空間資訊佔據 VI：二維 Generator Complex、Covariogram 與容器自由場

Spatial Information Occupancy VI: Two-Dimensional Generator Complexes, Covariograms, and Container Freedom Fields

系列： Spatial Information Occupancy and Generator Geometry
篇次： Paper 06 / Two-Dimensional Geometry
版本： v1.0
日期： 2026-10-02
作者： Neo.K
AI 協力研究者： Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司
狀態： Formal Research Draft / 2D Generator Geometry

直接前置：

Paper 01《空間資訊佔據 I：超越幾何測度的容器相對自由結構》；
Paper 02《空間資訊佔據 II：自由度傳輸、邊界飽和與結構逃逸》；
Paper 03《空間資訊佔據 III：協同構成元代數、潛在自由與纖維資訊場》；
Paper 04《空間資訊佔據 IV：Generator Quotient 與跨表示資訊不變量》；
Paper 05《空間資訊佔據 V：跨解析度 Generator 系統與連續極限》；
E7 2D Generator Complex。

摘要

前五篇已依序建立：

\text{measure/freedom separation},

\text{freedom transport},

\text{cooperative generator algebra},

\text{Generator Quotient},

以及：

\text{cross-resolution generator limit}.

本文把這套結構重新帶回最初的二維問題：圓、方、不規則形狀與有限容器之間的資訊佔據關係。

令：

X_N = \{0,\ldots,N-1\}^2

為二維方形格點容器，令有限 probe：

P\subseteq\mathbb Z^2.

對 probe 的所有 distinct legal translations 與允許的 discrete rotations，本文定義：

\boxed{ \mathcal G_{P,N} = \{ rP+t: r\in\mathcal R(P), \; rP+t\subseteq X_N \}, }

並形成二維 placement-generator hypergraph：

\boxed{ \mathcal H_{P,N} = (X_N,\mathcal G_{P,N}). }

因所有 rigid placements 都保持：

|G|=|P|,

本文證明所有 distinct legal placements 都是 minimal generators。

若 orientation $rP$ 的 bounding box 為：

w_r\times h_r,

則 legal generator 數精確為：

\boxed{ |\mathcal G_{P,N}| = \sum_{r\in\mathcal R(P)} (N-w_r+1)(N-h_r+1). }

因此 direct support cardinality：

|P|

並不能決定 generator-complex size。

E7 的 exact finite construction在 $N=64$ 下給出三個等支撐 probes：

|P|=256, \qquad \eta_{\mathrm{site}}=\frac1{16},

但：

|\mathcal G_{\mathrm{disk}}| = 2209,

|\mathcal G_{\square}| = 2401,

|\mathcal G_{\mathrm{irregular}}| = 7744.

所以這三個二維 generator complexes 不可能彼此同構。

本文接著把 generator 間的 pairwise relational structure寫成 covariogram：

\boxed{ K_{P,N}(\Delta) = \frac{ |P\cap(P+\Delta)| }{ N^2 }. }

它精確給出同 orientation 下、相對位移為 $\Delta$ 的兩個 generators 之 normalized intersection。

對 side：

s=aN

的 axis-aligned square，本文證明 exact kernel：

\boxed{ K_{\square,N}(\delta_x,\delta_y) = \max(0,a-|\delta_x|) \max(0,a-|\delta_y|), }

其中：

\delta_x=\frac{d_x}{N}, \qquad \delta_y=\frac{d_y}{N}.

因此一維 triangular overlap kernel 在二維 square 中精確升格為 separable product kernel。

本文再定義 Placement Capacity Field：

\boxed{ \Psi_{P,N}(x) = \frac{ \#\{ G\in\mathcal G_{P,N}:x\in G \} }{ |\mathcal G_{P,N}| }. }

它表示從所有 legal generators 均勻抽取一個時，constituent $x$ 被 probe 佔據的機率。

本文證明其總質量：

\boxed{ \sum_{x\in X_N} \Psi_{P,N}(x) = |P|. }

因此：

\boxed{ \frac1{N^2} \sum_x \Psi_{P,N}(x) = \frac{|P|}{N^2} = \eta_{\mathrm{site}}. }

換言之，geometric measure / direct occupancy 是 capacity field 的 spatial mean，但並不能決定 field distribution。

對 square，本文給出 $\Psi_{\square,N}$ 的 exact separable formula，並證明它收斂至一個 continuum boundary-ramp / interior-plateau field。

dyadic square refinement 亦完全 exact：

\boxed{ E_2(P_N) = P_{2N}. }

對 disk-like 與 irregular probes，E7 顯示 independently reconstructed fine probes 與 coarse dyadic expansions 的 normalized symmetric difference隨 resolution 減少；它們的 placement-capacity fields 亦呈現明顯下降的 cross-resolution error。本文將這些保留為 computational evidence，而不升格成一般 curved-boundary theorem。

本文最終提出二維 generator signature：

\boxed{ \mathfrak S_N(P) = \left( |P|, \mathcal R(P), \mathcal G_{P,N}, K_{P,N}, \Psi_{P,N} \right). }

因此 circle、square、irregular form 的差異不再只被描述為「面積或輪廓不同」，而可被描述成不同的 placement-generator geometry。

Abstract

This paper extends Spatial Information Occupancy from one-dimensional generator systems to two-dimensional placement geometry.

Let

X_N=\{0,\ldots,N-1\}^2

be a finite square container and let $P\subseteq\mathbb Z^2$ be a finite probe. The family of all distinct legal translations and allowed discrete rotations is defined as

\mathcal G_{P,N} = \{ rP+t: r\in\mathcal R(P), \; rP+t\subseteq X_N \},

forming the two-dimensional placement-generator hypergraph

\mathcal H_{P,N} = (X_N,\mathcal G_{P,N}).

All rigid placements have the same cardinality $|P|$ , so every distinct legal placement is a minimal generator. If orientation $rP$ has bounding box $w_r\times h_r$ , then

|\mathcal G_{P,N}| = \sum_{r\in\mathcal R(P)} (N-w_r+1)(N-h_r+1).

Thus equal direct support does not determine the size of the generator complex.

The pairwise relational structure of translated generators is captured by the discrete covariogram

K_{P,N}(\Delta) = \frac{|P\cap(P+\Delta)|}{N^2}.

For an axis-aligned square of physical side $a$ , the exact kernel is

K_{\square,N}(\delta_x,\delta_y) = \max(0,a-|\delta_x|) \max(0,a-|\delta_y|).

The paper also defines the placement capacity field

\Psi_{P,N}(x) = \frac{ \#\{G\in\mathcal G_{P,N}:x\in G\} }{ |\mathcal G_{P,N}| }.

Its total mass satisfies the exact identity

\sum_{x\in X_N} \Psi_{P,N}(x) = |P|.

Hence direct occupancy is the spatial mean of the capacity field but does not determine its distribution.

For square probes, an exact separable finite formula and a continuum boundary-ramp / interior-plateau limit are derived. Exact dyadic refinement is also proved for squares.

Disk-like and irregular probes are retained as exact finite constructions and cross-resolution computational evidence. Their boundary discrepancies and capacity-field errors decrease under refinement in the E7 sequence, but no general curved-boundary convergence theorem is claimed.

The resulting two-dimensional signature combines support, orientation structure, placement generators, covariograms, and container-induced capacity fields.

1. 二維問題的回歸

本系列最初的直覺之一來自：

圓包含方；
方包含圓；
細長結構；
不規則幾何；
容器內外空白。

Paper 01 已證明：

\text{measure} \neq \text{freedom}.

Paper 03–05 又把 freedom 結構降到：

\mathcal G_q, \qquad \mathcal H_q, \qquad \mathfrak Q_q, \qquad \mathfrak R_\alpha.

本文現在重新問：

真正二維 shape 作為 probe 時，它如何生成 placement freedom structure？

2. 二維 Container

定義：

\boxed{ X_N = \{0,\ldots,N-1\}^2. }

一個 finite probe：

\boxed{ P \subseteq \mathbb Z^2. }

本文把 probe normalize，使其 bounding box 左下角位於：

(0,0).

3. Orientation Set

令：

\mathcal R(P)

為允許的 distinct discrete orientations。

本文主要使用：

\boxed{ 0^\circ, 90^\circ, 180^\circ, 270^\circ }

所生成的 distinct normalized shapes。

若 probe 具有旋轉對稱，則：

|\mathcal R(P)|<4.

例如 square：

|\mathcal R(P)|=1.

E7 的 disk-like probe 被構造成 exact $C_4$ digital symmetry，因此：

|\mathcal R(P_{\mathrm{disk}})|=1.

irregular star 則：

|\mathcal R(P_{\mathrm{irr}})|=4.

4. 二維 Placement Generators

對：

r\in\mathcal R(P),

與 translation：

t=(a,b)\in\mathbb Z^2,

若：

rP+t \subseteq X_N,

則：

\boxed{ G_{r,t} = rP+t }

為一個 legal placement generator。

定義：

\boxed{ \mathcal G_{P,N} = \{ G_{r,t}: r\in\mathcal R(P), G_{r,t}\subseteq X_N \}. }

以及：

\boxed{ \mathcal H_{P,N} = (X_N,\mathcal G_{P,N}). }

5. Rigid Placement Minimality

Theorem 5.1 — Every Distinct Rigid Placement Is Minimal

假設每個：

r\in\mathcal R(P)

都是 rigid orientation，所以：

|rP|=|P|=K.

則任意兩個 distinct legal placements：

G_1, G_2 \in \mathcal G_{P,N}

不能有真包含：

G_1\subsetneq G_2.

因此：

\boxed{ \mathcal G_{P,N} }

中的所有 distinct placements 都是 minimal generators。

Proof

所有 rigid placements 都有同樣有限 cardinality：

|G_1| = |G_2| = K.

若：

G_1\subsetneq G_2,

有限集合真包含必有：

|G_1|<|G_2|,

矛盾。

所以 distinct placements 不可能真包含彼此。證畢。

6. Generator Count

對 orientation：

rP,

令其 axis-aligned bounding box 為：

w_r\times h_r.

若：

w_r,h_r\le N,

合法 translation anchors：

a=0,\ldots,N-w_r,

b=0,\ldots,N-h_r.

所以該 orientation 有：

(N-w_r+1)(N-h_r+1)

個 placements。

Theorem 6.1 — Exact Placement-Generator Count

若：

\mathcal R(P)

只保留 normalized distinct orientations，則：

\boxed{ |\mathcal G_{P,N}| = \sum_{r\in\mathcal R(P)} (N-w_r+1)(N-h_r+1). }

Proof

每個 orientation 的合法 translation 數由 bounding box count 得到。

若兩個不同 normalized orientations 的 translated placements 完全相等，將該集合各自平移回其 bounding-box origin，會得到相同 normalized shape，與 orientations distinct 矛盾。

所以不同 orientation layers 沒有重複 generators。

因此可直接求和。證畢。

7. 等 Direct Support 不決定 Generator Complex

若兩個 probes：

P_1, P_2

滿足：

|P_1|=|P_2|=K,

但：

|\mathcal G_{P_1,N}| \neq |\mathcal G_{P_2,N}|,

則其 hypergraphs 不可能同構，因 hypergraph isomorphism 保持 edge count。

Corollary 7.1

\boxed{ |P_1|=|P_2| \not\Rightarrow \mathcal H_{P_1,N} \cong \mathcal H_{P_2,N}. }

direct support cardinality 本身不足以決定 2D generator complex。

8. E7 Equal-Support Construction

E7 對：

N=64

構造三個 exact equal-support probes：

|P|=256.

所以：

\eta_{\mathrm{site}} = \frac{256}{4096} = \frac1{16}.

其 exact finite data：

Probe	Bounding Box	Unique Orientations	Generator Count
disk-like	$18\times18$	$1$	$2209$
square	$16\times16$	$1$	$2401$
irregular star	$21\times21$	$4$	$7744$

由 Theorem 6.1：

disk-like：

(64-18+1)^2 = 47^2 = 2209.

square：

49^2 = 2401.

irregular：

4\cdot44^2 = 7744.

所以三者 generator edge counts 皆不同。

因此：

\boxed{ \mathcal H_{\mathrm{disk},64}, \quad \mathcal H_{\square,64}, \quad \mathcal H_{\mathrm{irr},64} }

兩兩不可能同構。

這是：

\boxed{ \text{same direct occupancy} \not\Rightarrow \text{same 2D freedom-generator structure}. }

9. Generator Covariogram

對固定 orientation probe：

P,

定義 discrete covariogram：

\boxed{ \Gamma_P(\Delta) = |P\cap(P+\Delta)|. }

若需要 container normalization：

\boxed{ K_{P,N}(\Delta) = \frac{ \Gamma_P(\Delta) }{ N^2 }. }

這個量不需要把兩個 copies 都放在 container 中才有定義；它是 probe support 本身的 translation-overlap relation。

10. Covariogram as Generator Intersection

Proposition 10.1

若兩個同 orientation generators：

G_t=P+t,

G_u=P+u,

則：

\boxed{ |G_t\cap G_u| = \Gamma_P(u-t). }

Proof

平移 $-t$ 不改變 cardinality：

|(P+t)\cap(P+u)| = |P\cap(P+(u-t))|.

即為：

\Gamma_P(u-t).

證畢。

因此 covariogram 精確編碼 pairwise generator-overlap relation。

11. Covariogram Basic Invariances

Proposition 11.1

對任意：

v\in\mathbb Z^2,

有：

\boxed{ \Gamma_{P+v}(\Delta) = \Gamma_P(\Delta). }

且：

\boxed{ \Gamma_P(-\Delta) = \Gamma_P(\Delta). }

Proof

第一式由共同 translation 消去。

第二式：

|P\cap(P-\Delta)| = |(P+\Delta)\cap P| = |P\cap(P+\Delta)|.

證畢。

所以 covariogram 已經 quotient 掉 probe 的絕對平移位置。

12. Square Covariogram

令 square：

Q_s = \{0,\ldots,s-1\}^2.

對 integer displacement：

\Delta=(d_x,d_y).

Theorem 12.1 — Exact Discrete Square Covariogram

\boxed{ \Gamma_{Q_s}(d_x,d_y) = \max(0,s-|d_x|) \max(0,s-|d_y|). }

Proof

兩個 axis-aligned square 的 $x$ -interval overlap cell count：

\max(0,s-|d_x|).

$y$ -interval同理。

二維 intersection 是 Cartesian product，所以 cardinality為兩者乘積。證畢。

若：

s=aN,

以及：

\delta_x=\frac{d_x}{N}, \qquad \delta_y=\frac{d_y}{N},

則：

Corollary 12.2 — Exact Normalized Square Kernel

\boxed{ K_{\square,N}(\delta_x,\delta_y) = \max(0,a-|\delta_x|) \max(0,a-|\delta_y|). }

只要：

d_x,d_y

是 lattice shifts。

所以 square 的 2D overlap kernel 在所有 admissible resolutions 上 exact sample 同一 continuum product kernel。

13. Equal Area Does Not Determine Covariogram

E7 在：

N=128

中，三種 probes 都有：

|P|/N^2 = 1/16.

但在：

\Delta= (1/16,0)

的 normalized displacement：

disk-like：

K\approx0.044922,

square：

K=0.046875,

irregular：

K\approx0.042053.

所以：

\boxed{ \text{equal support measure} \not\Rightarrow \text{equal generator covariogram}. }

這部分對 disk / irregular 為 exact finite computed values；本文不由這三個數字推出一般 continuum theorem。

14. Placement Capacity Field

Paper 03 的 Shapley field 分配 cooperative generator value。

本文需要另一個二維 quantity：substrate constituent 被 legal placements 覆蓋的頻率。

Definition 14.1 — Placement Capacity Field

對：

x\in X_N,

定義：

\boxed{ \Psi_{P,N}(x) = \frac{ \#\{ G\in\mathcal G_{P,N}: x\in G \} }{ |\mathcal G_{P,N}| }. }

因此：

0\le \Psi_{P,N}(x) \le1.

它是一個 probability-like coverage field，而不是 Paper 03 的 aperture-capacity set function。

15. Capacity-Field Mass Theorem

Theorem 15.1 — Field Mass Equals Direct Support

若所有 generators：

G\in\mathcal G_{P,N}

都有：

|G|=K,

則：

\boxed{ \sum_{x\in X_N} \Psi_{P,N}(x) = K. }

因此：

\boxed{ \frac1{N^2} \sum_{x\in X_N} \Psi_{P,N}(x) = \frac{K}{N^2} = \eta_{\mathrm{site}}. }

Proof

交換求和次序：

\begin{aligned} \sum_{x\in X_N} \Psi_{P,N}(x) &= \frac1{|\mathcal G|} \sum_x \#\{ G:x\in G \}\\ &= \frac1{|\mathcal G|} \sum_{G\in\mathcal G} |G|\\ &= \frac1{|\mathcal G|} \sum_{G\in\mathcal G} K\\ &= K. \end{aligned}

證畢。

16. Measure as Mean, Not Full Field

Theorem 15.1 顯示：

\boxed{ \eta_{\mathrm{site}} }

不是錯誤量。

它其實是：

\boxed{ \Psi_{P,N} }

的 spatial mean。

真正不足的是：

\boxed{ \text{mean} \not\Rightarrow \text{field distribution}. }

所以兩個 equal-support probes 可以有相同：

\eta_{\mathrm{site}}

但不同：

\Psi_{P,N}(x).

這提供 Paper 01 measure/freedom separation 的二維 field 版本。

17. Square Placement Capacity Field

令：

Q_s = \{0,\ldots,s-1\}^2

在：

X_N

中只做 translations。

一維方向上，包含 coordinate：

i

的合法 square anchors 數為：

\boxed{ n_{N,s}(i) = \max \left( 0, \min(i,N-s) - \max(0,i-s+1) + 1 \right). }

總 horizontal anchor 數：

M_1=N-s+1.

Theorem 17.1 — Exact Separable Square Capacity Field

對：

x=(i,j),

有：

\boxed{ \Psi_{\square,N}(i,j) = \frac{ n_{N,s}(i) n_{N,s}(j) }{ (N-s+1)^2 }. }

Proof

一個 translated square 包含 cell：

(i,j)

當且僅當：

horizontal anchor 包含 $i$ ；
vertical anchor 包含 $j$ 。

兩方向 anchor choices 獨立。

所以包含 $(i,j)$ 的 placements 數為：

n_{N,s}(i)n_{N,s}(j).

除以全部：

(N-s+1)^2

個 placements 即得。證畢。

18. Continuum Square Capacity Field

固定 physical side：

0<a<1,

令：

s_N=aN\in\mathbb N.

對 physical point：

x\in[0,1],

定義 one-dimensional admissible anchor-length：

\boxed{ \ell_a(x) = \max \left( 0, \min(x,1-a) - \max(0,x-a) \right). }

它表示所有：

t\in[0,1-a]

中使：

x\in[t,t+a]

成立的 start-position measure。

對：

a\le\frac12,

可簡化為：

\ell_a(x) = \min(x,a,1-x).

定義 continuum placement field：

\boxed{ \Psi_{\square,a}^{\infty}(x,y) = \frac{ \ell_a(x)\ell_a(y) }{ (1-a)^2 }. }

19. Square Capacity Continuum Limit

令 discrete centers：

x_i=\frac{i+1/2}{N}, \qquad y_j=\frac{j+1/2}{N}.

Theorem 19.1 — Pointwise Square-Field Convergence

若：

s_N=aN\in\mathbb N,

則對任何 sequences：

x_{i_N}\rightarrow x, \qquad y_{j_N}\rightarrow y,

有：

\boxed{ \Psi_{\square,N}(i_N,j_N) \rightarrow \Psi_{\square,a}^{\infty}(x,y). }

Proof

由一維 counting formula：

n_{N,s_N}(i)

是 spacing：

1/N

的 legal anchor starts 落在 interval：

[ \max(0,x_i-a)+O(1/N), \; \min(x_i,1-a)+O(1/N) ]

中的點數。

因此：

\frac{ n_{N,s_N}(i_N) }{ N } \rightarrow \ell_a(x).

同理：

\frac{ n_{N,s_N}(j_N) }{ N } \rightarrow \ell_a(y).

另一方面：

\frac{ N-s_N+1 }{ N } = 1-a+\frac1N \rightarrow 1-a.

將 Theorem 17.1 分子分母同除：

N^2

即可得到：

\Psi_{\square,N} \rightarrow \frac{ \ell_a(x)\ell_a(y) }{ (1-a)^2 }.

證畢。

20. Boundary-Induced Placement Asymmetry

若 container 是 infinite translation-homogeneous plane，所有 substrate positions 在平移作用下等價。

但有限：

X_N

有 boundary。

因此靠近：

\partial X_N

的 constituents 可被較少 legal placements 覆蓋。

所以：

\boxed{ \Psi_{P,N} }

同時依賴：

probe geometry；
orientation family；
container boundary；
placement action class。

因此它是一個直接的：

\boxed{ O-\partial }

coupled field。

21. Orientation Mixture

若：

\mathcal R(P) = \{r_1,\ldots,r_m\},

令 orientation $r$ 的 legal placement count：

M_r.

令：

\Psi_{r,N}(x)

為只在 orientation $r$ layer 中均勻抽 placement 的 coverage field。

Proposition 21.1 — Orientation-Weighted Field

整體 generator family 上均勻抽 generator 時：

\boxed{ \Psi_{P,N}(x) = \sum_{r\in\mathcal R(P)} \frac{ M_r }{ \sum_s M_s } \Psi_{r,N}(x). }

Proof

將包含 $x$ 的 generators 按 orientation layer 分組，再除以 total generator count。證畢。

因此 rotation freedom 直接進入 container field，而不是外加 metadata。

22. Exact Dyadic Refinement for Squares

令 coarse square：

Q_{s_N}

在 resolution：

N.

把每個 coarse constituent：

(i,j)

展成 fine：

2\times2

children：

(2i,2j), (2i+1,2j), (2i,2j+1), (2i+1,2j+1).

記此 operator 為：

E_2.

若：

s_{2N}=2s_N,

則：

Theorem 22.1 — Exact Square Support Refinement

\boxed{ E_2(Q_{s_N}) = Q_{s_{2N}}. }

Proof

coarse square：

0\le i,j\le s_N-1.

展開後 fine coordinates 恰覆蓋：

0\le x,y\le2s_N-1.

這正是 side：

2s_N=s_{2N}

的 fine square。證畢。

因此 square 在 dyadic refinement 下沒有 boundary reconstruction error。

23. Disk-Like and Irregular Refinement Evidence

E7 對 independently reconstructed probes 得到：

Shape	$32\rightarrow64$ Symmetric Difference / Fine $K$	$64\rightarrow128$
disk-like	$0.125000$	$0.0390625$
square	$0$	$0$
irregular star	$0.140625$	$0.062500$

Jaccard similarity：

disk-like：

0.882353 \rightarrow 0.961686,

irregular：

0.868613 \rightarrow 0.939394.

這是 clear cross-resolution evidence，但本文不從兩個 refinement steps 宣稱一般 convergence theorem。

24. Capacity-Field Refinement Evidence

E7 對 fine capacity field 做：

2\times2

block averaging，再與 coarse field 比較。

mean absolute errors：

Shape	$32\rightarrow64$	$64\rightarrow128$
disk-like	$0.00269939$	$0.00124849$
square	$0.00226772$	$0.00118038$
irregular star	$0.00236693$	$0.00120573$

三者都下降。

對 square，Theorem 19.1 已提供解析 continuum limit。

對 disk-like 與 irregular，本文只稱：

\boxed{ \text{computational convergence evidence}. }

25. 2D Generator Signature

本文提出：

\boxed{ \mathfrak S_N(P) = \left( |P|, \mathcal R(P), \mathcal G_{P,N}, K_{P,N}, \Psi_{P,N} \right). }

其中：

|P|

回答 direct support。

\mathcal R(P)

回答 orientation structure。

\mathcal G_{P,N}

回答 placement freedom generators。

K_{P,N}

回答 pairwise generator overlap relation。

\Psi_{P,N}

回答 container-relative placement participation field。

所以：

\boxed{ \text{shape} }

不再只由 boundary contour 或 area 描述。

26. Circle、Square、Irregular 的重新定位

對等 direct support：

|P_1|=|P_2|,

可能有：

|\mathcal G_{P_1,N}| \neq |\mathcal G_{P_2,N}|,

K_{P_1,N} \neq K_{P_2,N},

\Psi_{P_1,N} \neq \Psi_{P_2,N}.

因此：

\boxed{ \text{Circle / Square / Irregular} }

可以被重新理解成：

\boxed{ \text{different 2D generator-complex signatures}. }

這不取消傳統幾何分類，而是為「shape 對自由度做了什麼」增加一個更 relational 的描述層。

27. 與 Generator Quotient 的關係

Paper 04 的：

\mathfrak Q_q = [\mathcal H_q]_{\cong}

處理 fixed finite generator structure。

本文的：

\mathcal H_{P,N}

是其二維 placement instance。

因此若兩個不同 geometric embeddings：

P_1, P_2

誘導：

\mathcal H_{P_1,N} \cong \mathcal H_{P_2,N},

則對相同 placement query，它們落在同一 Generator Quotient。

但 equal area 並不足以保證此事。

E7 的三個 equal-support probes就是反例。

28. 與 Cross-Resolution System 的關係

Paper 05 建立：

\mathfrak R_\alpha

作為一維 refinement system。

二維情況更自然地需要：

\boxed{ \mathfrak C_P = \left( \{ \mathcal H_{P,N} \}_N, \{ r_{2N\rightarrow N} \}, \{ K_{P,N} \}, \{ \Psi_{P,N} \} \right). }

其中：

$\mathcal H_{P,N}$ ：resolution-indexed generator complexes；
$r_{2N\rightarrow N}$ ：refinement / coarse relation；
$K_{P,N}$ ：pairwise relational kernel；
$\Psi_{P,N}$ ：container field。

本文不宣稱這已經是唯一或最終的 2D continuum object。

但它比單一 finite hypergraph 更適合描述 shape family 的 cross-resolution structure。

29. SOBTA：二維主客邊耦合

對 placement query：

q_P,

可寫：

\Gamma_{q_P} = \langle S_{q_P}, P, \partial X_N \rangle.

其中：

S_{q_P}

指定：

translation；
rotation；
resolution；
placement legality。

客體：

P

指定 probe geometry。

邊界：

\partial X_N

決定 legal anchors。

因此：

\Psi_{P,N}

可視為：

\boxed{ \text{object geometry} + \text{container boundary} + \text{action semantics} }

共同誘導的 field。

這與 SOBTA 的 non-reduction 原則一致：field 不屬於單獨任何一域。

30. ACTM：2D Relation Transport

對 refinement：

P_N \rightarrow P_{2N},

可 audit：

Preserve

direct occupancy：

\frac{|P_N|}{N^2}.

Preserve Exactly for Square

E_2(P_N)=P_{2N}.

Reconstruct Boundary for Curved / Irregular Shapes

fine boundary 不必等於 coarse pixel duplication。

Track Pairwise Relations

K_{P,N} \rightarrow K_P.

Track Container Field

\Psi_{P,N} \rightarrow \Psi_P.

因此 ACTM-style relation transport在二維中不再只追蹤 scalar，而追蹤整套：

\boxed{ \mathfrak S_N(P). }

31. 可證偽性與限制

F1 — Placement Count Failure

若 Theorem 6.1 在本文 rigid translation / discrete rotation assumptions 下失敗，2D generator construction 有誤。

F2 — Minimality Failure

若 distinct equal-cardinality rigid placements 可以真包含彼此，Theorem 5.1 失效。

F3 — Square Kernel Failure

若 exact square covariogram不符合 Theorem 12.1，pairwise generator relation計算錯誤。

F4 — Field-Mass Failure

若：

\sum_x\Psi_{P,N}(x)\neq|P|,

Theorem 15.1 失效。

F5 — Curved-Boundary Overreach

disk-like / irregular 的兩個 refinement steps不是一般 continuum proof。

F6 — Rotation Restriction

本文只處理：

90^\circ

discrete rotations。

任意角度：

SO(2)

會引入 interpolation / digitalization / continuous configuration-space問題。

F7 — Container Restriction

本文主要使用無內部障礙的 square outer container。

一般 nonconvex container 會改變 generator placement family與 capacity field。

32. Series-Level Conclusion

到 Paper 06，本系列六篇主文完成一條完整鏈：

\boxed{ \begin{aligned} \text{Geometric Measure} &\rightarrow \text{Freedom Occupancy}\\ &\rightarrow \text{Freedom Transport}\\ &\rightarrow \text{Cooperative Generators}\\ &\rightarrow \text{Generator Quotient}\\ &\rightarrow \text{Cross-Resolution Limit}\\ &\rightarrow \text{2D Generator Geometry}. \end{aligned} }

本文最後回到最初問題：

圓、方、不規則圖形到底在空間中「佔據」了什麼？

答案不再只有：

\mu(P).

更完整的回答至少包括：

\boxed{ \mathfrak S_N(P) = \left( |P|, \mathcal R(P), \mathcal G_{P,N}, K_{P,N}, \Psi_{P,N} \right). }

一句話總結：

\boxed{ \textbf{A two-dimensional shape occupies not only area, but a structured family of admissible placements, overlaps, orientations, and boundary-mediated participation fields.} }

中文：

一個二維形狀不只佔據面積；它同時佔據一組具有結構的合法位置、重疊關係、方向自由與邊界耦合參與場。

Appendix A. 核心公式

2D generator complex：

\mathcal H_{P,N} = (X_N,\mathcal G_{P,N}).

Generator count：

|\mathcal G_{P,N}| = \sum_r (N-w_r+1)(N-h_r+1).

Covariogram：

\Gamma_P(\Delta) = |P\cap(P+\Delta)|.

Normalized kernel：

K_{P,N}(\Delta) = \frac{\Gamma_P(\Delta)}{N^2}.

Square kernel：

K_{\square,N} = \max(0,a-|\delta_x|) \max(0,a-|\delta_y|).

Placement Capacity Field：

\Psi_{P,N}(x) = \frac{ \#\{G:x\in G\} }{ |\mathcal G_{P,N}| }.

Field mass：

\sum_x\Psi_{P,N}(x) = |P|.

Square field：

\Psi_{\square,N}(i,j) = \frac{ n_{N,s}(i)n_{N,s}(j) }{ (N-s+1)^2 }.

Appendix B. Formal Status

解析定理：

Theorem 5.1；
Theorem 6.1；
Proposition 10.1；
Proposition 11.1；
Theorem 12.1；
Corollary 12.2；
Theorem 15.1；
Theorem 17.1；
Theorem 19.1；
Proposition 21.1；
Theorem 22.1。

Exact finite construction / computational evidence：

$N=64$ disk / square / irregular equal-support generator counts；
$N=128$ covariogram comparison；
disk / irregular dyadic boundary discrepancy；
placement-capacity field refinement errors。

尚未宣稱：

arbitrary-angle rotation theorem；
general curved-boundary convergence theorem；
general nonconvex-container theorem；
uniqueness of $\mathfrak S_N$ as a shape invariant；
physical spacetime ontology。