# 空間資訊佔據 V：跨解析度 Generator 系統與連續極限

## Spatial Information Occupancy V: Cross-Resolution Generator Systems and Continuum Limits

**系列：** Spatial Information Occupancy and Generator Geometry  
**篇次：** Paper 05 / Resolution and Continuum Limit  
**版本：** v1.0  
**日期：** 2026-10-02  
**作者：** Neo.K  
**AI 協力研究者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**狀態：** Formal Research Draft / Exact Refinement and Limit Theory

**直接前置：**

- Paper 01《空間資訊佔據 I：超越幾何測度的容器相對自由結構》；
- Paper 02《空間資訊佔據 II：自由度傳輸、邊界飽和與結構逃逸》；
- Paper 03《空間資訊佔據 III：協同構成元代數、潛在自由與纖維資訊場》；
- Paper 04《空間資訊佔據 IV：Generator Quotient 與跨表示資訊不變量》；
- E6 Cross-Resolution Generator Limit；
- 主客邊三域代數（SOBTA）。

---

## 摘要

Paper 04 的 Generator Quotient：

$$
\mathfrak Q_q(X)
=
[\mathcal H_q(X)]_{\cong}
$$

可以 quotient 掉 vertex labels、radix、symbol encoding 與其他 lossless representation redundancy，但它仍假設被比較的 finite hypergraphs 具有相同 vertex cardinality。

解析度改變時：

$$
N
\rightarrow
2N,
$$

constituent 數、minimal-generator 數與 generator cardinality 都會改變，普通 hypergraph isomorphism 因而不再適用。

本文建立第一個 cross-resolution exact model。

令連續 substrate 為：

$$
[0,1],
$$

固定 physical generator thickness：

$$
\boxed{
0<\alpha\le\frac12,
}
$$

並取 admissible resolutions：

$$
\mathcal N_\alpha
=
\{
N\in\mathbb N:
h_N=\alpha N\in\mathbb N
\}.
$$

在 resolution $N$ 下：

$$
V_N
=
\{0,\ldots,N-1\},
$$

minimal generators 定義為所有長度：

$$
h_N
$$

的 contiguous blocks：

$$
\boxed{
G_{N,j}
=
\{j,j+1,\ldots,j+h_N-1\},
}
$$

其中：

$$
0\le j\le N-h_N.
$$

將 cell $i$ 嵌入 physical interval：

$$
\left[
\frac{i}{N},
\frac{i+1}{N}
\right],
$$

則每個 discrete generator 的 physical realization **精確**為：

$$
\boxed{
\left[
\frac{j}{N},
\frac{j}{N}+\alpha
\right].
}
$$

所以 generator physical size 不隨解析度改變；改變的是可取 start positions 的密度。

本文證明 generator family：

$$
\mathscr G_N
=
\left\{
\left[
\frac jN,
\frac jN+\alpha
\right]
:
0\le j\le N-h_N
\right\}
$$

在 interval Hausdorff metric 所誘導的 hyperspace metric 下，以精確速率：

$$
\boxed{
d_H(
\mathscr G_N,
\mathscr G_\alpha^\infty
)
=
\frac{1}{2N}
}
$$

收斂到 continuum generator family：

$$
\boxed{
\mathscr G_\alpha^\infty
=
\{
[s,s+\alpha]:
0\le s\le1-\alpha
\}.
}
$$

本文亦證明 normalized generator-overlap kernel 在所有 resolution 上精確取樣同一函數：

$$
\boxed{
K_\alpha(\delta)
=
\max(0,\alpha-\delta).
}
$$

對 dyadic refinement：

$$
2N\rightarrow N,
$$

定義 cell map：

$$
c(i)
=
\left\lfloor\frac i2\right\rfloor.
$$

本文證明：

- even-start fine generator 精確映到 coarse minimal generator；
- odd-start fine generator 映到一個長度 $h_N+1$ 的 contiguous winning super-set；
- 每個 coarse minimal generator 都有 aligned fine minimal preimage。

因此：

$$
c
$$

不是 minimal-hyperedge isomorphism，而是一個 **winning-preserving refinement morphism**。

更一般地，對任意 fine released state：

$$
A\subseteq V_{2N},
$$

定義 inner coarse-graining：

$$
C^-(A)
$$

只在兩個 fine children 都 released 時才釋放 coarse cell；定義 outer coarse-graining：

$$
C^+(A)
$$

只要任一 child released 就釋放 coarse cell。本文解析證明：

$$
\boxed{
V_N(C^-A)
\le
V_{2N}(A)
\le
V_N(C^+A).
}
$$

所以 lossy coarse projection 不需要被錯當成 fine ontological identity；它可以保留合法上下界。

本文最後證明 Paper 03 的 Latent Freedom Potential 與 constituent capacity field 都存在 normalized continuum limit。對一段 physical released interval $I$，有：

$$
\boxed{
\left|
\frac{d_N(A_N(I))}{N}
-
\max(0,\alpha-|I|)
\right|
\le
\frac1N.
}
$$

對 capacity Shapley field：

$$
\Phi_N(x_i),
\qquad
x_i=\frac{i+1/2}{N},
$$

則：

$$
\boxed{
\Phi_\alpha(x)
=
\min
\left(
1,
\frac{x}{\alpha},
\frac{1-x}{\alpha}
\right)
}
$$

且：

$$
\boxed{
\|\Phi_N-\Phi_\alpha\|_\infty
\le
\frac{1}{2\alpha N}.
}
$$

因此在此 interval-generator family 中，不同 constituent counts 可以共同逼近同一個 continuum generator object。

---

## Abstract

Paper 04 introduced the Generator Quotient for finite freedom-generator hypergraphs with fixed vertex cardinality. Resolution changes are harder: under $N\mapsto2N$, the number of constituents, the number of generators, and generator cardinalities all change, so ordinary hypergraph isomorphism no longer applies.

This paper develops an exact cross-resolution model on the continuous substrate $[0,1]$. Fix a physical generator thickness $0<\alpha\le1/2$ and resolutions $N$ such that $h_N=\alpha N$ is integral. The resolution- $N$ generators are all contiguous $h_N$ -cell blocks.

Each discrete generator embeds exactly as a physical interval of length $\alpha$. The resulting discrete generator family converges to the continuum interval family

$$
\mathscr G_\alpha^\infty
=
\{
[s,s+\alpha]:
0\le s\le1-\alpha
\}
$$

with exact Hausdorff rate

$$
d_H(
\mathscr G_N,
\mathscr G_\alpha^\infty
)
=
\frac{1}{2N}.
$$

The normalized overlap of two generators separated by physical displacement $\delta$ exactly samples the resolution-independent kernel

$$
K_\alpha(\delta)
=
\max(0,\alpha-\delta).
$$

Under dyadic coarse-graining, even-start fine generators map exactly to coarse minimal generators, while odd-start fine generators map to winning coarse supersets. More generally, for every fine released state $A$,

$$
V_N(C^-A)
\le
V_{2N}(A)
\le
V_N(C^+A),
$$

where $C^-$ and $C^+$ are inner and outer coarse-graining operators. This inequality is proved analytically and audited exhaustively for all $2^{16}$ states of the $16\to8$ case.

The normalized latent-freedom potential converges to the continuous deficit $\max(0,\alpha-\ell)$ with error at most $1/N$, and the constituent capacity field converges uniformly to a continuum ramp-plateau-ramp field with error at most $1/(2\alpha N)$.

The paper therefore replaces same-cardinality quotienting with a refinement-system view: constituents may change with resolution while physical generator relations converge to a common continuum object.

---

# 1. 從 Representation Invariance 到 Resolution Invariance

Paper 04 處理：

$$
|W_1|
=
|W_2|
$$

時的 representation redundancy。

若：

$$
\mathcal H_1
\cong
\mathcal H_2,
$$

則：

$$
\mathfrak Q_q(\mathcal H_1)
=
\mathfrak Q_q(\mathcal H_2).
$$

但解析度改變：

$$
N\rightarrow2N
$$

時：

$$
|V_N|=N,
$$

$$
|V_{2N}|=2N.
$$

所以：

$$
\mathcal H_N
\not\cong
\mathcal H_{2N}
$$

甚至在它們明顯描述同一 physical freedom relation 時也必然如此。

因此 cross-resolution 問題不能只靠 finite isomorphism。

需要新的結構：

$$
\boxed{
\text{refinement}
+
\text{physical embedding}
+
\text{limit}.
}
$$

---

# 2. Continuous Target

固定：

$$
\boxed{
0<\alpha\le\frac12.
}
$$

定義 continuum substrate：

$$
\boxed{
X^\infty=[0,1].
}
$$

continuum generator family：

$$
\boxed{
\mathscr G_\alpha^\infty
=
\{
[s,s+\alpha]:
0\le s\le1-\alpha
\}.
}
$$

本文稱：

$$
\boxed{
\mathcal H_\alpha^\infty
=
(
[0,1],
\mathscr G_\alpha^\infty
)
}
$$

為 **continuum generator system**。

這不是 finite hypergraph。

它只是一個被 finite resolution systems 逼近的 continuous relational object。

---

# 3. Discrete Resolution System

定義 admissible resolution set：

$$
\boxed{
\mathcal N_\alpha
=
\{
N\in\mathbb N:
\alpha N\in\mathbb N
\}.
}
$$

對：

$$
N\in\mathcal N_\alpha,
$$

令：

$$
\boxed{
h_N
=
\alpha N.
}
$$

constituent set：

$$
\boxed{
V_N
=
\{0,\ldots,N-1\}.
}
$$

minimal generators：

$$
\boxed{
G_{N,j}
=
\{j,j+1,\ldots,j+h_N-1\},
}
$$

其中：

$$
0\le j\le N-h_N.
$$

因此：

$$
\boxed{
\mathcal G_N
=
\{
G_{N,j}
:
0\le j\le N-h_N
\}.
}
$$

binary freedom：

$$
\boxed{
V_N(A)
=
\mathbf 1[
\exists G\in\mathcal G_N:
G\subseteq A
].
}
$$

---

# 4. Normalized Generator Order

## Proposition 4.1

對所有：

$$
N\in\mathcal N_\alpha,
$$

有：

$$
\boxed{
\frac{|G_{N,j}|}{|V_N|}
=
\frac{h_N}{N}
=
\alpha.
}
$$

所以 generator cardinality 雖隨 $N$ 改變，但 normalized order 精確固定。

### Proof

由：

$$
h_N=\alpha N.
$$

直接得到。證畢。

---

# 5. Physical Embedding

把 constituent $i$ 嵌入：

$$
\boxed{
\iota_N(i)
=
\left[
\frac{i}{N},
\frac{i+1}{N}
\right].
}
$$

對 subset：

$$
A\subseteq V_N,
$$

令：

$$
\iota_N(A)
=
\bigcup_{i\in A}
\iota_N(i).
$$

## Theorem 5.1 — Exact Physical Generator Realization

對任意 minimal generator：

$$
G_{N,j},
$$

有：

$$
\boxed{
\iota_N(G_{N,j})
=
\left[
\frac{j}{N},
\frac{j}{N}+\alpha
\right].
}
$$

特別地：

$$
\boxed{
\mu(
\iota_N(G_{N,j})
)
=
\alpha.
}
$$

### Proof

generator 由連續 cells：

$$
j,j+1,\ldots,j+h_N-1
$$

組成。

其 physical union：

$$
\left[
\frac jN,
\frac{j+h_N}{N}
\right].
$$

因：

$$
h_N/N=\alpha,
$$

所以：

$$
\iota_N(G_{N,j})
=
\left[
\frac jN,
\frac jN+\alpha
\right].
$$

證畢。

---

# 6. Generator Start Set

定義：

$$
\boxed{
S_N
=
\left\{
\frac jN:
0\le j\le N-h_N
\right\}.
}
$$

因：

$$
h_N/N=\alpha,
$$

最大 start：

$$
\frac{N-h_N}{N}
=
1-\alpha.
$$

所以：

$$
S_N
\subseteq
[0,1-\alpha].
$$

---

# 7. Hausdorff Convergence

對 compact subsets：

$$
A,B\subseteq\mathbb R,
$$

使用標準 Hausdorff distance：

$$
d_H(A,B).
$$

## Theorem 7.1 — Exact Start-Set Hausdorff Distance

若：

$$
0<\alpha<1
$$

且：

$$
N-h_N\ge1,
$$

則：

$$
\boxed{
d_H(
S_N,
[0,1-\alpha]
)
=
\frac{1}{2N}.
}
$$

### Proof

因：

$$
S_N
\subseteq
[0,1-\alpha],
$$

故：

$$
\sup_{s\in S_N}
d(
s,
[0,1-\alpha]
)
=
0.
$$

相鄰 start points 距離：

$$
\frac1N.
$$

且兩端：

$$
0,
\qquad
1-\alpha
$$

都屬於 $S_N$。

所以連續 interval 中距最近 start point 最遠的位置是任一相鄰 grid starts 的 midpoint，其距離：

$$
\frac{1}{2N}.
$$

因此 Hausdorff distance 即：

$$
\frac{1}{2N}.
$$

證畢。

---

# 8. Generator-Family Hausdorff Limit

對固定長度 $\alpha$ 的 closed intervals：

$$
I_s=[s,s+\alpha],
$$

$$
I_t=[t,t+\alpha],
$$

有：

$$
\boxed{
d_H(I_s,I_t)
=
|s-t|.
}
$$

因此在 generator hyperspace 中，離散 family：

$$
\mathscr G_N
=
\left\{
\left[
\frac jN,
\frac jN+\alpha
\right]
:
0\le j\le N-h_N
\right\}
$$

與 continuum family：

$$
\mathscr G_\alpha^\infty
$$

之間的 Hausdorff distance等於其 start sets 的 Hausdorff distance。

## Corollary 8.1 — Exact Generator-Family Convergence Rate

$$
\boxed{
d_H(
\mathscr G_N,
\mathscr G_\alpha^\infty
)
=
\frac{1}{2N}.
}
$$

所以：

$$
\boxed{
\mathscr G_N
\xrightarrow[N\to\infty]{H}
\mathscr G_\alpha^\infty.
}
$$

---

# 9. Cross-Resolution Overlap Kernel

對兩個 discrete generators：

$$
G_{N,j},
\qquad
G_{N,k},
$$

令：

$$
r=|j-k|.
$$

## Theorem 9.1 — Exact Discrete Overlap

$$
\boxed{
|G_{N,j}\cap G_{N,k}|
=
\max(0,h_N-r).
}
$$

### Proof

兩個長度皆為：

$$
h_N
$$

的 contiguous integer blocks，相隔：

$$
r
$$

個 start indices。

若：

$$
r\ge h_N,
$$

不重疊。

若：

$$
r<h_N,
$$

重疊長度：

$$
h_N-r.
$$

證畢。

---

令 normalized displacement：

$$
\boxed{
\delta=\frac rN.
}
$$

定義 overlap normalized by substrate size：

$$
\boxed{
K_N(\delta)
=
\frac{
|G_{N,j}\cap G_{N,k}|
}{N}.
}
$$

## Corollary 9.2 — Resolution-Independent Overlap Kernel

對所有 grid-representable：

$$
\delta=r/N,
$$

有：

$$
\boxed{
K_N(\delta)
=
K_\alpha(\delta)
=
\max(0,\alpha-\delta).
}
$$

所以不同 resolutions 不是只「趨近」同一 kernel；它們在共同可表示 displacement 上精確取樣同一函數。

---

# 10. Dyadic Coarse Map

現在令：

$$
N\in\mathcal N_\alpha
$$

且：

$$
2N\in\mathcal N_\alpha.
$$

則：

$$
h_{2N}
=
2h_N.
$$

定義 fine-to-coarse cell map：

$$
\boxed{
c_{2N\rightarrow N}(i)
=
\left\lfloor
\frac i2
\right\rfloor.
}
$$

對 subset：

$$
A\subseteq V_{2N},
$$

定義其 direct coarse image：

$$
c(A)
=
\{
c(i):
i\in A
\}.
$$

---

# 11. Fine Generator Image Theorem

## Theorem 11.1 — Dyadic Generator Image

對 fine minimal generator：

$$
G_{2N,j},
$$

有：

### Even start

若：

$$
j=2k,
$$

則：

$$
\boxed{
c(G_{2N,2k})
=
G_{N,k}.
}
$$

### Odd start

若：

$$
j=2k+1,
$$

則：

$$
\boxed{
c(G_{2N,2k+1})
=
\{k,k+1,\ldots,k+h_N\}.
}
$$

因此其 cardinality：

$$
h_N+1,
$$

並包含兩個相鄰 coarse minimal generators：

$$
G_{N,k},
$$

以及：

$$
G_{N,k+1},
$$

只要二者都位於合法 start range。

### Proof

fine generator 長度：

$$
h_{2N}=2h_N.
$$

若：

$$
j=2k,
$$

fine indices：

$$
2k,\ldots,2k+2h_N-1
$$

在 floor-divide-by-two 後恰成：

$$
k,\ldots,k+h_N-1.
$$

若：

$$
j=2k+1,
$$

fine indices：

$$
2k+1,\ldots,2k+2h_N
$$

映成：

$$
k,\ldots,k+h_N.
$$

證畢。

---

## Corollary 11.2 — Winning Preservation

對所有 fine minimal generators：

$$
G\in\mathcal G_{2N},
$$

其 coarse image：

$$
c(G)
$$

滿足：

$$
\boxed{
V_N(c(G))=1.
}
$$

所以：

$$
c
$$

是 minimal-generator 到 coarse winning-state 的 preserving map，但不是一般的 minimal-to-minimal homomorphism。

---

## Corollary 11.3 — Coarse Generator Preimage

對每個 coarse minimal generator：

$$
G_{N,k},
$$

aligned fine generator：

$$
G_{2N,2k}
$$

滿足：

$$
\boxed{
c(G_{2N,2k})
=
G_{N,k}.
}
$$

因此 coarse minimal generators 都有 exact fine representatives。

---

# 12. Inner and Outer Coarse-Graining

對：

$$
A\subseteq V_{2N},
$$

定義 inner coarse-graining：

$$
\boxed{
C^-(A)
=
\left\{
i\in V_N:
\{2i,2i+1\}\subseteq A
\right\}.
}
$$

定義 outer coarse-graining：

$$
\boxed{
C^+(A)
=
\left\{
i\in V_N:
\{2i,2i+1\}\cap A\neq\varnothing
\right\}.
}
$$

顯然：

$$
C^-(A)
\subseteq
C^+(A).
$$

---

# 13. Coarse-Bracketing Theorem

## Theorem 13.1 — Exact Inner/Outer Freedom Bracket

對所有：

$$
A\subseteq V_{2N},
$$

有：

$$
\boxed{
V_N(C^-A)
\le
V_{2N}(A)
\le
V_N(C^+A).
}
$$

### Proof

因三個量皆為 binary，只需證明兩個 implication。

### Lower bound

若：

$$
V_N(C^-A)=1,
$$

則存在 coarse generator：

$$
G_{N,k}
=
\{k,\ldots,k+h_N-1\}
$$

使：

$$
G_{N,k}
\subseteq
C^-A.
$$

由 $C^-$ 定義，對每個：

$$
i\in G_{N,k},
$$

都有：

$$
2i,
\quad
2i+1
$$

屬於 $A$。

所以 $A$ 包含完整 fine block：

$$
\{2k,\ldots,2k+2h_N-1\}
=
G_{2N,2k}.
$$

因此：

$$
V_{2N}(A)=1.
$$

故：

$$
V_N(C^-A)
\le
V_{2N}(A).
$$

### Upper bound

若：

$$
V_{2N}(A)=1,
$$

則 $A$ 包含某個 fine generator：

$$
G_{2N,j}
$$

長度為：

$$
2h_N.
$$

其 coarse parents：

$$
c(G_{2N,j})
$$

由 Theorem 11.1 是：

- 一個長度 $h_N$ coarse block；或
- 一個長度 $h_N+1$ coarse block。

因每個 parent coarse cell 至少有一個 child 屬於：

$$
G_{2N,j}\subseteq A,
$$

所以：

$$
c(G_{2N,j})
\subseteq
C^+(A).
$$

因此：

$$
C^+(A)
$$

至少包含一個長度 $h_N$ coarse generator。

所以：

$$
V_N(C^+A)=1.
$$

故：

$$
V_{2N}(A)
\le
V_N(C^+A).
$$

證畢。

---

# 14. Projection without Annexation

Theorem 13.1 的意義不是 coarse layer 等於 fine layer。

相反地：

$$
C^-(A)
$$

與：

$$
C^+(A)
$$

通常不同。

因此 fine state：

$$
A
$$

不必存在唯一 coarse state可以完整代表。

但 coarse layer可以給出：

$$
\boxed{
\text{lower freedom certificate}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{upper freedom certificate}.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{coarse projection}
\neq
\text{fine ontological identity},
}
$$

同時：

$$
\boxed{
\text{coarse projection can still preserve valid bounds}.
}
$$

這是 SOBTA：

$$
\text{Projection without Annexation}
$$

在本模型中的精確數學實例。

---

# 15. Latent Freedom Potential Across Resolution

Paper 03 定義：

$$
d_N(A)
=
\min_{G\in\mathcal G_N}
|G\setminus A|.
$$

先處理 contiguous released block。

## Lemma 15.1 — Contiguous-Block Potential

若：

$$
A
$$

是長度：

$$
k
$$

的 contiguous released block，則：

$$
\boxed{
d_N(A)
=
\max(0,h_N-k).
}
$$

### Proof

若：

$$
k\ge h_N,
$$

則 $A$ 內包含某個 length- $h_N$ generator，所以：

$$
d_N(A)=0.
$$

若：

$$
k<h_N,
$$

任何 generator 有 $h_N$ 個 cells，而 $A$ 至多能提供其中 $k$ 個，因此：

$$
d_N(A)\ge h_N-k.
$$

另一方面，因 $A$ 本身為 contiguous block 且位於：

$$
V_N,
$$

可將它向左或右延伸成某個 length- $h_N$ legal generator，所以存在 generator：

$$
G
$$

使：

$$
A\subseteq G,
$$

且：

$$
|G\setminus A|
=
h_N-k.
$$

因此 equality 成立。證畢。

---

# 16. Center-Sampled Physical Interval

令 physical released interval：

$$
I=[s,s+\ell]
\subseteq
[0,1].
$$

定義 resolution- $N$ sampled set：

$$
\boxed{
A_N(I)
=
\left\{
i:
\frac{i+1/2}{N}
\in I
\right\}.
}
$$

因 cell centers 等距排列， $A_N(I)$ 是 contiguous block。

令：

$$
k_N
=
|A_N(I)|.
$$

## Lemma 16.1 — Sampling Count Error

$$
\boxed{
\left|
\frac{k_N}{N}
-
\ell
\right|
\le
\frac1N.
}
$$

### Proof

 $k_N$ 等於 spacing $1/N$ 的 arithmetic progression 落在長度 $\ell$ interval 中的點數。

將座標乘以 $N$，等價於計數 unit-spaced points 落在長度：

$$
N\ell
$$

的 interval 中。

任意長度 $L$ 的 closed interval 所含 unit-spaced lattice points 數與 $L$ 的差至多 $1$。

因此：

$$
|k_N-N\ell|
\le1.
$$

除以 $N$ 得證。證畢。

---

# 17. Latent-Potential Continuum Limit

定義 continuum deficit：

$$
\boxed{
d_\infty(I)
=
\max(0,\alpha-\ell).
}
$$

以及 normalized discrete potential：

$$
\boxed{
\delta_N(I)
=
\frac{
d_N(A_N(I))
}{
N
}.
}
$$

## Theorem 17.1 — Uniform $O(1/N)$ Potential Error

$$
\boxed{
\left|
\delta_N(I)
-
d_\infty(I)
\right|
\le
\frac1N.
}
$$

### Proof

由 Lemma 15.1：

$$
\delta_N(I)
=
\max
\left(
0,
\alpha-\frac{k_N}{N}
\right).
$$

函數：

$$
f(x)=\max(0,\alpha-x)
$$

為 $1$ -Lipschitz。

因此：

$$
\left|
f(k_N/N)-f(\ell)
\right|
\le
\left|
k_N/N-\ell
\right|.
$$

再由 Lemma 16.1：

$$
\le
\frac1N.
$$

證畢。

因此：

$$
\boxed{
\delta_N(I)
\rightarrow
d_\infty(I).
}
$$

---

# 18. Constituent Capacity Field

Paper 03 對 aperture capacity game 得到：

$$
\phi_i
=
\frac{n_i(h_N)}{h_N},
$$

其中：

$$
n_i(h_N)
$$

是包含 constituent $i$ 的 generators 數。

本文定義：

$$
\boxed{
\Phi_N(x_i)
=
\frac{n_i(h_N)}{h_N},
}
$$

其中 physical cell center：

$$
\boxed{
x_i
=
\frac{i+1/2}{N}.
}
$$

---

# 19. Exact Discrete Field Formula

因：

$$
0<\alpha\le\frac12,
$$

有：

$$
h_N\le\frac N2.
$$

所以：

$$
n_i(h_N)
=
\min
\left(
i+1,
h_N,
N-i
\right).
$$

因此：

$$
\boxed{
\Phi_N(x_i)
=
\min
\left(
1,
\frac{i+1}{h_N},
\frac{N-i}{h_N}
\right).
}
$$

---

# 20. Continuum Capacity Field

定義：

$$
\boxed{
\Phi_\alpha(x)
=
\min
\left(
1,
\frac{x}{\alpha},
\frac{1-x}{\alpha}
\right).
}
$$

其形狀為：

- 左 boundary ramp；
- central plateau；
- 右 boundary ramp。

---

# 21. Uniform Capacity-Field Limit

## Theorem 21.1

對所有 discrete centers：

$$
x_i
=
\frac{i+1/2}{N},
$$

有：

$$
\boxed{
\left|
\Phi_N(x_i)
-
\Phi_\alpha(x_i)
\right|
\le
\frac{
1
}{
2\alpha N
}.
}
$$

而最大誤差在 boundary ramp 上可達此 bound。

### Proof

左 boundary ramp 上：

$$
i+1\le h_N,
$$

且該點尚未進入 plateau。

則：

$$
\Phi_N(x_i)
=
\frac{i+1}{h_N}.
$$

而：

$$
\Phi_\alpha(x_i)
=
\frac{x_i}{\alpha}
=
\frac{i+1/2}{\alpha N}
=
\frac{i+1/2}{h_N}.
$$

兩者差：

$$
\frac{1}{2h_N}
=
\frac{1}{2\alpha N}.
$$

右 boundary ramp 對稱。

central plateau 中：

$$
\Phi_N
=
\Phi_\alpha
=
1.
$$

在 ramp / plateau transition 亦不超過同一 bound。

證畢。

---

## Corollary 21.2 — Uniform Convergence

$$
\boxed{
\|\Phi_N-\Phi_\alpha\|_{\infty,\mathrm{centers}}
\rightarrow0.
}
$$

因此 constituent-level cooperative influence field 不必是 pixel-resolution artifact。

---

# 22. Resolution System

Paper 04 的 finite quotient：

$$
[\mathcal H_q]_{\cong}
$$

在 fixed cardinality 下適用。

本文提出跨解析度 object：

$$
\boxed{
\mathfrak R_\alpha
=
\left(
\{
\mathcal H_N
\}_{N\in\mathcal N_\alpha},
\{
c_{2N\rightarrow N}
\},
\{
\iota_N
\},
\mathcal H_\alpha^\infty
\right).
}
$$

其中：

- $\mathcal H_N$：finite generator system；
- $c_{2N\rightarrow N}$：winning-preserving coarse map；
- $\iota_N$：physical embedding；
- $\mathcal H_\alpha^\infty$：continuum generator limit。

所以 cross-resolution invariant 不再是一個單一 finite equivalence class，而更接近：

$$
\boxed{
\text{a refinement system with a common physical limit}.
}
$$

---

# 23. Constituent Is Not the Invariant

 $N=16$ 時：

$$
|V_N|=16.
$$

 $N=256$ 時：

$$
|V_N|=256.
$$

離散 constituent identity 已完全改變。

但仍有：

$$
\frac{h_N}{N}
=
\alpha,
$$

$$
K_N(\delta)
=
K_\alpha(\delta),
$$

$$
\mathscr G_N
\rightarrow
\mathscr G_\alpha^\infty,
$$

$$
\delta_N
\rightarrow
d_\infty,
$$

$$
\Phi_N
\rightarrow
\Phi_\alpha.
$$

因此在本模型中：

$$
\boxed{
\text{constituent identity}
}
$$

不是最穩定的 information carrier。

更準確地：

$$
\boxed{
\text{constituent}
=
\text{resolution-relative carrier of a deeper admissibility relation}.
}
$$

---

# 24. ACTM：Resolution Transport

現在 refinement：

$$
\mathcal H_N
\rightarrow
\mathcal H_{2N}
$$

可做 structural audit。

## Preserve Exactly

$$
\boxed{
\frac{h_N}{N}
=
\alpha.
}
$$

## Preserve as Exact Samples

$$
\boxed{
K_N(\delta)
=
K_\alpha(\delta).
}
$$

## Refine

$$
S_N
\subset
S_{2N}
$$

對 dyadic admissible resolutions成立。

## Map Minimal to Winning

$$
G_{2N,j}
\mapsto
c(G_{2N,j}),
$$

其中 image 一定 coarse winning。

## Bracket Arbitrary States

$$
V_N(C^-A)
\le
V_{2N}(A)
\le
V_N(C^+A).
$$

## Converge

$$
\mathscr G_N
\rightarrow
\mathscr G_\alpha^\infty,
$$

$$
d_N/N
\rightarrow
d_\infty,
$$

$$
\Phi_N
\rightarrow
\Phi_\alpha.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{refinement transport}
}
$$

不是單純 representation rewrite，而是在 constituent system 變動中保存／收斂 relational structure。

---

# 25. SOBTA：Coarse Projection without Identity

Theorem 13.1 提供一個很清楚的三域投影例子。

fine state：

$$
A
$$

是客體層的高解析狀態。

coarse query：

$$
S_N
$$

只能透過：

$$
C^-,
\qquad
C^+
$$

讀取一個 lower / upper admissibility envelope。

所以：

$$
\boxed{
\text{coarse observation}
\neq
\text{fine state itself}.
}
$$

但又不是完全失去結構，因為：

$$
\boxed{
V_N(C^-A)
\le
V_{2N}(A)
\le
V_N(C^+A).
}
$$

這是：

$$
\boxed{
\text{Projection without Annexation}
}
$$

的 operational realization。

---

# 26. Exact Audit

本文附：

`paper05_exact_checks.py`

驗證：

1. normalized generator order；
2. exact physical generator length；
3. Hausdorff rate；
4. overlap kernel；
5. dyadic generator image；
6. all-state $16\rightarrow8$ bracket；
7. latent-potential error bound；
8. capacity-field error bound。

其中 coarse-bracket theorem 已在正文解析證明；全 $65536$ states 的 exhaustive check 只作 audit。

---

# 27. 可證偽性與限制

## F1 — Resolution Normalization Failure

若：

$$
h_N/N
$$

不能穩定表示同一 physical scale，本文此模型失去 cross-resolution interpretation。

## F2 — Refinement Non-Preservation

若 fine minimal generator 的 coarse image不再是 coarse winning set，Theorem 11.1 / Corollary 11.2 失效。

## F3 — Coarse-Bracket Failure

若存在：

$$
A
$$

使：

$$
V_N(C^-A)
>
V_{2N}(A)
$$

或：

$$
V_{2N}(A)
>
V_N(C^+A),
$$

Theorem 13.1 失效。

## F4 — Limit Overreach

本文只證 interval-generator family 的 limit。

不宣稱所有：

- irregular geometry；
- curved boundary；
- rotation group；
- non-monotone freedom；
- physical field theory；

都具有同樣 limit structure。

## F5 — Constituent Ontology Overreach

本文不宣稱 continuum object 比所有 discrete layers「更真」。

它只表示：

> 多個 discrete representations 可由同一 continuous admissibility relation 一致生成與逼近。

---

# 28. 與下一篇的接口

本文的一維 continuum family 已有：

$$
\mathscr G_\alpha^\infty,
$$

$$
K_\alpha,
$$

$$
\Phi_\alpha.
$$

下一步 Paper 06 將回到真正二維：

- disk-like probe；
- square probe；
- irregular probe；
- translation；
- $90^\circ$ rotation；
- generator covariogram；
- container-induced capacity field；
- dyadic refinement。

目標是把：

$$
\boxed{
\text{interval generator system}
}
$$

提升成：

$$
\boxed{
\text{2D Generator Complex}.
}
$$

---

# 29. 結論

Paper 04 說明：

$$
\boxed{
\text{labels can change while a finite Generator Quotient remains fixed}.
}
$$

本文進一步說明：

$$
\boxed{
\text{constituent count can change while a physical generator relation converges}.
}
$$

在 interval-generator model 中，我們得到：

$$
\boxed{
d_H(
\mathscr G_N,
\mathscr G_\alpha^\infty
)
=
\frac{1}{2N},
}
$$

$$
\boxed{
K_\alpha(\delta)
=
\max(0,\alpha-\delta),
}
$$

$$
\boxed{
V_N(C^-A)
\le
V_{2N}(A)
\le
V_N(C^+A),
}
$$

$$
\boxed{
\left|
\frac{d_N}{N}
-
d_\infty
\right|
\le
\frac1N,
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\|\Phi_N-\Phi_\alpha\|_\infty
\le
\frac{1}{2\alpha N}.
}
$$

因此在這個明確模型中，不同 resolution hypergraphs 可以被理解成同一 continuum generator relation 的不同 finite carriers。

本文一句話總結：

$$
\boxed{
\textbf{The constituent grid may refine; the admissible generator relation can converge to the same physical object.}
}
$$

中文：

> **構成格點可以持續細化；被它承載的合法生成關係仍可以收斂到同一個物理尺度結構。**

---

# Appendix A. 核心公式

Normalized generator order：

$$
\frac{h_N}{N}
=
\alpha.
$$

Physical generator：

$$
\iota_N(G_{N,j})
=
\left[
\frac jN,
\frac jN+\alpha
\right].
$$

Generator-family Hausdorff rate：

$$
d_H(
\mathscr G_N,
\mathscr G_\alpha^\infty
)
=
\frac{1}{2N}.
$$

Overlap kernel：

$$
K_\alpha(\delta)
=
\max(0,\alpha-\delta).
$$

Coarse bracket：

$$
V_N(C^-A)
\le
V_{2N}(A)
\le
V_N(C^+A).
$$

Latent-potential limit：

$$
\left|
\delta_N-d_\infty
\right|
\le
\frac1N.
$$

Capacity-field limit：

$$
\left|
\Phi_N(x_i)-\Phi_\alpha(x_i)
\right|
\le
\frac{1}{2\alpha N}.
$$

---

# Appendix B. Formal Status

**解析定理：**

- Proposition 4.1；
- Theorem 5.1；
- Theorem 7.1；
- Corollary 8.1；
- Theorem 9.1；
- Corollary 9.2；
- Theorem 11.1；
- Corollaries 11.2、11.3；
- Theorem 13.1；
- Lemmas 15.1、16.1；
- Theorem 17.1；
- Theorem 21.1；
- Corollary 21.2。

**Exact computational audit：**

- E6 resolutions $16,32,64,128,256$ ；
- dyadic generator mapping；
- all-state $16\rightarrow8$ bracketing over $65536$ states；
- latent-potential samples；
- capacity-field samples。

**尚未宣稱：**

- universal continuum limit for arbitrary generator systems；
- arbitrary-dimensional theorem；
- arbitrary curved geometry refinement theorem；
- physical spacetime discreteness or continuity；
- category-theoretic universality of $\mathfrak R_\alpha$。