# 進位制塔樓與全域運算關係幾何（第七篇）

## 跨演算法數值合流、共享中間節點、算術入射分解與塔樓觀察不變量

**英文題名：** *Radix Towers and Global Operational Relation Geometry VII: Cross-Algorithm Numeric Confluence, Shared Intermediate States, Arithmetic Incidence Factorization, and Tower-Observation Invariants*  
**版本：** v0.1（有限域全枚舉、初等定理、實證可重現稿）  
**日期：** 2026-11-04  
**研究系列：** EveMissLab／進位制塔樓與全域運算關係幾何  
**研究構想：** Neo.K；形式化與計算驗證：AI 輔助協作  
**先行文件：** `EveMissLab_Radix_Tower_Global_Operational_Geometry_01_v0.1.md` 至 `..._06_v0.1.md`  
**資料與程式：** `verify_paper07.py`、`make_figures.py`、`paper07_stats.json`、CSV 與圖形檔  
**正式原稿：** 原始 UTF-8 Markdown；數學公式僅使用 ` $...$ ` 和 `$$...$$`  
**證據層級：** 精確的有限域實驗與由既有算術規則導出的初等命題；不宣稱建立新的普適數論定理或物理因果律

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**作者：** Neo.K；形式化與計算驗證：AI 輔助協作  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  

## 摘要

本系列前六篇已區分算術數值、運算事件、有限計算歷史、進位數量級、塔外折返及代數補償對偶。第七篇處理更接近原始構想的問題：**不同演算法不只可能得到相同答案，也可能在相同中間數值再次交會；這種交會在不同進位制下應如何觀察、如何計數、如何與畫面造成的對稱區分？**

本文固定正整數觀察域 $S_{1000}=\{1,\ldots,1000\}$，限制三個輸入運算元 $a,b,c\in\{2,\ldots,40\}$，定義五種可窮舉的兩步算術模板：先加後乘（AM）、先乘後加（MA）、先乘後減（MS）、連續兩次乘法（MM）、先乘後精確除法（MD）。每條運算歷史同時保存模板、三個有序輸入、中間數值 $m$ 、結果 $z$ 與是否超出塔樓。**這不是全部可能演算法，也不是所有實數的枚舉；它是一個有清楚邊界的可驗證模型。**

獨立的逐三元組枚舉與按中間數值因式分解的入射計數完全相符。得到 **161,582** 條保留輸入角色的歷史、**38,506** 組不同的 $(m,z)$ 數值入射、**1,547** 組至少由兩種運算模板共同實現的強合流入射。其中 **1,344** 組屬於 AM+MM，**58** 組屬於 AM+MA+MM 三重合流，**145** 組屬於 MS+MD。**全部強合流的中間數值都落在 $4\le m\le80$**；另一方面，仍有 **1,551** 條有效歷史包含 $m>1000$，顯示「出現塔外過程」和「形成跨演算法強合流」是不同性質。

本文證明五種模板的強合流只能落在上述三種家族配置，且任意強合流點都滿足 $m\le2K$。對每個進位基底 $q\in\{2,3,5,8,10,12,16\}$，同一批 1,547 個整數入射完全不變，但依 $\ell_q(n)$ 投影後，上升、同層和下降的數量不同。以二進位為例，所有強合流點必然具有非零樓層移動，因為每個此類點的結果至少是中間值的兩倍，或至多是其一半。這說明**數值合流是一個與編碼無關的關係條件；塔樓上的顯現相位則可能隨編碼而改變**。

本文的貢獻是可檢驗的資料結構、精確枚舉、幾項直接可證的有限語法定理，以及可以反向查找中間節點的觀察圖譜；不把常見算術恆等式、視覺效果或有限實驗結果誇大為未知自然定律。

**關鍵詞：** 全域運算、進位制塔樓、運算歷史、兩步算術、數值合流、強合流、共享中間節點、入射矩陣、關係圖譜、表示不變量、因數篩選、有限域驗證。

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## 1. 問題定位與第六篇的銜接

### 1.1 為何「答案相同」不足夠

兩條歷史 $H_1,H_2$ 可以滿足：

$$
\operatorname{val}(H_1)=\operatorname{val}(H_2)=z,
$$

卻在不同的中間數值、不同的運算符與不同的演算法深度中完成。若在塔樓上只畫最終數值 $z$，所有歷史都被壓縮成同一個節點，因而看不到使用者所關注的運算過程耦合。

第六篇把補償鏡射接到乘法因數條件，例如 $a(b-1)+a=ab$。然而，這類關係仍由同一條乘法來源生成。第七篇改用**多種明確不同的兩步模板**，檢查它們是否在數值中途產生相同的 $m$，並在後續抵達相同的 $z$。

### 1.2 三層不同強度的合流

- **結果合流：** 歷史不同，最終數值相等，亦即 $z_1=z_2$。
- **中間值—結果合流：** 中間數值及結果都相等，亦即 $(m_1,z_1)=(m_2,z_2)$。
- **事件級合流：** 除中間數值與結果之外，第二步的運算種類和運算元也相同。這比純數值合流更強，但不要求前一步相同。

本文主要統計第二層，另以第三層區分「真正共享最後一條運算邊」與「使用不同運算抵達同一個數值」的情況。

**術語警告：** 本文的「數值合流」是刻意定義的有限運算歷史交會，不自動等同於項重寫理論中具有全稱量詞條件的 *confluence / Church–Rosser* 性質。後者已有成熟的形式理論，本文不聲稱以有限樣本證明一般重寫系統合流。[參考文獻 1]

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## 2. 有限域、語法與可執行歷史

### 2.1 整數域與三運算元限制

固定：

$$
N=1000,\qquad K=40,
$$

$$
S_N=\{1,2,\ldots,N\},\qquad A_K=\{2,3,\ldots,K\}.
$$

所有**輸入運算元** $a,b,c$ 必須屬於 $A_K$，所有**最終結果** $z$ 必須屬於 $S_N$。中間結果 $m$ 必須為正整數，但可以大於 $N$。每條歷史只記錄兩次核心二元運算，不能把任意長公式視為已在本篇窮舉。

 $K=40$ 不是數學常數，也不是新發現的自然界尺度；它是為了在 1–1000 中獲得可檢驗的局部運算豐富度、同時保持資料量可控而選定的實驗參數。

### 2.2 五類兩步歷史

令 $m$ 為第一步輸出。定義：

$$
\begin{aligned}
\mathrm{AM}:&\quad m=a+b,\quad z=mc;\\
\mathrm{MA}:&\quad m=ab,\quad z=m+c;\\
\mathrm{MS}:&\quad m=ab,\quad z=m-c;\\
\mathrm{MM}:&\quad m=ab,\quad z=mc;\\
\mathrm{MD}:&\quad m=ab,\quad z=m/c.
\end{aligned}
$$

在 MD 中只接受 $c\mid m$，使 $z$ 為正整數；在 MS 中只接受 $m-c\ge1$ ；其餘模板亦須滿足 $1\le z\le N$。即使代數重排後相等，保留 $a,b,c$ 的角色以及運算符標記，因此 $(a,b,c)$ 和 $(b,a,c)$ 在原始事件層是不同歷史。

當 $m>N$，圖上可以把 $m$ 設為**塔外虛線節點**。但它仍有精確的整數值及合法的第一步運算，並不意味著有一個尚未定義的「外部世界」。

### 2.3 多重算術入射與兩種投影

令：

$$
H=(F,a,b,c,m,z),\qquad F\in\{\mathrm{AM},\mathrm{MA},\mathrm{MS},\mathrm{MM},\mathrm{MD}\}.
$$

使用完整六元組 $H$ 作為原始歷史識別；它比單純的 $(m,z)$ 保存更多來源資訊。

設：

$$
\mathcal F_{m,z}=\{H:\operatorname{mid}(H)=m,\operatorname{val}(H)=z\}.
$$

如果 $\mathcal F_{m,z}$ 內至少含兩個**不同模板種類**，便稱 $(m,z)$ 為**跨模板強合流點**。相同模板中由交換 $a,b$ 產生的多條歷史，不能單獨構成跨模板強合流。

本文對以下三種數量分別計數，絕不互換：

1. 完整歷史數：保留 $F,a,b,c,m,z$。
2. 位置入射數：每個不同 $(m,z)$ 只計一次。
3. 強合流入射數：只保留出現至少兩種 $F$ 的 $(m,z)$。

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## 3. 算術入射的精確分解：不必從圖形猜測

### 3.1 定義：同一中間值的加法來源與乘法來源

令：

$$
A_K(m)=\#\{(a,b)\in A_K^2:a+b=m\},
$$

$$
P_K(m)=\#\{(a,b)\in A_K^2:ab=m\}.
$$

這兩個來源數保留順序。例如 $(3,9)$ 與 $(9,3)$ 是兩筆乘法來源。對加法來源，可直接用整數上下界計數：

$$
A_K(m)=\max\left(0,\min(K,m-2)-\max(2,m-K)+1\right).
$$

對乘法來源：

$$
P_K(m)=\sum_{a=2}^{K}\mathbf 1\!\left[a\mid m\;\land\;2\le\frac ma\le K\right].
$$

這些是普通加法分拆及整數因數篩選，不涉及任何未證的數論假說。

### 3.2 定理 3.1：五類模板的入射乘法分解

令 $h_F(m,z)$ 表示固定模板 $F$ 及固定中間—結果位置 $(m,z)$ 的完整歷史數。只在 $1\le z\le N$ 的位置考慮。則：

$$
\begin{aligned}
h_{\mathrm{AM}}(m,z)&=A_K(m)\mathbf1[z/m\in A_K],\\
h_{\mathrm{MA}}(m,z)&=P_K(m)\mathbf1[z-m\in A_K],\\
h_{\mathrm{MS}}(m,z)&=P_K(m)\mathbf1[m-z\in A_K],\\
h_{\mathrm{MM}}(m,z)&=P_K(m)\mathbf1[z/m\in A_K],\\
h_{\mathrm{MD}}(m,z)&=P_K(m)\mathbf1[m/z\in A_K].
\end{aligned}
$$

在此記號中， $z/m\in A_K$ 或 $m/z\in A_K$ 表示**商恰為整數並且位於 $\{2,\ldots,K\}$**。因 $m,z>0$，不會出現除以零。

**證明。** 固定 $(m,z)$ 後，對 AM 的第一步有 $A_K(m)$ 種有序來源；由 $z=mc$，合法的 $c$ 若存在則唯一，故乘上一個指示量。MM 的第二步相同，但第一步由 $P_K(m)$ 個來源產生。MA 和 MS 的 $c$ 分別唯一由 $z-m$ 與 $m-z$ 決定。MD 則唯一由 $m/z$ 決定，且必須精確整除。每種來源都產生一筆合法且不同的有序歷史，因此公式成立。證畢。

**推論 3.1.1。** 如果先建立 $A_K(m)$ 、 $P_K(m)$，再按第二步的合法範圍掃描，就能取得完整的家族標記入射矩陣，不必保存每條歷史後才開始判定。反之，若需追溯實際輸入順序，仍應保存原始六元組。

**推論 3.1.2。** 對所有模板加總：

$$
\#\mathcal H=\sum_{F,m,z}h_F(m,z),
$$

而：

$$
\#\mathcal B=\sum_{m,z}\mathbf1\!\left[\#\{F:h_F(m,z)>0\}\ge2\right]
$$

計數跨模板強合流點集合 $\mathcal B$。這兩個和式不是同一種統計量。

### 3.3 強合流條件比「答案一致」嚴格

若只固定 $z$，常有許多來自不同模板及不同 $m$ 的歷史。要求相同的 $(m,z)$ 後，部分看似相近的演算法關係會直接消失。入射分解恰能測出這個條件帶來的篩選，不依賴圖片是否置中、連線是否交錯。

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## 4. 三項強合流結構定理

### 4.1 定理 4.1：強合流家族的完整分類

**定理。** 對本文五種模板與 $a,b,c\in A_K$，不同模板在同一 $(m,z)$ 形成強合流時，其模板集合只能是以下三種之一：

$$
\{\mathrm{AM},\mathrm{MM}\},
$$

$$
\{\mathrm{AM},\mathrm{MA},\mathrm{MM}\},
$$

$$
\{\mathrm{MS},\mathrm{MD}\}.
$$

**證明。** 因所有 $c\ge2$，AM、MA、MM 的第二步使結果嚴格增加，即 $z>m$ ；MS、MD 的第二步使結果嚴格減少，即 $z<m$。兩種方向不可能在相同 $(m,z)$ 交會。因此只須分析增長組與下降組。

增長組的 AM、MM 都要求 $z/m\in A_K$ ；兩者分別以 $A_K(m)$ 和 $P_K(m)$ 產生第一步來源。若 MA 與 AM 同時成立，則 $P_K(m)>0$ 、 $A_K(m)>0$，而 AM 已保證第二步可以乘 $z/m$，於是 MM 也成立；因此不存在只有 AM+MA 的強合流。

若 MA 與 MM 同時成立，寫 $z=mr=m+s$，其中 $r,s\in A_K$。所以 $s=m(r-1)$，由 $s\le K$ 且 $r\ge2$ 得 $m\le K$。又 $P_K(m)>0$ 保證 $m\ge4$，故 $m=2+(m-2)$，兩個加數皆位於 $A_K$，得到 $A_K(m)>0$ ；因此 AM 也成立。不存在只有 MA+MM 的強合流。其餘增長組只有 AM+MM 或三重合流。

下降組只有 MS 與 MD，因此若有跨模板強合流必同時包含這兩者。證畢。

這項分類不是預測任何更廣泛語法的普適定理；若增加另一個運算模板，類別集合可能立刻改變。

### 4.2 定理 4.2：所有強合流中間值皆不超過 $2K$

**定理。** 在本文五類模板中，對所有 $(m,z)\in\mathcal B$，有：

$$
4\le m\le2K.
$$

**證明。** 依定理 4.1 分類。

若屬 AM+MM 或三重合流，存在 $m=a+b$，而 $2\le a,b\le K$，因此 $4\le m\le2K$。

若屬 MS+MD，寫 $m-z=s$ 與 $m=zd$，其中 $s,d\in A_K$。由 $d\ge2$ 可得 $z\le m-z=s\le K$ ；所以 $m=z+s\le2K$。此外，兩者的第一步為 $ab$，因此 $m\ge4$。證畢。

**推論。** 如果觀察上限滿足 $N\ge2K$，任何跨模板強合流的中間值都不會超過塔樓界線，縱使原始語法允許其他歷史先進入塔外再返回。

本篇的 $N=1000$ 、 $K=40$ 滿足 $1000\ge80$。因此全域枚舉發現的外部歷史與強合流區域分離，並非偶然的繪圖效果，而是這套有限語法的必然結果。

### 4.3 定理 4.3：二進位強合流無同層現象

定義任何正整數 $n$ 的基底 $q$ 樓層：

$$
\ell_q(n)=\lfloor\log_q n\rfloor.
$$

在實作時以整數除法決定 $\ell_q$，避免浮點邊界問題。

**定理。** 對本篇每個強合流點 $(m,z)$，二進位皆滿足：

$$
\ell_2(m)\ne\ell_2(z).
$$

**證明。** 若點屬增長組，第二步是 $z=mc$，其中 $c\ge2$，所以 $z\ge2m$ ；二進位樓層至少增加一。若屬下降組，點必同時屬 MD，因此 $m=zc$ 且 $c\ge2$，所以 $m\ge2z$ ；二進位樓層至少下降一。證畢。

對三進位或更高基底，倍乘 2 並不必然跨越位階，例如 $m=4,z=8$ 在十進位同屬一位數量級；故本定理不可直接把「二進位」任意替換成其他基底。

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## 5. 1–1000 完整實驗及獨立交叉驗證

### 5.1 計數約定與程式

每一類模板均枚舉全部 $39^3=59,319$ 組有序輸入候選，再依結果、整除、正值條件篩選。這與只觀察少數好看的算式不同；所有合法事件都納入。

使用兩條互不依賴的計數路徑：

1. **直接枚舉：** 對每個 $(a,b,c)$ 真的計算第一步與第二步，保存合法歷史。
2. **入射分解：** 只先計算各個 $m$ 的 $A_K(m)$ 、 $P_K(m)$，再由定理 3.1 對每個 $(m,z,F)$ 推出歷史數。

程式強制比對兩種方式得到的每個家族標記入射權重，差一筆即終止，不只比對總數。

### 5.2 五類歷史總量

| 模板 | 運算順序 | 合法有序歷史 |
|---|---|---:|
| AM | $a+b\to m;\ mc\to z$ | 37,223 |
| MA | $ab\to m;\ m+c\to z$ | 53,255 |
| MS | $ab\to m;\ m-c\to z$ | 52,810 |
| MM | $ab\to m;\ mc\to z$ | 7,302 |
| MD | $ab\to m;\ m/c\to z$ | 10,992 |
| **總計** | **五類兩步語法** | **161,582** |

共觀察到 40,111 個不同的 `(模板, m, z)` 入射標記位置；若消去模板標記，只看數值上的 `(m,z)`，則是 38,506 個位置。

### 5.3 從結果合流到強合流

| 條件 | 數量 | 對應意義 |
|---|---:|---|
| 結果至少由兩種模板生成 | 1,000 個結果 | 只問是否得到同一 $z$ |
| 存在至少兩種模板共用 $(m,z)$ | 1,547 個位置 | 同時共享中間值與結果 |
| 至少有一個強合流位置的結果 | 401 個結果 | 共享中間值並非每個結果都有 |
| AM+MM（恰兩類） | 1,344 個位置 | 不同第一步，共享後續乘法 |
| AM+MA+MM（三類） | 58 個位置 | 三種模板在同一入射位置重合 |
| MS+MD（恰兩類） | 145 個位置 | 同一乘法前綴，可用減法或精確除法抵達同一結果 |
| 強合流位置合計 | **1,547** | 互斥類型總和 |

在本篇 $K=40$ 的密集模板中，1–1000 的每個最終結果都至少可由兩種模板生成；這是固定範圍內的**實測覆蓋性**，不是對一般 $K,N$ 的定理。要求同一個 $m$ 後，只有 401 個結果仍具有跨模板交會。因此單純的「答案來源很多」遠比「真正共享中間數值」弱。

比率 $1547/38506\approx0.04018$ 只能解讀為此實驗入射位置中約 4.02% 是跨模板強合流，不能被直接解讀為統計顯著性或自然界中的普適常數。

### 5.4 全域交會位置的圖式

![Cross-family confluence scatter](figures/paper07_bridge_landscape.png)

**圖 1。** 橫軸為終點 $z$，縱軸為同時被多種模板共享的中間值 $m$。圖中每個點都由 `paper07_bridge_incidence.csv` 精確產生；三種模板家族以不同顏色區分。所有 1,547 個點都位於 $4\le m\le80$。特別圈出 $(27,891)$ 與 $(33,891)$。

這張圖顯示的是**經過運算約束篩選後的有限關係幾何**，並非在普通二維空間中發現了新的物理作用線。

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## 6. 回到原始案例：891 為什麼不是單一算式

### 6.1 兩種先行運算在 27 合流

考慮：

$$
(2+25)\times33=27\times33=891,
$$

$$
(3\times9)\times33=27\times33=891.
$$

第一條屬 AM，第二條屬 MM。兩者的第一步運算種類不同，但中間數值同為 $27$，後續**完全共享乘 $33$ 的數值作用**。所以 $(m,z)=(27,891)$ 是一個嚴格的跨模板合流點。

其實還有：

$$
(2+31)\times27=33\times27=891,
$$

$$
(3\times11)\times27=33\times27=891.
$$

這在 $(m,z)=(33,891)$ 產生第二個交會點。

### 6.2 同結果，卻不共享中間位置

以下也都在限定運算元集合中：

$$
(29\times30)+21=870+21=891,
$$

$$
(30\times30)-9=900-9=891.
$$

它們分別屬 MA 與 MS，最終答案相同，卻沒有共享 $m=27$ 或 $m=33$。因此應畫成**不同來源纖維合流到共同結果**，不得把它們誤計為上述兩個強合流點。

在本實驗中，891 共對應 **118** 條有序歷史，分配為 AM 54、MA 24、MS 25、MM 15、MD 0。這些歷史經過 **27** 個不同的中間數值，最後才抵達 891；其中嚴格的跨模板同中間值交會位置恰為 **27 和 33**。

![Selected paths ending at 891](figures/paper07_891_confluence.png)

**圖 2。** 圖中只展示六條合法見證，而非全部 118 條歷史。可以看出「同結果」與「同中間值加同結果」之間的差別。圖片本身是閱讀介面，實際歷史以 CSV 六元組為準。

### 6.3 三重合流的最小直觀例子

考慮 $m=4,z=8$：

$$
(2+2)\times2=8,
$$

$$
(2\times2)\times2=8,
$$

$$
(2\times2)+4=8.
$$

這三條歷史的第一步與第二步組合不完全相同，但共用 $m=4,z=8$。此例明確說明：**共享數值節點不必然代表共享相同的運算事件**。真正的原始資料必須同時保留「節點」和「邊標記」。

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## 7. 塔外歷史與跨演算法強合流的分離

### 7.1 全部外部歷史

由第一步可得 AM 的 $m=a+b\le80$ ；對另外四類 $m=ab\le1600$。若 $m>1000$，且結果 $z\le1000$，第二步不可能是嚴格增長的 AM、MA 或 MM，故只可能來自 MS 或 MD。

完整枚舉結果：

| 外部歷史來源 | $m>1000$ 的合法歷史 |
|---|---:|
| MS | 309 |
| MD | 1,242 |
| **合計** | **1,551** |

外部歷史涉及 **74** 個不同的中間整數，最大中間值為 1600。但它們沒有任何一個構成跨模板強合流入射，因為定理 4.2 已經確立強合流的 $m\le80$。

### 7.2 不能把「外部」當成隱藏新關係的證據

即使中間狀態超出塔樓，它仍然由指定的加、乘、減、除規則唯一算得。是否需要畫虛線，是**資料視覺化的選擇**；是否存在外部中間值，是**數值約束的結果**；是否具有共享中間值的合流，是第三個**可獨立檢驗的命題**。

這三件事在本篇中並未被混為一談。外部歷史有 1,551 條，強合流卻全部在內部，正是這種分離的具體實證。

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## 8. 跨進位觀察：哪些不變，哪些改變

### 8.1 底層入射矩陣的不變性

對每個整數基底 $q\ge2$，令 $R_q(n)$ 為正整數 $n$ 的標準 $q$ 進位字串。不同基底下，**同一個正整數**具有不同字串，但標準編碼可以唯一還原數值。

若運算歷史按精確正整數值儲存，再於顯示時應用 $R_q$，則：

$$
H\longmapsto R_q(H)
$$

不會改變六元組中各數字相等與否、其運算式是否成立，以及哪些歷史具有相同的 $(m,z)$。因此在改變基底但**不改變底層數值與運算語法**的條件下，以下量完全保持：

$$
|\mathcal H|,\quad \#\{(m,z)\},\quad |\mathcal B|,\quad
\#\{z:\exists m,(m,z)\in\mathcal B\}.
$$

這是由數值編碼的一一性和資料結構保真直接得出的**表示不變性**，不是神祕的跨進位守恆律。

### 8.2 樓層投影會改變相位

令：

$$
\Delta_q(m,z)=\ell_q(z)-\ell_q(m).
$$

正值表示結果在較高樓層，零表示同層，負值表示下降。注意：這是**數量級樓層變化**，不等同於直式乘法的逐位數位進位次數。後者需要另存數位卷積與 carry state，不能由 $\Delta_q$ 直接推得。

對固定的 1,547 個強合流點，得到：

| 基底 $q$ | 上升 | 同層 | 下降 | 合計 |
|---:|---:|---:|---:|---:|
| 2 | 1,402 | 0 | 145 | 1,547 |
| 3 | 1,387 | 36 | 124 | 1,547 |
| 5 | 1,347 | 87 | 113 | 1,547 |
| 8 | 1,288 | 166 | 93 | 1,547 |
| 10 | 1,328 | 131 | 88 | 1,547 |
| 12 | 1,275 | 180 | 92 | 1,547 |
| 16 | 1,160 | 296 | 91 | 1,547 |

![Radix signatures](figures/paper07_radix_profiles.png)

**圖 3。** 不同基底使用相同強合流入射集合，唯一改變的是樓層函數 $\ell_q$。二進位「同層為零」來自定理 4.3；其他基底的同層數量是由此特定資料域與運算語法計算而得，不能外推為一般定理。

### 8.3 同一個 891 的兩個合流點也會分化

| 基底 $q$ | $\ell_q(27)$ | $\ell_q(33)$ | $\ell_q(891)$ | 兩條樓層增量 |
|---:|---:|---:|---:|---|
| 2 | 4 | 5 | 9 | 5、4 |
| 3 | 3 | 3 | 6 | 3、3 |
| 5 | 2 | 2 | 4 | 2、2 |
| 8 | 1 | 1 | 3 | 2、2 |
| 10 | 1 | 1 | 2 | 1、1 |
| 12 | 1 | 1 | 2 | 1、1 |
| 16 | 1 | 1 | 2 | 1、1 |

在基底 2 中，27 和 33 不位於同一樓層；在十進位中，兩者位於同一樓層。然而 $(27,891)$ 和 $(33,891)$ 仍是**兩個不同的數值入射位置**，不會因樓層相同而被合併。

這正說明塔樓置中與進位觀察的用途：它可以顯現某些跨層變化，也可能把不同的精確數值壓縮到同一層；因此圖式必須保留精確的原始節點識別，不能拿樓層座標取代數字。

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## 9. 參數敏感度與判別界線

除了主要實驗 $N=1000,K=40$，使用相同語法及相同的觀察上限 $N=1000$，另外檢查較小運算元範圍：

| $K$ | 完整歷史數 | 強合流入射數 | 多模板結果數 | 外部歷史數 |
|---:|---:|---:|---:|---:|
| 12 | 5,729 | 183 | 168 | 0 |
| 20 | 25,971 | 570 | 470 | 0 |
| 40 | 161,582 | 1,547 | 1,000 | 1,551 |

這張表指出：**可見的交會密度強烈依賴語法與輸入範圍**。因此不應把某一次實驗看到的點數、密度或圖形當成與參數無關的「全域數學常數」。定理 4.2 的上界 $m\le2K$ 則是一條真正可跨這三個實驗重用的形式結論。

本篇還保留五項研究防錯界線：

1. 不把有限集合枚舉稱為「所有演算法」或「所有實數」的證明。
2. 不把兩個不同演算法恰得相同答案，直接認定為特殊的強耦合；必須檢查共同中間值與事件標記。
3. 不把視覺置中、線條交叉或顏色對稱視為數值本身的不變性。
4. 不把塔樓的數量級升降誤稱成所有底層數位進位或借位過程。
5. 不把帶有前後次序的算術運算歷史直接等同於物理世界的因果、力學作用或反作用。

### 9.1 與既有計算理論的概念分界

運算事件可組成有向無環計算圖，是計算機科學已熟悉的表示方式；項重寫理論也已研究合流及終止等性質。[參考文獻 1–2] 本文並不宣稱發明有向圖、算術電路或重寫合流，而是選擇**有限數值域、固定運算語法、保留具體中間數值的多重入射和跨進位塔樓投影**作為研究方法，把上述性質整合成可公開驗證的實驗資料。

本文也不把「不同演算法」當成某個模型在自然環境下實際選擇的策略；這裡的演算法是**形式化的固定算術模板**，執行歷史則是由程式依輸入資料逐項生成。

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## 10. 實驗材料、原始資料與再現方式

### 10.1 資料格式

完整歷史 `paper07_all_histories.csv` 的欄位如下：

```csv
family,a,b,c,intermediate_m,result_z,intermediate_outside_N
AM,2,25,33,27,891,0
```

每一列都能由其三個運算元重新計算驗證；資料不依賴任何畫面中的節點順序。若在不同進位制下顯示，請保留 `intermediate_m`、`result_z` 的十進位整數值作為 canonical identifier，進位字串只應另設顯示欄。

交會表 `paper07_bridge_incidence.csv` 保存每個 $(m,z)$ 、模板集合及每個模板的歷史計數；`paper07_centers_1_to_1000.csv` 保存各最終結果的來源度數、模板數、中間數值種類及強合流位置數。`paper07_cross_radix.csv` 保存七個基底的樓層升降統計。

### 10.2 驗證步驟

不需網路或第三方 Python 函式庫即可生成數據：

```bash
python verify_paper07.py
```

可選擇使用 Matplotlib 從 CSV 製作圖表：

```bash
python make_figures.py
```

驗證程式採兩條不同的計算路徑：直接三元組枚舉，以及先形成 $A_K,P_K$ 再進行入射因式分解。只有各個 `(模板, m, z)` 的歷史數逐一吻合，才會報告成功。所有樓層以整數除法計算，所有數值採 Python 任意精度整數計算，未利用浮點近似來判定等式。

### 10.3 原始材料清單

- `verify_paper07.py`：可重現的核心枚舉、定理條件檢驗及統計輸出。
- `paper07_all_histories.csv`：全部 161,582 條合法六元組歷史。
- `paper07_bridge_incidence.csv`：1,547 個跨模板強合流數值入射及各模板的多重權重。
- `paper07_centers_1_to_1000.csv`：1–1000 每個結果的入射度數資料。
- `paper07_cross_radix.csv`：七種基底下的樓層投影統計。
- `paper07_891_paths.csv`：891 個案的全部 118 條合法歷史。
- `paper07_sensitivity.json`： $K=12,20,40$ 三組完整對照。
- `paper07_stats.json`：正式機器可讀摘要。
- `figures/`：三張由資料生成的 PNG 圖，以及對應的可縮放 SVG 圖。
- `SHA256_MANIFEST.json`：發行套件中的內容雜湊清單。

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## 11. 結論：從運算答案走向可重建的關係拓撲

本篇將「全域運算」的研究焦點由單一結果節點轉移到**保留兩步運算語法、來源多重性與共享中間狀態的有限關係圖譜**。在 $N=1000,K=40$ 的清楚語法範圍內，我們得到三個可以直接檢驗的結論：

第一，161,582 條原始運算歷史經過值投影後，只留下 38,506 組不同的 $(m,z)$ 數值入射，其中 1,547 組具有跨模板共享中間值的強合流；**保留或丟棄歷史標記會產生不同的研究對象**。

第二，強合流不是任意在塔樓畫出交叉線就能獲得的性質。其合法家族由運算方向、加法分拆、乘法因數與精確整除條件共同決定，必然限於三種模板組合，且 $4\le m\le2K$ ；在本篇中，所有強合流都位於 80 以下，即使另有 1,551 條塔外運算歷史。

第三，底層的 1,547 個強合流位置及其家族標記不受進位制改變；但將它們投影到二、三、五、八、十、十二、十六進位的數量級塔樓後，升降與同層的分布確實不同。因而可以清楚區分**算術關係的不變性**與**數字表示的可變幾何**。

這些結果均屬於在明確語法中能被證明或窮舉驗證的初等結構，不暗示所有實數必然具有唯一或可視化的有限軌跡，更不足以單獨確認超越既有代數的新自然定律。

**本篇的核心結語：同一個答案可以隱藏無數種運算來源；但一旦把中間狀態與作用種類也保留下來，哪些歷史真正交會、哪些只是最後相遇，就能由關係本身判定，而不再由圖像的直覺決定。**

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## 參考文獻

1. Baader, Franz, and Tobias Nipkow. *Term Rewriting and All That*. Cambridge University Press, 1998，特別是第 6 章「Confluence」。出版社 DOI：https://doi.org/10.1017/CBO9781139172752.007 。用於區分嚴格的項重寫合流與本文操作性定義的有限數值合流。
2. Shpilka, Amir, and Amir Yehudayoff. “Arithmetic Circuits: A Survey of Recent Results and Open Questions.” *Foundations and Trends in Theoretical Computer Science* 5(3–4), 207–388, 2010. DOI：https://doi.org/10.1561/0400000039 。算術電路可作為帶有加、乘閘的有向無環計算圖；本文借用既有術語，不以其為新發明。
3. EveMissLab，「進位制塔樓與全域運算關係幾何」系列第一至第六篇，2026-11-03 至 2026-11-04，現有研究原始文稿。

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**End of Paper VII (v0.1).**