# 空間資訊佔據 VI：二維 Generator Complex、Covariogram 與容器自由場

## Spatial Information Occupancy VI: Two-Dimensional Generator Complexes, Covariograms, and Container Freedom Fields

**系列：** Spatial Information Occupancy and Generator Geometry  
**篇次：** Paper 06 / Two-Dimensional Geometry  
**版本：** v1.0  
**日期：** 2026-10-02  
**作者：** Neo.K  
**AI 協力研究者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**狀態：** Formal Research Draft / 2D Generator Geometry

**直接前置：**

- Paper 01《空間資訊佔據 I：超越幾何測度的容器相對自由結構》；
- Paper 02《空間資訊佔據 II：自由度傳輸、邊界飽和與結構逃逸》；
- Paper 03《空間資訊佔據 III：協同構成元代數、潛在自由與纖維資訊場》；
- Paper 04《空間資訊佔據 IV：Generator Quotient 與跨表示資訊不變量》；
- Paper 05《空間資訊佔據 V：跨解析度 Generator 系統與連續極限》；
- E7 2D Generator Complex。

---

## 摘要

前五篇已依序建立：

$$
\text{measure/freedom separation},
$$

$$
\text{freedom transport},
$$

$$
\text{cooperative generator algebra},
$$

$$
\text{Generator Quotient},
$$

以及：

$$
\text{cross-resolution generator limit}.
$$

本文把這套結構重新帶回最初的二維問題：圓、方、不規則形狀與有限容器之間的資訊佔據關係。

令：

$$
X_N
=
\{0,\ldots,N-1\}^2
$$

為二維方形格點容器，令有限 probe：

$$
P\subseteq\mathbb Z^2.
$$

對 probe 的所有 distinct legal translations 與允許的 discrete rotations，本文定義：

$$
\boxed{
\mathcal G_{P,N}
=
\{
rP+t:
r\in\mathcal R(P),
\;
rP+t\subseteq X_N
\},
}
$$

並形成二維 placement-generator hypergraph：

$$
\boxed{
\mathcal H_{P,N}
=
(X_N,\mathcal G_{P,N}).
}
$$

因所有 rigid placements 都保持：

$$
|G|=|P|,
$$

本文證明所有 distinct legal placements 都是 minimal generators。

若 orientation $rP$ 的 bounding box 為：

$$
w_r\times h_r,
$$

則 legal generator 數精確為：

$$
\boxed{
|\mathcal G_{P,N}|
=
\sum_{r\in\mathcal R(P)}
(N-w_r+1)(N-h_r+1).
}
$$

因此 direct support cardinality：

$$
|P|
$$

並不能決定 generator-complex size。

E7 的 exact finite construction在 $N=64$ 下給出三個等支撐 probes：

$$
|P|=256,
\qquad
\eta_{\mathrm{site}}=\frac1{16},
$$

但：

$$
|\mathcal G_{\mathrm{disk}}|
=
2209,
$$

$$
|\mathcal G_{\square}|
=
2401,
$$

$$
|\mathcal G_{\mathrm{irregular}}|
=
7744.
$$

所以這三個二維 generator complexes 不可能彼此同構。

本文接著把 generator 間的 pairwise relational structure寫成 covariogram：

$$
\boxed{
K_{P,N}(\Delta)
=
\frac{
|P\cap(P+\Delta)|
}{
N^2
}.
}
$$

它精確給出同 orientation 下、相對位移為 $\Delta$ 的兩個 generators 之 normalized intersection。

對 side：

$$
s=aN
$$

的 axis-aligned square，本文證明 exact kernel：

$$
\boxed{
K_{\square,N}(\delta_x,\delta_y)
=
\max(0,a-|\delta_x|)
\max(0,a-|\delta_y|),
}
$$

其中：

$$
\delta_x=\frac{d_x}{N},
\qquad
\delta_y=\frac{d_y}{N}.
$$

因此一維 triangular overlap kernel 在二維 square 中精確升格為 separable product kernel。

本文再定義 **Placement Capacity Field**：

$$
\boxed{
\Psi_{P,N}(x)
=
\frac{
\#\{
G\in\mathcal G_{P,N}:x\in G
\}
}{
|\mathcal G_{P,N}|
}.
}
$$

它表示從所有 legal generators 均勻抽取一個時，constituent $x$ 被 probe 佔據的機率。

本文證明其總質量：

$$
\boxed{
\sum_{x\in X_N}
\Psi_{P,N}(x)
=
|P|.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\frac1{N^2}
\sum_x
\Psi_{P,N}(x)
=
\frac{|P|}{N^2}
=
\eta_{\mathrm{site}}.
}
$$

換言之，geometric measure / direct occupancy 是 capacity field 的 spatial mean，但並不能決定 field distribution。

對 square，本文給出 $\Psi_{\square,N}$ 的 exact separable formula，並證明它收斂至一個 continuum boundary-ramp / interior-plateau field。

dyadic square refinement 亦完全 exact：

$$
\boxed{
E_2(P_N)
=
P_{2N}.
}
$$

對 disk-like 與 irregular probes，E7 顯示 independently reconstructed fine probes 與 coarse dyadic expansions 的 normalized symmetric difference隨 resolution 減少；它們的 placement-capacity fields 亦呈現明顯下降的 cross-resolution error。本文將這些保留為 computational evidence，而不升格成一般 curved-boundary theorem。

本文最終提出二維 generator signature：

$$
\boxed{
\mathfrak S_N(P)
=
\left(
|P|,
\mathcal R(P),
\mathcal G_{P,N},
K_{P,N},
\Psi_{P,N}
\right).
}
$$

因此 circle、square、irregular form 的差異不再只被描述為「面積或輪廓不同」，而可被描述成不同的 placement-generator geometry。

---

## Abstract

This paper extends Spatial Information Occupancy from one-dimensional generator systems to two-dimensional placement geometry.

Let

$$
X_N=\{0,\ldots,N-1\}^2
$$

be a finite square container and let $P\subseteq\mathbb Z^2$ be a finite probe. The family of all distinct legal translations and allowed discrete rotations is defined as

$$
\mathcal G_{P,N}
=
\{
rP+t:
r\in\mathcal R(P),
\;
rP+t\subseteq X_N
\},
$$

forming the two-dimensional placement-generator hypergraph

$$
\mathcal H_{P,N}
=
(X_N,\mathcal G_{P,N}).
$$

All rigid placements have the same cardinality $|P|$, so every distinct legal placement is a minimal generator. If orientation $rP$ has bounding box $w_r\times h_r$, then

$$
|\mathcal G_{P,N}|
=
\sum_{r\in\mathcal R(P)}
(N-w_r+1)(N-h_r+1).
$$

Thus equal direct support does not determine the size of the generator complex.

The pairwise relational structure of translated generators is captured by the discrete covariogram

$$
K_{P,N}(\Delta)
=
\frac{|P\cap(P+\Delta)|}{N^2}.
$$

For an axis-aligned square of physical side $a$, the exact kernel is

$$
K_{\square,N}(\delta_x,\delta_y)
=
\max(0,a-|\delta_x|)
\max(0,a-|\delta_y|).
$$

The paper also defines the placement capacity field

$$
\Psi_{P,N}(x)
=
\frac{
\#\{G\in\mathcal G_{P,N}:x\in G\}
}{
|\mathcal G_{P,N}|
}.
$$

Its total mass satisfies the exact identity

$$
\sum_{x\in X_N}
\Psi_{P,N}(x)
=
|P|.
$$

Hence direct occupancy is the spatial mean of the capacity field but does not determine its distribution.

For square probes, an exact separable finite formula and a continuum boundary-ramp / interior-plateau limit are derived. Exact dyadic refinement is also proved for squares.

Disk-like and irregular probes are retained as exact finite constructions and cross-resolution computational evidence. Their boundary discrepancies and capacity-field errors decrease under refinement in the E7 sequence, but no general curved-boundary convergence theorem is claimed.

The resulting two-dimensional signature combines support, orientation structure, placement generators, covariograms, and container-induced capacity fields.

---

# 1. 二維問題的回歸

本系列最初的直覺之一來自：

- 圓包含方；
- 方包含圓；
- 細長結構；
- 不規則幾何；
- 容器內外空白。

Paper 01 已證明：

$$
\text{measure}
\neq
\text{freedom}.
$$

Paper 03–05 又把 freedom 結構降到：

$$
\mathcal G_q,
\qquad
\mathcal H_q,
\qquad
\mathfrak Q_q,
\qquad
\mathfrak R_\alpha.
$$

本文現在重新問：

> 真正二維 shape 作為 probe 時，它如何生成 placement freedom structure？

---

# 2. 二維 Container

定義：

$$
\boxed{
X_N
=
\{0,\ldots,N-1\}^2.
}
$$

一個 finite probe：

$$
\boxed{
P
\subseteq
\mathbb Z^2.
}
$$

本文把 probe normalize，使其 bounding box 左下角位於：

$$
(0,0).
$$

---

# 3. Orientation Set

令：

$$
\mathcal R(P)
$$

為允許的 distinct discrete orientations。

本文主要使用：

$$
\boxed{
0^\circ,
90^\circ,
180^\circ,
270^\circ
}
$$

所生成的 distinct normalized shapes。

若 probe 具有旋轉對稱，則：

$$
|\mathcal R(P)|<4.
$$

例如 square：

$$
|\mathcal R(P)|=1.
$$

E7 的 disk-like probe 被構造成 exact $C_4$ digital symmetry，因此：

$$
|\mathcal R(P_{\mathrm{disk}})|=1.
$$

irregular star 則：

$$
|\mathcal R(P_{\mathrm{irr}})|=4.
$$

---

# 4. 二維 Placement Generators

對：

$$
r\in\mathcal R(P),
$$

與 translation：

$$
t=(a,b)\in\mathbb Z^2,
$$

若：

$$
rP+t
\subseteq
X_N,
$$

則：

$$
\boxed{
G_{r,t}
=
rP+t
}
$$

為一個 legal placement generator。

定義：

$$
\boxed{
\mathcal G_{P,N}
=
\{
G_{r,t}:
r\in\mathcal R(P),
G_{r,t}\subseteq X_N
\}.
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\mathcal H_{P,N}
=
(X_N,\mathcal G_{P,N}).
}
$$

---

# 5. Rigid Placement Minimality

## Theorem 5.1 — Every Distinct Rigid Placement Is Minimal

假設每個：

$$
r\in\mathcal R(P)
$$

都是 rigid orientation，所以：

$$
|rP|=|P|=K.
$$

則任意兩個 distinct legal placements：

$$
G_1,
G_2
\in
\mathcal G_{P,N}
$$

不能有真包含：

$$
G_1\subsetneq G_2.
$$

因此：

$$
\boxed{
\mathcal G_{P,N}
}
$$

中的所有 distinct placements 都是 minimal generators。

### Proof

所有 rigid placements 都有同樣有限 cardinality：

$$
|G_1|
=
|G_2|
=
K.
$$

若：

$$
G_1\subsetneq G_2,
$$

有限集合真包含必有：

$$
|G_1|<|G_2|,
$$

矛盾。

所以 distinct placements 不可能真包含彼此。證畢。

---

# 6. Generator Count

對 orientation：

$$
rP,
$$

令其 axis-aligned bounding box 為：

$$
w_r\times h_r.
$$

若：

$$
w_r,h_r\le N,
$$

合法 translation anchors：

$$
a=0,\ldots,N-w_r,
$$

$$
b=0,\ldots,N-h_r.
$$

所以該 orientation 有：

$$
(N-w_r+1)(N-h_r+1)
$$

個 placements。

## Theorem 6.1 — Exact Placement-Generator Count

若：

$$
\mathcal R(P)
$$

只保留 normalized distinct orientations，則：

$$
\boxed{
|\mathcal G_{P,N}|
=
\sum_{r\in\mathcal R(P)}
(N-w_r+1)(N-h_r+1).
}
$$

### Proof

每個 orientation 的合法 translation 數由 bounding box count 得到。

若兩個不同 normalized orientations 的 translated placements 完全相等，將該集合各自平移回其 bounding-box origin，會得到相同 normalized shape，與 orientations distinct 矛盾。

所以不同 orientation layers 沒有重複 generators。

因此可直接求和。證畢。

---

# 7. 等 Direct Support 不決定 Generator Complex

若兩個 probes：

$$
P_1,
P_2
$$

滿足：

$$
|P_1|=|P_2|=K,
$$

但：

$$
|\mathcal G_{P_1,N}|
\neq
|\mathcal G_{P_2,N}|,
$$

則其 hypergraphs 不可能同構，因 hypergraph isomorphism 保持 edge count。

## Corollary 7.1

$$
\boxed{
|P_1|=|P_2|
\not\Rightarrow
\mathcal H_{P_1,N}
\cong
\mathcal H_{P_2,N}.
}
$$

direct support cardinality 本身不足以決定 2D generator complex。

---

# 8. E7 Equal-Support Construction

E7 對：

$$
N=64
$$

構造三個 exact equal-support probes：

$$
|P|=256.
$$

所以：

$$
\eta_{\mathrm{site}}
=
\frac{256}{4096}
=
\frac1{16}.
$$

其 exact finite data：

| Probe | Bounding Box | Unique Orientations | Generator Count |
| --- | ---: | ---: | ---: |
| disk-like | $18\times18$ | $1$ | $2209$ |
| square | $16\times16$ | $1$ | $2401$ |
| irregular star | $21\times21$ | $4$ | $7744$ |

由 Theorem 6.1：

disk-like：

$$
(64-18+1)^2
=
47^2
=
2209.
$$

square：

$$
49^2
=
2401.
$$

irregular：

$$
4\cdot44^2
=
7744.
$$

所以三者 generator edge counts 皆不同。

因此：

$$
\boxed{
\mathcal H_{\mathrm{disk},64},
\quad
\mathcal H_{\square,64},
\quad
\mathcal H_{\mathrm{irr},64}
}
$$

兩兩不可能同構。

這是：

$$
\boxed{
\text{same direct occupancy}
\not\Rightarrow
\text{same 2D freedom-generator structure}.
}
$$

---

# 9. Generator Covariogram

對固定 orientation probe：

$$
P,
$$

定義 discrete covariogram：

$$
\boxed{
\Gamma_P(\Delta)
=
|P\cap(P+\Delta)|.
}
$$

若需要 container normalization：

$$
\boxed{
K_{P,N}(\Delta)
=
\frac{
\Gamma_P(\Delta)
}{
N^2
}.
}
$$

這個量不需要把兩個 copies 都放在 container 中才有定義；它是 probe support 本身的 translation-overlap relation。

---

# 10. Covariogram as Generator Intersection

## Proposition 10.1

若兩個同 orientation generators：

$$
G_t=P+t,
$$

$$
G_u=P+u,
$$

則：

$$
\boxed{
|G_t\cap G_u|
=
\Gamma_P(u-t).
}
$$

### Proof

平移 $-t$ 不改變 cardinality：

$$
|(P+t)\cap(P+u)|
=
|P\cap(P+(u-t))|.
$$

即為：

$$
\Gamma_P(u-t).
$$

證畢。

因此 covariogram 精確編碼 pairwise generator-overlap relation。

---

# 11. Covariogram Basic Invariances

## Proposition 11.1

對任意：

$$
v\in\mathbb Z^2,
$$

有：

$$
\boxed{
\Gamma_{P+v}(\Delta)
=
\Gamma_P(\Delta).
}
$$

且：

$$
\boxed{
\Gamma_P(-\Delta)
=
\Gamma_P(\Delta).
}
$$

### Proof

第一式由共同 translation 消去。

第二式：

$$
|P\cap(P-\Delta)|
=
|(P+\Delta)\cap P|
=
|P\cap(P+\Delta)|.
$$

證畢。

所以 covariogram 已經 quotient 掉 probe 的絕對平移位置。

---

# 12. Square Covariogram

令 square：

$$
Q_s
=
\{0,\ldots,s-1\}^2.
$$

對 integer displacement：

$$
\Delta=(d_x,d_y).
$$

## Theorem 12.1 — Exact Discrete Square Covariogram

$$
\boxed{
\Gamma_{Q_s}(d_x,d_y)
=
\max(0,s-|d_x|)
\max(0,s-|d_y|).
}
$$

### Proof

兩個 axis-aligned square 的 $x$ -interval overlap cell count：

$$
\max(0,s-|d_x|).
$$

 $y$ -interval同理。

二維 intersection 是 Cartesian product，所以 cardinality為兩者乘積。證畢。

---

若：

$$
s=aN,
$$

以及：

$$
\delta_x=\frac{d_x}{N},
\qquad
\delta_y=\frac{d_y}{N},
$$

則：

## Corollary 12.2 — Exact Normalized Square Kernel

$$
\boxed{
K_{\square,N}(\delta_x,\delta_y)
=
\max(0,a-|\delta_x|)
\max(0,a-|\delta_y|).
}
$$

只要：

$$
d_x,d_y
$$

是 lattice shifts。

所以 square 的 2D overlap kernel 在所有 admissible resolutions 上 exact sample 同一 continuum product kernel。

---

# 13. Equal Area Does Not Determine Covariogram

E7 在：

$$
N=128
$$

中，三種 probes 都有：

$$
|P|/N^2
=
1/16.
$$

但在：

$$
\Delta=
(1/16,0)
$$

的 normalized displacement：

disk-like：

$$
K\approx0.044922,
$$

square：

$$
K=0.046875,
$$

irregular：

$$
K\approx0.042053.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{equal support measure}
\not\Rightarrow
\text{equal generator covariogram}.
}
$$

這部分對 disk / irregular 為 exact finite computed values；本文不由這三個數字推出一般 continuum theorem。

---

# 14. Placement Capacity Field

Paper 03 的 Shapley field 分配 cooperative generator value。

本文需要另一個二維 quantity：substrate constituent 被 legal placements 覆蓋的頻率。

## Definition 14.1 — Placement Capacity Field

對：

$$
x\in X_N,
$$

定義：

$$
\boxed{
\Psi_{P,N}(x)
=
\frac{
\#\{
G\in\mathcal G_{P,N}:
x\in G
\}
}{
|\mathcal G_{P,N}|
}.
}
$$

因此：

$$
0\le
\Psi_{P,N}(x)
\le1.
$$

它是一個 probability-like coverage field，而不是 Paper 03 的 aperture-capacity set function。

---

# 15. Capacity-Field Mass Theorem

## Theorem 15.1 — Field Mass Equals Direct Support

若所有 generators：

$$
G\in\mathcal G_{P,N}
$$

都有：

$$
|G|=K,
$$

則：

$$
\boxed{
\sum_{x\in X_N}
\Psi_{P,N}(x)
=
K.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\frac1{N^2}
\sum_{x\in X_N}
\Psi_{P,N}(x)
=
\frac{K}{N^2}
=
\eta_{\mathrm{site}}.
}
$$

### Proof

交換求和次序：

$$
\begin{aligned}
\sum_{x\in X_N}
\Psi_{P,N}(x)
&=
\frac1{|\mathcal G|}
\sum_x
\#\{
G:x\in G
\}\\
&=
\frac1{|\mathcal G|}
\sum_{G\in\mathcal G}
|G|\\
&=
\frac1{|\mathcal G|}
\sum_{G\in\mathcal G}
K\\
&=
K.
\end{aligned}
$$

證畢。

---

# 16. Measure as Mean, Not Full Field

Theorem 15.1 顯示：

$$
\boxed{
\eta_{\mathrm{site}}
}
$$

不是錯誤量。

它其實是：

$$
\boxed{
\Psi_{P,N}
}
$$

的 spatial mean。

真正不足的是：

$$
\boxed{
\text{mean}
\not\Rightarrow
\text{field distribution}.
}
$$

所以兩個 equal-support probes 可以有相同：

$$
\eta_{\mathrm{site}}
$$

但不同：

$$
\Psi_{P,N}(x).
$$

這提供 Paper 01 measure/freedom separation 的二維 field 版本。

---

# 17. Square Placement Capacity Field

令：

$$
Q_s
=
\{0,\ldots,s-1\}^2
$$

在：

$$
X_N
$$

中只做 translations。

一維方向上，包含 coordinate：

$$
i
$$

的合法 square anchors 數為：

$$
\boxed{
n_{N,s}(i)
=
\max
\left(
0,
\min(i,N-s)
-
\max(0,i-s+1)
+
1
\right).
}
$$

總 horizontal anchor 數：

$$
M_1=N-s+1.
$$

## Theorem 17.1 — Exact Separable Square Capacity Field

對：

$$
x=(i,j),
$$

有：

$$
\boxed{
\Psi_{\square,N}(i,j)
=
\frac{
n_{N,s}(i)
n_{N,s}(j)
}{
(N-s+1)^2
}.
}
$$

### Proof

一個 translated square 包含 cell：

$$
(i,j)
$$

當且僅當：

- horizontal anchor 包含 $i$ ；
- vertical anchor 包含 $j$。

兩方向 anchor choices 獨立。

所以包含 $(i,j)$ 的 placements 數為：

$$
n_{N,s}(i)n_{N,s}(j).
$$

除以全部：

$$
(N-s+1)^2
$$

個 placements 即得。證畢。

---

# 18. Continuum Square Capacity Field

固定 physical side：

$$
0<a<1,
$$

令：

$$
s_N=aN\in\mathbb N.
$$

對 physical point：

$$
x\in[0,1],
$$

定義 one-dimensional admissible anchor-length：

$$
\boxed{
\ell_a(x)
=
\max
\left(
0,
\min(x,1-a)
-
\max(0,x-a)
\right).
}
$$

它表示所有：

$$
t\in[0,1-a]
$$

中使：

$$
x\in[t,t+a]
$$

成立的 start-position measure。

對：

$$
a\le\frac12,
$$

可簡化為：

$$
\ell_a(x)
=
\min(x,a,1-x).
$$

定義 continuum placement field：

$$
\boxed{
\Psi_{\square,a}^{\infty}(x,y)
=
\frac{
\ell_a(x)\ell_a(y)
}{
(1-a)^2
}.
}
$$

---

# 19. Square Capacity Continuum Limit

令 discrete centers：

$$
x_i=\frac{i+1/2}{N},
\qquad
y_j=\frac{j+1/2}{N}.
$$

## Theorem 19.1 — Pointwise Square-Field Convergence

若：

$$
s_N=aN\in\mathbb N,
$$

則對任何 sequences：

$$
x_{i_N}\rightarrow x,
\qquad
y_{j_N}\rightarrow y,
$$

有：

$$
\boxed{
\Psi_{\square,N}(i_N,j_N)
\rightarrow
\Psi_{\square,a}^{\infty}(x,y).
}
$$

### Proof

由一維 counting formula：

$$
n_{N,s_N}(i)
$$

是 spacing：

$$
1/N
$$

的 legal anchor starts 落在 interval：

$$
[
\max(0,x_i-a)+O(1/N),
\;
\min(x_i,1-a)+O(1/N)
]
$$

中的點數。

因此：

$$
\frac{
n_{N,s_N}(i_N)
}{
N
}
\rightarrow
\ell_a(x).
$$

同理：

$$
\frac{
n_{N,s_N}(j_N)
}{
N
}
\rightarrow
\ell_a(y).
$$

另一方面：

$$
\frac{
N-s_N+1
}{
N
}
=
1-a+\frac1N
\rightarrow
1-a.
$$

將 Theorem 17.1 分子分母同除：

$$
N^2
$$

即可得到：

$$
\Psi_{\square,N}
\rightarrow
\frac{
\ell_a(x)\ell_a(y)
}{
(1-a)^2
}.
$$

證畢。

---

# 20. Boundary-Induced Placement Asymmetry

若 container 是 infinite translation-homogeneous plane，所有 substrate positions 在平移作用下等價。

但有限：

$$
X_N
$$

有 boundary。

因此靠近：

$$
\partial X_N
$$

的 constituents 可被較少 legal placements 覆蓋。

所以：

$$
\boxed{
\Psi_{P,N}
}
$$

同時依賴：

- probe geometry；
- orientation family；
- container boundary；
- placement action class。

因此它是一個直接的：

$$
\boxed{
O-\partial
}
$$

coupled field。

---

# 21. Orientation Mixture

若：

$$
\mathcal R(P)
=
\{r_1,\ldots,r_m\},
$$

令 orientation $r$ 的 legal placement count：

$$
M_r.
$$

令：

$$
\Psi_{r,N}(x)
$$

為只在 orientation $r$ layer 中均勻抽 placement 的 coverage field。

## Proposition 21.1 — Orientation-Weighted Field

整體 generator family 上均勻抽 generator 時：

$$
\boxed{
\Psi_{P,N}(x)
=
\sum_{r\in\mathcal R(P)}
\frac{
M_r
}{
\sum_s M_s
}
\Psi_{r,N}(x).
}
$$

### Proof

將包含 $x$ 的 generators 按 orientation layer 分組，再除以 total generator count。證畢。

因此 rotation freedom 直接進入 container field，而不是外加 metadata。

---

# 22. Exact Dyadic Refinement for Squares

令 coarse square：

$$
Q_{s_N}
$$

在 resolution：

$$
N.
$$

把每個 coarse constituent：

$$
(i,j)
$$

展成 fine：

$$
2\times2
$$

children：

$$
(2i,2j),
(2i+1,2j),
(2i,2j+1),
(2i+1,2j+1).
$$

記此 operator 為：

$$
E_2.
$$

若：

$$
s_{2N}=2s_N,
$$

則：

## Theorem 22.1 — Exact Square Support Refinement

$$
\boxed{
E_2(Q_{s_N})
=
Q_{s_{2N}}.
}
$$

### Proof

coarse square：

$$
0\le i,j\le s_N-1.
$$

展開後 fine coordinates 恰覆蓋：

$$
0\le x,y\le2s_N-1.
$$

這正是 side：

$$
2s_N=s_{2N}
$$

的 fine square。證畢。

因此 square 在 dyadic refinement 下沒有 boundary reconstruction error。

---

# 23. Disk-Like and Irregular Refinement Evidence

E7 對 independently reconstructed probes 得到：

| Shape | $32\rightarrow64$ Symmetric Difference / Fine $K$ | $64\rightarrow128$ |
| --- | ---: | ---: |
| disk-like | $0.125000$ | $0.0390625$ |
| square | $0$ | $0$ |
| irregular star | $0.140625$ | $0.062500$ |

Jaccard similarity：

disk-like：

$$
0.882353
\rightarrow
0.961686,
$$

irregular：

$$
0.868613
\rightarrow
0.939394.
$$

這是 clear cross-resolution evidence，但本文不從兩個 refinement steps 宣稱一般 convergence theorem。

---

# 24. Capacity-Field Refinement Evidence

E7 對 fine capacity field 做：

$$
2\times2
$$

block averaging，再與 coarse field 比較。

mean absolute errors：

| Shape | $32\rightarrow64$ | $64\rightarrow128$ |
| --- | ---: | ---: |
| disk-like | $0.00269939$ | $0.00124849$ |
| square | $0.00226772$ | $0.00118038$ |
| irregular star | $0.00236693$ | $0.00120573$ |

三者都下降。

對 square，Theorem 19.1 已提供解析 continuum limit。

對 disk-like 與 irregular，本文只稱：

$$
\boxed{
\text{computational convergence evidence}.
}
$$

---

# 25. 2D Generator Signature

本文提出：

$$
\boxed{
\mathfrak S_N(P)
=
\left(
|P|,
\mathcal R(P),
\mathcal G_{P,N},
K_{P,N},
\Psi_{P,N}
\right).
}
$$

其中：

$$
|P|
$$

回答 direct support。

$$
\mathcal R(P)
$$

回答 orientation structure。

$$
\mathcal G_{P,N}
$$

回答 placement freedom generators。

$$
K_{P,N}
$$

回答 pairwise generator overlap relation。

$$
\Psi_{P,N}
$$

回答 container-relative placement participation field。

所以：

$$
\boxed{
\text{shape}
}
$$

不再只由 boundary contour 或 area 描述。

---

# 26. Circle、Square、Irregular 的重新定位

對等 direct support：

$$
|P_1|=|P_2|,
$$

可能有：

$$
|\mathcal G_{P_1,N}|
\neq
|\mathcal G_{P_2,N}|,
$$

$$
K_{P_1,N}
\neq
K_{P_2,N},
$$

$$
\Psi_{P_1,N}
\neq
\Psi_{P_2,N}.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{Circle / Square / Irregular}
}
$$

可以被重新理解成：

$$
\boxed{
\text{different 2D generator-complex signatures}.
}
$$

這不取消傳統幾何分類，而是為「shape 對自由度做了什麼」增加一個更 relational 的描述層。

---

# 27. 與 Generator Quotient 的關係

Paper 04 的：

$$
\mathfrak Q_q
=
[\mathcal H_q]_{\cong}
$$

處理 fixed finite generator structure。

本文的：

$$
\mathcal H_{P,N}
$$

是其二維 placement instance。

因此若兩個不同 geometric embeddings：

$$
P_1,
P_2
$$

誘導：

$$
\mathcal H_{P_1,N}
\cong
\mathcal H_{P_2,N},
$$

則對相同 placement query，它們落在同一 Generator Quotient。

但 equal area 並不足以保證此事。

E7 的三個 equal-support probes就是反例。

---

# 28. 與 Cross-Resolution System 的關係

Paper 05 建立：

$$
\mathfrak R_\alpha
$$

作為一維 refinement system。

二維情況更自然地需要：

$$
\boxed{
\mathfrak C_P
=
\left(
\{
\mathcal H_{P,N}
\}_N,
\{
r_{2N\rightarrow N}
\},
\{
K_{P,N}
\},
\{
\Psi_{P,N}
\}
\right).
}
$$

其中：

- $\mathcal H_{P,N}$：resolution-indexed generator complexes；
- $r_{2N\rightarrow N}$：refinement / coarse relation；
- $K_{P,N}$：pairwise relational kernel；
- $\Psi_{P,N}$：container field。

本文不宣稱這已經是唯一或最終的 2D continuum object。

但它比單一 finite hypergraph 更適合描述 shape family 的 cross-resolution structure。

---

# 29. SOBTA：二維主客邊耦合

對 placement query：

$$
q_P,
$$

可寫：

$$
\Gamma_{q_P}
=
\langle
S_{q_P},
P,
\partial X_N
\rangle.
$$

其中：

$$
S_{q_P}
$$

指定：

- translation；
- rotation；
- resolution；
- placement legality。

客體：

$$
P
$$

指定 probe geometry。

邊界：

$$
\partial X_N
$$

決定 legal anchors。

因此：

$$
\Psi_{P,N}
$$

可視為：

$$
\boxed{
\text{object geometry}
+
\text{container boundary}
+
\text{action semantics}
}
$$

共同誘導的 field。

這與 SOBTA 的 non-reduction 原則一致：field 不屬於單獨任何一域。

---

# 30. ACTM：2D Relation Transport

對 refinement：

$$
P_N
\rightarrow
P_{2N},
$$

可 audit：

## Preserve

direct occupancy：

$$
\frac{|P_N|}{N^2}.
$$

## Preserve Exactly for Square

$$
E_2(P_N)=P_{2N}.
$$

## Reconstruct Boundary for Curved / Irregular Shapes

fine boundary 不必等於 coarse pixel duplication。

## Track Pairwise Relations

$$
K_{P,N}
\rightarrow
K_P.
$$

## Track Container Field

$$
\Psi_{P,N}
\rightarrow
\Psi_P.
$$

因此 ACTM-style relation transport在二維中不再只追蹤 scalar，而追蹤整套：

$$
\boxed{
\mathfrak S_N(P).
}
$$

---

# 31. 可證偽性與限制

## F1 — Placement Count Failure

若 Theorem 6.1 在本文 rigid translation / discrete rotation assumptions 下失敗，2D generator construction 有誤。

## F2 — Minimality Failure

若 distinct equal-cardinality rigid placements 可以真包含彼此，Theorem 5.1 失效。

## F3 — Square Kernel Failure

若 exact square covariogram不符合 Theorem 12.1，pairwise generator relation計算錯誤。

## F4 — Field-Mass Failure

若：

$$
\sum_x\Psi_{P,N}(x)\neq|P|,
$$

Theorem 15.1 失效。

## F5 — Curved-Boundary Overreach

disk-like / irregular 的兩個 refinement steps不是一般 continuum proof。

## F6 — Rotation Restriction

本文只處理：

$$
90^\circ
$$

discrete rotations。

任意角度：

$$
SO(2)
$$

會引入 interpolation / digitalization / continuous configuration-space問題。

## F7 — Container Restriction

本文主要使用無內部障礙的 square outer container。

一般 nonconvex container 會改變 generator placement family與 capacity field。

---

# 32. Series-Level Conclusion

到 Paper 06，本系列六篇主文完成一條完整鏈：

$$
\boxed{
\begin{aligned}
\text{Geometric Measure}
&\rightarrow
\text{Freedom Occupancy}\\
&\rightarrow
\text{Freedom Transport}\\
&\rightarrow
\text{Cooperative Generators}\\
&\rightarrow
\text{Generator Quotient}\\
&\rightarrow
\text{Cross-Resolution Limit}\\
&\rightarrow
\text{2D Generator Geometry}.
\end{aligned}
}
$$

本文最後回到最初問題：

> 圓、方、不規則圖形到底在空間中「佔據」了什麼？

答案不再只有：

$$
\mu(P).
$$

更完整的回答至少包括：

$$
\boxed{
\mathfrak S_N(P)
=
\left(
|P|,
\mathcal R(P),
\mathcal G_{P,N},
K_{P,N},
\Psi_{P,N}
\right).
}
$$

一句話總結：

$$
\boxed{
\textbf{A two-dimensional shape occupies not only area, but a structured family of admissible placements, overlaps, orientations, and boundary-mediated participation fields.}
}
$$

中文：

> **一個二維形狀不只佔據面積；它同時佔據一組具有結構的合法位置、重疊關係、方向自由與邊界耦合參與場。**

---

# Appendix A. 核心公式

2D generator complex：

$$
\mathcal H_{P,N}
=
(X_N,\mathcal G_{P,N}).
$$

Generator count：

$$
|\mathcal G_{P,N}|
=
\sum_r
(N-w_r+1)(N-h_r+1).
$$

Covariogram：

$$
\Gamma_P(\Delta)
=
|P\cap(P+\Delta)|.
$$

Normalized kernel：

$$
K_{P,N}(\Delta)
=
\frac{\Gamma_P(\Delta)}{N^2}.
$$

Square kernel：

$$
K_{\square,N}
=
\max(0,a-|\delta_x|)
\max(0,a-|\delta_y|).
$$

Placement Capacity Field：

$$
\Psi_{P,N}(x)
=
\frac{
\#\{G:x\in G\}
}{
|\mathcal G_{P,N}|
}.
$$

Field mass：

$$
\sum_x\Psi_{P,N}(x)
=
|P|.
$$

Square field：

$$
\Psi_{\square,N}(i,j)
=
\frac{
n_{N,s}(i)n_{N,s}(j)
}{
(N-s+1)^2
}.
$$

---

# Appendix B. Formal Status

**解析定理：**

- Theorem 5.1；
- Theorem 6.1；
- Proposition 10.1；
- Proposition 11.1；
- Theorem 12.1；
- Corollary 12.2；
- Theorem 15.1；
- Theorem 17.1；
- Theorem 19.1；
- Proposition 21.1；
- Theorem 22.1。

**Exact finite construction / computational evidence：**

- $N=64$ disk / square / irregular equal-support generator counts；
- $N=128$ covariogram comparison；
- disk / irregular dyadic boundary discrepancy；
- placement-capacity field refinement errors。

**尚未宣稱：**

- arbitrary-angle rotation theorem；
- general curved-boundary convergence theorem；
- general nonconvex-container theorem；
- uniqueness of $\mathfrak S_N$ as a shape invariant；
- physical spacetime ontology。