進位制塔樓與全域運算關係幾何（第七篇）

跨演算法數值合流、共享中間節點、算術入射分解與塔樓觀察不變量

英文題名： Radix Towers and Global Operational Relation Geometry VII: Cross-Algorithm Numeric Confluence, Shared Intermediate States, Arithmetic Incidence Factorization, and Tower-Observation Invariants
版本： v0.1（有限域全枚舉、初等定理、實證可重現稿）
日期： 2026-11-04
研究系列： EveMissLab／進位制塔樓與全域運算關係幾何
研究構想： Neo.K；形式化與計算驗證：AI 輔助協作
先行文件： EveMissLab_Radix_Tower_Global_Operational_Geometry_01_v0.1.md 至 ..._06_v0.1.md
資料與程式： verify_paper07.py、make_figures.py、paper07_stats.json、CSV 與圖形檔
正式原稿： 原始 UTF-8 Markdown；數學公式僅使用 $...$ 和 $$...$$
證據層級： 精確的有限域實驗與由既有算術規則導出的初等命題；不宣稱建立新的普適數論定理或物理因果律

作者： Neo.K；形式化與計算驗證：AI 輔助協作
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司

摘要

本系列前六篇已區分算術數值、運算事件、有限計算歷史、進位數量級、塔外折返及代數補償對偶。第七篇處理更接近原始構想的問題：不同演算法不只可能得到相同答案，也可能在相同中間數值再次交會；這種交會在不同進位制下應如何觀察、如何計數、如何與畫面造成的對稱區分？

本文固定正整數觀察域 $S_{1000}=\{1,\ldots,1000\}$ ，限制三個輸入運算元 $a,b,c\in\{2,\ldots,40\}$ ，定義五種可窮舉的兩步算術模板：先加後乘（AM）、先乘後加（MA）、先乘後減（MS）、連續兩次乘法（MM）、先乘後精確除法（MD）。每條運算歷史同時保存模板、三個有序輸入、中間數值 $m$ 、結果 $z$ 與是否超出塔樓。這不是全部可能演算法，也不是所有實數的枚舉；它是一個有清楚邊界的可驗證模型。

獨立的逐三元組枚舉與按中間數值因式分解的入射計數完全相符。得到 161,582 條保留輸入角色的歷史、38,506 組不同的 $(m,z)$ 數值入射、1,547 組至少由兩種運算模板共同實現的強合流入射。其中 1,344 組屬於 AM+MM，58 組屬於 AM+MA+MM 三重合流，145 組屬於 MS+MD。全部強合流的中間數值都落在 $4\le m\le80$ ；另一方面，仍有 1,551 條有效歷史包含 $m>1000$ ，顯示「出現塔外過程」和「形成跨演算法強合流」是不同性質。

本文證明五種模板的強合流只能落在上述三種家族配置，且任意強合流點都滿足 $m\le2K$ 。對每個進位基底 $q\in\{2,3,5,8,10,12,16\}$ ，同一批 1,547 個整數入射完全不變，但依 $\ell_q(n)$ 投影後，上升、同層和下降的數量不同。以二進位為例，所有強合流點必然具有非零樓層移動，因為每個此類點的結果至少是中間值的兩倍，或至多是其一半。這說明數值合流是一個與編碼無關的關係條件；塔樓上的顯現相位則可能隨編碼而改變。

本文的貢獻是可檢驗的資料結構、精確枚舉、幾項直接可證的有限語法定理，以及可以反向查找中間節點的觀察圖譜；不把常見算術恆等式、視覺效果或有限實驗結果誇大為未知自然定律。

關鍵詞： 全域運算、進位制塔樓、運算歷史、兩步算術、數值合流、強合流、共享中間節點、入射矩陣、關係圖譜、表示不變量、因數篩選、有限域驗證。

1. 問題定位與第六篇的銜接

1.1 為何「答案相同」不足夠

兩條歷史 $H_1,H_2$ 可以滿足：

\operatorname{val}(H_1)=\operatorname{val}(H_2)=z,

卻在不同的中間數值、不同的運算符與不同的演算法深度中完成。若在塔樓上只畫最終數值 $z$ ，所有歷史都被壓縮成同一個節點，因而看不到使用者所關注的運算過程耦合。

第六篇把補償鏡射接到乘法因數條件，例如 $a(b-1)+a=ab$ 。然而，這類關係仍由同一條乘法來源生成。第七篇改用多種明確不同的兩步模板，檢查它們是否在數值中途產生相同的 $m$ ，並在後續抵達相同的 $z$ 。

1.2 三層不同強度的合流

結果合流： 歷史不同，最終數值相等，亦即 $z_1=z_2$ 。
中間值—結果合流： 中間數值及結果都相等，亦即 $(m_1,z_1)=(m_2,z_2)$ 。
事件級合流： 除中間數值與結果之外，第二步的運算種類和運算元也相同。這比純數值合流更強，但不要求前一步相同。

本文主要統計第二層，另以第三層區分「真正共享最後一條運算邊」與「使用不同運算抵達同一個數值」的情況。

術語警告： 本文的「數值合流」是刻意定義的有限運算歷史交會，不自動等同於項重寫理論中具有全稱量詞條件的 confluence / Church–Rosser 性質。後者已有成熟的形式理論，本文不聲稱以有限樣本證明一般重寫系統合流。[參考文獻 1]

2. 有限域、語法與可執行歷史

2.1 整數域與三運算元限制

固定：

N=1000,\qquad K=40,

S_N=\{1,2,\ldots,N\},\qquad A_K=\{2,3,\ldots,K\}.

所有輸入運算元 $a,b,c$ 必須屬於 $A_K$ ，所有最終結果 $z$ 必須屬於 $S_N$ 。中間結果 $m$ 必須為正整數，但可以大於 $N$ 。每條歷史只記錄兩次核心二元運算，不能把任意長公式視為已在本篇窮舉。

$K=40$ 不是數學常數，也不是新發現的自然界尺度；它是為了在 1–1000 中獲得可檢驗的局部運算豐富度、同時保持資料量可控而選定的實驗參數。

2.2 五類兩步歷史

令 $m$ 為第一步輸出。定義：

\begin{aligned} \mathrm{AM}:&\quad m=a+b,\quad z=mc;\\ \mathrm{MA}:&\quad m=ab,\quad z=m+c;\\ \mathrm{MS}:&\quad m=ab,\quad z=m-c;\\ \mathrm{MM}:&\quad m=ab,\quad z=mc;\\ \mathrm{MD}:&\quad m=ab,\quad z=m/c. \end{aligned}

在 MD 中只接受 $c\mid m$ ，使 $z$ 為正整數；在 MS 中只接受 $m-c\ge1$ ；其餘模板亦須滿足 $1\le z\le N$ 。即使代數重排後相等，保留 $a,b,c$ 的角色以及運算符標記，因此 $(a,b,c)$ 和 $(b,a,c)$ 在原始事件層是不同歷史。

當 $m>N$ ，圖上可以把 $m$ 設為塔外虛線節點。但它仍有精確的整數值及合法的第一步運算，並不意味著有一個尚未定義的「外部世界」。

2.3 多重算術入射與兩種投影

令：

H=(F,a,b,c,m,z),\qquad F\in\{\mathrm{AM},\mathrm{MA},\mathrm{MS},\mathrm{MM},\mathrm{MD}\}.

使用完整六元組 $H$ 作為原始歷史識別；它比單純的 $(m,z)$ 保存更多來源資訊。

設：

\mathcal F_{m,z}=\{H:\operatorname{mid}(H)=m,\operatorname{val}(H)=z\}.

如果 $\mathcal F_{m,z}$ 內至少含兩個不同模板種類，便稱 $(m,z)$ 為跨模板強合流點。相同模板中由交換 $a,b$ 產生的多條歷史，不能單獨構成跨模板強合流。

本文對以下三種數量分別計數，絕不互換：

完整歷史數：保留 $F,a,b,c,m,z$ 。
位置入射數：每個不同 $(m,z)$ 只計一次。
強合流入射數：只保留出現至少兩種 $F$ 的 $(m,z)$ 。

3. 算術入射的精確分解：不必從圖形猜測

3.1 定義：同一中間值的加法來源與乘法來源

令：

A_K(m)=\#\{(a,b)\in A_K^2:a+b=m\},

P_K(m)=\#\{(a,b)\in A_K^2:ab=m\}.

這兩個來源數保留順序。例如 $(3,9)$ 與 $(9,3)$ 是兩筆乘法來源。對加法來源，可直接用整數上下界計數：

A_K(m)=\max\left(0,\min(K,m-2)-\max(2,m-K)+1\right).

對乘法來源：

P_K(m)=\sum_{a=2}^{K}\mathbf 1\!\left[a\mid m\;\land\;2\le\frac ma\le K\right].

這些是普通加法分拆及整數因數篩選，不涉及任何未證的數論假說。

3.2 定理 3.1：五類模板的入射乘法分解

令 $h_F(m,z)$ 表示固定模板 $F$ 及固定中間—結果位置 $(m,z)$ 的完整歷史數。只在 $1\le z\le N$ 的位置考慮。則：

\begin{aligned} h_{\mathrm{AM}}(m,z)&=A_K(m)\mathbf1[z/m\in A_K],\\ h_{\mathrm{MA}}(m,z)&=P_K(m)\mathbf1[z-m\in A_K],\\ h_{\mathrm{MS}}(m,z)&=P_K(m)\mathbf1[m-z\in A_K],\\ h_{\mathrm{MM}}(m,z)&=P_K(m)\mathbf1[z/m\in A_K],\\ h_{\mathrm{MD}}(m,z)&=P_K(m)\mathbf1[m/z\in A_K]. \end{aligned}

在此記號中， $z/m\in A_K$ 或 $m/z\in A_K$ 表示商恰為整數並且位於 $\{2,\ldots,K\}$ 。因 $m,z>0$ ，不會出現除以零。

證明。 固定 $(m,z)$ 後，對 AM 的第一步有 $A_K(m)$ 種有序來源；由 $z=mc$ ，合法的 $c$ 若存在則唯一，故乘上一個指示量。MM 的第二步相同，但第一步由 $P_K(m)$ 個來源產生。MA 和 MS 的 $c$ 分別唯一由 $z-m$ 與 $m-z$ 決定。MD 則唯一由 $m/z$ 決定，且必須精確整除。每種來源都產生一筆合法且不同的有序歷史，因此公式成立。證畢。

推論 3.1.1。 如果先建立 $A_K(m)$ 、 $P_K(m)$ ，再按第二步的合法範圍掃描，就能取得完整的家族標記入射矩陣，不必保存每條歷史後才開始判定。反之，若需追溯實際輸入順序，仍應保存原始六元組。

推論 3.1.2。 對所有模板加總：

\#\mathcal H=\sum_{F,m,z}h_F(m,z),

而：

\#\mathcal B=\sum_{m,z}\mathbf1\!\left[\#\{F:h_F(m,z)>0\}\ge2\right]

計數跨模板強合流點集合 $\mathcal B$ 。這兩個和式不是同一種統計量。

3.3 強合流條件比「答案一致」嚴格

若只固定 $z$ ，常有許多來自不同模板及不同 $m$ 的歷史。要求相同的 $(m,z)$ 後，部分看似相近的演算法關係會直接消失。入射分解恰能測出這個條件帶來的篩選，不依賴圖片是否置中、連線是否交錯。

4. 三項強合流結構定理

4.1 定理 4.1：強合流家族的完整分類

定理。 對本文五種模板與 $a,b,c\in A_K$ ，不同模板在同一 $(m,z)$ 形成強合流時，其模板集合只能是以下三種之一：

\{\mathrm{AM},\mathrm{MM}\},

\{\mathrm{AM},\mathrm{MA},\mathrm{MM}\},

\{\mathrm{MS},\mathrm{MD}\}.

證明。 因所有 $c\ge2$ ，AM、MA、MM 的第二步使結果嚴格增加，即 $z>m$ ；MS、MD 的第二步使結果嚴格減少，即 $z<m$ 。兩種方向不可能在相同 $(m,z)$ 交會。因此只須分析增長組與下降組。

增長組的 AM、MM 都要求 $z/m\in A_K$ ；兩者分別以 $A_K(m)$ 和 $P_K(m)$ 產生第一步來源。若 MA 與 AM 同時成立，則 $P_K(m)>0$ 、 $A_K(m)>0$ ，而 AM 已保證第二步可以乘 $z/m$ ，於是 MM 也成立；因此不存在只有 AM+MA 的強合流。

若 MA 與 MM 同時成立，寫 $z=mr=m+s$ ，其中 $r,s\in A_K$ 。所以 $s=m(r-1)$ ，由 $s\le K$ 且 $r\ge2$ 得 $m\le K$ 。又 $P_K(m)>0$ 保證 $m\ge4$ ，故 $m=2+(m-2)$ ，兩個加數皆位於 $A_K$ ，得到 $A_K(m)>0$ ；因此 AM 也成立。不存在只有 MA+MM 的強合流。其餘增長組只有 AM+MM 或三重合流。

下降組只有 MS 與 MD，因此若有跨模板強合流必同時包含這兩者。證畢。

這項分類不是預測任何更廣泛語法的普適定理；若增加另一個運算模板，類別集合可能立刻改變。

4.2 定理 4.2：所有強合流中間值皆不超過 $2K$

定理。 在本文五類模板中，對所有 $(m,z)\in\mathcal B$ ，有：

4\le m\le2K.

證明。 依定理 4.1 分類。

若屬 AM+MM 或三重合流，存在 $m=a+b$ ，而 $2\le a,b\le K$ ，因此 $4\le m\le2K$ 。

若屬 MS+MD，寫 $m-z=s$ 與 $m=zd$ ，其中 $s,d\in A_K$ 。由 $d\ge2$ 可得 $z\le m-z=s\le K$ ；所以 $m=z+s\le2K$ 。此外，兩者的第一步為 $ab$ ，因此 $m\ge4$ 。證畢。

推論。 如果觀察上限滿足 $N\ge2K$ ，任何跨模板強合流的中間值都不會超過塔樓界線，縱使原始語法允許其他歷史先進入塔外再返回。

本篇的 $N=1000$ 、 $K=40$ 滿足 $1000\ge80$ 。因此全域枚舉發現的外部歷史與強合流區域分離，並非偶然的繪圖效果，而是這套有限語法的必然結果。

4.3 定理 4.3：二進位強合流無同層現象

定義任何正整數 $n$ 的基底 $q$ 樓層：

\ell_q(n)=\lfloor\log_q n\rfloor.

在實作時以整數除法決定 $\ell_q$ ，避免浮點邊界問題。

定理。 對本篇每個強合流點 $(m,z)$ ，二進位皆滿足：

\ell_2(m)\ne\ell_2(z).

證明。 若點屬增長組，第二步是 $z=mc$ ，其中 $c\ge2$ ，所以 $z\ge2m$ ；二進位樓層至少增加一。若屬下降組，點必同時屬 MD，因此 $m=zc$ 且 $c\ge2$ ，所以 $m\ge2z$ ；二進位樓層至少下降一。證畢。

對三進位或更高基底，倍乘 2 並不必然跨越位階，例如 $m=4,z=8$ 在十進位同屬一位數量級；故本定理不可直接把「二進位」任意替換成其他基底。

5. 1–1000 完整實驗及獨立交叉驗證

5.1 計數約定與程式

每一類模板均枚舉全部 $39^3=59,319$ 組有序輸入候選，再依結果、整除、正值條件篩選。這與只觀察少數好看的算式不同；所有合法事件都納入。

使用兩條互不依賴的計數路徑：

直接枚舉： 對每個 $(a,b,c)$ 真的計算第一步與第二步，保存合法歷史。
入射分解： 只先計算各個 $m$ 的 $A_K(m)$ 、 $P_K(m)$ ，再由定理 3.1 對每個 $(m,z,F)$ 推出歷史數。

程式強制比對兩種方式得到的每個家族標記入射權重，差一筆即終止，不只比對總數。

5.2 五類歷史總量

模板	運算順序	合法有序歷史
AM	$a+b\to m;\ mc\to z$	37,223
MA	$ab\to m;\ m+c\to z$	53,255
MS	$ab\to m;\ m-c\to z$	52,810
MM	$ab\to m;\ mc\to z$	7,302
MD	$ab\to m;\ m/c\to z$	10,992
總計	五類兩步語法	161,582

共觀察到 40,111 個不同的 (模板, m, z) 入射標記位置；若消去模板標記，只看數值上的 (m,z)，則是 38,506 個位置。

5.3 從結果合流到強合流

條件	數量	對應意義
結果至少由兩種模板生成	1,000 個結果	只問是否得到同一 $z$
存在至少兩種模板共用 $(m,z)$	1,547 個位置	同時共享中間值與結果
至少有一個強合流位置的結果	401 個結果	共享中間值並非每個結果都有
AM+MM（恰兩類）	1,344 個位置	不同第一步，共享後續乘法
AM+MA+MM（三類）	58 個位置	三種模板在同一入射位置重合
MS+MD（恰兩類）	145 個位置	同一乘法前綴，可用減法或精確除法抵達同一結果
強合流位置合計	1,547	互斥類型總和

在本篇 $K=40$ 的密集模板中，1–1000 的每個最終結果都至少可由兩種模板生成；這是固定範圍內的實測覆蓋性，不是對一般 $K,N$ 的定理。要求同一個 $m$ 後，只有 401 個結果仍具有跨模板交會。因此單純的「答案來源很多」遠比「真正共享中間數值」弱。

比率 $1547/38506\approx0.04018$ 只能解讀為此實驗入射位置中約 4.02% 是跨模板強合流，不能被直接解讀為統計顯著性或自然界中的普適常數。

5.4 全域交會位置的圖式

Cross-family confluence scatter

圖 1。 橫軸為終點 $z$ ，縱軸為同時被多種模板共享的中間值 $m$ 。圖中每個點都由 paper07_bridge_incidence.csv 精確產生；三種模板家族以不同顏色區分。所有 1,547 個點都位於 $4\le m\le80$ 。特別圈出 $(27,891)$ 與 $(33,891)$ 。

這張圖顯示的是經過運算約束篩選後的有限關係幾何，並非在普通二維空間中發現了新的物理作用線。

6. 回到原始案例：891 為什麼不是單一算式

6.1 兩種先行運算在 27 合流

考慮：

(2+25)\times33=27\times33=891,

(3\times9)\times33=27\times33=891.

第一條屬 AM，第二條屬 MM。兩者的第一步運算種類不同，但中間數值同為 $27$ ，後續完全共享乘 $33$ 的數值作用。所以 $(m,z)=(27,891)$ 是一個嚴格的跨模板合流點。

其實還有：

(2+31)\times27=33\times27=891,

(3\times11)\times27=33\times27=891.

這在 $(m,z)=(33,891)$ 產生第二個交會點。

6.2 同結果，卻不共享中間位置

以下也都在限定運算元集合中：

(29\times30)+21=870+21=891,

(30\times30)-9=900-9=891.

它們分別屬 MA 與 MS，最終答案相同，卻沒有共享 $m=27$ 或 $m=33$ 。因此應畫成不同來源纖維合流到共同結果，不得把它們誤計為上述兩個強合流點。

在本實驗中，891 共對應 118 條有序歷史，分配為 AM 54、MA 24、MS 25、MM 15、MD 0。這些歷史經過 27 個不同的中間數值，最後才抵達 891；其中嚴格的跨模板同中間值交會位置恰為 27 和 33。

Selected paths ending at 891

圖 2。 圖中只展示六條合法見證，而非全部 118 條歷史。可以看出「同結果」與「同中間值加同結果」之間的差別。圖片本身是閱讀介面，實際歷史以 CSV 六元組為準。

6.3 三重合流的最小直觀例子

考慮 $m=4,z=8$ ：

(2+2)\times2=8,

(2\times2)\times2=8,

(2\times2)+4=8.

這三條歷史的第一步與第二步組合不完全相同，但共用 $m=4,z=8$ 。此例明確說明：共享數值節點不必然代表共享相同的運算事件。真正的原始資料必須同時保留「節點」和「邊標記」。

7. 塔外歷史與跨演算法強合流的分離

7.1 全部外部歷史

由第一步可得 AM 的 $m=a+b\le80$ ；對另外四類 $m=ab\le1600$ 。若 $m>1000$ ，且結果 $z\le1000$ ，第二步不可能是嚴格增長的 AM、MA 或 MM，故只可能來自 MS 或 MD。

完整枚舉結果：

外部歷史來源	$m>1000$ 的合法歷史
MS	309
MD	1,242
合計	1,551

外部歷史涉及 74 個不同的中間整數，最大中間值為 1600。但它們沒有任何一個構成跨模板強合流入射，因為定理 4.2 已經確立強合流的 $m\le80$ 。

7.2 不能把「外部」當成隱藏新關係的證據

即使中間狀態超出塔樓，它仍然由指定的加、乘、減、除規則唯一算得。是否需要畫虛線，是資料視覺化的選擇；是否存在外部中間值，是數值約束的結果；是否具有共享中間值的合流，是第三個可獨立檢驗的命題。

這三件事在本篇中並未被混為一談。外部歷史有 1,551 條，強合流卻全部在內部，正是這種分離的具體實證。

8. 跨進位觀察：哪些不變，哪些改變

8.1 底層入射矩陣的不變性

對每個整數基底 $q\ge2$ ，令 $R_q(n)$ 為正整數 $n$ 的標準 $q$ 進位字串。不同基底下，同一個正整數具有不同字串，但標準編碼可以唯一還原數值。

若運算歷史按精確正整數值儲存，再於顯示時應用 $R_q$ ，則：

H\longmapsto R_q(H)

不會改變六元組中各數字相等與否、其運算式是否成立，以及哪些歷史具有相同的 $(m,z)$ 。因此在改變基底但不改變底層數值與運算語法的條件下，以下量完全保持：

|\mathcal H|,\quad \#\{(m,z)\},\quad |\mathcal B|,\quad \#\{z:\exists m,(m,z)\in\mathcal B\}.

這是由數值編碼的一一性和資料結構保真直接得出的表示不變性，不是神祕的跨進位守恆律。

8.2 樓層投影會改變相位

令：

\Delta_q(m,z)=\ell_q(z)-\ell_q(m).

正值表示結果在較高樓層，零表示同層，負值表示下降。注意：這是數量級樓層變化，不等同於直式乘法的逐位數位進位次數。後者需要另存數位卷積與 carry state，不能由 $\Delta_q$ 直接推得。

對固定的 1,547 個強合流點，得到：

基底 $q$	上升	同層	下降	合計
2	1,402	0	145	1,547
3	1,387	36	124	1,547
5	1,347	87	113	1,547
8	1,288	166	93	1,547
10	1,328	131	88	1,547
12	1,275	180	92	1,547
16	1,160	296	91	1,547

Radix signatures

圖 3。 不同基底使用相同強合流入射集合，唯一改變的是樓層函數 $\ell_q$ 。二進位「同層為零」來自定理 4.3；其他基底的同層數量是由此特定資料域與運算語法計算而得，不能外推為一般定理。

8.3 同一個 891 的兩個合流點也會分化

基底 $q$	$\ell_q(27)$	$\ell_q(33)$	$\ell_q(891)$	兩條樓層增量
2	4	5	9	5、4
3	3	3	6	3、3
5	2	2	4	2、2
8	1	1	3	2、2
10	1	1	2	1、1
12	1	1	2	1、1
16	1	1	2	1、1

在基底 2 中，27 和 33 不位於同一樓層；在十進位中，兩者位於同一樓層。然而 $(27,891)$ 和 $(33,891)$ 仍是兩個不同的數值入射位置，不會因樓層相同而被合併。

這正說明塔樓置中與進位觀察的用途：它可以顯現某些跨層變化，也可能把不同的精確數值壓縮到同一層；因此圖式必須保留精確的原始節點識別，不能拿樓層座標取代數字。

9. 參數敏感度與判別界線

除了主要實驗 $N=1000,K=40$ ，使用相同語法及相同的觀察上限 $N=1000$ ，另外檢查較小運算元範圍：

$K$	完整歷史數	強合流入射數	多模板結果數	外部歷史數
12	5,729	183	168	0
20	25,971	570	470	0
40	161,582	1,547	1,000	1,551

這張表指出：可見的交會密度強烈依賴語法與輸入範圍。因此不應把某一次實驗看到的點數、密度或圖形當成與參數無關的「全域數學常數」。定理 4.2 的上界 $m\le2K$ 則是一條真正可跨這三個實驗重用的形式結論。

本篇還保留五項研究防錯界線：

不把有限集合枚舉稱為「所有演算法」或「所有實數」的證明。
不把兩個不同演算法恰得相同答案，直接認定為特殊的強耦合；必須檢查共同中間值與事件標記。
不把視覺置中、線條交叉或顏色對稱視為數值本身的不變性。
不把塔樓的數量級升降誤稱成所有底層數位進位或借位過程。
不把帶有前後次序的算術運算歷史直接等同於物理世界的因果、力學作用或反作用。

9.1 與既有計算理論的概念分界

運算事件可組成有向無環計算圖，是計算機科學已熟悉的表示方式；項重寫理論也已研究合流及終止等性質。[參考文獻 1–2] 本文並不宣稱發明有向圖、算術電路或重寫合流，而是選擇有限數值域、固定運算語法、保留具體中間數值的多重入射和跨進位塔樓投影作為研究方法，把上述性質整合成可公開驗證的實驗資料。

本文也不把「不同演算法」當成某個模型在自然環境下實際選擇的策略；這裡的演算法是形式化的固定算術模板，執行歷史則是由程式依輸入資料逐項生成。

10. 實驗材料、原始資料與再現方式

10.1 資料格式

完整歷史 paper07_all_histories.csv 的欄位如下：

family,a,b,c,intermediate_m,result_z,intermediate_outside_N
AM,2,25,33,27,891,0

每一列都能由其三個運算元重新計算驗證；資料不依賴任何畫面中的節點順序。若在不同進位制下顯示，請保留 intermediate_m、result_z 的十進位整數值作為 canonical identifier，進位字串只應另設顯示欄。

交會表 paper07_bridge_incidence.csv 保存每個 $(m,z)$ 、模板集合及每個模板的歷史計數；paper07_centers_1_to_1000.csv 保存各最終結果的來源度數、模板數、中間數值種類及強合流位置數。paper07_cross_radix.csv 保存七個基底的樓層升降統計。

10.2 驗證步驟

不需網路或第三方 Python 函式庫即可生成數據：

python verify_paper07.py

可選擇使用 Matplotlib 從 CSV 製作圖表：

python make_figures.py

驗證程式採兩條不同的計算路徑：直接三元組枚舉，以及先形成 $A_K,P_K$ 再進行入射因式分解。只有各個 (模板, m, z) 的歷史數逐一吻合，才會報告成功。所有樓層以整數除法計算，所有數值採 Python 任意精度整數計算，未利用浮點近似來判定等式。

10.3 原始材料清單

verify_paper07.py：可重現的核心枚舉、定理條件檢驗及統計輸出。
paper07_all_histories.csv：全部 161,582 條合法六元組歷史。
paper07_bridge_incidence.csv：1,547 個跨模板強合流數值入射及各模板的多重權重。
paper07_centers_1_to_1000.csv：1–1000 每個結果的入射度數資料。
paper07_cross_radix.csv：七種基底下的樓層投影統計。
paper07_891_paths.csv：891 個案的全部 118 條合法歷史。
paper07_sensitivity.json： $K=12,20,40$ 三組完整對照。
paper07_stats.json：正式機器可讀摘要。
figures/：三張由資料生成的 PNG 圖，以及對應的可縮放 SVG 圖。
SHA256_MANIFEST.json：發行套件中的內容雜湊清單。

11. 結論：從運算答案走向可重建的關係拓撲

本篇將「全域運算」的研究焦點由單一結果節點轉移到保留兩步運算語法、來源多重性與共享中間狀態的有限關係圖譜。在 $N=1000,K=40$ 的清楚語法範圍內，我們得到三個可以直接檢驗的結論：

第一，161,582 條原始運算歷史經過值投影後，只留下 38,506 組不同的 $(m,z)$ 數值入射，其中 1,547 組具有跨模板共享中間值的強合流；保留或丟棄歷史標記會產生不同的研究對象。

第二，強合流不是任意在塔樓畫出交叉線就能獲得的性質。其合法家族由運算方向、加法分拆、乘法因數與精確整除條件共同決定，必然限於三種模板組合，且 $4\le m\le2K$ ；在本篇中，所有強合流都位於 80 以下，即使另有 1,551 條塔外運算歷史。

第三，底層的 1,547 個強合流位置及其家族標記不受進位制改變；但將它們投影到二、三、五、八、十、十二、十六進位的數量級塔樓後，升降與同層的分布確實不同。因而可以清楚區分算術關係的不變性與數字表示的可變幾何。

這些結果均屬於在明確語法中能被證明或窮舉驗證的初等結構，不暗示所有實數必然具有唯一或可視化的有限軌跡，更不足以單獨確認超越既有代數的新自然定律。

本篇的核心結語：同一個答案可以隱藏無數種運算來源；但一旦把中間狀態與作用種類也保留下來，哪些歷史真正交會、哪些只是最後相遇，就能由關係本身判定，而不再由圖像的直覺決定。

參考文獻

Baader, Franz, and Tobias Nipkow. Term Rewriting and All That. Cambridge University Press, 1998，特別是第 6 章「Confluence」。出版社 DOI：https://doi.org/10.1017/CBO9781139172752.007 。用於區分嚴格的項重寫合流與本文操作性定義的有限數值合流。
Shpilka, Amir, and Amir Yehudayoff. “Arithmetic Circuits: A Survey of Recent Results and Open Questions.” Foundations and Trends in Theoretical Computer Science 5(3–4), 207–388, 2010. DOI：https://doi.org/10.1561/0400000039 。算術電路可作為帶有加、乘閘的有向無環計算圖；本文借用既有術語，不以其為新發明。
EveMissLab，「進位制塔樓與全域運算關係幾何」系列第一至第六篇，2026-11-03 至 2026-11-04，現有研究原始文稿。

End of Paper VII (v0.1).

進位制塔樓與全域運算關係幾何（第七篇）

進位制塔樓與全域運算關係幾何（第七篇）

跨演算法數值合流、共享中間節點、算術入射分解與塔樓觀察不變量

摘要

1. 問題定位與第六篇的銜接

1.1 為何「答案相同」不足夠

1.2 三層不同強度的合流

2. 有限域、語法與可執行歷史

2.1 整數域與三運算元限制

2.2 五類兩步歷史

2.3 多重算術入射與兩種投影

3. 算術入射的精確分解：不必從圖形猜測

3.1 定義：同一中間值的加法來源與乘法來源

3.2 定理 3.1：五類模板的入射乘法分解

3.3 強合流條件比「答案一致」嚴格

4. 三項強合流結構定理

4.1 定理 4.1：強合流家族的完整分類

4.2 定理 4.2：所有強合流中間值皆不超過 2K2K2K

4.3 定理 4.3：二進位強合流無同層現象

5. 1–1000 完整實驗及獨立交叉驗證

5.1 計數約定與程式

5.2 五類歷史總量

5.3 從結果合流到強合流

5.4 全域交會位置的圖式

6. 回到原始案例：891 為什麼不是單一算式

6.1 兩種先行運算在 27 合流

6.2 同結果，卻不共享中間位置

6.3 三重合流的最小直觀例子

7. 塔外歷史與跨演算法強合流的分離

7.1 全部外部歷史

7.2 不能把「外部」當成隱藏新關係的證據

8. 跨進位觀察：哪些不變，哪些改變

8.1 底層入射矩陣的不變性

8.2 樓層投影會改變相位

8.3 同一個 891 的兩個合流點也會分化

9. 參數敏感度與判別界線

9.1 與既有計算理論的概念分界

10. 實驗材料、原始資料與再現方式

10.1 資料格式

10.2 驗證步驟

10.3 原始材料清單

11. 結論：從運算答案走向可重建的關係拓撲

參考文獻

4.2 定理 4.2：所有強合流中間值皆不超過 $2K$