# 進位制塔樓與全域運算關係幾何（第二十篇）

## 自適應進位觀察、局部最小覆蓋與複合基底的運算辨識優勢

**English title:** *Radix Towers and Global Operational Relation Geometry XX: Adaptive Radix Observation, Path-Conditioned Minimum Covers, and Local Advantages of Composite Bases*  
**版本：** v0.1（精確有限域驗證、最小覆蓋定理與可執行辨識證書）  
**日期：** 2026-11-05  
**研究系列：** EveMissLab／進位制塔樓與全域運算關係幾何  
**研究構想及問題設定：** Neo.K；數學形式化與計算驗證：AI 協作  
**直接承接：** 第十四篇的雙作用整數圖、第十六至十八篇的完整進位與歷史壓縮、第十九篇的全圖質數基底最小性定理  
**正式原始碼：** UTF-8 Markdown；數學公式的唯一 canonical delimiter 為 ` $...$ ` 和 `$$...$$`  
**證據邊界：** 指定有限整數語法、標準逐位演算法與已知數值路徑的精確定理和窮舉；不宣稱所有實數、任意演算法或實際機器效能已獲證明。

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**作者：** Neo.K；數學形式化與計算驗證：AI 協作  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  

## 摘要

第十九篇對有限雙作用圖 $G_K$ 建立一項全域辨識定理：只要在標準加法與卷積乘法的**完整逐位進位指紋**下區分同一數值邊上的兩種運算，所有不超過 $K$ 的質數基底構成唯一不可再刪減的全圖辨識集合。這項全域結論容易引出另一個問題：若觀察者已經知道當前的**完整數值路徑**，但尚未知每一步實際採用哪一種運算，是否仍須在所有步驟使用所有質數基底？

本文將全圖辨識、已知路徑的固定基底辨識、以及逐事件的條件式觀察分開。對每條合法雙作用邊 $e$，計算所有能使兩種運算產生不同完整進位向量的基底集合 $S(e)$。一條固定長度為 $s$ 的數值路徑，其最小共同基底集合，恰好是一個對所有步驟的分離集合進行命中的**最小集合覆蓋問題**。它與第十九篇的全圖質數基底最小性沒有衝突，因為兩者要求辨識的事件母集合不同。

本文證明：所有 $q>2K$ 的進位基底在 $G_K$ 中均不能區分任何雙作用邊，故若允許**全部整數進位制**，搜尋只需考慮 $2\le q\le2K$ ；若只允許質數進位制，可用第十九篇的質數充分性對每條路徑給出不超過步數 $s$ 的有限覆蓋上界。當觀察者能夠對每一步使用不同基底、且觀察到的是**實際執行所留下的進位紀錄**時，每一步只需一個分離基底，即可唯一恢復該步的操作標記。這是明確查詢模型下的觀察次數結果，不是硬體加速定理。

在 $K=40$ 的同一個 $80$ 節點、 $156$ 條邊之雙作用子圖內，完整枚舉所有 **30,342 條長度為三的有向數值行走**。若限定質數基底，依最小共同基底數分為： $13,460$ 條需一種、 $15,766$ 條需兩種、 $1,116$ 條需三種。若允許全部 $2$ 至 $80$ 的整數基底，則分別為 $14,212$ 、 $15,192$ 、 $938$ 條；其中 **930 條路徑**可由非純質數限制的觀察方案取得更少基底。

特別地，路徑 $1\to8\to2\to6$ 若限定質數基底，最少需要 $\{2,3\}$ 中兩個基底；但僅用四進位，便可以逐步辨識三條邊的兩種合法運算。四進位在此對最後一條乘法比為 $3$ 的邊也有辨識力，顯示「取乘法比的質因數」是充分的**局部觀察策略**，不是局部觀察成功的必要條件。全圖仍然必須保留全部十二種質數基底，兩個結論適用的量詞不同。

若以「對路徑的每一步在一種基底下取得一份觀察」作為單位，對全部 30,342 條三步路徑一律使用十二種質數基底共需 $1,092,312$ 份觀察；路徑條件下最小質數基底為 $145,020$ 份、最小任意整數基底為 $142,230$ 份，而逐事件條件式挑選一個分離基底只需 $91,026$ 份。這些精確數字僅代表此觀察模型的**測量位置數**，不直接代表 CPU 週期、網路延遲或資料總位元數。

本文附有逐邊、逐路徑的完整原始資料、兩套獨立的最小覆蓋解法、逐位進位缺陷重建核對、跨篇原始資料比對，以及一份可拒絕竄改的四進位觀察證書。結論指出：**全域最小的觀察工具集，不等於每一次局部運算都需要完整使用它；表示基底的價值取決於當前需要區分哪些真正可選的運算歷史。**

**關鍵詞：** 進位制塔樓、全域算術關係、運算歷史、路徑條件辨識、最小集合覆蓋、質數基底、複合基底、自適應觀察、完整進位指紋、資訊可恢復性、反向驗算、有限域見證。

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## 1. 研究問題：全域最小性是否意味每次都必須全部觀察？

### 1.1 第十九篇的最小性是對「整張圖」說的

固定整數運算元上限 $K\ge2$，令：

$$
A_K=\{2,3,\ldots,K\}.
$$

對正整數 $x<y$，若存在整數 $d,r\in A_K$ 使：

$$
y=x+d=xr,
$$

則把 $\{x,y\}$ 設為一條合法的雙作用數值邊。這給出：

$$
G_K=(V_K,E_K),\qquad V_K=\{1,\ldots,2K\}.
$$

每條向上邊可以由加法或乘法完成，反向則由減法或精確除法完成。對逆向除法所用的觀察，是**精確逆乘法的歸一化見證**，不是一般長除法演算法的暫存器序列。

第十九篇證明，若一組基底必須辨識 $G_K$ 中**每一條邊**的兩種運算選擇，則全部不超過 $K$ 的質數基底都不可刪除。令：

$$
\mathcal P_K=\{p\le K:p\text{ 為質數}\}.
$$

若 $K=40$，則 $|\mathcal P_K|=12$。然而，使用者原本要觀察的是特定數值關係如何沿著中間狀態傳播；一條已知數值路徑通常只包含整張圖的一小部分邊，不需要先假定全圖所有事件都會出現。

### 1.2 本文提出三種不同的觀察預算

第一種是**全圖固定基底**：選一組基底，無論之後遇到哪條數值邊都能分辨其兩種合法運算。

第二種是**已知路徑的固定基底**：先確定數值路徑，選一組共同基底，並在這條路徑的每一個步驟觀察這些基底。

第三種是**逐事件條件式基底**：依當前已知的精確數值端點，只為這一步選擇一種足夠的基底，下一步允許更換。

它們的可觀察母集合、測量位置數與前置知識不同。任何「最少需要幾個進位制」的聲明，都必須先指出自己指的是哪一種問題。

### 1.3 必須區分演算法真實執行與假設模擬

對已知端點 $x,y$，研究者可以**模擬**加法與乘法在任意基底下各自會產生什麼進位。但是，兩套模擬的存在本身**無法得知歷史上實際採用了哪一套**。

本篇的辨識模型假設觀察者能取得**實際被執行運算**在選定基底下的真實進位指紋，或可信任的可重播運算紀錄。若實際運算過程沒有被記錄或無法重播，只能將本文的觀察方案視為可設計的驗證規格，不能聲稱已從數值答案反推出真實歷史。

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## 2. 運算指紋、分離集合與精確等價條件

### 2.1 標準數位多項式與完整進位

對任意整數基底 $q\ge2$，正整數 $n$ 的標準低位先行數位多項式記為：

$$
D_q(n;t)=\sum_{i\ge0}n_it^i,\qquad0\le n_i<q.
$$

沿用第十七篇的標準加法與卷積乘法，定義完整進位多項式：

$$
C_q^+(a,b;t)
=\frac{D_q(a;t)+D_q(b;t)-D_q(a+b;t)}{q-t},
$$

$$
C_q^\times(a,b;t)
=\frac{D_q(a;t)D_q(b;t)-D_q(ab;t)}{q-t}.
$$

上式皆是整係數多項式，其係數為每個位值欄送出的標準進位數值。實作使用完整進位向量，而非只用進位次數總和。

### 2.2 單條數值邊的分離集合

對合法雙作用邊 $e=(x,y)$，令：

$$
r=y/x,\qquad d=y-x.
$$

其中 $r$ 為精確正整數。定義兩個候選運算指紋：

$$
F_q^0(e)=C_q^+(x,d;t),
\qquad
F_q^1(e)=C_q^\times(x,r;t).
$$

將可分辨兩個候選的進位基底集合定義為：

$$
S(e)=\{q\in\mathbb Z_{\ge2}:F_q^0(e)\ne F_q^1(e)\}.
$$

若 $q\in S(e)$，只要真實運算的觀察指紋確實等於兩個候選之一，便能唯一決定操作選擇位元 $\epsilon\in\{0,1\}$。若 $q\notin S(e)$，兩個候選具有相同指紋，這一次觀察無法區分它們。

### 2.3 定理 2.1：高基底完全沒有辨識力

對所有合法 $e\in E_K$，若 $q>2K$，則：

$$
F_q^0(e)=F_q^1(e)=0.
$$

**證明。** 所有邊均滿足 $1\le x<y\le2K$，而 $d,r\le K$。若 $q>2K$，所有輸入與結果都小於 $q$，故在基底 $q$ 下都是單一數位；加法 $x+d=y$ 與乘法 $xr=y$ 的結果都小於 $q$，不存在進位。證畢。

**推論 2.1.1。** 若候選基底允許全部整數 $q\ge2$，搜尋最小覆蓋時只需考慮有限集合：

$$
\mathcal Q_K=\{2,3,\ldots,2K\}.
$$

本篇取 $K=40$，所以**確實完整檢查 $2$ 至 $80$ 的 79 種整數基底**，不是任意挑幾個複合基底示範。

### 2.4 引理 2.2：每條合法邊皆有質數分離見證

若質數 $p\mid r$，則 $p\in S(e)$。這是第十九篇的逐位定理；其證明在基底 $p$ 下比較加法與乘法的最早非零欄位。因 $2\le r\le K$，每條邊都至少有一個這樣的質數因子。

所以：

$$
S(e)\cap\mathcal P_K\ne\varnothing.
$$

這只說「質因數提供足夠的見證」，並不說**只有乘法比的質因數**才可能使兩種運算的進位不同。後面的四進位反例會直接說明這點。

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## 3. 路徑最小覆蓋：正式命題與證明

### 3.1 已知數值路徑

令一條合法的有向數值行走為：

$$
P=(v_0,v_1,\ldots,v_s),\qquad
\{v_{i-1},v_i\}\in E_K.
$$

可允許同一數值或無向邊在不同步驟再次出現，但每一步的兩個端點不同。對步驟 $i$，令 $e_i=\{v_{i-1},v_i\}$。

若在每一步都觀察相同的基底子集 $B$，要求對全部 $s$ 個步驟的運算選擇均可辨識，稱 $B$ 為這條路徑的**完整分離覆蓋**。

### 定理 3.1（路徑分離的充要條件）

 $B$ 是 $P$ 的完整分離覆蓋，當且僅當：

$$
B\cap S(e_i)\ne\varnothing
\qquad (i=1,\ldots,s).
$$

**證明。** 若對某一步 $i$ 有 $B\cap S(e_i)=\varnothing$，則這一步的兩個操作選擇在每個被觀察基底下進位向量都完全相同；維持其他步驟標籤不變，只切換第 $i$ 步，就得到兩條不同歷史具有同一整體觀察，故辨識映射不單射。

反過來，如果每一步都至少有一個基底使兩種運算的向量不同，則逐步讀取那個基底上的真實觀察，即能唯一重建每一步標籤。由步驟索引保留，所有標籤序列可唯一重建。證畢。

### 3.2 最小共同基底是一個命中集合問題

對候選基底範圍 $\mathcal B$，定義：

$$
\tau_{\mathcal B}(P)
=\min\{|B|:B\subseteq\mathcal B,\ B\cap S(e_i)\ne\varnothing\ \forall i\}.
$$

這是有限 **hitting set / minimum set cover** 問題。可把每個基底 $q$ 視為能覆蓋它可以辨識的步驟集合，再求最少基底覆蓋全部步驟。

本篇分別研究：

$$
\tau_{\mathrm{prime}}(P)=\tau_{\mathcal P_K}(P),
\qquad
\tau_{\mathrm{all}}(P)=\tau_{\mathcal Q_K}(P).
$$

由 $\mathcal P_K\subseteq\mathcal Q_K$，立即得到：

$$
\tau_{\mathrm{all}}(P)\le\tau_{\mathrm{prime}}(P).
$$

### 定理 3.2（路徑條件下的普遍有限上界）

對任意長度為 $s$ 的合法數值路徑：

$$
1\le\tau_{\mathrm{all}}(P)
\le\tau_{\mathrm{prime}}(P)
\le\min(s,|\mathcal P_K|).
$$

**證明。** 每一步至少有一個合法質數基底見證，因此逐步選一個質數基底，再取這 $s$ 個選擇的聯集，就能得到一組不多於 $s$ 的固定共同基底。另一種合法方案是直接使用整個 $\mathcal P_K$，大小為 $|\mathcal P_K|$。由候選集合包含關係得其他不等式。對非空路徑，至少需一個基底。證畢。

**解讀。** 第十九篇的全圖最小數量與本篇的局部路徑最小數量，要求處理的對象不同，故即使後者小得多，也不構成前者的反例。

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## 4. 複合基底的局部優勢：一條逐位可驗的反例

### 4.1 固定路徑 $1\to8\to2\to6$

取 $K=40$。三條無向邊分別有：

$$
8=1+7=1\times8,
$$

$$
8=2+6=2\times4,
$$

$$
6=2+4=2\times3.
$$

若限定質數基底，第一條的必要分離可由基底 $2$ 達成，最後一條的必要分離可由基底 $3$ 達成。逐一檢查所有質數基底發現，**沒有一個質數基底能同時區分三條邊**，最少需要 $\{2,3\}$。

### 4.2 四進位的完整進位向量

在基底 $q=4$，標準運算的完整進位向量如下。向下行走時，列出相應反向操作所使用的逆算術歸一化見證。

| 數值步驟 | 加法／逆減法見證 | 乘法／逆除法見證 | 可否分辨 |
|---|---|---|---|
| $1\to8$ | $[1]$ | $[]$ | 是 |
| $8\to2$ | $[1]$ | $[]$ | 是 |
| $2\to6$ | $[]$ | $[1]$ | 是 |

空陣列表示全部進位係數為零， $[1]$ 表示第零欄向第一欄送出一個進位。因此**單獨四進位**就足以辨認整條路徑三個步驟的運算選擇。

這個反例十分重要：最後一條邊的乘法比是 $3$，但非質數基底 $4$ 同樣能辨識其加法與乘法。**分離能力不是「進位基底必須整除乘法比」的同義詞。**

### 4.3 與全圖質數必要性並無矛盾

第十九篇的質數錨點，例如質數 $7$ 對應的 $1\leftrightarrow7$，要求觀察者能處理所有可能邊，因此基底 $7$ 仍不可省略。本例只要求分辨這三條確定的邊，沒有要求辨識 $1\leftrightarrow7$ 等其他位置。

**全圖唯一極小性**與**局部可選較少基底**是兩種量詞結構，不能用同一個「最少」混稱。

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## 5. 逐事件自適應觀察：不用整條路徑共用一組基底

### 5.1 逐步單基底選擇

若已知當前數值邊 $e_i$，且有權選擇觀察基底，可取任一：

$$
q_i\in S(e_i).
$$

特別地，可以直接取乘法比 $r_i$ 的最小質因數。這個確定性方案必然有效，但不一定使**整條路徑共用的基底種類數最少**。

### 定理 5.1（逐步查詢的條件最小性）

給定長度 $s$ 的數值路徑、獨立的兩種合法運算標籤，以及只允許取得某一基底下的實際完整進位向量的觀察模型。若要求無損辨認每一步的運算標籤，則每一步至少需要一個可以分離兩種操作的觀察；且每一步恰好一個足以完成辨識。

**證明。** 若某一步完全沒有任何有效觀察，則在其餘步驟完全相同的情況下，該步的兩種標籤無法區分，故無損辨識失敗。由引理 2.2，每一步都存在一個質數分離見證；選取後觀察真實進位向量，即可在兩個候選中唯一辨認，故每步一個足夠。證畢。

**條件提醒。** 此定理計數的是觀察事件數，不是查詢時間、數位向量長度、不同基底的轉換成本或硬體效能。若標籤已由其他方式直接提供，當然不需要這些查詢。

### 5.2 三種不同預算，不能直接比較硬體成本

對固定長度 $s$ 的路徑：

- 全圖固定觀察若每一步用 $|\mathcal P_K|$ 個基底，觀察位置數為 $s|\mathcal P_K|$。
- 路徑固定最佳集合的觀察位置數為 $s\tau_{\mathrm{all}}(P)$，若限定質數則為 $s\tau_{\mathrm{prime}}(P)$。
- 逐步條件式策略每一步選一個分離基底，觀察位置數為 $s$。

若只儲存已知路徑及操作選擇位元，第十八篇證明長度 $s$ 的標籤只需 $s$ 個位元。以多種基底重新算出進位並無保證可比這個原始標籤證書更省儲存。

### 5.3 真正的自適應策略需有可觀察的執行介面

如果計算過程發生時沒有把所選基底下的完整進位向量記錄下來，事後只知道 $x,y$ 並各自模擬加、乘，不足以判別原執行的標籤。本文要求可記錄、可驗算的實際指紋，並非宣稱可以從同一結果直接讀取未曾保存的歷史。

這使本研究可作為未來運算觀測器或數學 AI 的**驗證介面規格**，而不是不附條件的「破解運算黑盒」方法。

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## 6. 完整有限集合實驗：K=40 的 30,342 條三步行走

### 6.1 不修改上一輪的底層圖

固定 $K=40$。直接以整數整除與差值條件重新建立：

$$
|V_{40}|=80,\qquad|E_{40}|=156.
$$

完整枚舉有方向、允許反向折返與重複節點的長度三數值行走，得到：

$$
|\mathcal W_3(G_{40})|=30{,}342.
$$

這與第十九篇完全相同；不是把第十一至十三篇的另一種四原始輸入三步語法混入，也不是對最初 1–1000 正整數域的所有運算事件重新計數。

所有數值邊以精確整數識別，向下事件的「除法進位」只代表逆乘法歸一化見證，不假裝是某套長除演算法。

### 6.2 兩種路徑最小基底的分布

對全部 $30,342$ 條路徑，分別以 $\mathcal P_{40}$ 的十二個質數及 $\mathcal Q_{40}=\{2,\ldots,80\}$ 的七十九個整數基底，求解**精確最小覆蓋**：

| 最少共同基底數 | 僅質數基底 | 任意整數基底 |
|---:|---:|---:|
| 1 | 13,460 | 14,212 |
| 2 | 15,766 | 15,192 |
| 3 | 1,116 | 938 |
| **合計** | **30,342** | **30,342** |

![圖 1：路徑條件下最小共同基底分布](figures/paper20_minimum_cover_histogram.png)

本篇使用完整逐位進位向量相等性判斷某個基底有無分離能力，再用**兩套不同方法**驗證最小集合：一套依序枚舉大小為一、二、三的組合；另一套使用覆蓋狀態上的動態規劃，逐條路徑比較最小解及字典序選擇。全部 $30,342$ 條均一致。

### 6.3 複合基底嚴格改善的路徑數

將兩種最小覆蓋大小交叉分類：

| 質數最小數 | 整數最小數 | 路徑數 |
|---:|---:|---:|
| 1 | 1 | 13,460 |
| 2 | 1 | 752 |
| 2 | 2 | 15,014 |
| 3 | 2 | 178 |
| 3 | 3 | 938 |

因此：

$$
752+178=930
$$

條路徑能透過允許所有整數進位基底，將共用基底的最小數量降低。這些局部優勢不是第十九篇全圖質數定理的反例。

**重要限定：** 一個複合基底能辨識多條不同乘法比的邊，並不表示它對所有合法邊都具有同樣的能力；全圖仍需要全部指定的質數錨點。

### 6.4 樸素逐邊選基底不等於整條路徑最佳化

如果每條邊都**只取其乘法比的最小質因數**，再把三次選擇的不同基底合併，得到：

| 該規則產生的不同質數基底數 | 路徑數 |
|---:|---:|
| 1 | 7,636 |
| 2 | 17,450 |
| 3 | 5,256 |

與最小質數方案相比，樸素策略的三基底路徑更多。原因是：某個質數即使不是某條邊的乘法比因子，**仍可能**對其兩種演算法進位有辨識力，從而使多條邊共享同一觀察基底。

這也再次說明：「每一步有一個保證可用的因數見證」與「整條路徑的最小共用基底」是不同最佳化問題。

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## 7. 觀察位置數：精確算術計數，不是運行效率實測

### 7.1 共同的計數單位

將「某一條路徑的某一個步驟，在某一個基底下取得一次完整運算指紋」定為一個**觀察位置**。對全部 30,342 條三步行走，得到：

| 策略 | 觀察位置總數 |
|---|---:|
| 每一步觀察全部 12 個質數基底 | 1,092,312 |
| 每條路徑選最少的共用質數基底 | 145,020 |
| 每條路徑選最少的共用整數基底 | 142,230 |
| 每一步各選一個分離基底 | 91,026 |

![圖 2：三種方案與逐事件方案的觀察位置預算](figures/paper20_query_slot_comparison.png)

對第一列： $30,342\times3\times12=1,092,312$。對最後一列： $30,342\times3=91,026$。中間兩列由第六節的精確分布加權求得。

相對於全質數逐步方案，路徑共用最優整數基底的觀察位置減少約 **86.98%**；逐事件單基底方案減少約 **91.67%**。這個比例只描述「觀察位置數」的變化，**不是**對 Python、GPU、硬體轉碼、儲存位元或端到端實際成本的加速聲明。

### 7.2 候選觀察基底的離線選擇成本

最小覆蓋需要先判定哪些基底能分辨哪些邊。這項離線計算仍需使用精確逐位加法與乘法對照，而不是假裝觀察策略無需準備成本。若數值圖與進位語法固定，分離集合可作為查表資料重用；但更改 $K$ 、引入其他算法或改變運算語義後，需要重新生成或驗證。

### 7.3 資料位元與觀察位置數不同

不同基底下的進位向量長度可以不同，因此觀察位置數較少，不代表總傳輸位元或實際運算量必然較少。若只需將操作歷史無損儲存，而標籤已由執行器直接提供，第十八篇的單步一位元證書仍更直接。進位觀察的主要價值，是**獨立重現及鑑別被執行的算術作用**，而非取代所有操作日誌。

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## 8. 可解碼的四進位證書與錯誤拒絕

### 8.1 選擇已知的數值路徑

取：

$$
P=(1,8,2,6).
$$

設定三個被執行的運算標籤為 `101`，即第一、第三步用乘／逆除見證（標籤 1），第二步用加／減見證（標籤 0）。真正的數值事件為：

$$
1\times8=8,
\qquad8-6=2,
\qquad2\times3=6.
$$

單獨在四進位觀察三步所得到的完整進位向量依序為：

```text
[], [1], [1]
```

由第 4.2 節的兩候選對照，這三組向量分別唯一選中位元 `1`、`0`、`1`。

### 8.2 可重算證書與拒絕範例

本篇 `data/paper20_composite_witness_certificate.json` 保存：語法識別、 $K$ 、精確數值路徑、觀察基底、實際進位向量及重建位元。驗證器會重新建立各步合法邊並重算兩個候選的進位結果，只有唯一候選完全吻合，才接受解碼。

負對照會刻意竄改其中一段進位向量；驗證器必須拒絕。這不是形式上的「在 JSON 寫 PASS」，而是重算整數算法所得的結果。

**資料信任限制：** 如實際進位向量由不可信任來源自行編造，驗證器只能檢查它是否與某個合法候選一致，無法單靠合法性判斷它是否真正源於當時的歷史執行。若要求歷史來源真實性，尚需具可信任日誌、執行追蹤或可重播的驗證環境。

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## 9. 參數敏感度：這不是 K=40 的偶然圖形

沿用同一雙作用圖定義、同一長度三的行走與同一最小覆蓋問題，分別對 $K=2,4,8,12,20,40$ 重新窮舉：

| K | 雙作用邊 | 三步行走 | 質數方案：1／2／3 | 整數方案：1／2／3 | 嚴格改善路徑 |
|---:|---:|---:|---|---|---:|
| 2 | 1 | 2 | 2／0／0 | 2／0／0 | 0 |
| 4 | 6 | 54 | 24／30／0 | 24／30／0 | 0 |
| 8 | 18 | 454 | 170／266／18 | 176／260／18 | 6 |
| 12 | 33 | 1,548 | 626／862／60 | 654／838／56 | 32 |
| 20 | 64 | 5,452 | 2,178／3,024／250 | 2,362／2,886／204 | 230 |
| 40 | 156 | 30,342 | 13,460／15,766／1,116 | 14,212／15,192／938 | 930 |

這些結果顯示，局部選擇的最佳基底數量依賴算術語法上限及所需辨識的路徑集合。不能從本表任意外推一個普遍機率分布或計算效率增長率。

**負對照：** 對 $K=40$，基底 $81$ （或任何更大的基底）使全圖加法與乘法的標準進位全部為零；即使觀察位置數保持很多，也無法辨識任何操作選擇。可觀察資料**多**與可辨識資訊**足夠**不是同一件事。

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## 10. 演算法、獨立重算與最佳性證明

### 10.1 以位元遮罩表示基底分離能力

對每個基底 $q$，紀錄它能分辨 $G_{40}$ 哪些無向邊。對一條三步路徑，將某基底可辨識的步驟編碼為三個位元，例如 `101` 表示可辨識第 1、3 步。

求一組最少基底，使覆蓋遮罩的按位或等於 `111`。此處的 `111` 是**三個需要被觀察的步驟位元**，不是第十八、十九篇的運算標籤選擇位元；兩者使用相同的二進位書寫但語義不同。

### 10.2 兩套彼此獨立的最小解法

第一套 `exact_cover` 依基底數由少至多，依序檢查一基底、二基底、三基底組合，找到第一組完整覆蓋即停止。三步路徑由定理 3.2 保證至多三個基底足夠，因此不必窮舉更大的集合。

第二套 `unique_cover_min` 是覆蓋狀態動態規劃：依次引入候選基底，對所有可能的三位元覆蓋狀態保存最短且字典序最小的基底組，最後查詢 `111` 的解。兩套程式對全部 $30,342$ 條路徑**逐條比對實際最優基底集合**，而不只比對總數。

### 10.3 兩套逐位進位核對

每個候選基底的加法與乘法進位向量，分別使用：

1. 標準逐欄歸一化；
2. 已知精確算術結果的數位缺陷係數遞迴。

兩種途徑對全部 $156\times79\times2$ 個操作—基底組合逐一比對，沒有使用浮點數決定整除或進位。這可以避免以錯誤的進位實作產生貌似精確的最小集合。

### 10.4 與第十四、十九篇的原始資料比對

正式 ZIP 附有未修改的必要前篇參照 CSV，驗證器會逐項確認：

- 第十四篇的全部 $156$ 條雙作用邊完全相同；
- 第十九篇的 $1,404$ 筆邊—基底完整進位指紋逐筆一致；
- 第十九篇的全部 $30,342$ 條三步數值路徑，於五種舊觀察集合中的模糊步數及指紋類數逐筆相符。

這項核對將「新增觀察策略」與「偷偷更換底層數值資料」分開，確保第二十篇不是換了樣本才出現局部改善。

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## 11. 理論邊界、負結果與計算應用判準

### 11.1 最小觀察基底集合不是實際算法選擇的證明

最小覆蓋指出「如果真實進位紀錄可被提供，至少需要觀察哪些基底」，而不是單靠端點就能斷定被執行過的歷史。若沒有可信任的操作追蹤，不能把某種候選指紋當成歷史真相。

### 11.2 局部複合基底優勢不推翻質數全圖必要性

部分路徑可由單一複合基底覆蓋，仍不表示它能取代所有質數錨點。對全圖所有可能合法邊要求辨識與對一條已知路徑要求辨識，採用的是不同的量詞。

### 11.3 目前只測試標準加法與卷積乘法的進位

逆向減法採用借位對應的反向見證，精確除法採用逆乘法歸一化檢查；尚未將各種長除法、浮點硬體、並行前綴進位、模運算與其他自訂演算法混入同一指紋語義。換一套演算法，觀察基底的最佳性可能不同。

### 11.4 不能把觀察位置數當成資訊熵、CPU 時間或電力成本

基底數較少可能降低查詢數，但不同進位制的數字位數、轉碼代價、記憶體、設備支援及觀察紀錄長度都可能不同。本文沒有測量這些性能指標，因此不宣稱「減少 86.98% 查詢」等同於同幅度計算加速。

### 11.5 有界雙作用子圖不等於完整 1–1000 世界

本文的 $G_{40}$ 節點是 $1$ 至 $80$，它確實可以嵌入原先的 $1$ 至 $1000$ 塔樓，但不是全域四則運算圖的完整表示。第十九篇的質數必要性與本篇局部最優性，皆在這個**特殊雙作用子圖與指紋模型**下成立。擴充至整個 1–1000、其他有理數或實數，必須重新指定運算集合、觀察限制與驗證規則。

### 11.6 嚴格的數學辨識與物理因果仍不同

這裡的作用是算術運算事件、反向是合法逆算術見證。多基底觀察與等價類辨識是形式資訊條件，不能直接推論物理世界的作用反作用定律、時間因果或新自然力。

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## 12. 可重現研究交付規格

正式壓縮檔根目錄包含：

- `EveMissLab_Radix_Tower_Global_Operational_Geometry_20_v0.1.md`：本篇 UTF-8 canonical source；
- `verify_paper20.py`：標準逐位計算、完整路徑枚舉、兩種最小集合覆蓋、跨篇對照及證書驗證；
- `make_figures.py`：從驗證 CSV/JSON 生成 PNG/SVG 圖表；
- `validate_paper20.py`：正式原稿、資料、見證、雜湊及基本一致性檢查；
- `data/paper20_edge_observation_masks.csv`：156 條邊的質數／全部整數基底分離清單；
- `data/paper20_single_base_coverage.csv`：79 個候選基底的全圖覆蓋率；
- `data/paper20_path_optima.csv`：全部 30,342 條三步路徑的最優基底、局部優勢及樸素策略對照；
- `data/paper20_parameter_sensitivity.csv`：六種 $K$ 的完整最小覆蓋分布；
- `data/paper20_examples.csv`：單質數、三質數及複合基底優勢的逐步指紋；
- `data/paper20_composite_witness_certificate.json`：可重算、可拒絕竄改的四進位運算見證；
- `data/paper20_stats.json`：精確計數與驗證摘要；
- `reference/`：第十四與十九篇的必要、未修改原始 CSV；
- `figures/`：從驗證資料生成的三組 PNG/SVG；
- `SHA256_MANIFEST.json`：正式發行檔案的 SHA-256 清單。

解壓後，在根目錄執行：

```bash
python verify_paper20.py --output . --reference reference
python make_figures.py
python validate_paper20.py
```

第一行僅需 Python 3 標準函式庫；第二行需要 Matplotlib；第三行檢查發行資料的 UTF-8、LaTeX delimiter、觀察策略輸出、可驗證證書及雜湊。圖形與聊天渲染不是正式原稿來源。**所有研究正文以該 Markdown 的原始 UTF-8 位元組為準。**

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## 13. 結論：全域完整的觀察，不必每次全量施加

第十九篇的質數基底最小性，回答了「如果不知道會遇到哪一條合法運算邊，要預先準備哪些觀察進位制才能保證辨識全部事件」；第二十篇則回答「當一條精確數值路徑已知時，如何只選擇足以辨識該路徑的基底」。兩者具有不同的量詞與資訊成本，不能混為同一個問題。

本文的主要成果是三個相互銜接的結論。首先，路徑最小共同觀察基底可以嚴格寫成有限命中集合問題，並可對三步路徑以窮舉及動態規劃雙重驗證。其次，完整整數基底的局部最優性可以嚴格優於質數基底限制：在 $K=40$ 的 30,342 條三步行走中，930 條存在此種嚴格優勢，四進位對 $1\to8\to2\to6$ 的完整辨識提供了可逐位重算的具體見證。最後，若只計有可信任來源的逐步運算指紋觀察，一步只需一個能分離兩種候選的進位基底；但這項組合預算改善不自動等於實際硬體加速，也不能取代已知操作標籤所構成的更直接的無損證書。

這次研究仍然只涵蓋指定的有限整數雙作用子圖與標準進位語法，沒有提前推及無限實數或所有演算法。然而，它使最初的全域運算塔樓構想多了一個可操作的認識論層次：**完整數學關係可以被一組觀察視角所涵蓋，但對某個實際局部問題，真正需要的視角只取決於尚未被辨識的運算差異。**

**本篇核心結語：全域的完整，不是每一次都必須觀看全部；而是知道在什麼條件下，只看局部，也不會把真正不同的運算誤認為相同。**

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## 參考研究與既有概念分界

1. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十四篇）》，2026-11-05：精確雙作用整數圖與可核對的算術邊。
2. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十六篇）》，2026-11-05：標準加、乘進位及逆向借位見證。
3. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十七篇）》，2026-11-05：數位多項式與完整進位缺陷分解。
4. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十八篇）》，2026-11-05：完整數值路徑、操作標籤及條件最小證書。
5. EveMissLab，《進位制塔樓與全域運算關係幾何（第十九篇）》，2026-11-05：全圖質數基底的唯一極小辨識定理。
6. Minimum hitting set / set cover 是既有的組合最佳化框架；本文不宣稱創造其一般演算法，只將它精確套用於本系列的運算進位指紋辨識條件。

**End of Paper XX (v0.1).**