空間資訊佔據 V：跨解析度 Generator 系統與連續極限

Spatial Information Occupancy V: Cross-Resolution Generator Systems and Continuum Limits

系列： Spatial Information Occupancy and Generator Geometry
篇次： Paper 05 / Resolution and Continuum Limit
版本： v1.0
日期： 2026-10-02
作者： Neo.K
AI 協力研究者： Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司
狀態： Formal Research Draft / Exact Refinement and Limit Theory

直接前置：

Paper 01《空間資訊佔據 I：超越幾何測度的容器相對自由結構》；
Paper 02《空間資訊佔據 II：自由度傳輸、邊界飽和與結構逃逸》；
Paper 03《空間資訊佔據 III：協同構成元代數、潛在自由與纖維資訊場》；
Paper 04《空間資訊佔據 IV：Generator Quotient 與跨表示資訊不變量》；
E6 Cross-Resolution Generator Limit；
主客邊三域代數（SOBTA）。

摘要

Paper 04 的 Generator Quotient：

\mathfrak Q_q(X) = [\mathcal H_q(X)]_{\cong}

可以 quotient 掉 vertex labels、radix、symbol encoding 與其他 lossless representation redundancy，但它仍假設被比較的 finite hypergraphs 具有相同 vertex cardinality。

解析度改變時：

N \rightarrow 2N,

constituent 數、minimal-generator 數與 generator cardinality 都會改變，普通 hypergraph isomorphism 因而不再適用。

本文建立第一個 cross-resolution exact model。

令連續 substrate 為：

[0,1],

固定 physical generator thickness：

\boxed{ 0<\alpha\le\frac12, }

並取 admissible resolutions：

\mathcal N_\alpha = \{ N\in\mathbb N: h_N=\alpha N\in\mathbb N \}.

在 resolution $N$ 下：

V_N = \{0,\ldots,N-1\},

minimal generators 定義為所有長度：

h_N

的 contiguous blocks：

\boxed{ G_{N,j} = \{j,j+1,\ldots,j+h_N-1\}, }

其中：

0\le j\le N-h_N.

將 cell $i$ 嵌入 physical interval：

\left[ \frac{i}{N}, \frac{i+1}{N} \right],

則每個 discrete generator 的 physical realization 精確為：

\boxed{ \left[ \frac{j}{N}, \frac{j}{N}+\alpha \right]. }

所以 generator physical size 不隨解析度改變；改變的是可取 start positions 的密度。

本文證明 generator family：

\mathscr G_N = \left\{ \left[ \frac jN, \frac jN+\alpha \right] : 0\le j\le N-h_N \right\}

在 interval Hausdorff metric 所誘導的 hyperspace metric 下，以精確速率：

\boxed{ d_H( \mathscr G_N, \mathscr G_\alpha^\infty ) = \frac{1}{2N} }

收斂到 continuum generator family：

\boxed{ \mathscr G_\alpha^\infty = \{ [s,s+\alpha]: 0\le s\le1-\alpha \}. }

本文亦證明 normalized generator-overlap kernel 在所有 resolution 上精確取樣同一函數：

\boxed{ K_\alpha(\delta) = \max(0,\alpha-\delta). }

對 dyadic refinement：

2N\rightarrow N,

定義 cell map：

c(i) = \left\lfloor\frac i2\right\rfloor.

本文證明：

even-start fine generator 精確映到 coarse minimal generator；
odd-start fine generator 映到一個長度 $h_N+1$ 的 contiguous winning super-set；
每個 coarse minimal generator 都有 aligned fine minimal preimage。

因此：

c

不是 minimal-hyperedge isomorphism，而是一個 winning-preserving refinement morphism。

更一般地，對任意 fine released state：

A\subseteq V_{2N},

定義 inner coarse-graining：

C^-(A)

只在兩個 fine children 都 released 時才釋放 coarse cell；定義 outer coarse-graining：

C^+(A)

只要任一 child released 就釋放 coarse cell。本文解析證明：

\boxed{ V_N(C^-A) \le V_{2N}(A) \le V_N(C^+A). }

所以 lossy coarse projection 不需要被錯當成 fine ontological identity；它可以保留合法上下界。

本文最後證明 Paper 03 的 Latent Freedom Potential 與 constituent capacity field 都存在 normalized continuum limit。對一段 physical released interval $I$ ，有：

\boxed{ \left| \frac{d_N(A_N(I))}{N} - \max(0,\alpha-|I|) \right| \le \frac1N. }

對 capacity Shapley field：

\Phi_N(x_i), \qquad x_i=\frac{i+1/2}{N},

則：

\boxed{ \Phi_\alpha(x) = \min \left( 1, \frac{x}{\alpha}, \frac{1-x}{\alpha} \right) }

且：

\boxed{ \|\Phi_N-\Phi_\alpha\|_\infty \le \frac{1}{2\alpha N}. }

因此在此 interval-generator family 中，不同 constituent counts 可以共同逼近同一個 continuum generator object。

Abstract

Paper 04 introduced the Generator Quotient for finite freedom-generator hypergraphs with fixed vertex cardinality. Resolution changes are harder: under $N\mapsto2N$ , the number of constituents, the number of generators, and generator cardinalities all change, so ordinary hypergraph isomorphism no longer applies.

This paper develops an exact cross-resolution model on the continuous substrate $[0,1]$ . Fix a physical generator thickness $0<\alpha\le1/2$ and resolutions $N$ such that $h_N=\alpha N$ is integral. The resolution- $N$ generators are all contiguous $h_N$ -cell blocks.

Each discrete generator embeds exactly as a physical interval of length $\alpha$ . The resulting discrete generator family converges to the continuum interval family

\mathscr G_\alpha^\infty = \{ [s,s+\alpha]: 0\le s\le1-\alpha \}

with exact Hausdorff rate

d_H( \mathscr G_N, \mathscr G_\alpha^\infty ) = \frac{1}{2N}.

The normalized overlap of two generators separated by physical displacement $\delta$ exactly samples the resolution-independent kernel

K_\alpha(\delta) = \max(0,\alpha-\delta).

Under dyadic coarse-graining, even-start fine generators map exactly to coarse minimal generators, while odd-start fine generators map to winning coarse supersets. More generally, for every fine released state $A$ ,

V_N(C^-A) \le V_{2N}(A) \le V_N(C^+A),

where $C^-$ and $C^+$ are inner and outer coarse-graining operators. This inequality is proved analytically and audited exhaustively for all $2^{16}$ states of the $16\to8$ case.

The normalized latent-freedom potential converges to the continuous deficit $\max(0,\alpha-\ell)$ with error at most $1/N$ , and the constituent capacity field converges uniformly to a continuum ramp-plateau-ramp field with error at most $1/(2\alpha N)$ .

The paper therefore replaces same-cardinality quotienting with a refinement-system view: constituents may change with resolution while physical generator relations converge to a common continuum object.

1. 從 Representation Invariance 到 Resolution Invariance

Paper 04 處理：

|W_1| = |W_2|

時的 representation redundancy。

若：

\mathcal H_1 \cong \mathcal H_2,

則：

\mathfrak Q_q(\mathcal H_1) = \mathfrak Q_q(\mathcal H_2).

但解析度改變：

N\rightarrow2N

時：

|V_N|=N,

|V_{2N}|=2N.

所以：

\mathcal H_N \not\cong \mathcal H_{2N}

甚至在它們明顯描述同一 physical freedom relation 時也必然如此。

因此 cross-resolution 問題不能只靠 finite isomorphism。

需要新的結構：

\boxed{ \text{refinement} + \text{physical embedding} + \text{limit}. }

2. Continuous Target

固定：

\boxed{ 0<\alpha\le\frac12. }

定義 continuum substrate：

\boxed{ X^\infty=[0,1]. }

continuum generator family：

\boxed{ \mathscr G_\alpha^\infty = \{ [s,s+\alpha]: 0\le s\le1-\alpha \}. }

本文稱：

\boxed{ \mathcal H_\alpha^\infty = ( [0,1], \mathscr G_\alpha^\infty ) }

為 continuum generator system。

這不是 finite hypergraph。

它只是一個被 finite resolution systems 逼近的 continuous relational object。

3. Discrete Resolution System

定義 admissible resolution set：

\boxed{ \mathcal N_\alpha = \{ N\in\mathbb N: \alpha N\in\mathbb N \}. }

對：

N\in\mathcal N_\alpha,

令：

\boxed{ h_N = \alpha N. }

constituent set：

\boxed{ V_N = \{0,\ldots,N-1\}. }

minimal generators：

\boxed{ G_{N,j} = \{j,j+1,\ldots,j+h_N-1\}, }

其中：

0\le j\le N-h_N.

因此：

\boxed{ \mathcal G_N = \{ G_{N,j} : 0\le j\le N-h_N \}. }

binary freedom：

\boxed{ V_N(A) = \mathbf 1[ \exists G\in\mathcal G_N: G\subseteq A ]. }

4. Normalized Generator Order

Proposition 4.1

對所有：

N\in\mathcal N_\alpha,

有：

\boxed{ \frac{|G_{N,j}|}{|V_N|} = \frac{h_N}{N} = \alpha. }

所以 generator cardinality 雖隨 $N$ 改變，但 normalized order 精確固定。

Proof

由：

h_N=\alpha N.

直接得到。證畢。

5. Physical Embedding

把 constituent $i$ 嵌入：

\boxed{ \iota_N(i) = \left[ \frac{i}{N}, \frac{i+1}{N} \right]. }

對 subset：

A\subseteq V_N,

令：

\iota_N(A) = \bigcup_{i\in A} \iota_N(i).

Theorem 5.1 — Exact Physical Generator Realization

對任意 minimal generator：

G_{N,j},

有：

\boxed{ \iota_N(G_{N,j}) = \left[ \frac{j}{N}, \frac{j}{N}+\alpha \right]. }

特別地：

\boxed{ \mu( \iota_N(G_{N,j}) ) = \alpha. }

Proof

generator 由連續 cells：

j,j+1,\ldots,j+h_N-1

組成。

其 physical union：

\left[ \frac jN, \frac{j+h_N}{N} \right].

因：

h_N/N=\alpha,

所以：

\iota_N(G_{N,j}) = \left[ \frac jN, \frac jN+\alpha \right].

證畢。

6. Generator Start Set

定義：

\boxed{ S_N = \left\{ \frac jN: 0\le j\le N-h_N \right\}. }

因：

h_N/N=\alpha,

最大 start：

\frac{N-h_N}{N} = 1-\alpha.

所以：

S_N \subseteq [0,1-\alpha].

7. Hausdorff Convergence

對 compact subsets：

A,B\subseteq\mathbb R,

使用標準 Hausdorff distance：

d_H(A,B).

Theorem 7.1 — Exact Start-Set Hausdorff Distance

若：

0<\alpha<1

且：

N-h_N\ge1,

則：

\boxed{ d_H( S_N, [0,1-\alpha] ) = \frac{1}{2N}. }

Proof

因：

S_N \subseteq [0,1-\alpha],

故：

\sup_{s\in S_N} d( s, [0,1-\alpha] ) = 0.

相鄰 start points 距離：

\frac1N.

且兩端：

0, \qquad 1-\alpha

都屬於 $S_N$ 。

所以連續 interval 中距最近 start point 最遠的位置是任一相鄰 grid starts 的 midpoint，其距離：

\frac{1}{2N}.

因此 Hausdorff distance 即：

\frac{1}{2N}.

證畢。

8. Generator-Family Hausdorff Limit

對固定長度 $\alpha$ 的 closed intervals：

I_s=[s,s+\alpha],

I_t=[t,t+\alpha],

有：

\boxed{ d_H(I_s,I_t) = |s-t|. }

因此在 generator hyperspace 中，離散 family：

\mathscr G_N = \left\{ \left[ \frac jN, \frac jN+\alpha \right] : 0\le j\le N-h_N \right\}

與 continuum family：

\mathscr G_\alpha^\infty

之間的 Hausdorff distance等於其 start sets 的 Hausdorff distance。

Corollary 8.1 — Exact Generator-Family Convergence Rate

\boxed{ d_H( \mathscr G_N, \mathscr G_\alpha^\infty ) = \frac{1}{2N}. }

所以：

\boxed{ \mathscr G_N \xrightarrow[N\to\infty]{H} \mathscr G_\alpha^\infty. }

9. Cross-Resolution Overlap Kernel

對兩個 discrete generators：

G_{N,j}, \qquad G_{N,k},

令：

r=|j-k|.

Theorem 9.1 — Exact Discrete Overlap

\boxed{ |G_{N,j}\cap G_{N,k}| = \max(0,h_N-r). }

Proof

兩個長度皆為：

h_N

的 contiguous integer blocks，相隔：

r

個 start indices。

若：

r\ge h_N,

不重疊。

若：

r<h_N,

重疊長度：

h_N-r.

證畢。

令 normalized displacement：

\boxed{ \delta=\frac rN. }

定義 overlap normalized by substrate size：

\boxed{ K_N(\delta) = \frac{ |G_{N,j}\cap G_{N,k}| }{N}. }

Corollary 9.2 — Resolution-Independent Overlap Kernel

對所有 grid-representable：

\delta=r/N,

有：

\boxed{ K_N(\delta) = K_\alpha(\delta) = \max(0,\alpha-\delta). }

所以不同 resolutions 不是只「趨近」同一 kernel；它們在共同可表示 displacement 上精確取樣同一函數。

10. Dyadic Coarse Map

現在令：

N\in\mathcal N_\alpha

且：

2N\in\mathcal N_\alpha.

則：

h_{2N} = 2h_N.

定義 fine-to-coarse cell map：

\boxed{ c_{2N\rightarrow N}(i) = \left\lfloor \frac i2 \right\rfloor. }

對 subset：

A\subseteq V_{2N},

定義其 direct coarse image：

c(A) = \{ c(i): i\in A \}.

11. Fine Generator Image Theorem

Theorem 11.1 — Dyadic Generator Image

對 fine minimal generator：

G_{2N,j},

有：

Even start

若：

j=2k,

則：

\boxed{ c(G_{2N,2k}) = G_{N,k}. }

Odd start

若：

j=2k+1,

則：

\boxed{ c(G_{2N,2k+1}) = \{k,k+1,\ldots,k+h_N\}. }

因此其 cardinality：

h_N+1,

並包含兩個相鄰 coarse minimal generators：

G_{N,k},

以及：

G_{N,k+1},

只要二者都位於合法 start range。

Proof

fine generator 長度：

h_{2N}=2h_N.

若：

j=2k,

fine indices：

2k,\ldots,2k+2h_N-1

在 floor-divide-by-two 後恰成：

k,\ldots,k+h_N-1.

若：

j=2k+1,

fine indices：

2k+1,\ldots,2k+2h_N

映成：

k,\ldots,k+h_N.

證畢。

Corollary 11.2 — Winning Preservation

對所有 fine minimal generators：

G\in\mathcal G_{2N},

其 coarse image：

c(G)

滿足：

\boxed{ V_N(c(G))=1. }

所以：

c

是 minimal-generator 到 coarse winning-state 的 preserving map，但不是一般的 minimal-to-minimal homomorphism。

Corollary 11.3 — Coarse Generator Preimage

對每個 coarse minimal generator：

G_{N,k},

aligned fine generator：

G_{2N,2k}

滿足：

\boxed{ c(G_{2N,2k}) = G_{N,k}. }

因此 coarse minimal generators 都有 exact fine representatives。

12. Inner and Outer Coarse-Graining

對：

A\subseteq V_{2N},

定義 inner coarse-graining：

\boxed{ C^-(A) = \left\{ i\in V_N: \{2i,2i+1\}\subseteq A \right\}. }

定義 outer coarse-graining：

\boxed{ C^+(A) = \left\{ i\in V_N: \{2i,2i+1\}\cap A\neq\varnothing \right\}. }

顯然：

C^-(A) \subseteq C^+(A).

13. Coarse-Bracketing Theorem

Theorem 13.1 — Exact Inner/Outer Freedom Bracket

對所有：

A\subseteq V_{2N},

有：

\boxed{ V_N(C^-A) \le V_{2N}(A) \le V_N(C^+A). }

Proof

因三個量皆為 binary，只需證明兩個 implication。

Lower bound

若：

V_N(C^-A)=1,

則存在 coarse generator：

G_{N,k} = \{k,\ldots,k+h_N-1\}

使：

G_{N,k} \subseteq C^-A.

由 $C^-$ 定義，對每個：

i\in G_{N,k},

都有：

2i, \quad 2i+1

屬於 $A$ 。

所以 $A$ 包含完整 fine block：

\{2k,\ldots,2k+2h_N-1\} = G_{2N,2k}.

因此：

V_{2N}(A)=1.

故：

V_N(C^-A) \le V_{2N}(A).

Upper bound

若：

V_{2N}(A)=1,

則 $A$ 包含某個 fine generator：

G_{2N,j}

長度為：

2h_N.

其 coarse parents：

c(G_{2N,j})

由 Theorem 11.1 是：

一個長度 $h_N$ coarse block；或
一個長度 $h_N+1$ coarse block。

因每個 parent coarse cell 至少有一個 child 屬於：

G_{2N,j}\subseteq A,

所以：

c(G_{2N,j}) \subseteq C^+(A).

因此：

C^+(A)

至少包含一個長度 $h_N$ coarse generator。

所以：

V_N(C^+A)=1.

故：

V_{2N}(A) \le V_N(C^+A).

證畢。

14. Projection without Annexation

Theorem 13.1 的意義不是 coarse layer 等於 fine layer。

相反地：

C^-(A)

與：

C^+(A)

通常不同。

因此 fine state：

A

不必存在唯一 coarse state可以完整代表。

但 coarse layer可以給出：

\boxed{ \text{lower freedom certificate} }

與：

\boxed{ \text{upper freedom certificate}. }

因此：

\boxed{ \text{coarse projection} \neq \text{fine ontological identity}, }

同時：

\boxed{ \text{coarse projection can still preserve valid bounds}. }

這是 SOBTA：

\text{Projection without Annexation}

在本模型中的精確數學實例。

15. Latent Freedom Potential Across Resolution

Paper 03 定義：

d_N(A) = \min_{G\in\mathcal G_N} |G\setminus A|.

先處理 contiguous released block。

Lemma 15.1 — Contiguous-Block Potential

若：

A

是長度：

k

的 contiguous released block，則：

\boxed{ d_N(A) = \max(0,h_N-k). }

Proof

若：

k\ge h_N,

則 $A$ 內包含某個 length- $h_N$ generator，所以：

d_N(A)=0.

若：

k<h_N,

任何 generator 有 $h_N$ 個 cells，而 $A$ 至多能提供其中 $k$ 個，因此：

d_N(A)\ge h_N-k.

另一方面，因 $A$ 本身為 contiguous block 且位於：

V_N,

可將它向左或右延伸成某個 length- $h_N$ legal generator，所以存在 generator：

G

使：

A\subseteq G,

且：

|G\setminus A| = h_N-k.

因此 equality 成立。證畢。

16. Center-Sampled Physical Interval

令 physical released interval：

I=[s,s+\ell] \subseteq [0,1].

定義 resolution- $N$ sampled set：

\boxed{ A_N(I) = \left\{ i: \frac{i+1/2}{N} \in I \right\}. }

因 cell centers 等距排列， $A_N(I)$ 是 contiguous block。

令：

k_N = |A_N(I)|.

Lemma 16.1 — Sampling Count Error

\boxed{ \left| \frac{k_N}{N} - \ell \right| \le \frac1N. }

Proof

$k_N$ 等於 spacing $1/N$ 的 arithmetic progression 落在長度 $\ell$ interval 中的點數。

將座標乘以 $N$ ，等價於計數 unit-spaced points 落在長度：

N\ell

的 interval 中。

任意長度 $L$ 的 closed interval 所含 unit-spaced lattice points 數與 $L$ 的差至多 $1$ 。

因此：

|k_N-N\ell| \le1.

除以 $N$ 得證。證畢。

17. Latent-Potential Continuum Limit

定義 continuum deficit：

\boxed{ d_\infty(I) = \max(0,\alpha-\ell). }

以及 normalized discrete potential：

\boxed{ \delta_N(I) = \frac{ d_N(A_N(I)) }{ N }. }

Theorem 17.1 — Uniform $O(1/N)$ Potential Error

\boxed{ \left| \delta_N(I) - d_\infty(I) \right| \le \frac1N. }

Proof

由 Lemma 15.1：

\delta_N(I) = \max \left( 0, \alpha-\frac{k_N}{N} \right).

函數：

f(x)=\max(0,\alpha-x)

為 $1$ -Lipschitz。

因此：

\left| f(k_N/N)-f(\ell) \right| \le \left| k_N/N-\ell \right|.

再由 Lemma 16.1：

\le \frac1N.

證畢。

因此：

\boxed{ \delta_N(I) \rightarrow d_\infty(I). }

18. Constituent Capacity Field

Paper 03 對 aperture capacity game 得到：

\phi_i = \frac{n_i(h_N)}{h_N},

其中：

n_i(h_N)

是包含 constituent $i$ 的 generators 數。

本文定義：

\boxed{ \Phi_N(x_i) = \frac{n_i(h_N)}{h_N}, }

其中 physical cell center：

\boxed{ x_i = \frac{i+1/2}{N}. }

19. Exact Discrete Field Formula

因：

0<\alpha\le\frac12,

有：

h_N\le\frac N2.

所以：

n_i(h_N) = \min \left( i+1, h_N, N-i \right).

因此：

\boxed{ \Phi_N(x_i) = \min \left( 1, \frac{i+1}{h_N}, \frac{N-i}{h_N} \right). }

20. Continuum Capacity Field

定義：

\boxed{ \Phi_\alpha(x) = \min \left( 1, \frac{x}{\alpha}, \frac{1-x}{\alpha} \right). }

其形狀為：

左 boundary ramp；
central plateau；
右 boundary ramp。

21. Uniform Capacity-Field Limit

Theorem 21.1

對所有 discrete centers：

x_i = \frac{i+1/2}{N},

有：

\boxed{ \left| \Phi_N(x_i) - \Phi_\alpha(x_i) \right| \le \frac{ 1 }{ 2\alpha N }. }

而最大誤差在 boundary ramp 上可達此 bound。

Proof

左 boundary ramp 上：

i+1\le h_N,

且該點尚未進入 plateau。

則：

\Phi_N(x_i) = \frac{i+1}{h_N}.

而：

\Phi_\alpha(x_i) = \frac{x_i}{\alpha} = \frac{i+1/2}{\alpha N} = \frac{i+1/2}{h_N}.

兩者差：

\frac{1}{2h_N} = \frac{1}{2\alpha N}.

右 boundary ramp 對稱。

central plateau 中：

\Phi_N = \Phi_\alpha = 1.

在 ramp / plateau transition 亦不超過同一 bound。

證畢。

Corollary 21.2 — Uniform Convergence

\boxed{ \|\Phi_N-\Phi_\alpha\|_{\infty,\mathrm{centers}} \rightarrow0. }

因此 constituent-level cooperative influence field 不必是 pixel-resolution artifact。

22. Resolution System

Paper 04 的 finite quotient：

[\mathcal H_q]_{\cong}

在 fixed cardinality 下適用。

本文提出跨解析度 object：

\boxed{ \mathfrak R_\alpha = \left( \{ \mathcal H_N \}_{N\in\mathcal N_\alpha}, \{ c_{2N\rightarrow N} \}, \{ \iota_N \}, \mathcal H_\alpha^\infty \right). }

其中：

$\mathcal H_N$ ：finite generator system；
$c_{2N\rightarrow N}$ ：winning-preserving coarse map；
$\iota_N$ ：physical embedding；
$\mathcal H_\alpha^\infty$ ：continuum generator limit。

所以 cross-resolution invariant 不再是一個單一 finite equivalence class，而更接近：

\boxed{ \text{a refinement system with a common physical limit}. }

23. Constituent Is Not the Invariant

$N=16$ 時：

|V_N|=16.

$N=256$ 時：

|V_N|=256.

離散 constituent identity 已完全改變。

但仍有：

\frac{h_N}{N} = \alpha,

K_N(\delta) = K_\alpha(\delta),

\mathscr G_N \rightarrow \mathscr G_\alpha^\infty,

\delta_N \rightarrow d_\infty,

\Phi_N \rightarrow \Phi_\alpha.

因此在本模型中：

\boxed{ \text{constituent identity} }

不是最穩定的 information carrier。

更準確地：

\boxed{ \text{constituent} = \text{resolution-relative carrier of a deeper admissibility relation}. }

24. ACTM：Resolution Transport

現在 refinement：

\mathcal H_N \rightarrow \mathcal H_{2N}

可做 structural audit。

Preserve Exactly

\boxed{ \frac{h_N}{N} = \alpha. }

Preserve as Exact Samples

\boxed{ K_N(\delta) = K_\alpha(\delta). }

Refine

S_N \subset S_{2N}

對 dyadic admissible resolutions成立。

Map Minimal to Winning

G_{2N,j} \mapsto c(G_{2N,j}),

其中 image 一定 coarse winning。

Bracket Arbitrary States

V_N(C^-A) \le V_{2N}(A) \le V_N(C^+A).

Converge

\mathscr G_N \rightarrow \mathscr G_\alpha^\infty,

d_N/N \rightarrow d_\infty,

\Phi_N \rightarrow \Phi_\alpha.

因此：

\boxed{ \text{refinement transport} }

不是單純 representation rewrite，而是在 constituent system 變動中保存／收斂 relational structure。

25. SOBTA：Coarse Projection without Identity

Theorem 13.1 提供一個很清楚的三域投影例子。

fine state：

A

是客體層的高解析狀態。

coarse query：

S_N

只能透過：

C^-, \qquad C^+

讀取一個 lower / upper admissibility envelope。

所以：

\boxed{ \text{coarse observation} \neq \text{fine state itself}. }

但又不是完全失去結構，因為：

\boxed{ V_N(C^-A) \le V_{2N}(A) \le V_N(C^+A). }

這是：

\boxed{ \text{Projection without Annexation} }

的 operational realization。

26. Exact Audit

本文附：

paper05_exact_checks.py

驗證：

normalized generator order；
exact physical generator length；
Hausdorff rate；
overlap kernel；
dyadic generator image；
all-state $16\rightarrow8$ bracket；
latent-potential error bound；
capacity-field error bound。

其中 coarse-bracket theorem 已在正文解析證明；全 $65536$ states 的 exhaustive check 只作 audit。

27. 可證偽性與限制

F1 — Resolution Normalization Failure

若：

h_N/N

不能穩定表示同一 physical scale，本文此模型失去 cross-resolution interpretation。

F2 — Refinement Non-Preservation

若 fine minimal generator 的 coarse image不再是 coarse winning set，Theorem 11.1 / Corollary 11.2 失效。

F3 — Coarse-Bracket Failure

若存在：

A

使：

V_N(C^-A) > V_{2N}(A)

或：

V_{2N}(A) > V_N(C^+A),

Theorem 13.1 失效。

F4 — Limit Overreach

本文只證 interval-generator family 的 limit。

不宣稱所有：

irregular geometry；
curved boundary；
rotation group；
non-monotone freedom；
physical field theory；

都具有同樣 limit structure。

F5 — Constituent Ontology Overreach

本文不宣稱 continuum object 比所有 discrete layers「更真」。

它只表示：

多個 discrete representations 可由同一 continuous admissibility relation 一致生成與逼近。

28. 與下一篇的接口

本文的一維 continuum family 已有：

\mathscr G_\alpha^\infty,

K_\alpha,

\Phi_\alpha.

下一步 Paper 06 將回到真正二維：

disk-like probe；
square probe；
irregular probe；
translation；
$90^\circ$ rotation；
generator covariogram；
container-induced capacity field；
dyadic refinement。

目標是把：

\boxed{ \text{interval generator system} }

提升成：

\boxed{ \text{2D Generator Complex}. }

29. 結論

Paper 04 說明：

\boxed{ \text{labels can change while a finite Generator Quotient remains fixed}. }

本文進一步說明：

\boxed{ \text{constituent count can change while a physical generator relation converges}. }

在 interval-generator model 中，我們得到：

\boxed{ d_H( \mathscr G_N, \mathscr G_\alpha^\infty ) = \frac{1}{2N}, }

\boxed{ K_\alpha(\delta) = \max(0,\alpha-\delta), }

\boxed{ V_N(C^-A) \le V_{2N}(A) \le V_N(C^+A), }

\boxed{ \left| \frac{d_N}{N} - d_\infty \right| \le \frac1N, }

以及：

\boxed{ \|\Phi_N-\Phi_\alpha\|_\infty \le \frac{1}{2\alpha N}. }

因此在這個明確模型中，不同 resolution hypergraphs 可以被理解成同一 continuum generator relation 的不同 finite carriers。

本文一句話總結：

\boxed{ \textbf{The constituent grid may refine; the admissible generator relation can converge to the same physical object.} }

中文：

構成格點可以持續細化；被它承載的合法生成關係仍可以收斂到同一個物理尺度結構。

Appendix A. 核心公式

Normalized generator order：

\frac{h_N}{N} = \alpha.

Physical generator：

\iota_N(G_{N,j}) = \left[ \frac jN, \frac jN+\alpha \right].

Generator-family Hausdorff rate：

d_H( \mathscr G_N, \mathscr G_\alpha^\infty ) = \frac{1}{2N}.

Overlap kernel：

K_\alpha(\delta) = \max(0,\alpha-\delta).

Coarse bracket：

V_N(C^-A) \le V_{2N}(A) \le V_N(C^+A).

Latent-potential limit：

\left| \delta_N-d_\infty \right| \le \frac1N.

Capacity-field limit：

\left| \Phi_N(x_i)-\Phi_\alpha(x_i) \right| \le \frac{1}{2\alpha N}.

Appendix B. Formal Status

解析定理：

Proposition 4.1；
Theorem 5.1；
Theorem 7.1；
Corollary 8.1；
Theorem 9.1；
Corollary 9.2；
Theorem 11.1；
Corollaries 11.2、11.3；
Theorem 13.1；
Lemmas 15.1、16.1；
Theorem 17.1；
Theorem 21.1；
Corollary 21.2。

Exact computational audit：

E6 resolutions $16,32,64,128,256$ ；
dyadic generator mapping；
all-state $16\rightarrow8$ bracketing over $65536$ states；
latent-potential samples；
capacity-field samples。

尚未宣稱：

universal continuum limit for arbitrary generator systems；
arbitrary-dimensional theorem；
arbitrary curved geometry refinement theorem；
physical spacetime discreteness or continuity；
category-theoretic universality of $\mathfrak R_\alpha$ 。

空間資訊佔據 V：跨解析度 Generator 系統與連續極限

空間資訊佔據 V：跨解析度 Generator 系統與連續極限

Spatial Information Occupancy V: Cross-Resolution Generator Systems and Continuum Limits

摘要

Abstract

1. 從 Representation Invariance 到 Resolution Invariance

2. Continuous Target

3. Discrete Resolution System

4. Normalized Generator Order

Proposition 4.1

Proof

5. Physical Embedding

Theorem 5.1 — Exact Physical Generator Realization

Proof

6. Generator Start Set

7. Hausdorff Convergence

Theorem 7.1 — Exact Start-Set Hausdorff Distance

Proof

8. Generator-Family Hausdorff Limit

Corollary 8.1 — Exact Generator-Family Convergence Rate

9. Cross-Resolution Overlap Kernel

Theorem 9.1 — Exact Discrete Overlap

Proof

Corollary 9.2 — Resolution-Independent Overlap Kernel

10. Dyadic Coarse Map

11. Fine Generator Image Theorem

Theorem 11.1 — Dyadic Generator Image

Even start

Odd start

Proof

Corollary 11.2 — Winning Preservation

Corollary 11.3 — Coarse Generator Preimage

12. Inner and Outer Coarse-Graining

13. Coarse-Bracketing Theorem

Theorem 13.1 — Exact Inner/Outer Freedom Bracket

Proof

Lower bound

Upper bound

14. Projection without Annexation

15. Latent Freedom Potential Across Resolution

Lemma 15.1 — Contiguous-Block Potential

Proof

16. Center-Sampled Physical Interval

Lemma 16.1 — Sampling Count Error

Proof

17. Latent-Potential Continuum Limit

Theorem 17.1 — Uniform O(1/N)O(1/N)O(1/N) Potential Error

Proof

18. Constituent Capacity Field

19. Exact Discrete Field Formula

20. Continuum Capacity Field

21. Uniform Capacity-Field Limit

Theorem 21.1

Proof

Corollary 21.2 — Uniform Convergence

22. Resolution System

23. Constituent Is Not the Invariant

24. ACTM：Resolution Transport

Preserve Exactly

Preserve as Exact Samples

Refine

Map Minimal to Winning

Bracket Arbitrary States

Converge

25. SOBTA：Coarse Projection without Identity

26. Exact Audit

27. 可證偽性與限制

F1 — Resolution Normalization Failure

F2 — Refinement Non-Preservation

F3 — Coarse-Bracket Failure

F4 — Limit Overreach

F5 — Constituent Ontology Overreach

28. 與下一篇的接口

29. 結論

Appendix A. 核心公式

Appendix B. Formal Status

Theorem 17.1 — Uniform $O(1/N)$ Potential Error