title

GMDIS-12｜節拍器矩陣的多尺度基準世界：從二體機械閉包到千體可重現模型、幾何干預與多介質驗證階梯

english_title

A Multiscale Benchmark World for Metronome Arrays: From Two-Oscillator Mechanical Closure to Thousand-Oscillator Reproducibility, Geometric Interventions, and Multi-Medium Validation

series

Global Multiscale Dynamics and Informational Sufficiency Theory (GMDIS)

paper

12 / 14

version

v0.1

date

2026-10-17

timezone

Asia/Taipei

author

Neo.K

research_collaboration

Aletheia / GPT-6

institution

EveMissLab／一言諾科技有限公司

language

zh-TW

status

Detailed benchmark specification and synthetic model verification; real metronome measurements not performed

canonical_format

UTF-8 Markdown; mathematics delimited by $...$ and $$...$$ only

predecessors

["GMDIS-01", "GMDIS-02", "GMDIS-03", "GMDIS-04", "GMDIS-05", "GMDIS-06", "GMDIS-07", "GMDIS-08", "GMDIS-09", "GMDIS-10", "GMDIS-11"]

next_paper

GMDIS-13｜基線競爭、消融測試與可反駁性

license_note

研究原稿；對外授權由權利人另行決定

GMDIS-12｜節拍器矩陣的多尺度基準世界

從二體機械閉包到千體可重現模型、幾何干預與多介質驗證階梯

Multiscale Benchmark Worlds for Metronome Arrays: Model Hierarchies, Energy-Correct Coupling, Interventions, and Reproducibility

系列： 全域多尺度動力學與資訊充分性理論（GMDIS），第 12／14 篇
作者： Neo.K　｜　AI 研究協作： Aletheia／GPT-6
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司
版本日期： v0.1；2026 年 10 月 17 日（Asia/Taipei）
研究類型： 非線性動力學／多體機械／模型驗證與實驗設計／多尺度物理／GRST—SIO／24／72 模型語義。
證據聲明： 本文提供可追溯的多層模型、在明示假設下成立的解析推導及實際執行的合成數值核對。不聲稱已架設 2、10、100 或 1,000 台真實節拍器；不聲稱完成固體—流體—熱—擒縱全耦合三維實物模擬，也不宣稱同步是必然結果。附錄執行的 1,000 單位案例只代表計算上可擴展的簡化基準，不等同於具有 1,000 個完整擒縱機構的實物數位孿生。

日期： 2026-10-17
版本： v0.1

摘要

GMDIS 前十一篇依序從相位與吸引子表徵的任務充分性，推進至 GRST 全域規則勢與 SIO 容器自由度的研究接縫、廣義張力的物理語義校準、多場泛函分析、多介質能量交換、持續驅動與穩定模態、粗粒化記憶，以及 24／72 範式在物理世界模型中的有型別映射與四層反事實。至此，需要一個可以由不同研究者真正執行、獨立核算、甚至在負面結果下推翻研究主張的 canonical benchmark world。本篇因此以節拍器矩陣為載體，但將「節拍器必然同步」明確排除於基本公理之外。

我們提出六階模型族：固定底座的獨立振子（M0）、一維剛體可動底座（M1）、平面剛體平移—旋轉底座（M2）、有限彈性模態（M3）、聲學及熱交換擴展（M4）、具有明確擒縱與接觸切換的混合機械模型（M5）。模型從可驗證的能量帳本向上擴展，不以「全域」之名在最初版本便啟用不可校準的全部自由度。前四個實驗規模規劃為 $N=2,10,100,1000$ ；另以 E4 表示可行實物規模的真實量測與盲驗，而不預先宣稱 E4 已存在。每一層明示哪些物理機制被保留、哪些被近似或排除、哪些觀測量和反事實在該層合法。

本文給出一維剛體模型的完整質量矩陣與能量恆等式，說明所有振子可透過同一底座形成秩一全域機械耦合，但此耦合不自動推出穩定同步；並證明當底座只可一維剛體平移且所有振子相同方向運動時，僅改變格點位置而不改變其他參數，不會產生新的幾何作用。進一步建立三自由度平面底座的 Jacobian 與 Schur 補矩陣，給出幾何位置可透過旋轉力矩改變作用傳遞的解析示例。此一正負控制對於 GMDIS 第十一篇的規則—邊界干預合法性尤其重要。

在實作層，本文內附一份 NumPy 單檔參考程式，以 $O(N)$ 的工作與記憶體進行一維共享底座模擬，於四個規模、被動與平滑自激兩種模型，共執行八組合成軌跡。程式直接積分注入與耗散功，按步檢查力學能量帳本，並計算平面底座的幾何正負控制與有效質量譜。這些測試僅屬 model verification，不等於 experiment validation。由於現有文獻已充分研究同相、反相、固定相位差、旋轉模態、摩擦誘發振盪停止及嵌合態，本篇要求後續 GMDIS-13 對完整物理模型、擴展相位模型、可觀測性模型與 GRST/SIO 特徵模型進行公平、留出條件下的競爭與消融。

最重要的結論： 一個能研究「全域規則勢與多尺度自由結構」的節拍器世界，不是先把 1,000 個物體預設為單一共同吸引子，而是先明確列出世界、模型、數值實現、觀測及干預的可比較條件，使何種局部作用能導致何種可維持的集體模式，成為可以被外部測量推翻的具體問題。

關鍵詞： metronome arrays、moving platform、rigid-body rotation、multi-medium coupling、energy ledger、escapement、benchmark world、model hierarchy、stability、GRST、SIO、24/72、synthetic reproducibility、physical validation。

0. 研究責任、文件契約與證據型別

0.1 本篇不是另一本同步教科書

GMDIS-01 已明確規劃 E0–E4 的尺度遞進；GMDIS-03 已指出幾何影響必須通過真實耦合通道才能成立；GMDIS-04–06 建立不同物理能量的型別及介面功率帳本；GMDIS-07 指出共同強迫、真正集體自同步與振盪停止不可混同；GMDIS-08 證明隱藏介質能以歷史記憶形式回到可見動力學；GMDIS-09–10 保留 24／72 的分類邊界及任務相對的觀測充分性；GMDIS-11 則要求每一個所謂「態勢換位」都具備共同狀態、規則／邊界／觀察對齊與反事實可比性。

本篇現在只做這一件事情：將上述數學契約編譯成一個可執行的實驗世界與模型族。不能把前篇已完成的概念論證，當成 1,000 個實物節拍器真的出現同步的證據。

0.2 五種證據標記

每一項物理新穎性主張都必須提出對照：相同效果是否已經由既有動力學、數值方法與系統辨識完整解釋？若是，應將新貢獻定位為模型橋接、可追溯分類或測量設計，而不是宣稱發明了新的力。

0.3 本篇交付物與未交付物

已交付： 模型分類規範；一維／平面剛體的完整質量耦合方程；自由底座極限的解析譜；幾何零效應與旋轉效應的反例；能量型別與一致性檢查；2、10、100、1000 單位的合成一維數值基準；可執行 Python 原始碼與資料契約；E4 實測建議；下一篇盲測及消融規格。

尚未交付： 真實工業節拍器的擒縱接觸曲線；100／1000 台實機量測；三維 Navier–Stokes 與彈性結構的一致求解程式；可以被重現的實物聲學效應量；跨不同材料的已校準參數後驗；真正以 GRST/SIO 特徵取得統計上顯著的預測增益。這些不得由合成程式的 PASS 自動補足。

0.4 2026 年以前的學術實況不容忽略

共同底座的節拍器同步不是新發現。Pantaleone（2002）已有可動底座的機械模型；Hoogeboom、Pogromsky 與 Nijmeijer（2015）研究同／反相解的局部穩定與底座參數；Goldsztein 等（2022）指出真實底座摩擦可能更接近庫侖乾摩擦、會導致滑黏與振盪停止；Kapitaniak 等（2014）以機械振盪器研究部分同步與非同步共存；Wu 等（2025）報告浮動底座上固定相位差的模式；Hoogesteger、Pogromsky 與 Nijmeijer（2026）已在可平面運動的平台上觀察幾何誘導的平移與旋轉集體模態。後兩項尤其直接挑戰任何「只要把旋轉加入就發現了全新現象」的說法。詳見文末 [E01]–[E09]。

1. D-12-01：完整基準世界的五層分離

對第 $r$ 個研究世界，定義其有型別契約為

其中 $\mathcal X_r$ 是合法物理狀態及其約束； $R_r$ 是演化方程、接觸法則、驅動模型及守恆／耗散契約； $B_r$ 是幾何與邊界； $U_r$ 是容許外部干預； $\mathcal E_r$ 是儲能與功率帳本； $\Pi_r$ 是觀測映射； $\Gamma_r$ 是任務、時間窗、解析度、誤差限度與統計方案。

一個可執行實驗還須區分五種不同對象：

1. 物理世界（World）。 真正的裝置、材料、受力、環境與外部供能；只有 E4 實測才涉及這一層的真實證據。
2. 數學模型（Model）。 在指定假設下的 ODE、PDE、微分代數方程或混合事件規則。模型不是真實物理本體的無損拷貝。
3. 離散表示（Discretization）。 空間網格、模態截斷、數值步長與有限精度；不代表宇宙必然由格點構成。
4. 求解與執行（Solver）。 積分器、事件偵測、線性求解、誤差估計、硬體資源及程式版本；計算通過不等於模型適當。
5. 觀測與推論（Observation）。 相位估計、影片取樣、角速度、聲壓、溫度、統計分類及任務剖面；觀測不足不得由任意「更高維」語言掩蓋。

特別要區分 verification（是否正確求解指定模型）與 validation（模型在目標用途上是否能代表物理世界）。Oberkampf 與 Trucano（2002）的 V&V 框架已將此問題視為科學模擬可靠性的核心，本篇依同樣標準判定 PASS 層級。

1.1 研究時窗也是世界契約

若測量只持續數秒，無法合法宣稱數小時後的長期吸引域；若開放系統持續輸入能量，不能把瞬時動能當成守恆不變量；若某振子的擒縱停止，任何相位指標都應被標為無效或不適用，而不是硬算出單一角度。世界的觀測時窗與合法任務需在實驗前固定。

1.2 同一輸入在不同世界不一定有相同物理意義

例如同一個「拉動底座 1 mm」的指令，在自由滾動、受彈簧約束、浮於液體以及懸掛底座上，產生的外部功與慣性反饋不同。要比較後續未來，至少得清楚是固定施力、固定衝量、固定位移，還是固定能量輸入，不能事後將它們混稱為「相同擾動」。

1.3 多介質等價絕不等於單純加總

線性聲學已是流體模型的有效近似；若再引入完整黏性可壓縮空氣，不得把同一聲學儲能加到總流體能一次以上。GMDIS-06 要求界面一側輸出功率必須由另一側等量接收，除非界面明確具有自己的儲能及耗散。模型升級時先選擇物理帳本的主系統，再標示被取代與增添的近似，禁止以增加數學符號數量冒充增加物理真實性。

2. D-12-02：M0–M5 六階模型族與適用域

M0–M5 並非「物理世界自然分成六種階層」，而是建模保真度與可檢驗性的設計路徑。M5 不應被預先認定比一個經過實驗驗證的 M1 更適用於任何任務：若 M5 的擒縱參數未知，複雜性反而可能降低留出條件的預測品質。

2.1 差異要以包含的物理機制表示

形式上，不應假定 $R_{M1}\subset R_{M2}\subset\cdots$ 是任意意義下的數學集合包含。更準確的是存在帶有限制的映射、近似或嵌入：例如鎖死旋轉自由時，某 M2 的線性版本可退化到 M1；將有限彈性模態提高到剛體極限時，可能在特定條件下得到 M2。這些是特定參數、邊界及收斂意義下的關係，而非不需證明的普遍定理。

2.2 每一層都需要成功與失敗兩份聲明

升級 M1→M2 後若出現排列效應，不能只公布產生效應的構形；也應公布旋轉被鎖住、所有作用方向平行及變更非相關座標時，效應是否如預測消失。升級 M3→M4 後若聲壓觀測顯著，不代表聲場已經成為同步的主導機制；應比較聲學通道存在／關閉時的結果差，同時核對被切除通道所帶走的物理能量。

3. D-12-03：E0–E4 規模階梯，避免把 1,000 當作物理保真證據

嚴格聲明： 本文附錄實際執行的 E0–E3 合成測試只使用 M1 並有 M2 的局部加速度解析檢查；不能把 E1–E3 的 M3–M5 表格規劃誤認為那些模型已經跑完。要取得 E4「已驗證」資格，必須存在真實原始時間序列、儀器資訊和可稽核的程序。

3.1 為什麼 E3 不要求全部自由度都被顯式計算？

若計算 1,000 個振子與高解析的底座彈性、三維空氣、熱傳、擒縱機構及碰撞，真正的狀態數可能主要來自連續場網格而非振子數。任何聲稱「1,000 個振子只花 $O(N)$，因此全物理也是 $O(N)$ 」都是錯誤。這裡的 $O(N)$ 僅指M1 參考實作的一次右端評估；M3–M5 的成本須另計場網格大小、模態數、迭代收斂次數、事件數及通訊成本。

3.2 物理參數的尺度與相似律不能跳過

若從 2 個物體增加到 1,000 個，平台總負載、慣量、支撐方式及可容納空間都會改變。令總振子質量 $Nm$ 增加而將底座質量 $M$ 固定，與按照 $M(N)$ 一起調整是不同的物理系列；兩者不能只用「N 增大」一個詞比較。正確做法要預先凍結質量比、阻尼比、頻率比、幾何尺度比及支撐條件，或明確把它們列為新干預。附錄以 $M(N)=2+0.5N$ 公斤等合成數值尺度保持良好的積分條件，不是千台真實節拍器平台的工程尺寸或材料推薦。

4. M-12-01：一維共享剛體底座的牛頓—拉格朗日閉包

4.1 最低假設及物理型別

令 $X$ 為底座在水平實驗室座標中的位移， $u_i$ 為第 $i$ 個等效質點相對底座的水平位移；對應質點的實驗室位移是 $X+u_i$。底座等效質量 $M>0$ ；第 $i$ 個振子的有效質量 $m_i>0$ 、回復係數 $k_i>0$ 、局部阻尼 $c_i\ge0$ ；底座還有等效彈簧 $k_B\ge0$ 與阻尼 $c_B\ge0$。驅動 $f_i$ 透過第 $i$ 個相對座標作廣義功；若存在外部作用 $F_B$，它作用在底座座標。此系統是小位移直線振子的力學替身，尚未寫入節拍器擺角、擒縱衝量或庫侖滑黏。

令廣義速度 $V=\dot X$， $v_i=\dot u_i$。總儲能取

底座方程與各相對運動方程為

這兩組方程的共同慣性項來自絕對位置 $X+u_i$ 的動能，不是臆造的長距離互相作用。每個振子的慣性反作用傳回底座，底座再以相同座標回饋所有振子。若底座被真正固定，則 $X\equiv0$，上述共同運動通道消失。其他直接相互作用如聲學或接觸，須在更高層另外明確加入。

4.2 M-12-02：能量功率恆等式

由方程相乘並整理，可得

證明可直接由上列動能函數的時間微分，利用每個相對方程的 $m_i(\ddot u_i+\ddot X)$ 項與底座運動方程，互相消去介面慣性功率。這個式子沒有說「力守恆」：它說的是明確條件下的機械能帳本。

若 $f_i=F_B=0$，且阻尼非負，則 $E(t)$ 非增；若驅動非零，則即使某個集體模式穩定，機械能仍可持續有輸入與輸出。若將熱儲能納入更大的封閉帳本，局部機械能損失才可能作為其他子域的能量增加，不應無端稱為能量消失。

4.3 D-12-04：可 $O(N)$ 評估的一維加速度公式

定義每個振子在固定底座假設下的局部加速度：

用 $\ddot u_i=a_i^0-\ddot X$ 代回共同底座方程，得到

這並不需要建構 $N\times N$ 的稠密質量矩陣。每次計算的加總與各局部加速度皆可 $O(N)$ 執行；儲存 $N$ 個局部狀態需要 $O(N)$ 記憶體。需要注意 $M$ 不能為零；高頻剛性或非光滑事件也可能使顯式積分器需要極小時間步，演算法每步線性不代表固定精度下總成本總是線性。

4.4 M-12-03：相同物理單位的一維自由底座有效質量譜

在 $m_i=m$ 、 $k_i=k$ 、 $c_i=0$ 、 $k_B=c_B=0$ 且底座不受外力時，總水平動量守恆。於零總動量子空間，消去底座速度可得到局部座標的有效質量矩陣

其中 $\mathbf1$ 是 $N$ 維全一向量。其共同方向 $\mathbf1$ 的本徵值是

而在 $\mathbf1$ 的正交補空間上有 $N-1$ 個本徵值

由 $M>0$ 、 $m>0$，得 $M_{\mathrm{eff}}$ 正定。在相同的局部回復係數 $k$ 下，共同模態與差異模態的線性頻率可以不同。這證明共同底座提供一條集體機械通道；它不證明所有差異模式會自動被吸收，亦不保證自激系統必然同步。擒縱、阻尼、非線性、乾摩擦及吸引域結構仍需另行研究。

4.5 C-12-01：幾何排列零效應的解析負控制

在 M1 中，若所有振子運動方向相同，底座僅容許一維剛體平移，且物體質量、回復係數、阻尼、驅動與初態保持相同，右端方程中根本不包含各振子的二維座標 $(x_i,y_i)$。因此僅把相同振子從 $1\times N$ 改排為 $a\times b$，而未改動任何建模參數，不能改變模型所預測的局部動力學與底座運動。

這個負面結果極其重要。若一個宣稱實作 M1 的模型，在只改輸入的布局文字或圖像後就產生不同同步模式，必須檢查是否存在隱含的數值排序、驅動參數、質量分配或觀測操作被改變，而不能直接讚美「資訊幾何產生全域新作用」。幾何要對未來造成物理影響，必須進入某個真實因果通道：例如旋轉力矩、彈性模態、實際距離相依的聲學或其他材料作用。

4.6 C-12-02：移動底座與固定底座的同初態差

令 $N=2$，初態只令 $u_1>0$，其餘相對位移、速度及底座位移、速度皆為零。若 $k_1=k_2=k$ 且移動底座質量有限，底座會因第一振子的回復力而立即加速；第二振子的相對加速度包含 $-\ddot X$，一般非零。若鎖死底座並保持其餘條件，第二振子的初始加速度則為零。此為精確的邊界／模型干預差，不能偷換成兩個實物系統之間的直接超距作用，更不表示第二振子已經同步。

5. M-12-04：平面剛體底座，排列幾何如何真正進入力學方程？

5.1 三自由度底座與局部平面運動

令平面底座的最低剛體座標為 $q_B=(X,Y,\psi)$，對應質量及平面慣量矩陣 $M_0=\operatorname{diag}(M_x,M_y,I_B)$，三者嚴格為正。第 $i$ 個振子的安裝位置相對底座參考原點為 $r_i=(x_i,y_i)$，其小位移運動單位向量為 $d_i=(\cos\alpha_i,\sin\alpha_i)$。在小旋轉與線性運動近似下，底座於第 $i$ 個支點的平面速度由

給出。若局部質點相對底座沿 $d_i$ 方向移動，其速度為 $J_i\dot q_B+d_i\dot u_i$。這裡的 $J_i$ 已將安裝位置與旋轉力臂明確納入實際動力學；不需要額外假設「圖形本身具有神祕同步性」。

5.2 D-12-05：完整質量塊與正定條件

此線性化模型的總動能為

令 $A=M_0+\sum_i m_iJ_i^{\mathsf T}J_i$，第 $i$ 欄 $C_i=m_iJ_i^{\mathsf T}d_i$， $D=\operatorname{diag}(m_1,\ldots,m_N)$，則完整質量矩陣是

只要 $M_0$ 正定、每個 $m_i>0$ 且 $\|d_i\|=1$，則 $T>0$ 對任何非零的速度狀態成立，故 $\mathbb M$ 正定。原因是若 $T=0$，由底座能量項首先迫使 $\dot q_B=0$，再由局部質點項迫使各 $\dot u_i=0$。此證明不要求任意排列下的矩陣必然擁有同一個譜。

5.3 M-12-05：Schur 補消去與幾何反饋

對廣義底座力 $F_B$ 和局部廣義力 $f$，質量方程為

把局部加速度消去可得

其中 $S$ 是一個 $3\times3$ 的對稱正定矩陣。第二個等式展示了幾何資料進入有效底座慣性的確切位置；它也展示了大量振子仍可透過累積小矩陣及局部力向量來評估加速度，而不必先反轉一個 $N\times N$ 大矩陣。

限制： 這裡 $q_B$ 只處理小轉角的剛體線性化；如果底座大角度旋轉， $J_i$ 與運動方向將隨姿態變化，完整方程會增加科氏、離心及幾何非線性項，不能直接把同一常數矩陣延伸到任意大運動。

5.4 C-12-03：排列造成旋轉加速度的成對反例

取兩個振子皆沿 $x$ 方向運動， $d_1=d_2=(1,0)$，底座姿態、初始速度與初始力保持相同。情況 A：兩支點都放在 $y=0$ ；情況 B：兩支點分別在 $y=-h$ 和 $y=+h$。在 A 中，支點相對運動經由 $J_i^{\mathsf T}d_i$ 對旋轉的慣性耦合項皆為零。B 中則有 $J_i^{\mathsf T}d_i=(1,0,-y_i)^{\mathsf T}$，因此單獨對第一振子施加相對方向衝力／瞬時廣義力時，會產生非零的旋轉加速度；改為作用在對稱的另一支點，旋轉響應的符號可以翻轉。

這不是「同一總機械能必然保留」的展示，而是相同物理方程形式、相同驅動型別、不同真正力臂引發的機械反事實。若想把質量與轉動慣量視為完全控制的比較變數，安裝位置變動後還必須用校準後的底座慣性、重心與配重設定，才能合法聲稱排除其他幾何混淆。

5.5 C-12-04：真正的幾何因果效果也有零方向

對於 $d_i=(1,0)$，位置 $r_i$ 的 $y_i$ 直接影響旋轉方向慣性耦合；但這不表示所有 $x_i$ 或 $y_i$ 位移都會以相同強度、相同符號或在所有底座自由度下產生效果。不同作用方向下 $J_i^{\mathsf T}d_i$ 的零空間也不同；若轉動慣量極大或旋轉受到外部拘束，預測中的旋轉路徑可以趨近零。幾何是依實際運動與約束規則而有效，不是幾何圖像對集體狀態的無條件決定。

5.6 幾何觀測的最低設備需求

E1 以相機或位移感測器同步紀錄底座中心的 $X,Y$ 、姿態 $\psi$ 與各振子安裝點；E2 應有至少兩個空間分離的底座位置測量，以區分平移與剛體旋轉；若底座顯著形變，僅用單一剛體姿態擬合可能把彈性場誤判為旋轉。幾何對照應紀錄支點座標、誤差棒、物理方向、底座重心、慣量張量、支承摩擦及材料狀態。

6. D-12-06：M3 彈性平台與有限模態基準

6.1 不能把完整平台視為永久剛體

當 100 個或 1,000 個節拍器分布在較大平台上時，材料的彈性形變可能不是可以事先省略的零階細節。平台有自己的波傳播速度、模態頻率、阻尼、邊界接觸、厚度與表面安裝條件。兩個格點的歐氏距離即使相等，也不保證通過彈性體的機械傳遞函數相同；相同外觀排列甚至可因支撐位置不同而形成不同振型。

研究可先使用線性彈性場 $w(r,t)$ 的模態截斷

其中 $\phi_a$ 是在指定材料、幾何與邊界下求得的合法模態形狀， $\eta_a$ 是模態廣義座標。支點 $r_i$ 與模態的耦合由 $\phi_a(r_i)$ 或其導數／邊界虛功形式決定，不能隨意取同一常數。

6.2 有限模態不等於真實自由度消失

選擇 $K$ 個模態的工作目的，是在已知任務及誤差尺度下建立可控的近似。被截去的模態仍可能經由記憶、瞬態放大或未解析力回到可見演化；GMDIS-08 已提供消去隱藏模態後的精確記憶模型與適當的 Markov 近似邊界。因此 M3 必須至少保留兩類物件：顯式的 $K$ 模態與被截斷的動態殘差／上界。不能把後者命名為「已吸收」便宣稱零影響。

6.3 D-12-07：模型成本與模態選擇

若局部振子到模態的有效耦合矩陣為 $G\in\mathbb R^{N\times K}$，每次計算 $G^{\mathsf T}u$ 及 $G\eta$ 需要典型 $O(NK)$ 工作與儲存；如果存在稀疏性或局部支撐，成本可以進一步降低，但須提供具體 sparsity 證書。若從 $K=10$ 升到 $K=100$，需分別比較保留頻譜、模型誤差及實際時鐘時間，而不能只比較相位序參量。對模態密集與非局部響應的結構，將 $K$ 固定且 $N\to1000$ 並不自動代表逼近誤差固定。

6.4 空間—時間收斂驗證的正確順序

首先固定物理世界及同一目標任務，逐步增大 $K$，檢查觀測軌跡與能量帳本的變化。其次固定 $K$，比較數值時間步減半結果。最後再變更 $N$ 、支點分布和平台尺寸。若同時改變 $K$ 、 $N$ 、底座質量與支撐方式，沒有嚴格的試驗矩陣就不能將預測差歸因於單一物理因素。對 M3 的驗證證書須另外記錄模態正交化、邊界條件、截斷殘差及是否有模態混疊。

6.5 C-12-05：相同幾何、不同彈性邊界

在完全相同的 $N$ 個支點、相同物體位置下，只將平台的一邊從自由端改為固定端，或改變一個支撐點的剛度，其模態基底與頻率即可不同。在某些配置下甚至相同瞬時位移與速度，隱藏的彈性應力場不同，會導致不同後續反作用。這項反事實應被標記為 B／R 邊界與模型級別的改變，而不是 SIO 的資訊佔據自動產生一種新的物理力。

6.6 H-12-01：真正要被驗證的額外物理增益

如果跨幾何留出試驗發現 M1 與 M2 已能充分預測所有指定任務，則 M3 的更高精細度沒有提供足夠實用增益；若 M3 的可驗證彈性模態特徵能顯著減少留出幾何的未來軌跡誤差，則可支持「更多物理作用必須保留」的任務性主張。判敗路徑是 M3 被 M1/M2 取代，而不是事後另加無法測量的張力參數。

7. D-12-08：M4 聲學、空氣與熱交換的物理帳本

7.1 聲場是動力學子系統，不是裝飾性模態

聲波是空氣或其他媒介的壓縮與運動，能以壓力與速度場傳遞動量、能量和訊號。若裝置對聲學作用敏感，應先使用明確的線性聲學 PDE 或其離散版本，連接到會實際做功的機械邊界。對純機械擺鐘而言，僅在附近放置另一個可發聲節拍器並不表示聲音耦合足以改變擺動；必須有可度量的聲力或聲學回饋路徑。Kada 等（2017）所用的是具有麥克風讀入與控制回饋的電子節拍器，不能直接外推成所有傳統機械節拍器都具有同等聲學耦合強度。

7.2 最低線性聲學場

以小擾動聲壓 $p(r,t)$ 、流速 $v_a(r,t)$ 、背景流體密度 $\rho_0>0$ 、音速 $c>0$ 表示，理想線性無黏聲學為

局部聲學能量密度是

其理想局部平衡形式為

若存在機械／空氣界面，需用法向速度與牽引力在兩側的實際功率符號對帳。GMDIS-06 已建立一維聲腔—活塞的最低一致性模型；本篇不把該基準額外改名為一條「全球新聲場守恆律」。

7.3 必須區分三種空氣問題

第一是微小線性聲壓傳播，適用於明確的弱擾動條件；第二是黏性流體的空氣阻力及邊界層，可能改變機械耗散；第三是大尺度可壓縮流動、湍流或熱對流，若裝置真的有足夠的流體運動便須使用更一般的守恆方程。三者並非可不經檢查任意相加的「三個勢能項」。若一個完整流體模型已包含聲學自由度，再獨立加上同一介質的全部線性聲學能量，就是雙重計數。

7.4 聲學負控制的物理方式

可在保留底座支撐、總質量、振子頻率及測量條件不變的情況下，調整隔音屏障、反射邊界或空氣聲學吸收材料。若這些操作同時改變平台接觸、空氣溫度或局部電力回饋，須再施加配對控制。聲學效應的正面證據必須同時包含可測聲壓／聲學通量與對振子實際運動的額外影響，不能只因兩者節拍聲一同響起就把相關性當成因果耦合。

7.5 熱帳本與耗散的方向

對黏性、摩擦與熱傳，應指定機械／聲學子系統損失的能量流入哪個內能、環境或外部熱庫。熱能增加可以伴隨總機械能衰減，但熱流不一定完全回饋到可見節拍器的單一模態。若將熱容或溫度場納入狀態，還須滿足相應的熱力學假設及正確邊界通量；不能由「熱力學第二定律」直接推出所有運動必然在短時間內相位同步。

7.6 H-12-02：聲學與熱作用在何種任務下不能被忽略？

在固定物理裝置及多個外部邊界下，測試加入 M4 的聲學／熱剖面能否提升對擾動後恢復、局部溫升、聲腔共振或長時間頻率漂移的預測。若 M2／M3 加上經辨識的有效阻尼，已足以預測所有事先指定任務，完整 M4 對該任務可能沒有足夠增益。此結果不能證明聲場不存在，只代表高保真模型在指定目標與成本約束下不一定必要。

8. D-12-09：M5 真正擒縱、碰撞與庫侖滑黏的混合事件模型

8.1 線性振子和真正機械節拍器的差別

實物機械節拍器以角坐標 $\theta_i$ 、擺錘質量分布、重力回復、擒縱輪／游絲或彈簧能源以及事件衝量運動。小角度、單一平動質量與平滑速度負阻尼都只是替代模型。一個自激 Rayleigh 振子可用於測試程式的驅動／耗散與可持續振盪機制，但並不會自動具有真實節拍器的擒縱聲響、離散卡合、發條能量耗盡與振盪死亡閾值。

8.2 最低角擺—底座運動的真實幾何

例如平面底座水平座標為 $X$，擺錘質心相對安裝點長度為 $\ell$，角度由垂直方向計算。質點座標可取 $(X+\ell\sin\theta,-\ell\cos\theta)$，其運動動能為

重力位能為

這個幾何的角度依賴與質點簡化的 $X+u$ 已不同，擒縱廣義力又必須乘對應角速度而不是錯誤地乘任意觀測速度。若存在桿件質量、轉動慣量及多個質心，需要另由真實機構的動能重建，不能直接使用質點擺代替。

8.3 事件切換與能量跳躍

令 $h_i(x)=0$ 表示發生擒縱或接觸事件的 guard， $R_i(x^-)$ 表示該事件的狀態重設。事件前後的動量差由允許的衝量 $\Lambda_i$ 、有效 Jacobian 和質量矩陣決定；能量差

必須在發條、碰撞耗散或外部驅動帳本中找到來源／去向。若事件有耗散性恢復係數，不能無條件宣稱剛性碰撞守恆機械能。若驅動能量來自逐漸耗盡的內部發條，發條狀態也應是合法世界狀態之一。

8.4 底座乾摩擦與滑黏

Goldsztein 等（2022）強調了底座乾摩擦及滑黏對同相、反相、鎖相漂移與振盪停止的影響。因此 M5 若要接近實物，應至少區分黏性阻尼與庫侖乾摩擦。對簡化一維接觸，運動中摩擦大小近似由法向反力乘動摩擦係數給出，方向反抗相對滑動；靜止接觸時則屬可承受範圍內的靜摩擦約束。這一般是非光滑微分包含、互補條件或事件問題，不可直接用固定的線性 $-c_B V$ 概括所有情形。

8.5 振盪停止不是資料遺漏

當擒縱條件不再成立，某振子的幅度可能降到不能維持週期振盪；它不是一個「相位為零」的同步者。資料結構應具有 oscillator-death、escapement-inactive 或未分類狀態。若仍計算 Kuramoto 相位序參量，應在估計器前先處理活躍性與有效相位條件，並把被排除的個數報告出來。否則看似全體同步的結果可能只是部分振子已停止而被後處理靜默丟棄。

8.6 H-12-03：何時才有資格把 M5 稱為節拍器物理孿生？

至少要有製造／量測得到的擺錘分布、摩擦—支撐曲線、擒縱事件時間、單體無耦合自由振盪、發條能源時間序列及底座接觸資料。把這些資料用於辨識後，必須用不同初態、不同幾何與不同材質的留出實驗檢查，而不是只在相同訓練序列上重播一致結果。本篇尚未取得此資格，也不使用 digital twin 作為已完成狀態。

9. D-12-10：反事實干預矩陣與四類作用的物理合法性

GMDIS-11 區分狀態、規則、邊界及觀察干預。本篇不能只有模型列表，還必須把每個干預寫成控制哪些參數、預期哪些觀測可改變、哪些效果理應維持不變的成對試驗。

9.1 任何「只改規則」都必須保留物理條件可比性

真正的實驗無法直接改寫宇宙牛頓定律，但可以換支撐材料、調整摩擦、增加局部彈簧、控制電驅動或增加／關閉可識別耦合通道。這是有效生成機制或模型類反事實，不等於改變自然界基本常數。若不同規則導致不同合法狀態空間，必須明示共同初態嵌入與比較映射；若無法合法橋接，應標記 not-comparable 而非硬算「Shi 距離」。

9.2 配對控制要先決定「等量」的物理意義

擾動方案可能要求相等位移、相等施力、相等衝量、相等輸入功或相等能量比例，這些控制沒有天然的等價性。若研究目標是不同平台剛度的可恢復能力，固定施加位移可能使不同平台吸收不同初始能量；若固定輸入能量，則實際位移又可能不同。研究者必須先寫清楚哪一類是主實驗、哪一類是敏感度補充，否則容易產生「規則勢造成了差異」的虛假因果結論。

9.3 多因子干預不應全部用單變量描述

底座質量、阻尼、位置、擺動方向與擒縱強度間可能具有交互項。可以用事先指定的二因子或三因子 factorial design 加入交互項，尤其是幾何 × 阻尼、旋轉自由 × 支點位置、聲學邊界 × 外部頻率、擒縱供能 × 摩擦。交互作用不能被事後任意當成新的「物理力」。

9.4 反事實的隨機重播契約

若使用 K 型古典隨機模型，需說明兩個反事實是否共用同一份底層噪聲路徑（common random numbers），或由獨立抽樣構成條件分布比較。前者可降低部分數值方差，但改變噪聲耦合定義；後者更接近比較機率核的完整分布。對兩種方案都須保留 seed、噪聲模型與信賴區間，不能只用一次運行的不同結局宣稱跨規則必然分岔。

10. D-12-11：從相位分類走向有型別的多不變量物理剖面

10.1 觀測包應同時保留狀態、能量、模態及結局

定義在條件 $\Gamma$ 下的觀測剖面

這是一個有型別的資料紀錄族，不是待求和的單一無因次量。不同欄位必須列明單位、時間窗、觀測誤差、合法適用條件及推論目標：

10.2 一個相位序參量不是所有穩定性的充分統計量

對具有有效相位 $\varphi_i(t)$ 的活躍振子，可以估計

其中 $A(t)$ 是指定時間窗內相位有效的活躍集合， $N_a(t)=|A(t)|$ ；但必須同時報告活躍比例 $N_a/N$。否則只把仍擺動的 5 個振子算成近乎完美同步，會遮蔽其他 995 個已停止的事實。對非完全週期、變振幅、間歇模式或事件缺漏，需先定義相位估計器的有效性門檻，無效則不得強填數字。

$R_\varphi$ 接近 1 只能顯示相位集中，並不保證相同角振幅、相同輸入功率、相同自由度陰影或相同吸引域。在固定幾何的旋轉平台上，相位接近也可能對應與純平移完全不同的底座作用通路。因此相位指標必須與能量、底座運動、模態與生存狀態並列，而不是被宣稱「理論上沒有任何資訊」。

10.3 不要用一個常數閾值決定所有「同步」

至少分開五種結局：同向同步（in-phase）、反向或多群同步（anti-phase／cluster）、固定非零相位差、未鎖定／相位漂移，以及振盪停止／擒縱失活。若出現轉動模式、行波、嵌合態或間歇模式，應保留多模態標籤，並區分狀態分類器不確定與真實混合現象。任何固定的同步閾值，均需以採樣率、振動頻率、儀器噪聲及研究任務預先校準；本篇不憑空為 E4 宣告一個普遍門檻。

10.4 用能量帳本排除虛假的同步故事

即使集體相位逐漸聚攏，系統中仍可能持續注入能源、耗散熱量或交換彈性與聲學能量。因此需記錄

$P_{\mathrm{net}}$ 包含所有外加功率、實際內部能源輸入、外部邊界通量及從該帳本流出的耗散；每項物理機制只能在帳本內出現一次。數值積分時， $R_E$ 不必在有限時間步下恰為零，但須隨步長與求解誤差控制而合理縮小；對真實感測器還須加入儀器誤差與未測通路的不確定度。

10.5 影響陰影的有限時窗定義

對完整模型選定局部輸入 $u_i(0)$ 、遠端觀測 $y_j(T)$ 及固定反事實條件，可建立靈敏度

當實驗需要使用影響陰影時，應事先設定空間、時間、單位正規化與噪聲門檻，才可暫定

這個集合是模型與觀測任務相對的動態影響範圍，並不等同 SIO 的合法狀態集合被硬約束削減。M1 的理想剛體底座可以在加速度方程中產生即時全域回饋，這是零彈性延遲理想化；不能據此主張真實材料允許超光速或超聲速的非局部傳播。M3／M4 需在實際波速與介面傳遞條件下重新確認有限時間效應。

10.6 拒單測 X 是結論，不是大型世界的入場標籤

一個世界同時含固體、空氣與熱，不代表任何研究任務都必須使用 X。若目標僅是估計某振子的局部頻率，單一足夠長且高信噪比的位移歷程可能完全足夠。相反地，若任務是區分「同相但底座應力不同」的物理反事實，而所有被允許的單通道表示都失敗，才有資格給出 X 的語境相對充分性不足證書。GMDIS-10 已證明單一即時純量、單一時間序列與可用延遲重建的單通道是不同問題；本篇要求各實驗遵守同一區分。

11. D-12-12：GRST／SIO 的物理檢驗位置與不變／換位

11.1 只讓 GRST 分析可行未來的結構，不當作新力

GRST 的全域規則勢是規則對合法未來空間誘導的結構性非均勻；它不是牛頓力、勢能或額外的物理場。對每個明確世界 $W_r$，可以從多個模型或觀察路徑產生條件化的未來任務剖面：可達類、擾動後恢復、有限時間穩定特徵、分岔參數、死振／持續率與作用通量。若這些剖面能在持出幾何或新外力條件下提供更多預測能力，才有支持「Shi-aware」工程增益的理由。

11.2 SIO：局部佔據不等於對其他自由的影響

SIO 描述容器構成位、合法局部纖維、約束與剩餘配置空間；在本篇中，支點佔據位置與真正可動自由度的差，必須由模型的接觸／耦合方程證明，而不是被當作宣稱物理世界「由資訊纖維組成」的實在論證據。對 M2，位置 $r_i$ 本身具有可明確重算的力矩通道；對 M3，模態值 $\phi_a(r_i)$ 改變動態回應；對 M1，格點純文字重新排列沒有額外力學作用。這三項成對出現，才構成值得保留的物理資訊幾何範例。

11.3 同規則、異構形與同構形、異規則

在同一具體模型下，控制物體質量、驅動與支撐，改變安裝位置與方向，測試幾何構形對未來模態和穩定性的影響；另在固定所有可比較初態下，改變可操作的底座阻尼、支撐或有效接觸機制，測試規則／邊界的作用。兩組實驗不得混為同一對照。若兩個候選世界在目前觀測器下等效，但引入干預或增加傳感器後變得可區分，則是 GMDIS-11 已提出的觀測與干預可辨識性問題。

11.4 可觀測差異不保證規則唯一

即使兩個試驗呈現明顯不同的長期模態，也不能從相位或單次底座運動唯一反演出某個摩擦係數、聲學傳遞路徑或機械幾何。不同的規則族可能在有限觀測下實現相同輸出，此即 GRST 的 Rashomon 規則族問題。應使用額外干預、留出條件、多感測剖面與預註冊的模型辨識，不能把一個「最佳擬合」的機制立即升格成唯一自然法則。

11.5 H-12-04：GMDIS 自身可失敗的核心假說

對已凍結的 E4 實驗族，若附加的 SIO 影響陰影剖面與 GRST 未來剖面，經過公平參數調整、留出裝置和相同計算預算，能比已校準的經典模型顯著減少預測誤差或改善機制鑑別，才有正向工程增益；反之若效果能被更簡潔既有可觀測性／控制／動力學特徵完全吸收，應把其獨立新穎性降級。被吸收不等於原始直覺沒有研究價值，卻不能繼續宣稱新物理定律。

12. D-12-13：24／72 有型別分層標記及範式路徑

12.1 保留原始四軸及其限制

24 範式由底空間／表示基底 B（連續 C、離散 D）、更新 U（序列 S、選擇 J、並行 P、識別 R）、觀察 O（連續 C、離散 D、拒單測 X）組成；72 格再加最小充分轉移律 L（確定 F、古典隨機 K、量子通道 Q）。它們是模型與計算事件的分類文法，不是自然界有 72 種根本作用，更不是規則勢的數值分級。

12.2 必須標記對象層，否則分類沒有物理意義

例如 M1 的連續牛頓世界可用 F 型確定動力律，某數值模擬器將 $N$ 個局部加速度以向量化方式並行計算，則其求解事件可標為 C-P-C-F。對相同物理世界做離散影格的事件計數，觀察層又可呈現 D 型離散結果。若計算器在離線查詢時由快取表讀取已預先算好的結果，該計算事件的 U 可能是 R，但物體在自然界沒有因此改為「Recognition 物理動力學」。

12.3 「含隨機」不等於「更量子」

M1 的合成程式完全確定，不因在雙精度 CPU 上執行就成為 D 或 Q 型物理本體。若納入經典熱噪聲、隨機摩擦或實驗擾動，模型層可視研究語境採 K；但擺角的相位、平台共振及音波相干，不足以自動啟用量子通道 Q。若在微觀層真的需要不可約相干量子資訊，才考慮 Q，並分開記錄其是否對宏觀任務有必要。

12.4 混合事件首先拆分而非建立第 73 格

完整機械節拍器包含連續擺角演化、離散擒縱切換、可能的隨機接觸擾動以及來自聲學場的連續回饋。因此模型圖可以具有多個帶 72 格標記的節點和合法介面，而非全機器只填一個代碼。對每個接口，還應有物理單位、共享狀態契約、時間對齊、能量通量、歷史記憶及誤差控制。這正延續 GMDIS-09 的 typed bridge，不應由分類字串替代真正的物理模型。

12.5 72 格標註的陰性基線

同一份完整模型與相同數值求解器，即使人工更改 72 格文字標籤，也不應改變真實積分出的物理軌跡。若出現差異，應檢查標籤是否透過路由機制實際選擇了不同算法或參數；只有在這種有證據的計算路由情況下，標籤才會間接影響結果。不能把描述語言的更名本身當成新的物理因果。

13. N-12：可重現合成數值基準及已執行結果

13.1 目的不是宣稱 1,000 個真節拍器已經同步

為檢查前述 M1 方程能否在四個實驗規模下正確求解，本文建立不依賴外部資料或隱含機器學習權重的純 NumPy 程式。它每次做兩個合成條件：(A) 完全關閉局部自激，只保留正阻尼及機械彈簧的被動振子；(B) 使用一個平滑 Rayleigh 型負阻尼／自激代理力，其正負功率都必須進入能量帳本。B 是平滑自激模型，不是具齒輪、彈簧儲能和擒縱碰撞的實物節拍器。它用來檢查世界仍有持續能源輸入時，數值能量帳本是否仍然閉合。

本篇並沒有在 E0–E3 合成案例上宣稱出現同相、反相、嵌合態或持續穩定週期。4.8 秒的數值時窗不足以證明長期吸引域；其資料只做有限時間解與能量驗證。後續要研究真正的集體模態，還需在已校準的 M5 及長時間、不同初態條件下辨認。

13.2 D-12-14：明示參數與維度

合成參考模型使用以下參數：

局部初態以固定解析函數產生： $u_i(0)=0.065\sin(0.67i+0.2)+0.015\cos(0.4i)$ 米、 $v_i(0)=0.08\cos(0.63i+0.1)$ 米／秒；底座 $X(0)=0.015$ 米、 $V(0)=-0.008$ 米／秒，索引 $i=0,\ldots,N-1$。故四個規模包含可精確重現的同一生成規則，但各規模的總初始能量並不相同，不能把各列 $E$ 的總量大小直接當成同步程度。對真實節拍器而言，這種初態不一定能直接由擺角擺速對應。

B 組平滑自激廣義力為

其功率 $f_iv_i$ 可以為正、零或負。這個模型的能量輸入方向由相對速度決定；不含真實擒縱輪的離散能量釋放、發條能量餘額或運動停止門檻。

13.3 N-12-01：八組合成運行與能量帳本

表中「最大能量帳本殘差」定義為整條軌跡中 $|E(t)-E(0)-W(t)|/E(0)$ 的最大值，其中 $W$ 與主方程使用相同 RK4 積分器直接積分淨功率；不是每次用末態能量差回填以人為保證為零。

被動組各規模的機械能均單調不增；平滑自激組在本次 4.8 秒時窗內則有淨正功輸入，能量增加。這兩項只是驗證指定自激／耗散動力律及其能量帳本，不能將被動能量衰減當成同步，也不能把自激能量增加當成穩態成功。

13.4 N-12-02：自由底座等效質量正定譜檢查

對前述 M-12-03 的慣性矩陣，在四個 $N$ 下由解析式得到共同方向的本徵值與橫向本徵值；程式另外以無須構造稠密矩陣的矩陣—向量乘法，檢查測試向量的二次型為正。這個譜結果代表同一質量參數對應的自由底座零總動量極限，不表示上一節帶 $k_B$ 、 $c_B$ 的合成軌跡具有同一無耗散運動。

13.5 N-12-03：旋轉幾何的可區分反事實

對兩個 $m=0.12$ kg 的振子使用 $M_0=\operatorname{diag}(1.8,1.8,0.25)$ 的平面底座慣量矩陣，局部作用方向 $d=(1,0)$ ；只令第一振子廣義力為 1 N，其他為零。程式在同一質量塊模型下比較同軸位置、上下偏軸及偏軸交換：

「同軸」時旋轉加速度恰為零；「偏軸」時轉動加速度非零，而且施力點位置上下交換使其符號翻轉。這直接驗證了幾何透過明確的力臂與慣性耦合進入動力學。其數值屬特定小位移線性模型，不能直接當作 2026 年 Chaos 文獻中真實節拍器旋轉模式的實驗重現。

13.6 N-12-04：固定／移動底座的遠端響應核對

在 $N=2$ 且只有第一振子產生初始位移的成對設定下，參考程式得到第二振子的初始相對加速度：

• 可動底座：第 2 振子初始相對加速度 -0.287797664 m/s²。
• 固定底座：第 2 振子初始相對加速度 -0.000000000 m/s²。

數值不為零的原因是底座共同加速度的回饋，並非兩個振子間新增了不可見的直接彈簧。對應固定底座模型下，第二振子不受局部回復力，初始加速度為零。這個負向／正向成對結果比單純展示 $R_\varphi=1$ 的動畫更接近本系列希望研究的可合法干預之作用通道。

13.7 N-12-05：時間步收斂的補充檢驗

同一 $N=100$ 、同一平滑自激初態與 $4.8$ 秒視窗，另以 $\Delta t=0.004,0.002,0.001$ 做時間步減半的末態對照。相鄰兩解的最大絕對狀態差依序約為 $6.15\times10^{-7}$ 與 $4.02\times10^{-8}$ ；此比值與四階 Runge–Kutta 在光滑軌跡上的預期收斂階近似一致。這是一組合成求解器自我一致性檢查，不是對真實機械測量精度的證明。若未來加入擒縱碰撞或滑黏事件，固定步長 RK4 不能不加事件定位便延用同一光滑收斂保證。

13.8 N-12-06：執行平台差異與雜湊用途

附錄程式記錄每組末態雙精度位元組的 SHA-256；它可作為特定環境下的完整性輔助，不應跨 CPU、NumPy、BLAS 或編譯選項無條件要求 bit-for-bit 相同。真正的跨環境驗證主判準仍是物理量及其相對容差、能量帳本與時間步誤差。單機實測耗時依環境及版本而定，本文不拿這次運行的執行秒數推論其他硬體的普遍效率。

14. D-12-15：數據規格、可重現性與最低治理標準

14.1 實驗索引必須包含世界指紋與數值版本

每份測試紀錄至少分開：model specification、physical geometry、support boundary、numerical solver、state initialization、intervention、sensor channels、uncertainty model 和 output files。若兩筆資料只是在不同的插值方式下產生不同同步標籤，應標示為 observation-level difference，而不是模型世界的規則勢態勢換位。

規格範例（具備固定語義，但不是宣稱真實裝置已執行）：

schema: GMDIS12-BENCH-v0.1
experiment_id: E2-M3-CF3-example
status: planned  # planned|synthetic_verified|instrument_measured|blind_validated|failed|inconclusive
world:
  object_kind: mechanical_oscillator_array
  count: 100
  geometry: {rows: 10, columns: 10, coordinate_unit: m}
  mass_and_inertia_source: not_measured
  support: {type: finite_elastic, geometry_and_BC_hash: null}
model:
  family: M3
  physics_rule_hash: null
  coupling_ports: [mechanical]
  energetic_accounting: required
  excluded_physics: [fluid_acoustics, thermal_feedback, true_escapement]
numerics:
  solver: unspecified
  time_step_s: null
  mesh_or_modal_basis_hash: null
  refinement_evidence: null
observation:
  required: [oscillator_motion, platform_motion, energy_ledger]
  optional: [strain, acoustic_pressure, temperature]
  valid_phase_gate: required
intervention:
  class: boundary_or_model
  pair_id: null
  frozen_controls: [initial_state, oscillator_parameters]
  active_variant: finite_elastic_support
  matched_work_budget: unresolved
reproducibility:
  random_seed: null
  code_sha256: null
  raw_data_sha256: null
  instrument_calibration_file: null
  result_status: not_run
  validation_level: not_claimed

這裡的 null 和 not_run 是刻意保留，不能為了「資料表完整」擅自填入不存在的軌跡、時間戳或裝置量測。

14.2 真實 E4 需要一組獨立的測量校準鏈

建議至少測量節拍器擺角或末端位置、底座位移／姿態、局部振動、底座質量與轉動慣量，以及可識別的外部擾動時刻。若任務涉及聲學因果，應增加校準麥克風及聲學傳遞路徑；若涉及熱耗散，則至少要有材料溫度、環境熱通量或相關校準模型。每個感測器應記錄解析度、飽和範圍、時鐘同步精度與儀器本身是否對系統施加額外阻力。

重要： 聲音感測與攝影機時間戳可能觀察不同的現象。例如一次擒縱聲響不必與擺角極值完全重合；若用聲波峰值當作相位標籤，需先校正聲音傳播延遲與事件定義，不能把感測器差當作真實相位延遲。

14.3 參數識別與測試資料應嚴格分離

可以先用 E0 的小系統辨識局部自然頻率、阻尼與驅動通道，再在 E1／E2 留出新的幾何及支撐；對 E4 實體裝置，建議至少把部分裝置、平台材質或支撐條件保留到最終盲驗，而不是整套資料隨意反覆用於參數調整。若擴大模型只有在同一訓練裝置上成功，其實際新穎性仍是未決狀態。

14.4 FAIR 與機器可重建規格

文獻 [E15] 的 FAIR Principles 強調可尋得、可存取、可互操作與可再利用的研究資料管理。在 GMDIS 中，最低實踐應包括清楚機器讀取 schema、資料與模型權限、可解析的原始檔雜湊、單位與儀器校準紀錄、公開後的永久識別方式，以及當儀器／資料涉及無法公開的細節時對授權與使用限制的透明說明。FAIR 不代表一切資料都必須無條件公開，更不代表任何合成結果可代替實物觀測。

15. 可判敗的實驗預註冊與量化基線

15.1 先凍結任務，再討論「更完整的世界」是否有利

應設置五種代表任務：

• T1：純相位預測。 在已發生週期運動且擾動弱的區域，最簡相位模型能否以更低成本達到同等性能？
• T2：多模態結局。 同相、反相、固定相差、分群及死振是否可由完整模型與既有強基線可靠區分？
• T3：幾何留出。 未見安裝位置及平台旋轉自由度下，加入 M2／M3 幾何是否提高預測？
• T4：介質與能量。 加入聲學、熱／耗散帳本，能否在指定可測任務改善未見擾動預測？
• T5：物理機制鑑別。 控制初態及觀測後，能否區分底座阻尼變化、聲學耦合、擒縱變化及幾何配置？

其中 T1 是刻意給低維模型一個擅長任務；若 GMDIS 對 T1 反而耗費更多計算與感測且沒有預測增益，應如實記錄，而不是將「更高維」當成必然更好。

15.2 B0–B6 公平基線族

模型的觀測入口必須清楚。例如 B3 若給予真實未來全部底座狀態，而 B0 只有現在一秒聲音，兩者不構成公平比較；B6 若在訓練與留出條件皆反覆重算特徵權重，也會造成資料洩漏。對不同成本的模型，需給出固定感測預算、固定總估算成本或明確 Pareto 邊界，而不是只用最高精度模型的原始誤差宣布勝利。

15.3 統計方法與「多少次才夠」

應依欲檢出的效應大小、儀器噪聲及研究的模式多穩態，事先決定重複次數與功效；本文不憑空指定 E4 應該有多少台裝置、多少次即可代表自然世界。若模式存在多穩態，必須報告每種起始條件與各模式的成功比例，而非只呈現最具視覺效果的同步影片。使用 bootstrap、階層模型或其他適當統計方式時，需要保留單次試驗的原始序列與初始狀態；不可只報告平均相位曲線。

15.4 明確可讓研究失敗的條件

• F-12-01：能量帳本不閉合。 排除數值積分與測量誤差後，介質功率出現無法解釋的非守恆來源，模型需修正。
• F-12-02：模型層級失配。 宣稱 M1 的模型對格點位置異常敏感，且不能指出物理因果通道，模型需撤回幾何主張。
• F-12-03：隱含資料洩漏。 B6 在未見樣本上的改善來自未合法取得的未來感測或同條件調參，證據失效。
• F-12-04：額外作用沒有任務增益。 在足夠測量精度及有效統計下，M3–M5 對預註冊目標未帶來足以抵銷成本的改善，應保留較小模型。
• F-12-05：GRST／SIO 只重命名既有特徵。 加入標籤不提高可辨識性、外推或可解釋性，理論貢獻須降級。
• F-12-06：形態分類不可穩定重現。 不同研究者依同一原始 24／72 規格對相同物理／模型／求解事件仍有顯著非偶然差異，分類契約需重新設計。
• F-12-07：對真實節拍器超額聲明。 未校準的 Rayleigh 替身不應取得 M5 或 E4 真實實驗的驗證資格。
• F-12-08：長期模式失配。 只展示數秒軌跡卻宣稱無條件同步或唯一吸引子，結論不成立。

15.5 允許「不充分」與「不支持」的研究地位

若目前感測器或資料不足以區分兩組候選世界，就標為 inconclusive；若共同狀態橋接條件根本不合法，則標為 not-comparable；若模擬驗證通過但實物尚未做，標為 synthetic-verified／physical-unvalidated。這些不是表現不好的失敗資料，而是幫助後續研究者避免把不同研究地位混成一個「已完成」標章。

16. 模型驗證與真實驗證：三層誤差必須分開

16.1 方程錯誤、數值誤差及模型錯配

當合成數值軌跡與實物不同，原因至少有三個層級：第一，方程或其程式實作錯誤，例如漏掉共用底座的慣性反作用；第二，數值求解誤差，例如擒縱事件跨步、黏滑切換位置錯誤、網格或模態截斷不足；第三，物理模型不足，例如實物含乾摩擦與發條供能，模型卻只用線性黏性阻尼。只有分清這三層，才能知道新增加的 SIO／GRST 表徵是否真正補足因果資訊，還是只是修補程式 BUG。

16.2 積分器測試與能量帳本

對 M1 用模型原本推導的儲能函數直接計算 $E(t)$，同時另設一個積分狀態記錄 $\int P_{\mathrm{net}}$，並對其使用與主 ODE 同一積分器；比較兩者的偏差。若只在每一個時間步把 $W\leftarrow E(t)-E(0)$，則帳本恆等式永遠完美，毫無驗證價值。本篇程式使用的是獨立導出右端功率且與狀態一同積分，所以有限時間步仍可能出現非零殘差；這是有意義的數值誤差量。

16.3 幾何零效應是強制單元測試

在 M1 不含安裝位置的情況下，實作若另傳入 positions，改動該陣列而其他條件固定，不得改變力學右端；若只是變動振子索引或觀測順序，應先校正標記順序後比較。對 M2，交換位置但不交換施力對象則是不同合法的物理干預，理應可能改變旋轉方向。這兩種看似都叫「重新排列」的操作，必須分開檢查。

16.4 事件與接觸的收斂不是光滑 RK4 收斂

加入擒縱 guard 或庫侖乾摩擦後，穿越事件的時間誤差及重設誤差可能主導整段軌跡。需要 event locator、步長敏感度、碰撞能量計算及明確接觸狀態，而不是沿用 M1 的固定步長成功證書；若發生多次接觸與滑黏，還須檢查 Zeno 類情況或數值規則導致的虛假碰撞。若觀測結果只在某特定數值步長下看似同步，就不能直接認定是物理吸引域。

16.5 從模型相似到真實可驗證的最小義務

真實 E4 必須在新裝置、未見初態或不同受控邊界上重現有方向性的預測差。只在同一段影片上重播相位曲線，至多表明描述能力，不代表預測機制或新的規則勢特徵具有獨立增益。物理模型驗證需要外部可觀測的實在，而非僅靠演算法把世界狀態寫得更精細。

17. GMDIS-13 的正式交付接口：基線競爭、消融與否證

GMDIS-12 應交付給下一篇以下最小研究對象：

重要的是，GMDIS-13 必須允許以下結果成立：成熟的剛體／彈性／相位—振幅／Mori–Zwanzig 模型已完整包含本系列的特定可操作效果，而 GRST、SIO 及 24／72 僅提供跨理論分類與研究設計的額外價值。 若發生此結果，新系列應主動調整學術貢獻定位，而不是硬造無法辨識的「全域規則勢新作用力」。

17.1 交付時的清楚禁止事項

不得把 E3 的模型加速度核對稱作物理實物模擬全部完成；不得拿一個經人工挑選的同步初態，當成所有初態都收斂；不得把未量到的空氣聲學作用描述為必然較弱或必然被吸收；不得把模型應力／聲波／熱能與 GRST 的 Shi 語義相加為沒有單位的總勢能；不得將「相位值相同」偷換成「動力學完全相同」；不得將「三維物體格點位置」偷換成「模型更新規則必然受格點影響」。

18. 結論：建立一個可以反對自己的基準世界

節拍器的共同同步容易成為展示性的科學故事：把許多機械擺放在共同平台上，等待它們節奏逐漸一致，便用「耦合」或「吸引子」將故事結束。但 GMDIS 希望回到更嚴格的問題：完整世界中，哪些作用通道真的存在？其傳播時間、幾何槓桿、材料能量、內部供能、阻尼、邊界與觀測器，各自如何限制可行未來？哪些集體模式可以在某些條件下維持，為何同樣的初態在另一套支撐或驅動機制中會分岔？

本篇首先把理論重新帶回可直接檢查的物理底座。對一維剛體模型，我們推導了完整能量帳本、可 $O(N)$ 評估的加速度、自由底座的正定有效質量譜，並證明純幾何重新排列對此模型沒有魔法效應。對平面剛體模型，我們將安裝位置正式寫進速度 Jacobian 與轉動耦合，得到了旋轉與零力臂的成對反例。對更高模型，明確標示了彈性、聲學、熱及擒縱混合事件的方程類、邊界功率及未驗證義務，而非在尚未求解前就宣稱所有微觀自由度都能被一次「全球計算」完成。

八組合成程式運行可重現，且通過指定的一維模型能量帳本檢查；這證明程式能在該模型與數值容限下自我一致，不證明千台實體節拍器一定同步，也不證明自然界存在任何新的基本場。 物理問題的真正答案，必須留給可監督的測量、反事實、強模型基線及外部重現。

因此 GMDIS-12 可以用一句話結束：

我們不是先預設一千個構成單位會形成秩序，然後用理論合理化它；而是先建立能被質疑、能被校準、能產生不同未來的多尺度世界模型，讓同步、反相、分群、失穩及停止，都作為實際可驗證的候選結果。

外部參考文獻與內部原始來源

A. 外部科學文獻（已核對題名與 DOI／正式頁面）

[E01] Pantaleone, J. (2002). Synchronization of metronomes. American Journal of Physics, 70(10), 992–1000. DOI: https://doi.org/10.1119/1.1501118 。共同可動底座的經典二體／多體機械基線。

[E02] Hoogeboom, F. N., Pogromsky, A. Y., & Nijmeijer, H. (2015). Huygens’ Synchronization: Experiments, Modeling, and Local Stability Analysis. IFAC-PapersOnLine, 48(18), 146–151. DOI: https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2015.11.027 。平台參數對同／反相局部穩定性的影響。

[E03] Goldsztein, G. H., English, L. Q., Behta, E., Finder, H., Nadeau, A. N., & Strogatz, S. H. (2022). Coupled metronomes on a moving platform with Coulomb friction. Chaos, 32, 043119. DOI: https://doi.org/10.1063/5.0085216 。乾摩擦、滑黏、同步及振盪停止的實驗與模型強基線。

[E04] Kapitaniak, T., Kuzma, P., Wojewoda, J., Czolczynski, K., & Maistrenko, Y. (2014). Imperfect chimera states for coupled pendula. Scientific Reports, 4, 6379. DOI: https://doi.org/10.1038/srep06379 。部分同步與非同步共存的模型／實驗對照。

[E05] Wu, X., Zheng, C., Lei, Z., Qian, Y., Di, Z., & Cui, X. (2025). Experimental and Numerical Study of Coupled Metronomes on a Floating Platform. Entropy, 27(9), 908. DOI: https://doi.org/10.3390/e27090908 。同相、反相與固定相位差模式的相關案例。

[E06] Hoogesteger, M. M., Pogromsky, A. Y., & Nijmeijer, H. (2026). Huygens' synchrony: Emergent modes of planar symmetrically coupled pendula. Chaos, 36(9), 093135. DOI: https://doi.org/10.1063/5.0331194 。2026 年平面平移與旋轉的幾何誘導模式，是 GMDIS M2 的最強現有實物對照之一。

[E07] Kada, H., Kondo, K., Sumino, S., & Tokuda, I. T. (2017). Experimental study on synchronization of sound-coupled electronic metronomes. Nonlinear Theory and Its Applications, IEICE, 8(1), 15–24. DOI: https://doi.org/10.1587/nolta.8.15 。電子節拍器經麥克風／聲學訊號耦合；不自動代表純機械振子的聲力足夠強。

[E08] Goldsztein, G. H., Nadeau, A. N., & Strogatz, S. H. (2020, preprint). Synchronization of clocks and metronomes: A perturbation analysis based on multiple timescales. https://arxiv.org/abs/2008.02947 。擒縱、快慢尺度與同／反相共存的多尺度解析基線。

[E09] Kato, Y., & Kori, H. (2023, preprint). Synchronization and oscillation quenching in interacting metronomes on a movable platform: simple model and bifurcation analysis. https://arxiv.org/abs/2311.07336 。振盪停止與平均化分岔模型；本文僅依已核實的預印本定位，不推定正式期刊資訊。

[E10] Pecora, L. M., & Carroll, T. L. (1998). Master Stability Functions for Synchronized Coupled Systems. Physical Review Letters, 80, 2109. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.80.2109 。同步流形局部穩定性的成熟譜分析。

[E11] Nakao, H. (2016). Phase reduction approach to synchronisation of nonlinear oscillators. Contemporary Physics, 57(2), 188–214. DOI: https://doi.org/10.1080/00107514.2015.1094987 。避免將有效相位理論誤當過時或錯誤的基線。

[E12] Shirasaka, S., Kurebayashi, W., & Nakao, H. (2017). Phase reduction theory for hybrid nonlinear oscillators. Physical Review E, 95, 012212. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevE.95.012212 。混合事件振盪器的相位降維延伸，需與 M5 正面對照。

[E13] van der Schaft, A. J., & Maschke, B. M. (2002). Hamiltonian formulation of distributed-parameter systems with boundary energy flow. Journal of Geometry and Physics, 42(1–2), 166–194. DOI: https://doi.org/10.1016/S0393-0440(01)00083-3 。多場介面功率與邊界能量的既有數學語法。

[E14] Oberkampf, W. L., & Trucano, T. G. (2002). Verification and validation in computational fluid dynamics. Progress in Aerospace Sciences, 38(3), 209–272. DOI: https://doi.org/10.1016/S0376-0421(02)00005-2 。model verification、model validation、預測與不確定性分離。

[E15] Wilkinson, M. D., et al. (2016). The FAIR Guiding Principles for scientific data management and stewardship. Scientific Data, 3, 160018. DOI: https://doi.org/10.1038/sdata.2016.18 。機器可重用、來源治理及研究資料管理。

[E16] Mori, H. (1965). Transport, Collective Motion, and Brownian Motion. Progress of Theoretical Physics, 33(3), 423–455. DOI: https://doi.org/10.1143/PTP.33.423 。非完整觀測的記憶與有效動力學基礎。

[E17] Zwanzig, R. (1973). Nonlinear generalized Langevin equations. Journal of Statistical Physics, 9, 215–220. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01008729 。隱藏熱浴、非局部記憶與近似 Markov 性。

[E18] Otto, S. E., & Rowley, C. W. (2021). Koopman Operators for Estimation and Control of Dynamical Systems. Annual Review of Control, Robotics, and Autonomous Systems, 4, 59–87. DOI: https://doi.org/10.1146/annurev-control-071020-010108 。觀察函數演化與可測動力學型別的已有方法。

[E19] Chimera states in mechanical oscillator networks. Proceedings of the National Academy of Sciences (2013). 正式全文： https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC3696826/ 。階層機械振子耦合下的嵌合態實驗。該項保留來源網址而不在未核對全部作者時猜測署名。

[E20] Experimental Study of the Triplet Synchronization of Coupled Nonidentical Mechanical Metronomes. Scientific Reports (2015). 正式全文： https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC4657055/ 。三振子可實驗平台與非相同節拍器的強基線。

外部來源的使用界線

[E01]–[E20] 用於界定已有模型、已報告物理現象及可靠的驗證方法。它們不構成「GRST／SIO 已獲實驗證實」的外部證據。本篇的合成 M1 程式與上述實驗室裝置存在物理保真度差距，不得把文獻結果移植到本篇未執行的 M3–M5 實驗欄位。

B. EveMissLab 內部系列與前置原稿

[I01] GMDIS-01 至 GMDIS-11，本系列前十一篇，使用本次對話中已交付的版本作連續性規範；本篇新建的物理模型須接受其能量、觀察、模型級別與干預契約，但前篇的研究性假說不自動提升為實物驗證結果。

[I02] GRST-12｜全域規則勢統合理論（2026-10-05），Neo.K。無界智庫公開版：https://unboundedaxiom.org/p/lm-005022/ 。全域勢不等於力或勢能，是規則塑造合法未來的非均勻結構。

[I03] GRST-07｜因果勢與雙層反事實（2026-10-05 系列），Neo.K。無界智庫公開版：https://unboundedaxiom.org/p/lm-005017/ 。狀態、規則、邊界與觀察的四類干預。

[I04] GRST-11｜最小全域規則勢實驗，Neo.K。無界智庫公開版：https://unboundedaxiom.org/p/lm-005021/ 。在控制狀態與規則下尋找可測的未來差異。

[I05] SIO｜空間資訊佔據、構成纖維與容器自由度（2026-10-02），Neo.K。無界智庫公開版：https://unboundedaxiom.org/p/lm-005071/ 。幾何支撐與自由度陰影的定義來源；不等於已存在物理「資訊纖維」場。

[I06] 計算的二十四重範式 v4.0（2026-07-19），Neo.K。無界智庫公開版：https://unboundedaxiom.org/p/lm-001708/ 。B/U/O 的正式可尋址分類。

[I07] 從二十四重計算形態學到七十二格計算動力學（2026-07-19），Neo.K。無界智庫公開版：https://unboundedaxiom.org/p/lm-001687/ 。新增 F/K/Q 最低充分轉移律。

[I08] GCCF-06｜24／72 作為全域計算路由文法（2026-09-22），Neo.K。分類標記屬模型及計算事件，不能簡化為物理自然律。

附錄 A：最低符號、型別及可比較性速查

附錄 B：可重現 NumPy 參考程式（與正文已執行模型相同）

使用方式： 將下列 python 區塊的原始碼存成 gmdis12_reference.py，在已安裝 NumPy 的 Python 3 環境直接執行 python gmdis12_reference.py。該程式只依靠 NumPy／標準函式庫，不需下載任何私人模型、設備資料或網路資源。所有輸出標註 synthetic_reference_not_real_metronome_measurements。它是M1 的參考程式及 M2 的局部幾何核對，不是 M3–M5 已實作的宣稱。

#!/usr/bin/env python3
"""GMDIS-12 synthetic, energy-accounted multi-oscillator reference.
No experimentally calibrated physical metronomes are claimed.
Requires numpy.  Outputs a single JSON document.
"""
import json
import hashlib
import math
import time
import numpy as np

VERSION = 'GMDIS-12-ref-v0.1'


def params(n):
    m = np.full(n, 0.12, dtype=float)
    w = 2.0 * math.pi * 1.35
    return {
        'm': m, 'k': m * w**2, 'c': np.full(n, 0.015),
        'M': 2.0 + 0.5 * n, 'cB': 0.06 + 0.005 * n,
        'kB': 0.15, 'drive_gamma': 0.16, 'vstar': 0.85,
    }


def make_state(n):
    i = np.arange(n, dtype=float)
    y = np.zeros(2 * n + 3, dtype=float)
    y[0] = 0.015  # platform coordinate
    y[1] = -0.008 # platform speed
    y[2:2+n] = 0.065 * np.sin(0.67 * i + 0.2) + 0.015 * np.cos(0.4 * i)
    y[2+n:2+2*n] = 0.08 * np.cos(0.63 * i + 0.1)
    return y


def energy(y, p):
    n = p['m'].size
    X, V = y[0], y[1]
    u = y[2:2+n]
    v = y[2+n:2+2*n]
    return float(0.5 * p['M'] * V**2 + 0.5 * np.dot(p['m'], (V+v)**2)
                 +0.5 * p['kB'] * X**2 + 0.5 * np.dot(p['k'],u**2))


def rhs(y, p, driven):
    n = p['m'].size
    X, V = y[0], y[1]
    u = y[2:2+n]
    v = y[2+n:2+2*n]
    if driven:
        f = p['drive_gamma'] * (1.0 - (v / p['vstar'])**2) * v
    else:
        f = np.zeros_like(v)
    # m_i (u_i''+X'') = f_i - c_i u_i' - k_i u_i
    a0 = (f - p['c'] * v - p['k'] * u) / p['m']
    # M X'' + sum_i(m_i a0_i) = -cB X' -kB X
    ax = (-p['cB']*V-p['kB']*X - np.dot(p['m'],a0))/p['M']
    du = a0-ax
    P = float(np.dot(f,v)-np.dot(p['c'],v**2)-p['cB']*V**2)
    dy = np.empty_like(y)
    dy[0] = V
    dy[1] = ax
    dy[2:2+n] = v
    dy[2+n:2+2*n] = du
    dy[-1] = P  # signed injected minus dissipated work
    return dy


def rk4(y,dt,p,driven):
    k1=rhs(y,p,driven)
    k2=rhs(y+0.5*dt*k1,p,driven)
    k3=rhs(y+0.5*dt*k2,p,driven)
    k4=rhs(y+dt*k3,p,driven)
    return y + dt*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6


def run_case(n, driven, dt=0.002, steps=2400):
    p=params(n)
    y=make_state(n)
    e0=energy(y,p)
    max_residual=0.0
    energy_monotone=True
    ein=e0
    for step in range(steps):
        y=rk4(y,dt,p,driven)
        ef=energy(y,p)
        r=abs(ef-e0-y[-1])/max(e0,1e-12)
        max_residual=max(max_residual,r)
        if not driven and ef>ein+1e-10*max(e0,1.0):
            energy_monotone=False
        ein=ef
        if not np.all(np.isfinite(y)):
            raise AssertionError('Nonfinite simulation state')
    assert max_residual<1.0e-7, (n, driven, max_residual)
    if not driven:
        assert energy_monotone
    return {
        'n':n,'driven':driven, 'dt':dt, 'steps':steps,
        'E_initial':round(e0,10),'E_final':round(energy(y,p),10),
        'net_work':round(float(y[-1]),10),
        'max_rel_energy_ledger_residual':round(max_residual,11),
        'passive_energy_monotone':energy_monotone if not driven else None,
        'endpoint_sha256':hashlib.sha256(np.asarray(y,dtype='<f8').tobytes()).hexdigest(),
    }


def exact_mass_checks():
    out=[]
    for n in (2,10,100,1000):
        p=params(n)
        m=float(p['m'][0]);M=p['M']
        lam_collective=m*M/(M+n*m)
        assert lam_collective>0.0
        # efficient matrix-vector equality; no N x N materialization
        test=np.sin(0.2*np.arange(n))+0.07
        direct=m*test-(m*m/(M+n*m))*np.sum(test)*np.ones(n)
        scalar=np.dot(test,direct)
        assert scalar>0
        out.append({'n':n,'collective_effective_mass_eigenvalue':round(lam_collective,12),
                    'transverse_effective_mass_eigenvalue':round(m,12),
                    'positive_test_quadratic_form':round(float(scalar),9)})
    return out


def two_dimensional_geometry():
    # n=2, identical 2D base inertia, bob direction d=(1,0).
    # J_i=[[1,0,-y_i],[0,1,x_i]], and C_i=m J_i^T d_i.
    m=0.12
    M0=np.diag([1.8,1.8,0.25]);f=np.array([1.,0.]);d=np.array([1.,0.])
    outcomes=[]
    for name, positions in (
        ('on_axis',[(0.,0.),(0.,0.)]),
        ('off_axis',[(0.,-0.6),(0.,0.6)]),
        ('permuted_off_axis',[(0.,0.6),(0.,-0.6)]),
    ):
        A=M0.copy();C=np.zeros((3,2))
        for j,(x,y) in enumerate(positions):
            J=np.array([[1.,0.,-y],[0.,1.,x]])
            A += m * (J.T@J)
            C[:,j] = m*(J.T@d)
        S=A-(C@C.T)/m
        qdd=np.linalg.solve(S,-(C@f)/m)
        udd=(f-C.T@qdd)/m
        assert np.min(np.linalg.eigvalsh(S))>0
        outcomes.append({'case':name,'theta_acceleration':round(float(qdd[2]),12),
                         'u1_acceleration':round(float(udd[0]),12),
                         'minimum_schur_eigenvalue':round(float(np.min(np.linalg.eigvalsh(S))),12)})
    assert abs(outcomes[0]['theta_acceleration'])<1e-12
    assert abs(outcomes[1]['theta_acceleration'])>1e-4
    assert abs(outcomes[2]['theta_acceleration'])>1e-4
    assert abs(outcomes[1]['theta_acceleration']-outcomes[2]['theta_acceleration'])>1e-4
    return outcomes


def coupling_check():
    p=params(2);n=2
    y=make_state(n)
    y[0:]=0.
    y[2]=0.1; y[3]=0.0
    acc_moving=rhs(y,p,False)[2+n:2+2*n]
    acc_fixed=-(p['k']*y[2:2+n])/p['m']
    assert abs(acc_fixed[1])<1e-15
    assert abs(acc_moving[1])>1e-5
    return {'second_oscillator_acc_moving_platform':round(float(acc_moving[1]),9),
            'second_oscillator_acc_fixed_platform':round(float(acc_fixed[1]),9)}


def main():
    t0=time.perf_counter()
    scenarios=[run_case(n,driven) for n in (2,10,100,1000) for driven in (False,True)]
    print(json.dumps({
        'version':VERSION,'test_type':'synthetic_reference_not_real_metronome_measurements',
        'scenario_results':scenarios,
        'mass_spectral_checks':exact_mass_checks(),
        'geometry_schur_checks':two_dimensional_geometry(),
        'mechanical_coupling_check':coupling_check(),
        'elapsed_s':round(time.perf_counter()-t0,3),
        'status':'PASS'
    },indent=2,ensure_ascii=False))

if __name__=='__main__':
    main()

附錄 C：同機器執行之可核對 JSON 紀錄

本附錄展示作者工具環境中一次執行的 JSON 輸出；SHA-256 為執行環境相依的末態位元組識別，並非不因不同 NumPy 及平台而改變的跨硬體理論不變量。不同環境可改以能源帳本相對容差、解析質量譜及幾何符號／零效應為主要驗證目標。

{
  "version": "GMDIS-12-ref-v0.1",
  "test_type": "synthetic_reference_not_real_metronome_measurements",
  "scenario_results": [
    {
      "n": 2,
      "driven": false,
      "dt": 0.002,
      "steps": 2400,
      "E_initial": 0.0213495339,
      "E_final": 0.0112339598,
      "net_work": -0.0101155742,
      "max_rel_energy_ledger_residual": 2.2e-10,
      "passive_energy_monotone": true,
      "endpoint_sha256": "f943a46e6c934f824cab096a8e28758760028f22b1b96e1c807905c7553cf560"
    },
    {
      "n": 2,
      "driven": true,
      "dt": 0.002,
      "steps": 2400,
      "E_initial": 0.0213495339,
      "E_final": 0.0976739209,
      "net_work": 0.0763243857,
      "max_rel_energy_ledger_residual": 5.683e-08,
      "passive_energy_monotone": null,
      "endpoint_sha256": "6864aa4b2278cb7d4122c6d5eedf1b3a596fd943571e0c8f6cdbc6c959b73fac"
    },
    {
      "n": 10,
      "driven": false,
      "dt": 0.002,
      "steps": 2400,
      "E_initial": 0.129695919,
      "E_final": 0.0711413115,
      "net_work": -0.0585546075,
      "max_rel_energy_ledger_residual": 1.9e-10,
      "passive_energy_monotone": true,
      "endpoint_sha256": "d3f1f04af2bba077e95b904e83e573f09f22e835b299ae5ae1c5f22db9612a99"
    },
    {
      "n": 10,
      "driven": true,
      "dt": 0.002,
      "steps": 2400,
      "E_initial": 0.129695919,
      "E_final": 0.5100869291,
      "net_work": 0.380391005,
      "max_rel_energy_ledger_residual": 3.91e-08,
      "passive_energy_monotone": null,
      "endpoint_sha256": "eb4c2fe210ded128f9d9d54a1227ec75be052e4f66a52a67deb7e9f529e05117"
    },
    {
      "n": 100,
      "driven": false,
      "dt": 0.002,
      "steps": 2400,
      "E_initial": 0.9933334695,
      "E_final": 0.5448377734,
      "net_work": -0.4484956963,
      "max_rel_energy_ledger_residual": 1.8e-10,
      "passive_energy_monotone": true,
      "endpoint_sha256": "d299a028d64547789ea7effb25e0ed8f03e1f4abc9982d5df09dd15959cd8559"
    },
    {
      "n": 100,
      "driven": true,
      "dt": 0.002,
      "steps": 2400,
      "E_initial": 0.9933334695,
      "E_final": 4.9662464564,
      "net_work": 3.9729129431,
      "max_rel_energy_ledger_residual": 4.409e-08,
      "passive_energy_monotone": null,
      "endpoint_sha256": "5100c5560eadd3185c1d81d6ce9f99831520b10c61ff2ea1775f4a892b6b3a27"
    },
    {
      "n": 1000,
      "driven": false,
      "dt": 0.002,
      "steps": 2400,
      "E_initial": 9.8125445863,
      "E_final": 5.383148853,
      "net_work": -4.4293957351,
      "max_rel_energy_ledger_residual": 1.9e-10,
      "passive_energy_monotone": true,
      "endpoint_sha256": "9538a298aeb72afc4d8e8c8b77b05a444c000ffa17abb7fdcc2bdfa9e2dc4e66"
    },
    {
      "n": 1000,
      "driven": true,
      "dt": 0.002,
      "steps": 2400,
      "E_initial": 9.8125445863,
      "E_final": 49.1262380744,
      "net_work": 39.3136930553,
      "max_rel_energy_ledger_residual": 4.414e-08,
      "passive_energy_monotone": null,
      "endpoint_sha256": "31d31345d7b76010c628e4a2c7dd9b45959d38be8815f9f8ead1fdac52fefbe8"
    }
  ],
  "mass_spectral_checks": [
    {
      "n": 2,
      "collective_effective_mass_eigenvalue": 0.111111111111,
      "transverse_effective_mass_eigenvalue": 0.12,
      "positive_test_quadratic_form": 0.008740221
    },
    {
      "n": 10,
      "collective_effective_mass_eigenvalue": 0.10243902439,
      "transverse_effective_mass_eigenvalue": 0.12,
      "positive_test_quadratic_form": 0.685549151
    },
    {
      "n": 100,
      "collective_effective_mass_eigenvalue": 0.0975,
      "transverse_effective_mass_eigenvalue": 0.12,
      "positive_test_quadratic_form": 5.920128235
    },
    {
      "n": 1000,
      "collective_effective_mass_eigenvalue": 0.096848874598,
      "transverse_effective_mass_eigenvalue": 0.12,
      "positive_test_quadratic_form": 60.595095028
    }
  ],
  "geometry_schur_checks": [
    {
      "case": "on_axis",
      "theta_acceleration": 0.0,
      "u1_acceleration": 8.888888888889,
      "minimum_schur_eigenvalue": 0.25
    },
    {
      "case": "off_axis",
      "theta_acceleration": -2.4,
      "u1_acceleration": 10.328888888889,
      "minimum_schur_eigenvalue": 0.25
    },
    {
      "case": "permuted_off_axis",
      "theta_acceleration": 2.4,
      "u1_acceleration": 10.328888888889,
      "minimum_schur_eigenvalue": 0.25
    }
  ],
  "mechanical_coupling_check": {
    "second_oscillator_acc_moving_platform": -0.287797664,
    "second_oscillator_acc_fixed_platform": -0.0
  },
  "elapsed_s": 1.12,
  "status": "PASS"
}

附錄 D：外部實驗最低前置清單

• E4 實際裝置數、型號、擺長、質量與驅動方式已獨立測得，而非從標稱包裝推算全部參數。
• 至少兩種可識別的底座支撐與阻尼條件可重複設置，改動機制及受影響的其他變數已紀錄。
• 可獨立重建底座平移及旋轉，並量到足以區分剛體與彈性形變的座標。
• 相機、聲學及其他感測時鐘已校準；所有時間延遲具有誤差範圍。
• 單體振子的自由振盪、擒縱事件與能源持續時間有基準量測。
• 固定底座的 C0 或 M0 負控制已完成，能驗證未預期遠端回應是否存在。
• 旋轉／幾何負控制與正控制具備合理的慣量及支承配對。
• 已能以輸入功、機械能、聲學／熱與已知外部通量組成物理帳本，並明示不確定度。
• 實驗有預定的失敗、無結論與不可比較條件，而非只接受同步影片。
• 已保留未見初態／幾何／設備供 B0–B6 盲驗，避免調參洩漏。
• 每次試驗的原始時間序列及裝置版本可追溯，受著作權與權限保護之資料另標示授權邊界。

附錄 E：跨篇完整性、結論對照與最後驗證聲明

E.1 本篇可審計的真正成果

1. 在已指定的質點—共同底座模型中，導出力學方程、精確能量帳本及低秩慣性結構。
2. 在一維剛體平移世界，證明純位置排列沒有獨立力學效應的負控制。
3. 在平面剛體小位移世界，用 Jacobian 和正定 Schur 補顯式展示幾何力臂的合法作用通道。
4. 建立 M0–M5 六階模型的作用、近似、能量及觀測契約；分清哪些僅是物理擴展規劃。
5. 在四個規模與兩種動力設定下，真正執行 M1 模型數值積分及能量帳本測試，並附完整原始碼。
6. 保留共同外力鎖定、相互自同步、反相／分群、停止及非穩態的不同結果地位。
7. 把 24／72 轉為物理模型的有型別描述，而不是 72 條物理世界新基本作用力。
8. 規定 E4 真實實驗、GRST/SIO 特徵與既有模型的公平競爭、判敗及盲驗條件。

E.2 本篇不能被推論成什麼

• 不能從 $O(N)$ 的簡化 M1 加速度求解，推論 1,000 個真實節拍器的全部聲學、熱及固體場可以同樣成本計算。
• 不能從 M2 的幾何可影響角加速度，推論所有安裝方式都必然發生旋轉同步。
• 不能從能量帳本守恆或衰減，推論全體必然同相或進入單一穩定模式。
• 不能從某個 B6 描述較長、比較多維，推論其科學預測能力一定更好。
• 不能從合成程式可重跑或 hash 相同，推論真實裝置已經被充分辨識。
• 不能把規則勢、自由度陰影、聲學場及彈性應力相互直接定義成同一個物理量。

E.3 對 GMDIS-14 的長期要求

等 GMDIS-13 真正完成強基線消融後，GMDIS-14 僅應收束實際被支持的數學與物理命題。這套系列可以得到一個高品質、可反駁、能供工程設計使用的多尺度動力學比較框架，而無需承諾已經推翻相位理論、吸引子理論或傳統連續力學。如果資料顯示某些新命名沒有增加鑑別力，則名稱與理論定位必須讓位，而不是排除反例。

最終研究界線： 本篇是可執行基準世界的合成初版，而非自然科學實物驗證的完成版。任何真正關於 100／1000 個實體節拍器，以及聲學、彈性、擒縱與熱作用的定量結論，仍需要獨立模型、合適的測量工具與外部實驗證據。