關係幾何與載體展開・生物視覺分支 V：主動線掃描、一維感測到二維表示的可辨識性與關係參與維度

English title: Relational Geometry and Carrier Unfolding — Biological Vision V: Active Line Scanning, Identifiability of Two-Dimensional Representations, and Relational Participation Dimension

系列： RGC-BV05；承接 BV01–BV04，RGC 主線 P01–P12 另行保留
版本／日期： v1.0.0 / 2026-11-05
原始研究問題與載體—關係幾何構想： Neo.K
文獻對照、數學模型、實驗、程式與原稿協作： GPT-6
canonical source： 本 UTF-8 Markdown 原始檔；公式唯一採用 $...$ 或 $$...$$ 的 LaTeX delimiter，不以渲染畫面取代原始碼。
研究性質： 具公開生物學文獻基礎的理想線掃描模型；精確數學命題、反例及合成驗證。本文不是跳蛛或口足類個體的神經影像重建、實際生物測量、傳統非整數歐氏空間存在證明，也不是外部同行審查結果。

作者： Neo.K
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司
日期： 2026-11-05
版本： v1.0.0

摘要

RGC-BV02–BV04 依序研究分層視網膜的失焦線索、凹面反射鏡的雙層可辨識性，以及主動偏振分析基底的旋轉。BV05 改以感測幾何的時間展開為核心：若單次讀取僅提供沿一條空間線的資料，連續掃描在什麼條件下可以組織出二維視覺表示？這個問題已有生物學參照。口足類的特殊色覺感受器集中於眼部中帶，文獻將中帶的掃描比擬為 push-broom 線掃描；跳蛛前中眼的高解析感測區則能透過眼內視網膜運動掃描較大視野。然而，兩類動物的整體眼睛均不等同於一條理想化的一維感測器，也沒有證據顯示牠們依照本文公式逐像素重建二維影像。

本文先將未知場景表示為 $H\times W$ 像素矩陣，定理指出：若完全不預設任何影像先驗，只有在已知掃描位置覆蓋全部 $H$ 個不同行時，逐行量測才是單射；重複觀察同一行不會增加可辨識秩。其次，若場景在掃描方向恰為階數不超過 $K$ 的有限傅立葉級數，則 $2K+1$ 個互異的掃描位置便足以精確重建；但唯一性不意味數值穩定性，矩陣的最小奇異值可因掃描位置聚集而劇烈縮小。再者，未知掃描姿態與時間變動場景各自帶來可明確構造的非唯一性。

最後，為了對接原始 RGC 的關係維度假說，本文定義「感測線方向」與「掃描移動方向」構成的兩方向幾何 frame，其譜參與比為

D_{\mathrm{PR}}(\phi)=\frac{2}{1+\cos^2\phi}.

因此在指定的等權、單位向量度量下， $\phi=\arccos(1/3)\approx70.528779^\circ$ 給出精確的 $D_{\mathrm{PR}}=9/5=1.8$ ；正交掃描時為 $2$ ，完全平行時為 $1$ 。該數值是觀測設計的關係譜參與數，並非動物擁有 1.8 條座標軸，亦非其主觀視覺空間的實測維度。

本文公開 Python/Numpy/SymPy 研究程式、24 項單元測試、12 項符號檢查、合成場景、CSV/JSON 原始數據、六組 PNG/SVG 圖及 SHA-256 檔案檢驗。所有誤差數值均對應固定隨機種子的合成實驗。

關鍵詞： 載體幾何；關係幾何；生物主動視覺；口足類；跳蛛；線掃描；二維幾何表示；傅立葉採樣；Vandermonde 矩陣；可辨識性；條件數；掃描姿態；時間別名；有效關係維度。

1. 問題如何從幾何載體轉化為視覺問題

1.1 四個不能混淆的層次

層次	本篇定義	直接影響
外部場景	$F(x,y)$ ，或有限矩陣 $F\in\mathbb R^{H\times W}$	被觀察的二維物理／投影資訊
感測載體	每次僅讀取一條線的理想線感測器	單次資料的空間取樣支撐
掃描運動	掃描位置 $s(t)$ 與相機定向／校準資訊	多次讀取能否被正確放回共同座標
觀察表示	測量的拼接、反演或其他神經／計算表徵	資料能否重建所選任務需要的關係

單次採樣的幾何支撐為一條線，並不強制整體視覺系統是「一維生物」。一連串一維讀數也不會憑空創造外部世界的額外座標軸；時間只是提供不同位置的採樣索引，是否足以重建二維場景，需要額外的秩與校準條件。

1.2 已由文獻支持的生物學參照

B1｜口足類特殊視覺中帶。 部分螳螂蝦具有六列專化中帶；中央四列涉及色彩通道、另外兩列涉及偏振。這些窄列感受器的空間覆蓋與眼球的掃描活動相關，已有論文把特定色彩的連續掃描比擬為人工 push-broom 感測方式。[R1, R2] 但眼部背腹半球仍有廣域空間／運動視覺，因此不能聲稱螳螂蝦「只有一維視覺」。

B2｜口足類的眼部主動轉動。 眼球可執行俯仰、偏航、扭轉等運動；部分扭轉已被行為實驗證明能改善偏振目標—背景對比。[R1, R2] BV05 不將這種行為等同於模型的完美等速逐行掃描。

B3｜跳蛛眼內視網膜掃描。 Land（1969）對跳蛛主要眼睛視網膜的運動有原始研究；Land（2012）的綜述亦記載其狹窄高解析視野以眼內掃描擴大有效觀察區。[R3, R4] 跳蛛的真實視網膜並非單像素寬，也不是本文的直線理想感測器。

B4｜工程類比。 Push-broom 光學系統以一排感測元件一次讀取一列，隨載體前進取得後續列；姿態、速度與接收增益的校準會影響最後的影像品質。[R5] 本文採用此類比作為可驗證的簡化前向算子，而非宣稱動物必然採取相同解碼策略。

2. 基礎模型：已知位置的理想一維線感測器

令外部場景為

F\in\mathbb R^{H\times W},\qquad H,W\in\mathbb N_{>0}. \tag{1}

一次掃描位置 $j$ 的觀測定為該行的完整 $W$ 個像素：

Y_t=F_{s(t),:}+\eta_t,\qquad s(t)\in\{0,\ldots,H-1\}. \tag{2}

這是理想條件：每個感測元件已標定、無像差或像素混合、橫向坐標已對齊、場景不隨時間改變；如不符合，便不能直接使用下述可辨識性保證。

令 $S$ 是行選擇矩陣，每個觀測對應一列，線性前向算子可寫成

\operatorname{vec}(Y)=(S\otimes I_W)\operatorname{vec}(F)+\eta. \tag{3}

此處的向量化順序選擇與張量積相容的逐行展開方式。 $I_W$ 為 $W$ 階單位矩陣。令 $r$ 是所有掃描中不同來源行的數目。

定理 BV05.T1｜無影像先驗的逐行掃描秩定理

在式 (1)–(3) 的模型下，

\operatorname{rank}(S\otimes I_W)=Wr. \tag{4}

因此，對任意 $F\in\mathbb R^{H\times W}$ ，無噪音量測唯一決定 $F$ 若且唯若 $r=H$ 。

證明。 $S$ 的不同行標準基向量線性獨立，重複讀取不增加其張成空間維度，所以 $\operatorname{rank}(S)=r$ 。張量積的秩等於各因子秩之積，故式 (4) 成立。未知場景共有 $HW$ 個自由參數，線性前向算子單射恰在 $Wr=HW$ ，即 $r=H$ 時成立。證畢。

推論 BV05.C1｜重複採樣的界線。 獨立、同方差測量雜訊下，重複掃描同一行可透過平均降低該行的估計變異，但不會使尚未覆蓋的行變得唯一可辨識；若雜訊具有共通偏差，甚至不能直接宣稱方差依樣本數倒數下降。

精確反例。 假設第 $j_*$ 行從未被掃描，取任意非零向量 $v\in\mathbb R^W$ ，令 $G$ 與 $F$ 只在第 $j_*$ 行相差 $v$ 。則 $F\ne G$ ，但全部觀測相同。這個反例不依賴高斯雜訊或數值算法。

3. 已知有限頻帶時的二維重建

上一節的「必須掃完每一行」只適用於無影像先驗、任意像素值的模型。現在明確加入另一種資訊：場景沿掃描方向有已知的有限傅立葉頻寬。

對每個橫向座標 $x$ ，假設

F(x,y)=\sum_{k=-K}^{K}c_k(x)e^{2\pi i k y},\qquad y\in[0,1),\quad c_{-k}(x)=\overline{c_k(x)}. \tag{5}

共軛對稱保證場景值為實數；不需要假設橫向 $x$ 同樣帶限。將 $J$ 個掃描位置記為 $y_1,\ldots,y_J$ ，觀測矩陣為

Y=VC,\qquad V_{jk}=e^{2\pi i k y_j},\quad -K\le k\le K. \tag{6}

定理 BV05.T2｜有限頻帶場景的掃描可辨識性

在無雜訊、掃描位置已知、式 (5) 模型精確成立的條件下，若至少有 $2K+1$ 個彼此不同的掃描位置（模週期 $1$ ），則係數 $C$ 唯一可恢復。少於 $2K+1$ 個不同行位置時，一般無法唯一恢復任意允許的實值帶限場景。

證明。 令 $z_j=e^{2\pi i y_j}$ 。對每行 $V$ 乘上非零數 $z_j^K$ ，可將式 (6) 的負冪移除，得到列冪次依序為 $0,1,\ldots,2K$ 的標準 Vandermonde 形式。任取 $2K+1$ 個互異 $z_j$ ，其行列式為非零的兩兩差積，故 $V$ 滿列秩。反過來，少於 $2K+1$ 個實值讀數不足以唯一決定該空間中 $2K+1$ 個實自由係數；存在非零核方向。證畢。

注意： 這不是「只需掃描任意 11 條線就能恢復任何 128 行的影像」，而是僅針對垂直方向恰好落在指定 11 維傅立葉子空間的場景成立。

定理 BV05.T3｜反演誤差與掃描位置的條件數

令 $V$ 滿列秩， $Y=VC+E$ 。最小平方解 $\widehat C=V^\dagger Y$ 滿足

\|\widehat C-C\|_F\le\frac{\|E\|_F}{\sigma_{\min}(V)}. \tag{7}

若另將 $\widehat C$ 映射至全場景像素格點，總體誤差還需乘上該評估矩陣的算子範數。式 (7) 說明即使 $V$ 可逆，如果最小奇異值很小，觀測雜訊也可能被大幅放大。

證明。 $\widehat C-C=V^\dagger E$ ，取 Frobenius 次乘法不等式，並使用滿列秩矩陣的 $\|V^\dagger\|_2=1/\sigma_{\min}(V)$ 。證畢。

特例｜均勻掃描。 當 $J=2K+1$ 且 $y_j=j/J$ 時， $V$ 為離散傅立葉矩陣的重排，滿足 $V^*V=JI$ ，因此 $\kappa_2(V)=1$ 。但是同樣 $J$ 個位置如果聚集於狹窄區間， $\kappa_2(V)$ 可以很大。唯一性與穩定性是不同命題。

4. 掃描姿態未知時的幾何歧義

定理 BV05.T4｜未知掃描位置的重參數化歧義

在連續線讀取模型中，設讀取序列為

Y_t(x)=F(x,s(t)). \tag{8}

若掃描位置 $s(t)$ 未知，取任意保持方向的光滑可逆重參數化 $h:[0,1]\to[0,1]$ ，令

F'(x,y)=F(x,h(y)),\qquad s'(t)=h^{-1}(s(t)). \tag{9}

便有 $F'(x,s'(t))=F(x,s(t))$ 。除非 $h$ 恰好不改變該場景，否則不同載體位置配置會給出完全相同的掃描序列。

證明。 把式 (9) 代回式 (8) 即得恆等式。證畢。

這個結果比任意隨機行置換的反例更強，因為它表明：即使要求掃描保持連續與單調，只要缺乏物理弧長／姿態校準，位置仍可在連續的一族方式下被重新安排。 已知精確時鐘也不足以替代空間姿態校準，除非已知速度或運動律。

定理 BV05.T5｜動態場景的單列觀測別名

假設掃描位置 $s(t)$ 已知，但真實場景允許時間依賴 $F_t(x,y)$ 。對任意靜態基準 $F(x,y)$ 、非零函數 $q(x)$ 及適當幅值 $a(t)$ ，構造

G_t(x,y)=F(x,y)+a(t)(y-s(t))q(x). \tag{10}

在每一時刻的讀取位置 $y=s(t)$ 上， $G_t(x,s(t))=F(x,s(t))$ ，但離開讀取線處 $G_t$ 與 $F$ 可以不同。故逐行掃描的累積影像，不必對應任何一個時間點的全域真實影像。

證明。 觀測位置的括號因子為零；在其他位置可選擇 $a(t)q(x)\ne0$ 。證畢。

5. 從「線＋掃描」定義有效關係維度

RGC 原始猜想關心的是，經由承載結構和關係作用，低維取樣能否組織出其他可觀察幾何。為避免把資訊指標冒充傳統維度，本節刻意採用一個可驗算、但不具有一般座標變換下內稟不變性的有限模型。

令單列感測方向為 $e=(1,0)^\mathsf T$ ，掃描運動方向（依同一固定二維歐氏度量歸一化）為 $v_\phi=(\cos\phi,\sin\phi)^\mathsf T$ ，定義等權幾何 frame 算子

G_\phi=ee^\mathsf T+v_\phi v_\phi^\mathsf T. \tag{11}

它描述兩個方向在指定度量中的幾何參與，而不是場景亮度／紋理的 Fisher 資訊，也不聲稱神經活動按此矩陣編碼。

定理 BV05.T6｜掃描方向的可辨識秩與關係參與數

當 $0\le\phi\le\pi/2$ 時， $G_\phi$ 的兩個本徵值為 $1+\cos\phi$ 、 $1-\cos\phi$ ，因此

\operatorname{rank}(G_\phi)= \begin{cases} 1,&\phi=0,\\ 2,&0<\phi\le\pi/2. \end{cases} \tag{12}

定義譜參與比

D_{\mathrm{PR}}(\phi)=\frac{(\operatorname{tr}G_\phi)^2}{\operatorname{tr}(G_\phi^2)} =\frac{2}{1+\cos^2\phi}. \tag{13}

證明。 $\operatorname{tr}G_\phi=2$ ，兩個單位向量之間內積為 $\cos\phi$ ，故

\operatorname{tr}(G_\phi^2)=2(1+\cos^2\phi). \tag{14}

代回參與比定義即可。秩則由 $\det G_\phi=\sin^2\phi$ 得到。證畢。

精確地，

\phi=\arccos(1/3)\quad\Longrightarrow\quad D_{\mathrm{PR}}=\frac95=1.8. \tag{15}

因此，對此固定等權關係模型：完全平行掃描只有一個參與方向；非平行即具有二維線性張成空間，但其譜的均衡程度可以連續變化；正交時兩方向均衡且 $D_{\mathrm{PR}}=2$ 。

尺度與定義界線。 若兩方向權重不相等、使用不同座標單位、將相機幾何雅可比取代單位向量、引入接收噪聲及材質紋理，公式 (13) 便不再直接適用。指標是模型相對的資訊／幾何摘要，不是內稟的 Hausdorff 維度、拓撲維度、傳統歐氏座標維度或物種的主觀空間維度。BV04 因偏振方位帶有雙角 $2\delta$ 而得到另一個 1.8 角度；兩篇角度不同完全正常，不是矛盾。

6. 六組合成實驗：有效性與失效條件

6.1 程式、資料與可重現設定

本篇使用 src/bv05_active_line_scan.py，以 NumPy 構造合成場景 $128\times96$ ；沿掃描方向取 $K=5$ ，也就是 $2K+1=11$ 個傅立葉模態。每個橫向像素具有經確定性公式構造的共軛係數，並非生物照片或實測神經資料。隨機種子固定為 20261105。

設定三種每次皆恰好採樣 11 條線的路徑：

路徑	取樣位置	$\kappa_2(V)$ （數值）
uniform	$j/11$ ， $j=0,\ldots,10$	約 $1.000000$
partial_arc	在 $[0,0.55]$ 等距取 11 點	約 $2569.7824$
clustered	在 $[0,0.35]$ 等距取 11 點	約 $647144.5687$

所有位置模 1 皆互異，所以三組在精確算術及指定帶限模型下都具唯一性，卻有截然不同的條件數。

6.2 在固定種子下的雜訊效應

觀測加上彼此獨立、均值零、高斯標準差為 $\sigma$ 的合成量測誤差，並由最小平方恢復傅立葉係數，在原始 $128\times96$ 場景上計算均方根誤差（RMSE）：

$\sigma$	uniform RMSE	partial_arc RMSE	clustered RMSE
$0$	$5.99\times10^{-16}$	$1.05\times10^{-13}$	$2.06\times10^{-11}$
$10^{-7}$	$1.03\times10^{-7}$	$6.10\times10^{-5}$	$1.30\times10^{-2}$
$10^{-6}$	$9.99\times10^{-7}$	$5.68\times10^{-4}$	$1.14\times10^{-1}$
$10^{-5}$	$9.97\times10^{-6}$	$6.08\times10^{-3}$	$1.14$
$10^{-4}$	$1.02\times10^{-4}$	$5.84\times10^{-2}$	$12.45$

這是單一固定種子的可重現數值示例，不是跨情境統計平均，也不是生物採樣誤差。其現象與式 (7) 的最小奇異值界一致：越集中於狹窄弧域，已經存在的雜訊越可能被嚴重放大。誤差表的完整數值位於 data/reconstruction_scan.csv 與 data/experiment_results.json。

6.3 數學驗證與六組圖片

figures/01_active_line_scan_pipeline：外部二維場景、單次一維讀取、帶坐標的部分二維拼接。
figures/02_coverage_rank：沒有影像先驗時，不同來源行數與前向算子秩的線性關係。
figures/03_bandlimited_scan_condition：同樣 11 個取樣位置，位置分布對條件數的影響。
figures/04_noise_reconstruction：不同掃描位置下的雜訊放大。
figures/05_relational_participation： $D_{\mathrm{PR}}$ 隨兩個幾何方向夾角變化，以及精確的 1.8 點。
figures/06_unknown_pose_ambiguity：來源像素列與姿態標籤同時重排時，觀測可完全相同。

全部圖片均為本研究程式生成的示意圖或數值圖，沒有改造或轉載第三方生物照片。

7. 自然界證據與形式模型的橋接程度

問題	已知證據／本文結果	尚不能推出
某些生物會主動掃描嗎？	文獻支持螳螂蝦眼部掃描及跳蛛視網膜運動 [R1–R4]	實際神經中採用本文的傅立葉／最小平方算法
一維線掃描能建立二維測量嗎？	模型內可在已知姿態、充分覆蓋或恰當先驗下實現	任意未知場景在有限讀取下均能恢復
掃描順序與姿態重要嗎？	T4 給出連續重參數化的精確反例	動物必然具有完整的世界坐標校準
時間整合會有風險嗎？	T5 顯示動態場景可與靜態場景留下相同讀數	生物無法採用其他運動預測或同步訊息
可以得到 1.8 嗎？	T6 給出等權方向 frame 下的精確數值	真實生物具有傳統 1.8D 空間視覺

值得強調的共同原理： 單次可取得多少資訊，不等於最終可組織多少空間關係；但是能否從局部推至全域，依然由覆蓋、姿態、相容性、場景穩定性與先驗決定。

8. 限制、競爭解釋與反駁條件

限制 L1｜感測器理想化。 真實的口足類中帶由多列小眼組成、色覺與偏振受器不完全相同；跳蛛視網膜也具有多層、狹長且可運動的非理想幾何。本文只取「線狀局部讀取＋可控掃描」的抽象共同部分。

限制 L2｜視覺表示不等於全影像重建。 動物的行為可能只需要辨別目標類別、顏色、方向或獵物運動，而不需要逐像素還原高解析二維圖像。本文證明的是某些量測是否足以恢復選定的數學未知量，並非神經心理學的主觀感知結論。

限制 L3｜頻帶先驗不是生物事實。 $K=5$ 係為數學驗證而選的可重現先驗，沒有文獻證據顯示螳螂蝦或跳蛛恰採用 11 模態的視覺解碼。

限制 L4｜理想場景與時間同步。 完整校準、已知位置、固定場景、等方差雜訊都是模型條件；一旦放寬，必須重新驗證相應定理是否適用。

限制 L5｜有效維度不具有普遍不變性。 目前的 $D_{\mathrm{PR}}$ 是指定內積和權重下的參與比。若要把它提升成具有跨物種比較意義的量，還需要統一觀測任務、單位、參數標度、雜訊模型和實測數據。

可反駁的具體說法： 如有人聲稱「只要生物會移動單列感測器，就必然具有完整二維圖像」，T1–T5 已提供一系列反例；如有人聲稱「測得 1.8 表示生物處於非整數物理空間」，T6 的定義足以指出此推論未獲支持。若實驗中持續發現真實動物採用的視覺記憶與測量不同，本模型須限縮為單純工程類比。

9. 研究結論

BV05 的主要成果不是讓一維「變成」二維，而是把載體當下的採樣維度、在時間中展開的觀測覆蓋、場景的允許自由度以及反演唯一性分成四項可以各自證明的數學問題。

第一，在完全任意的二維像素空間，讀取的不同掃描行數直接決定可辨識秩。第二，已知頻帶先驗能讓較少掃描位置唯一決定更多目標像素，但其穩定性取決於位置配置與最小奇異值。第三，不知道掃描姿態或容許場景時變，就算讀取很多次也仍可能出現精確的不可辨識反例。第四，兩個幾何方向的相對關係可以自然導出介於 1 與 2 的譜參與數，並在精確指定的角度給出 1.8；它表述的是特定關係的資訊配置，不是物理空間本身的非整數化。

更接近原始「載體幾何」問題的說法是：外界的維度不因觀看方式而改變；被觀看者與觀看載體之間可辨識的幾何關係，卻可以隨觀測路徑而改變。

參考文獻與可查核連結

[R1] Daly, I. M., et al. (2016). Dynamic polarization vision in mantis shrimps. Nature Communications 7, 12140. DOI: https://doi.org/10.1038/ncomms12140 。偏振相關的主動扭轉、特殊中帶，以及既有文獻所述的一維色彩通道與掃描類比。
[R2] Gaze stabilization in mantis shrimp in response to angled stimuli (2019). 可讀版本：https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6647723/ 。論述中帶、可動眼柄、多自由度旋轉與需要動態掃描的色覺機制。
[R3] Land, M. F. (1969). Movements of the retinae of jumping spiders (Salticidae: dendryphantinae) in response to visual stimuli. Journal of Experimental Biology 51, 471–493. DOI: https://doi.org/10.1242/jeb.51.2.471 。
[R4] Land, M. F. (2012). The evolution of lenses. Ophthalmic and Physiological Optics 32, 449–460. DOI: https://doi.org/10.1111/j.1475-1313.2012.00941.x 。跳蛛掃描式成像及其他相似的自然系統。
[R5] NV5 Geospatial, Push Broom and Whisk Broom Sensors. https://www.nv5geospatialsoftware.com/Support/Self-Help-Tools/Help-Articles/Help-Articles-Detail/push-broom-and-whisk-broom-sensors-1 。工程掃描類比及感測器校準限制。
[R6] 經典線性代數與離散傅立葉／Vandermonde 理論。本文 T1–T6 直接附完整所需證明，這些基礎工具本身不是新發現；沒有引用不能驗證的外部定理作為「原創證明」。

附錄 A｜重現指令

在本研究資料夾根目錄安裝 requirements.txt 所列的 Python 套件，執行：

python src/bv05_active_line_scan.py
python -m unittest discover -s tests -v
python src/verify_symbolic.py
python src/validate_release.py

輸出數據位於 data/，生成圖片位於 figures/。完整 ZIP 的封裝與雜湊驗證另由 src/validate_release.py 執行。研究發行版本請以壓縮檔內包含的 SHA256_MANIFEST.json 為準。