_0,v_1,\ldots,v_s),\qquad \{v_{i-1},v_i\}\in E_K.

可允許同一數值或無向邊在不同步驟再次出現，但每一步的兩個端點不同。對步驟 $i$ ，令 $e_i=\{v_{i-1},v_i\}$ 。

若在每一步都觀察相同的基底子集 $B$ ，要求對全部 $s$ 個步驟的運算選擇均可辨識，稱 $B$ 為這條路徑的完整分離覆蓋。

定理 3.1（路徑分離的充要條件）

$B$ 是 $P$ 的完整分離覆蓋，當且僅當：

B\cap S(e_i)\ne\varnothing \qquad (i=1,\ldots,s).

證明。 若對某一步 $i$ 有 $B\cap S(e_i)=\varnothing$ ，則這一步的兩個操作選擇在每個被觀察基底下進位向量都完全相同；維持其他步驟標籤不變，只切換第 $i$ 步，就得到兩條不同歷史具有同一整體觀察，故辨識映射不單射。

反過來，如果每一步都至少有一個基底使兩種運算的向量不同，則逐步讀取那個基底上的真實觀察，即能唯一重建每一步標籤。由步驟索引保留，所有標籤序列可唯一重建。證畢。

3.2 最小共同基底是一個命中集合問題

對候選基底範圍 $\mathcal B$ ，定義：

\tau_{\mathcal B}(P) =\min\{|B|:B\subseteq\mathcal B,\ B\cap S(e_i)\ne\varnothing\ \forall i\}.

這是有限 hitting set / minimum set cover 問題。可把每個基底 $q$ 視為能覆蓋它可以辨識的步驟集合，再求最少基底覆蓋全部步驟。

本篇分別研究：

\tau_{\mathrm{prime}}(P)=\tau_{\mathcal P_K}(P), \qquad \tau_{\mathrm{all}}(P)=\tau_{\mathcal Q_K}(P).

由 $\mathcal P_K\subseteq\mathcal Q_K$ ，立即得到：

\tau_{\mathrm{all}}(P)\le\tau_{\mathrm{prime}}(P).

定理 3.2（路徑條件下的普遍有限上界）

對任意長度為 $s$ 的合法數值路徑：

1\le\tau_{\mathrm{all}}(P) \le\tau_{\mathrm{prime}}(P) \le\min(s,|\mathcal P_K|).

證明。 每一步至少有一個合法質數基底見證，因此逐步選一個質數基底，再取這 $s$ 個選擇的聯集，就能得到一組不多於 $s$ 的固定共同基底。另一種合法方案是直接使用整個 $\mathcal P_K$ ，大小為 $|\mathcal P_K|$ 。由候選集合包含關係得其他不等式。對非空路徑，至少需一個基底。證畢。

解讀。 第十九篇的全圖最小數量與本篇的局部路徑最小數量，要求處理的對象不同，故即使後者小得多，也不構成前者的反例。

4. 複合基底的局部優勢：一條逐位可驗的反例

4.1 固定路徑 $1\to8\to2\to6$

取 $K=40$ 。三條無向邊分別有：

8=1+7=1\times8,

8=2+6=2\times4,

6=2+4=2\times3.

若限定質數基底，第一條的必要分離可由基底 $2$ 達成，最後一條的必要分離可由基底 $3$ 達成。逐一檢查所有質數基底發現，沒有一個質數基底能同時區分三條邊，最少需要 $\{2,3\}$ 。

4.2 四進位的完整進位向量

在基底 $q=4$ ，標準運算的完整進位向量如下。向下行走時，列出相應反向操作所使用的逆算術歸一化見證。

數值步驟	加法／逆減法見證	乘法／逆除法見證	可否分辨
$1\to8$	$[1]$	$[]$	是
$8\to2$	$[1]$	$[]$	是
$2\to6$	$[]$	$[1]$	是

空陣列表示全部進位係數為零， $[1]$ 表示第零欄向第一欄送出一個進位。因此單獨四進位就足以辨認整條路徑三個步驟的運算選擇。

這個反例十分重要：最後一條邊的乘法比是 $3$ ，但非質數基底 $4$ 同樣能辨識其加法與乘法。分離能力不是「進位基底必須整除乘法比」的同義詞。

4.3 與全圖質數必要性並無矛盾

第十九篇的質數錨點，例如質數 $7$ 對應的 $1\leftrightarrow7$ ，要求觀察者能處理所有可能邊，因此基底 $7$ 仍不可省略。本例只要求分辨這三條確定的邊，沒有要求辨識 $1\leftrightarrow7$ 等其他位置。

全圖唯一極小性與局部可選較少基底是兩種量詞結構，不能用同一個「最少」混稱。

5. 逐事件自適應觀察：不用整條路徑共用一組基底

5.1 逐步單基底選擇

若已知當前數值邊 $e_i$ ，且有權選擇觀察基底，可取任一：

q_i\in S(e_i).

特別地，可以直接取乘法比 $r_i$ 的最小質因數。這個確定性方案必然有效，但不一定使整條路徑共用的基底種類數最少。

定理 5.1（逐步查詢的條件最小性）

給定長度 $s$ 的數值路徑、獨立的兩種合法運算標籤，以及只允許取得某一基底下的實際完整進位向量的觀察模型。若要求無損辨認每一步的運算標籤，則每一步至少需要一個可以分離兩種操作的觀察；且每一步恰好一個足以完成辨識。

證明。 若某一步完全沒有任何有效觀察，則在其餘步驟完全相同的情況下，該步的兩種標籤無法區分，故無損辨識失敗。由引理 2.2，每一步都存在一個質數分離見證；選取後觀察真實進位向量，即可在兩個候選中唯一辨認，故每步一個足夠。證畢。

條件提醒。 此定理計數的是觀察事件數，不是查詢時間、數位向量長度、不同基底的轉換成本或硬體效能。若標籤已由其他方式直接提供，當然不需要這些查詢。

5.2 三種不同預算，不能直接比較硬體成本

對固定長度 $s$ 的路徑：

全圖固定觀察若每一步用 $|\mathcal P_K|$ 個基底，觀察位置數為 $s|\mathcal P_K|$ 。
路徑固定最佳集合的觀察位置數為 $s\tau_{\mathrm{all}}(P)$ ，若限定質數則為 $s\tau_{\mathrm{prime}}(P)$ 。
逐步條件式策略每一步選一個分離基底，觀察位置數為 $s$ 。

若只儲存已知路徑及操作選擇位元，第十八篇證明長度 $s$ 的標籤只需 $s$ 個位元。以多種基底重新算出進位並無保證可比這個原始標籤證書更省儲存。

5.3 真正的自適應策略需有可觀察的執行介面

如果計算過程發生時沒有把所選基底下的完整進位向量記錄下來，事後只知道 $x,y$ 並各自模擬加、乘，不足以判別原執行的標籤。本文要求可記錄、可驗算的實際指紋，並非宣稱可以從同一結果直接讀取未曾保存的歷史。

這使本研究可作為未來運算觀測器或數學 AI 的驗證介面規格，而不是不附條件的「破解運算黑盒」方法。

6. 完整有限集合實驗：K=40 的 30,342 條三步行走

6.1 不修改上一輪的底層圖

固定 $K=40$ 。直接以整數整除與差值條件重新建立：

|V_{40}|=80,\qquad|E_{40}|=156.

完整枚舉有方向、允許反向折返與重複節點的長度三數值行走，得到：

|\mathcal W_3(G_{40})|=30{,}342.

這與第十九篇完全相同；不是把第十一至十三篇的另一種四原始輸入三步語法混入，也不是對最初 1–1000 正整數域的所有運算事件重新計數。

所有數值邊以精確整數識別，向下事件的「除法進位」只代表逆乘法歸一化見證，不假裝是某套長除演算法。

6.2 兩種路徑最小基底的分布

對全部 $30,342$ 條路徑，分別以 $\mathcal P_{40}$ 的十二個質數及 $\mathcal Q_{40}=\{2,\ldots,80\}$ 的七十九個整數基底，求解精確最小覆蓋：

最少共同基底數	僅質數基底	任意整數基底
1	13,460	14,212
2	15,766	15,192
3	1,116	938
合計	30,342	30,342

圖 1：路徑條件下最小共同基底分布

本篇使用完整逐位進位向量相等性判斷某個基底有無分離能力，再用兩套不同方法驗證最小集合：一套依序枚舉大小為一、二、三的組合；另一套使用覆蓋狀態上的動態規劃，逐條路徑比較最小解及字典序選擇。全部 $30,342$ 條均一致。

6.3 複合基底嚴格改善的路徑數

將兩種最小覆蓋大小交叉分類：

質數最小數	整數最小數	路徑數
1	1	13,460
2	1	752
2	2	15,014
3	2	178
3	3	938

因此：

752+178=930

條路徑能透過允許所有整數進位基底，將共用基底的最小數量降低。這些局部優勢不是第十九篇全圖質數定理的反例。

重要限定： 一個複合基底能辨識多條不同乘法比的邊，並不表示它對所有合法邊都具有同樣的能力；全圖仍需要全部指定的質數錨點。

6.4 樸素逐邊選基底不等於整條路徑最佳化

如果每條邊都只取其乘法比的最小質因數，再把三次選擇的不同基底合併，得到：

該規則產生的不同質數基底數	路徑數
1	7,636
2	17,450
3	5,256

與最小質數方案相比，樸素策略的三基底路徑更多。原因是：某個質數即使不是某條邊的乘法比因子，仍可能對其兩種演算法進位有辨識力，從而使多條邊共享同一觀察基底。

這也再次說明：「每一步有一個保證可用的因數見證」與「整條路徑的最小共用基底」是不同最佳化問題。

7. 觀察位置數：精確算術計數，不是運行效率實測

7.1 共同的計數單位

將「某一條路徑的某一個步驟，在某一個基底下取得一次完整運算指紋」定為一個觀察位置。對全部 30,342 條三步行走，得到：

策略	觀察位置總數
每一步觀察全部 12 個質數基底	1,092,312
每條路徑選最少的共用質數基底	145,020
每條路徑選最少的共用整數基底	142,230
每一步各選一個分離基底	91,026

圖 2：三種方案與逐事件方案的觀察位置預算

對第一列： $30,342\times3\times12=1,092,312$ 。對最後一列： $30,342\times3=91,026$ 。中間兩列由第六節的精確分布加權求得。

相對於全質數逐步方案，路徑共用最優整數基底的觀察位置減少約 86.98%；逐事件單基底方案減少約 91.67%。這個比例只描述「觀察位置數」的變化，不是對 Python、GPU、硬體轉碼、儲存位元或端到端實際成本的加速聲明。

7.2 候選觀察基底的離線選擇成本

最小覆蓋需要先判定哪些基底能分辨哪些邊。這項離線計算仍需使用精確逐位加法與乘法對照，而不是假裝觀察策略無需準備成本。若數值圖與進位語法固定，分離集合可作為查表資料重用；但更改 $K$ 、引入其他算法或改變運算語義後，需要重新生成或驗證。

7.3 資料位元與觀察位置數不同

不同基底下的進位向量長度可以不同，因此觀察位置數較少，不代表總傳輸位元或實際運算量必然較少。若只需將操作歷史無損儲存，而標籤已由執行器直接提供，第十八篇的單步一位元證書仍更直接。進位觀察的主要價值，是獨立重現及鑑別被執行的算術作用，而非取代所有操作日誌。

8. 可解碼的四進位證書與錯誤拒絕

8.1 選擇已知的數值路徑

取：

P=(1,8,2,6).

設定三個被執行的運算標籤為 101，即第一、第三步用乘／逆除見證（標籤 1），第二步用加／減見證（標籤 0）。真正的數值事件為：

1\times8=8, \qquad8-6=2, \qquad2\times3=6.

單獨在四進位觀察三步所得到的完整進位向量依序為：

[], [1], [1]

由第 4.2 節的兩候選對照，這三組向量分別唯一選中位元 1、0、1。

8.2 可重算證書與拒絕範例

本篇 data/paper20_composite_witness_certificate.json 保存：語法識別、 $K$ 、精確數值路徑、觀察基底、實際進位向量及重建位元。驗證器會重新建立各步合法邊並重算兩個候選的進位結果，只有唯一候選完全吻合，才接受解碼。

負對照會刻意竄改其中一段進位向量；驗證器必須拒絕。這不是形式上的「在 JSON 寫 PASS」，而是重算整數算法所得的結果。

資料信任限制： 如實際進位向量由不可信任來源自行編造，驗證器只能檢查它是否與某個合法候選一致，無法單靠合法性判斷它是否真正源於當時的歷史執行。若要求歷史來源真實性，尚需具可信任日誌、執行追蹤或可重播的驗證環境。

9. 參數敏感度：這不是 K=40 的偶然圖形

沿用同一雙作用圖定義、同一長度三的行走與同一最小覆蓋問題，分別對 $K=2,4,8,12,20,40$ 重新窮舉：

K	雙作用邊	三步行走	質數方案：1／2／3	整數方案：1／2／3	嚴格改善路徑
2	1	2	2／0／0	2／0／0	0
4	6	54	24／30／0	24／30／0	0
8	18	454	170／266／18	176／260／18	6
12	33	1,548	626／862／60	654／838／56	32
20	64	5,452	2,178／3,024／250	2,362／2,886／204	230
40	156	30,342	13,460／15,766／1,116	14,212／15,192／938	930

這些結果顯示，局部選擇的最佳基底數量依賴算術語法上限及所需辨識的路徑集合。不能從本表任意外推一個普遍機率分布或計算效率增長率。

負對照： 對 $K=40$ ，基底 $81$ （或任何更大的基底）使全圖加法與乘法的標準進位全部為零；即使觀察位置數保持很多，也無法辨識任何操作選擇。可觀察資料多與可辨識資訊足夠不是同一件事。

10. 演算法、獨立重算與最佳性證明

10.1 以位元遮罩表示基底分離能力

對每個基底 $q$ ，紀錄它能分辨 $G_{40}$ 哪些無向邊。對一條三步路徑，將某基底可辨識的步驟編碼為三個位元，例如 101 表示可辨識第 1、3 步。

求一組最少基底，使覆蓋遮罩的按位或等於 111。此處的 111 是三個需要被觀察的步驟位元，不是第十八、十九篇的運算標籤選擇位元；兩者使用相同的二進位書寫但語義不同。

10.2 兩套彼此獨立的最小解法

第一套 exact_cover 依基底數由少至多，依序檢查一基底、二基底、三基底組合，找到第一組完整覆蓋即停止。三步路徑由定理 3.2 保證至多三個基底足夠，因此不必窮舉更大的集合。

第二套 unique_cover_min 是覆蓋狀態動態規劃：依次引入候選基底，對所有可能的三位元覆蓋狀態保存最短且字典序最小的基底組，最後查詢 111 的解。兩套程式對全部 $30,342$ 條路徑逐條比對實際最優基底集合，而不只比對總數。

10.3 兩套逐位進位核對

每個候選基底的加法與乘法進位向量，分別使用：

標準逐欄歸一化；
已知精確算術結果的數位缺陷係數遞迴。

兩種途徑對全部 $156\times79\times2$ 個操作—基底組合逐一比對，沒有使用浮點數決定整除或進位。這可以避免以錯誤的進位實作產生貌似精確的最小集合。

10.4 與第十四、十九篇的原始資料比對

正式 ZIP 附有未修改的必要前篇參照 CSV，驗證器會逐項確認：

第十四篇的全部 $156$ 條雙作用邊完全相同；
第十九篇的 $1,404$ 筆邊—基底完整進位指紋逐筆一致；
第十九篇的全部 $30,342$ 條三步數值路徑，於五種舊觀察集合中的模糊步數及指紋類數逐筆相符。

這項核對將「新增觀察策略」與「偷偷更換底層數值資料」分開，確保第二十篇不是換了樣本才出現局部改善。

11. 理論邊界、負結果與計算應用判準

11.1 最小觀察基底集合不是實際算法選擇的證明

最小覆蓋指出「如果真實進位紀錄可被提供，至少需要觀察哪些基底」，而不是單靠端點就能斷定被執行過的歷史。若沒有可信任的操作追蹤，不能把某種候選指紋當成歷史真相。

11.2 局部複合基底優勢不推翻質數全圖必要性

部分路徑可由單一複合基底覆蓋，仍不表示它能取代所有質數錨點。對全圖所有可能合法邊要求辨識與對一條已知路徑要求辨識，採用的是不同的量詞。

11.3 目前只測試標準加法與卷積乘法的進位

逆向減法採用借位對應的反向見證，精確除法採用逆乘法歸一化檢查；尚未將各種長除法、浮點硬體、並行前綴進位、模運算與其他自訂演算法混入同一指紋語義。換一套演算法，觀察基底的最佳性可能不同。

11.4 不能把觀察位置數當成資訊熵、CPU 時間或電力成本

基底數較少可能降低查詢數，但不同進位制的數字位數、轉碼代價、記憶體、設備支援及觀察紀錄長度都可能不同。本文沒有測量這些性能指標，因此不宣稱「減少 86.98% 查詢」等同於同幅度計算加速。

11.5 有界雙作用子圖不等於完整 1–1000 世界

本文的 $G_{40}$ 節點是 $1$ 至 $80$ ，它確實可以嵌入原先的 $1$ 至 $1000$ 塔樓，但不是全域四則運算圖的完整表示。第十九篇的質數必要性與本篇局部最優性，皆在這個特殊雙作用子圖與指紋模型下成立。擴充至整個 1–1000、其他有理數或實數，必須重新指定運算集合、觀察限制與驗證規則。

11.6 嚴格的數學辨識與物理因果仍不同

這裡的作用是算術運算事件、反向是合法逆算術見證。多基底觀察與等價類辨識是形式資訊條件，不能直接推論物理世界的作用反作用定律、時間因果或新自然力。

12. 可重現研究交付規格

正式壓縮檔根目錄包含：

EveMissLab_Radix_Tower_Global_Operational_Geometry_20_v0.1.md：本篇 UTF-8 canonical source；
verify_paper20.py：標準逐位計算、完整路徑枚舉、兩種最小集合覆蓋、跨篇對照及證書驗證；
make_figures.py：從驗證 CSV/JSON 生成 PNG/SVG 圖表；
validate_paper20.py：正式原稿、資料、見證、雜湊及基本一致性檢查；
data/paper20_edge_observation_masks.csv：156 條邊的質數／全部整數基底分離清單；
data/paper20_single_base_coverage.csv：79 個候選基底的全圖覆蓋率；
data/paper20_path_optima.csv：全部 30,342 條三步路徑的最優基底、局部優勢及樸素策略對照；
data/paper20_parameter_sensitivity.csv：六種 $K$ 的完整最小覆蓋分布；
data/paper20_examples.csv：單質數、三質數及複合基底優勢的逐步指紋；
data/paper20_composite_witness_certificate.json：可重算、可拒絕竄改的四進位運算見證；
data/paper20_stats.json：精確計數與驗證摘要；
reference/：第十四與十九篇的必要、未修改原始 CSV；
figures/：從驗證資料生成的三組 PNG/SVG；
SHA256_MANIFEST.json：正式發行檔案的 SHA-256 清單。

解壓後，在根目錄執行：

python verify_paper20.py --output . --reference reference
python make_figures.py
python validate_paper20.py

第一行僅需 Python 3 標準函式庫；第二行需要 Matplotlib；第三行檢查發行資料的 UTF-8、LaTeX delimiter、觀察策略輸出、可驗證證書及雜湊。圖形與聊天渲染不是正式原稿來源。所有研究正文以該 Markdown 的原始 UTF-8 位元組為準。

13. 結論：全域完整的觀察，不必每次全量施加

第十九篇的質數基底最小性，回答了「如果不知道會遇到哪一條合法運算邊，要預先準備哪些觀察進位制才能保證辨識全部事件」；第二十篇則回答「當一條精確數值路徑已知時，如何只選擇足以辨識該路徑的基底」。兩者具有不同的量詞與資訊成本，不能混為同一個問題。

本文的主要成果是三個相互銜接的結論。首先，路徑最小共同觀察基底可以嚴格寫成有限命中集合問題，並可對三步路徑以窮舉及動態規劃雙重驗證。其次，完整整數基底的局部最優性可以嚴格優於質數基底限制：在 $K=40$ 的 30,342 條三步行走中，930 條存在此種嚴格優勢，四進位對 $1\to8\to2\to6$ 的完整辨識提供了可逐位重算的具體見證。最後，若只計有可信任來源的逐步運算指紋觀察，一步只需一個能分離兩種候選的進位基底；但這項組合預算改善不自動等於實際硬體加速，也不能取代已知操作標籤所構成的更直接的無損證書。

這次研究仍然只涵蓋指定的有限整數雙作用子圖與標準進位語法，沒有提前推及無限實數或所有演算法。然而，它使最初的全域運算塔樓構想多了一個可操作的認識論層次：完整數學關係可以被一組觀察視角所涵蓋，但對某個實際局部問題，真正需要的視角只取決於尚未被辨識的運算差異。

本篇核心結語：全域的完整，不是每一次都必須觀看全部；而是知道在什麼條件下，只看局部，也不會把真正不同的運算誤認為相同。

參考研究與既有概念分界

EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十四篇）》，2026-11-05：精確雙作用整數圖與可核對的算術邊。
EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十六篇）》，2026-11-05：標準加、乘進位及逆向借位見證。
EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十七篇）》，2026-11-05：數位多項式與完整進位缺陷分解。
EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十八篇）》，2026-11-05：完整數值路徑、操作標籤及條件最小證書。
EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十九篇）》，2026-11-05：全圖質數基底的唯一極小辨識定理。
Minimum hitting set / set cover 是既有的組合最佳化框架；本文不宣稱創造其一般演算法，只將它精確套用於本系列的運算進位指紋辨識條件。

End of Paper XX (v0.1).

進位制塔樓與全域運算關係幾何（第二十篇）

進位制塔樓與全域運算關係幾何（第二十篇）

自適應進位觀察、局部最小覆蓋與複合基底的運算辨識優勢

摘要

1. 研究問題：全域最小性是否意味每次都必須全部觀察？

1.1 第十九篇的最小性是對「整張圖」說的

1.2 本文提出三種不同的觀察預算

1.3 必須區分演算法真實執行與假設模擬

2. 運算指紋、分離集合與精確等價條件

2.1 標準數位多項式與完整進位

2.2 單條數值邊的分離集合

2.3 定理 2.1：高基底完全沒有辨識力

2.4 引理 2.2：每條合法邊皆有質數分離見證

3. 路徑最小覆蓋：正式命題與證明

3.1 已知數值路徑

定理 3.1（路徑分離的充要條件）

3.2 最小共同基底是一個命中集合問題

定理 3.2（路徑條件下的普遍有限上界）

4. 複合基底的局部優勢：一條逐位可驗的反例

4.1 固定路徑 1→8→2→61\to8\to2\to61→8→2→6

4.2 四進位的完整進位向量

4.3 與全圖質數必要性並無矛盾

5. 逐事件自適應觀察：不用整條路徑共用一組基底

5.1 逐步單基底選擇

定理 5.1（逐步查詢的條件最小性）

5.2 三種不同預算，不能直接比較硬體成本

5.3 真正的自適應策略需有可觀察的執行介面

6. 完整有限集合實驗：K=40 的 30,342 條三步行走

6.1 不修改上一輪的底層圖

6.2 兩種路徑最小基底的分布

6.3 複合基底嚴格改善的路徑數

6.4 樸素逐邊選基底不等於整條路徑最佳化

7. 觀察位置數：精確算術計數，不是運行效率實測

7.1 共同的計數單位

7.2 候選觀察基底的離線選擇成本

7.3 資料位元與觀察位置數不同

8. 可解碼的四進位證書與錯誤拒絕

8.1 選擇已知的數值路徑

8.2 可重算證書與拒絕範例

9. 參數敏感度：這不是 K=40 的偶然圖形

10. 演算法、獨立重算與最佳性證明

10.1 以位元遮罩表示基底分離能力

10.2 兩套彼此獨立的最小解法

10.3 兩套逐位進位核對

10.4 與第十四、十九篇的原始資料比對

11. 理論邊界、負結果與計算應用判準

11.1 最小觀察基底集合不是實際算法選擇的證明

11.2 局部複合基底優勢不推翻質數全圖必要性

11.3 目前只測試標準加法與卷積乘法的進位

11.4 不能把觀察位置數當成資訊熵、CPU 時間或電力成本

11.5 有界雙作用子圖不等於完整 1–1000 世界

11.6 嚴格的數學辨識與物理因果仍不同

12. 可重現研究交付規格

13. 結論：全域完整的觀察，不必每次全量施加

參考研究與既有概念分界

4.1 固定路徑 $1\to8\to2\to6$