空間資訊佔據 II：自由度傳輸、邊界飽和與結構逃逸

Spatial Information Occupancy II: Freedom Transport, Boundary Saturation, and Structural Escape

系列： Spatial Information Occupancy and Generator Geometry
篇次： Paper 02 / Dynamics
版本： v1.0
日期： 2026-10-02
作者： Neo.K
AI 協力研究者： Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司
狀態： Formal Research Draft / Exact Finite Dynamics

直接前置：

Paper 01《空間資訊佔據 I：超越幾何測度的容器相對自由結構》；
E1 Freedom Transport；
E2 Gap Operator；
主客邊三域代數（SOBTA）；
Algebraic–Combinatorial Transcendence Methodology（ACTM）。

摘要

Paper 01 已證明：幾何支撐量並不足以決定容器中的 translation freedom 或 global connectivity effect。本文進一步研究一個動態問題：

當直接佔據量保持不變、幾何結構或邊界開口被逐步改變時，自由度如何在不同 channel 間傳輸、壓縮、釋放，並在何處發生結構逃逸？

本文在有限二維格點容器中建立兩類 exact dynamics。

第一類是固定面積矩形的 aspect-ratio stretch。令 $w\times h$ obstacle 滿足：

wh=K,

並以長度 $L$ 的 horizontal / vertical probes 測量 placement depletion。在 obstacle 的 probe-influence region 尚未被容器邊界截斷時，本文證明：

\boxed{ I_h = h(w+L-1), }

\boxed{ I_v = w(h+L-1), }

因而：

\boxed{ D_v-D_h = \frac{(L-1)(w-h)} {N(N-L+1)}. }

固定 $K$ 並沿 $w\uparrow$ 、 $h\downarrow$ 的 stretch path，horizontal channel 的 depletion 下降，vertical channel 的 depletion 上升；同時總 placement freedom 下降。因此 deformation 不是單一 scalar freedom 的增減，而是：

\boxed{ \text{channel redistribution} + \text{net configuration depletion}. }

本文再給出一般 boundary clipping 公式。若 obstacle 靠近容器邊界，interior law 必須加入非負 clipping deficits：

\beta_x, \qquad \beta_y,

並有：

\boxed{ I_h = h(w+L-1-\beta_x), }

\boxed{ I_v = w(h+L-1-\beta_y). }

因此邊界不是只有發生物理接觸時才重要；它直接修改 admissibility count。

第二類 dynamics 是一格厚 spanning barrier 的 gap operator。對 axis-aligned $w_p\times h_p$ probe，本文證明：

\boxed{ C_{\mathrm{ap}}(g;P) = \max(0,g-h_p+1), }

以及 crossing placement 數：

\boxed{ N_{\mathrm{cross}} = w_p\,C_{\mathrm{ap}}(g;P). }

在適當 side-clearance 條件下，left-right configuration-space connectivity 的臨界 gap 精確為：

\boxed{ g_c(P)=h_p. }

所以：

\boxed{ \text{geometric opening} \neq \text{operational freedom opening}. }

當：

g<h_p

時，已有 substrate 被釋放，但該 probe 的跨障礙自由仍未形成；本文稱此為 latent freedom。當 gap operator 把 $g=h_p-1$ 推至 $g=h_p$ 時，configuration space 的 connected-component count 由 $2$ 跳到 $1$ ，形成一個 exact structural escape。

本文因此把 ACTM 的 closure / escape 研究姿勢移植到空間資訊佔據：追蹤哪些 freedom relations 在 operator 下保持、重分配、被邊界修正或離開原 closure class。SOBTA 則被用作關係座標：query/action、constraint object 與 boundary condition 三者共同決定可觀察 freedom，而不是把邊界降格成輪廓附註。

Abstract

Paper 01 established that geometric support alone does not determine translation freedom or global connectivity effects in a finite container. This paper studies the corresponding dynamics: how freedom is redistributed, compressed, released, or structurally transformed when direct occupancy is preserved while shape or boundary openings change.

Two exact finite models are developed.

First, a fixed-area rectangle with $wh=K$ is stretched while horizontal and vertical probes of length $L$ measure placement depletion. Before the obstacle's probe-influence region is clipped by the container boundary,

I_h=h(w+L-1),

I_v=w(h+L-1),

and therefore

\boxed{ D_v-D_h = \frac{(L-1)(w-h)} {N(N-L+1)}. }

Along a fixed-area stretch path with increasing $w$ and decreasing $h$ , horizontal depletion decreases while vertical depletion increases, whereas total translation freedom decreases. Freedom dynamics are therefore not captured by a single conserved scalar: they exhibit channel redistribution together with net configuration-space depletion.

Second, a one-cell-thick spanning barrier is opened by a contiguous gap of size $g$ . For an axis-aligned $w_p\times h_p$ probe,

\boxed{ C_{\mathrm{ap}}(g;P) = \max(0,g-h_p+1) }

counts admissible transverse aperture positions, and

\boxed{ N_{\mathrm{cross}} = w_p C_{\mathrm{ap}}(g;P). }

Under explicit side-clearance assumptions, left-right connectivity in probe configuration space appears exactly at

\boxed{ g_c(P)=h_p. }

Hence a geometrically open region can remain operationally closed for a given action class. The regime $0<g<h_p$ is interpreted as latent freedom: released substrate that has not yet formed an admissible crossing.

The paper also derives exact boundary-clipping corrections and formalizes two kinds of structural escape: leaving an interior counting-law class and crossing a configuration-space topological threshold.

1. 從靜態佔據到動態自由度

Paper 01 的基本區分是：

\boxed{ \text{Geometric Measure Occupancy} \neq \text{Freedom Occupancy}. }

本文進一步考慮一個 operator：

T: (\mathfrak C,O,q) \rightarrow (\mathfrak C',O',q').

研究對象不再只是：

\mathbf{Occ}(O),

而是：

\boxed{ \mathbf{Occ}_t \xrightarrow{T} \mathbf{Occ}_{t+1}. }

本文稱此研究方向為：

\boxed{ \text{Freedom Transport}. }

其最低問題包括：

哪些 occupancy 分量被 preserve？
哪些 freedom channel 被 release？
哪些 channel 被 consume？
是否存在 net depletion？
邊界何時改變 counting law？
operator 何時使結構離開原 closure class？

2. 模型 A：固定面積矩形與方向 probe

令容器：

X_N = \{0,\ldots,N-1\}^2.

令 obstacle：

R = [x_0,x_0+w-1] \times [y_0,y_0+h-1]

為 axis-aligned $w\times h$ rectangle。

令 horizontal probe：

P_h = \{0,\ldots,L-1\}\times\{0\},

vertical probe：

P_v = \{0\}\times\{0,\ldots,L-1\}.

兩者在空容器中的合法 translation anchors 數相同：

\boxed{ Q = N(N-L+1). }

定義：

I_h = \text{number of horizontal probe anchors invalidated by }R,

I_v = \text{number of vertical probe anchors invalidated by }R.

相應 depletion：

\boxed{ D_h=\frac{I_h}{Q}, \qquad D_v=\frac{I_v}{Q}. }

3. Interior placement class

horizontal probe anchor 為：

(a,b),

其中：

0\le a\le N-L, \qquad 0\le b\le N-1.

它與 obstacle 相交，當且僅當：

b\in[y_0,y_0+h-1]

且 interval：

[a,a+L-1]

與：

[x_0,x_0+w-1]

相交。

若 obstacle 在 $x$ 方向距左右 probe-anchor clipping boundary 都至少 $L-1$ ，則所有理論上會與 obstacle 相交的 horizontal anchors 都仍位於合法 anchor domain 內。

vertical case 類似。

Definition 3.1 — Probe-interior rectangle

若：

x_0\ge L-1,

x_0+w-1\le N-L,

y_0\ge L-1,

y_0+h-1\le N-L,

則稱 $R$ 對長度 $L$ probe 為 probe-interior。

這是一個 sufficient condition；後續 boundary theorem 會處理一般情況。

4. Interior Freedom-Transport Law

Theorem 4.1 — Exact Invalid-Placement Counts

若 $R$ 為 probe-interior，則：

\boxed{ I_h = h(w+L-1), }

以及：

\boxed{ I_v = w(h+L-1). }

Proof

固定 obstacle 中某一 row：

b\in[y_0,y_0+h-1].

horizontal probe 與 obstacle 的 $x$ -interval 相交，當且僅當 anchor $a$ 落在：

x_0-L+1 \le a \le x_0+w-1.

probe-interior 條件保證此整段落在：

0\le a\le N-L

內，因此共有：

(x_0+w-1)-(x_0-L+1)+1 = w+L-1

個 invalid horizontal anchors。

obstacle 有 $h$ 個 rows，所以：

I_h = h(w+L-1).

vertical case 對稱，得到：

I_v = w(h+L-1).

證畢。

Corollary 4.2 — Directional Anisotropy Law

在 Theorem 4.1 條件下：

\boxed{ I_v-I_h = (L-1)(w-h). }

因此：

\boxed{ D_v-D_h = \frac{ (L-1)(w-h) }{ N(N-L+1) }. }

Proof

直接相減：

\begin{aligned} I_v-I_h &= w(h+L-1) - h(w+L-1)\\ &= wh+w(L-1)-hw-h(L-1)\\ &= (L-1)(w-h). \end{aligned}

再除以共同 denominator $Q$ 。證畢。

5. 固定 direct support 下的 freedom redistribution

現在固定：

wh=K.

在 interior class 中：

I_h = K+h(L-1),

I_v = K+w(L-1).

所以：

\boxed{ D_h = \frac{ K+h(L-1) }{ Q }, }

\boxed{ D_v = \frac{ K+w(L-1) }{ Q }. }

Theorem 5.1 — Fixed-Area Directional Redistribution

令兩個 probe-interior rectangles：

R_1=(w_1,h_1), \qquad R_2=(w_2,h_2)

滿足：

w_1h_1=w_2h_2=K,

以及：

w_2>w_1.

則：

h_2<h_1,

且：

\boxed{ D_h(R_2)<D_h(R_1), }

\boxed{ D_v(R_2)>D_v(R_1). }

Proof

固定：

wh=K,

故 $w$ 增加時 $h=K/w$ 減少。

而：

D_h = \frac{ K+(L-1)h }{Q}

對 $h$ 嚴格遞增，所以 $h$ 下降使 $D_h$ 下降。

同理：

D_v = \frac{ K+(L-1)w }{Q}

對 $w$ 嚴格遞增，因此 $w$ 增加使 $D_v$ 上升。證畢。

Corollary 5.2 — Mean Probe Depletion

定義 mean directional depletion：

\boxed{ M = \frac{D_h+D_v}{2}. }

則：

\boxed{ M = \frac{ K+\frac{L-1}{2}(w+h) }{ Q }. }

固定 $K$ 時，由 AM-GM：

w+h \ge 2\sqrt K.

因此正方形：

w=h=\sqrt K

最小化：

M.

也就是說，在這個 probe model 中，離開 square symmetry 不只是把 freedom 從一個方向搬到另一個方向；平均 probe depletion 也會上升。

6. Translation freedom 與 net configuration depletion

Paper 01 已證明 rectangle 的合法 translation anchors：

P_N(w,h) = (N-w+1)(N-h+1).

固定：

wh=K

後：

\boxed{ P_N(w,h) = (N+1)^2+K-(N+1)(w+h). }

若以：

N^2

作為固定 ambient anchor normalization，定義：

\boxed{ F_{\mathrm{trans}} = \frac{ P_N(w,h) }{ N^2 }. }

因此 square 最大化：

F_{\mathrm{trans}}.

結合 Theorem 5.1，可得到：

Corollary 6.1 — Redistribution with Net Depletion

沿 fixed-area path 從 square 往：

w>h

方向拉長時：

\boxed{ D_h\downarrow, }

\boxed{ D_v\uparrow, }

但：

\boxed{ F_{\mathrm{trans}}\downarrow. }

所以：

\boxed{ \text{Freedom Transport} \neq \text{simple scalar conservation}. }

在本模型中，更準確的是：

\boxed{ \text{directional redistribution} + \text{net placement depletion}. }

7. Boundary clipping 的一般公式

interior law 不是所有 obstacle positions 都成立。

令：

c_x

為 horizontal probe anchor 在 $x$ 方向上因 obstacle 失效的合法 anchor 數。

由 interval intersection：

\boxed{ c_x = \max \left( 0, \min(N-L,x_0+w-1) - \max(0,x_0-L+1) + 1 \right). }

同理：

\boxed{ c_y = \max \left( 0, \min(N-L,y_0+h-1) - \max(0,y_0-L+1) + 1 \right). }

Theorem 7.1 — Exact Boundary-Clipped Probe Counts

對任意合法 obstacle rectangle：

\boxed{ I_h = h\,c_x, }

\boxed{ I_v = w\,c_y. }

Proof

horizontal probe 只有在其 row 落於 obstacle 的 $h$ 個 occupied rows 時才可能與 obstacle 相交。

對每一 occupied row，可造成相交的合法 $x$ anchors 恰好是理論 overlap interval：

[x_0-L+1,x_0+w-1]

與合法 anchor interval：

[0,N-L]

的交集。

其 integer cardinality 就是 $c_x$ 。

因此：

I_h=h\,c_x.

vertical case 對稱。證畢。

8. Boundary Deficit

定義 interior-theory anchor span：

w+L-1

與：

h+L-1.

再定義 boundary clipping deficits：

\boxed{ \beta_x = (w+L-1)-c_x, }

\boxed{ \beta_y = (h+L-1)-c_y. }

由 $c_x\le w+L-1$ 與 $c_y\le h+L-1$ ：

\beta_x,\beta_y\ge0.

Theorem 7.1 可重寫成：

\boxed{ I_h = h(w+L-1-\beta_x), }

\boxed{ I_v = w(h+L-1-\beta_y). }

因此：

Corollary 8.1 — Boundary-Corrected Anisotropy

\boxed{ I_v-I_h = (L-1)(w-h) + h\beta_x - w\beta_y. }

這個式子把 anisotropy 分成：

intrinsic shape term：

(L-1)(w-h),

boundary correction：

h\beta_x-w\beta_y.

因此：

\boxed{ \text{observed directional depletion} = \text{shape contribution} + \text{boundary contribution}. }

9. Boundary Saturation Example

令：

N=64,

L=8,

w=64,

h=9.

obstacle 在 $x$ 方向跨完整容器，因此：

x_0=0.

此時：

c_x = N-L+1 = 57.

而 interior theory 會給：

w+L-1 = 71.

因此：

\beta_x = 14.

若 $y$ 方向仍 probe-interior，則：

\beta_y=0.

所以：

I_h = 9(71-14) = 513,

I_v = 64(9+8-1) = 1024.

相對 interior continuation，horizontal residual：

R_h = -9\cdot14 = -126.

這不是公式「近似失準」，而是合法 anchor domain 被 container boundary 截斷。

因此 boundary saturation 應被理解為：

\boxed{ \text{change of admissibility counting law}. }

10. 模型 B：Spanning Barrier 與 Gap Operator

令：

B_g

是一格厚 vertical barrier，位於：

x=c,

並具有一段連續 vertical gap：

G_g = \{y_0,\ldots,y_0+g-1\}.

除了 gap 外：

(c,y)

皆被 barrier 佔據。

令 probe：

P = w_p\times h_p

為 axis-aligned rectangle。

probe translation anchor：

(a,b)

代表其支撐：

[a,a+w_p-1] \times [b,b+h_p-1].

11. Transverse Aperture Capacity

probe placement 若要在跨 barrier 的同時不碰到 barrier，則：

[b,b+h_p-1]

必須完全包含於 gap：

G_g.

Theorem 11.1 — Exact Aperture Capacity

vertical gap 中可容納 probe transverse span 的合法 $b$ anchors 數為：

\boxed{ C_{\mathrm{ap}}(g;P) = \max(0,g-h_p+1). }

Proof

若：

g<h_p,

沒有任何長度 $h_p$ 的 integer interval 能完全放入長度 $g$ 的 gap，因此：

C_{\mathrm{ap}}=0.

若：

g\ge h_p,

probe vertical anchor $b$ 可從 gap 起點：

y_0

到：

y_0+g-h_p

共：

g-h_p+1

個位置。證畢。

12. Crossing Placement Count

若 probe 要與 barrier column：

x=c

相交，horizontal anchor $a$ 必須滿足：

a\le c\le a+w_p-1.

若 barrier 距左右 container edge 有足夠 clearance，使整個 anchor range 都合法，則：

a

共有：

w_p

個值。

Corollary 12.1 — Exact Cross-Barrier Placement Count

在 side-clearance 條件下：

\boxed{ N_{\mathrm{cross}}(g;P) = w_p \max(0,g-h_p+1). }

所以：

\boxed{ N_{\mathrm{cross}}>0 \iff g\ge h_p. }

13. Configuration-Space Connectivity Threshold

令：

\mathcal Q_P(B_g)

為所有合法 probe translation anchors 構成的 graph，兩個 anchors 若相差一個 unit horizontal / vertical translation 則相鄰。

假設：

probe 在 barrier 左右兩側都存在合法 placements；
gap 不與 container 上下 boundary 相衝突；
barrier 為單一 spanning vertical strip；
probe 不允許旋轉，只做 axis-aligned translation。

Theorem 13.1 — Critical Gap Theorem

在上述條件下：

\boxed{ \#\pi_0(\mathcal Q_P(B_g)) = \begin{cases} 2, & g<h_p, \\ 1, & g\ge h_p. \end{cases} }

因此 critical gap：

\boxed{ g_c(P)=h_p. }

Proof

Case 1: $g<h_p$

由 Theorem 11.1：

C_{\mathrm{ap}}=0.

因此不存在任何合法 placement 同時跨越 barrier column。

所有合法 anchors 只能位於 barrier 左側或右側。

因 barrier 從上到下 spanning container，且 probe 無法穿越 gap，所以左側與右側 anchor sets 間不存在 configuration-space path。

每一側本身為 rectangular / orthogonally connected anchor region，因此 configuration graph 恰有兩個 connected components。

Case 2: $g\ge h_p$

由 Theorem 11.1：

C_{\mathrm{ap}}\ge1.

所以存在某個 vertical anchor $b^\ast$ ，使 probe entire vertical footprint 落在 gap 內。

由 side-clearance 條件，存在一串 horizontal anchors：

a_L, a_L+1, \ldots, a_R

使 probe 從 barrier 左側逐步 translation，經過跨 barrier placements，再到 barrier 右側，且整段都保持合法。

左右側任意合法 placement 可先在各自 free rectangular anchor region 內移動到此 corridor，再穿越至另一側。

因此整個：

\mathcal Q_P(B_g)

連通。

證畢。

14. Boundary Permeability

Theorem 13.1 允許定義最小 binary permeability：

\boxed{ \kappa_P(g) = \mathbf 1[g\ge h_p]. }

以及更細的 aperture capacity：

C_{\mathrm{ap}}(g;P).

因此同一 boundary opening $g$ ，對不同 probe：

P_1, \qquad P_2

可以有：

\kappa_{P_1}(g) \neq \kappa_{P_2}(g).

這不是 observer arbitrary choice，而是不同 action class 的 admissibility structure 不同。

15. Released Substrate、Latent Freedom 與 Realized Freedom

Theorem 11.1 顯示：

0<g<h_p

時：

g>0,

但：

C_{\mathrm{ap}}=0.

因此需要區分三層：

\boxed{ \text{Released Substrate} \rightarrow \text{Latent Freedom} \rightarrow \text{Realized Operational Freedom}. }

Definition 15.1 — Gap Deficit

對 probe $P$ 定義：

\boxed{ \delta_P(g) = \max(0,h_p-g). }

若：

\delta_P(g)=0,

表示 crossing freedom 已存在。

若：

\delta_P(g)=k>0,

表示至少還需要額外釋放 $k$ 個連續 transverse constituents 才能達到 crossing threshold。

這是 Paper 03 更一般 latent-freedom potential：

d_q(A)

的最簡一維前身。

16. Local Release 與 Global Topological Jump

Gap operator：

G: B_g \mapsto B_{g+1}

每次只釋放一個 barrier site。

因此：

\boxed{ \Delta\eta_{\mathrm{site}} = -\frac{1}{N^2}. }

但當：

g=h_p-1

推進到：

g=h_p,

Theorem 13.1 給出：

\boxed{ \#\pi_0: 2 \rightarrow 1. }

Corollary 16.1 — Vanishing Local Measure, Persistent Topological Transition

取一族 container sizes：

N\rightarrow\infty

與 probes：

h_p(N)

使 side-clearance 條件保持，並讓 transition 每次仍由：

g=h_p(N)-1 \rightarrow h_p(N)

觸發。

則單步 direct occupancy change：

\boxed{ \left| \Delta\eta_{\mathrm{site}} \right| = \frac{1}{N^2} \rightarrow0, }

但 configuration-space topological change：

\boxed{ \Delta\#\pi_0=-1 }

保持不消失。

因此：

\boxed{ \text{vanishing local geometric change} \not\Rightarrow \text{vanishing global freedom-structure change}. }

17. 兩種 Structural Escape

本文區分兩種不同 escape。

17.1 Counting-Law Escape

定義 probe-interior class：

\mathcal K_{\mathrm{int}}

為：

\beta_x=\beta_y=0

的 obstacle states。

若 deformation operator：

T

使：

\beta_x>0

或：

\beta_y>0,

則：

\boxed{ T(O) \notin \mathcal K_{\mathrm{int}}. }

原 interior counting law 必須改用 boundary-corrected law。

17.2 Topological Escape

對固定 probe：

\mathcal K_{\mathrm{split}}^{(P)} = \{ B_g: g<h_p \}.

gap operator：

G: B_g \mapsto B_{g+1}

在：

g=h_p-1

處造成：

\boxed{ G(B_{h_p-1}) \notin \mathcal K_{\mathrm{split}}^{(P)}, }

並伴隨：

\#\pi_0: 2\rightarrow1.

第一種 escape 改變 counting regime。

第二種 escape 改變 configuration-space topology。

兩者不可混同。

18. ACTM-style Freedom Audit

對 fixed-area stretch：

T_{\mathrm{stretch}} : (w,h) \mapsto (w',h')

且：

wh=w'h'=K,

可做：

Preserve

K, \qquad \eta_{\mathrm{site}}.

Release

在 $w$ 增加的 path：

D_h\downarrow.

Consume

D_v\uparrow.

Compress

F_{\mathrm{trans}}\downarrow.

Escape

若 boundary clipping deficit 由：

0

變成正值，離開 interior closure class。

對 gap operator：

Release substrate

|B_g| \downarrow.

Accumulate latent freedom

\delta_P(g)\downarrow.

Realize freedom

在：

g=h_p

時：

\kappa_P: 0\rightarrow1.

Topological escape

\#\pi_0: 2\rightarrow1.

這就是本文所謂 ACTM-style freedom transport：不是把 ACTM 的超越數工具直接搬到幾何，而是移植其「追蹤 relation 在 operator 下的 closure / escape」方法。

19. SOBTA：Boundary as Admissibility Coupling

本文使用 SOBTA：

\Gamma_q = \langle S_q,O,\partial\mathfrak C \rangle

作為 relational coordinate。

其中：

S_q

指定：

probe；
action class；
configuration adjacency；
resolution；
query semantics。

O

指定 obstacle / constraint。

\partial\mathfrak C

決定：

anchor clipping；
crossing 是否可行；
哪些 deformation 留在合法 domain；
哪些局部 opening 可以轉成全域 transport。

因此本文的 exact formulas 顯示：

\boxed{ \text{freedom observable} = f( S_q, O, \partial\mathfrak C ). }

但這不推出：

\boxed{ \text{all geometry is ontologically SOBTA}. }

SOBTA 在此是 coordinate framework，而不是 reduction claim。

20. 「邊界」的兩個不同層次

E1/E2 迫使我們把 boundary 至少分成：

20.1 Container Boundary

\partial\mathfrak C

決定 legal anchor domain。

其作用由：

\beta_x, \beta_y

顯示。

20.2 Internal Barrier Boundary

\partial O

決定 configuration space 是否分裂、gap 是否具有 permeability。

因此：

\boxed{ \text{boundary} \neq \text{single geometric contour notion}. }

邊界更一般地是：

\boxed{ \text{structure that changes admissibility relations}. }

這個定義在本文中是 operational，而不是終極本體定義。

21. Computational Audit

本文主要定理都有解析證明。

附帶：

paper02_exact_checks.py

只作 proof audit，驗證：

interior probe-count formulas；
fixed-area directional monotonicity；
boundary clipping general formula；
$N=64,L=8,w=64,h=9$ 的 $-126$ horizontal residual；
gap capacity；
cross-barrier placement count；
critical gap；
configuration component transition。

程式驗證不取代解析證明。

22. 可證偽性與限制

F1 — Boundary Formula Failure

若 Theorem 7.1 在明確 rectangle / probe model 中失敗，本文 boundary interpretation 失效。

F2 — Threshold Failure

若存在符合本文 side-clearance 假設的 probe / barrier，卻有：

g_c\neq h_p,

則 Theorem 13.1 失效。

F3 — Query Inflation

若任意改 query 都可事後合理化結果，框架失去辨識力。

因此 query 必須在計算前固定 probe、action、adjacency 與 admissibility。

F4 — Overgeneralization

本文不宣稱：

g_c=h_p

適用於所有 curved barrier、rotation-enabled probe 或 continuous deformation。

它只適用本文明確的 axis-aligned translation model。

F5 — Physical Ontology Overreach

本文不從 finite lattice topology jump 推出宇宙物理相變。

它只證明：

在明確的有限 configuration-space model 中，局部 direct-support change 可以對 global freedom topology 造成非比例影響。

23. 與下一篇的接口

本文得到：

0<g<h_p

時 substrate 已釋放，但 operational crossing 尚未形成。

這立刻留下問題：

那些尚未閉合成 freedom 的 constituents 到底承載了什麼？

Paper 03 將把 gap 從單一連續區段推廣到任意 released subset：

A\subseteq W.

並建立：

C_h(A) = \sum_{J\in\mathcal W_h} \mathbf 1[J\subseteq A],

以及：

d_q(A) = \min_{G\in\mathcal G_q} |G\setminus A|.

由此研究：

cooperative constituent information；
Möbius / Harsanyi interaction；
Shapley field；
latent freedom potential；
minimal generator hypergraph。

24. 結論

本文把 Paper 01 的靜態區分：

\text{measure} \neq \text{freedom}

推進為動態結構。

固定 direct support：

wh=K

並不代表 freedom 不變。

相反地：

\boxed{ D_h\downarrow, \qquad D_v\uparrow, \qquad F_{\mathrm{trans}}\downarrow }

可以同時成立。

這表示 deformation 可以：

\boxed{ \text{redistribute freedom} + \text{deplete total configuration capacity}. }

當 obstacle 接近 container boundary：

\boxed{ \beta_x,\beta_y }

開始修改 counting law。

當 barrier gap 達到 probe transverse thickness：

g=h_p,

則：

\boxed{ \text{latent freedom} \rightarrow \text{realized operational freedom}, }

且 configuration space 發生：

\boxed{ \#\pi_0: 2\rightarrow1. }

因此邊界在本文中的成熟 operational 定義是：

\boxed{ \textbf{a structure that modifies admissibility laws and freedom connectivity.} }

而一句話總結本文：

\boxed{ \textbf{Freedom is not merely lost or preserved; it can be transported across channels and can change regime at boundaries.} }

中文：

自由度不只是被保留或被消耗；它可以在不同 channel 間傳輸，並在邊界上改變其合法作用規則。

Appendix A. 核心公式

Interior counts：

I_h=h(w+L-1),

I_v=w(h+L-1).

Directional anisotropy：

D_v-D_h = \frac{(L-1)(w-h)} {N(N-L+1)}.

Boundary-clipped counts：

I_h=h\,c_x,

I_v=w\,c_y.

Clipping deficits：

\beta_x=(w+L-1)-c_x,

\beta_y=(h+L-1)-c_y.

Boundary-corrected anisotropy：

I_v-I_h = (L-1)(w-h) + h\beta_x - w\beta_y.

Gap capacity：

C_{\mathrm{ap}}(g;P) = \max(0,g-h_p+1).

Cross-barrier placements：

N_{\mathrm{cross}} = w_p C_{\mathrm{ap}}.

Critical gap：

g_c(P)=h_p.

Gap deficit：

\delta_P(g) = \max(0,h_p-g).

Appendix B. Formal Status

解析定理：

Theorem 4.1；
Theorem 5.1；
Theorem 7.1；
Theorem 11.1；
Theorem 13.1；
Corollaries 4.2、5.2、6.1、8.1、12.1、16.1。

Computational audit only：

finite parameter sweeps；
example counts；
BFS connectivity cross-checks。

尚未宣稱：

arbitrary rotation theorem；
arbitrary curved barrier theorem；
continuous physical-space theorem；
general topological phase-transition universality；
universal freedom conservation law。

空間資訊佔據 II：自由度傳輸、邊界飽和與結構逃逸

空間資訊佔據 II：自由度傳輸、邊界飽和與結構逃逸

Spatial Information Occupancy II: Freedom Transport, Boundary Saturation, and Structural Escape

摘要

Abstract

1. 從靜態佔據到動態自由度

2. 模型 A：固定面積矩形與方向 probe

3. Interior placement class

Definition 3.1 — Probe-interior rectangle

4. Interior Freedom-Transport Law

Theorem 4.1 — Exact Invalid-Placement Counts

Proof

Corollary 4.2 — Directional Anisotropy Law

Proof

5. 固定 direct support 下的 freedom redistribution

Theorem 5.1 — Fixed-Area Directional Redistribution

Proof

Corollary 5.2 — Mean Probe Depletion

6. Translation freedom 與 net configuration depletion

Corollary 6.1 — Redistribution with Net Depletion

7. Boundary clipping 的一般公式

Theorem 7.1 — Exact Boundary-Clipped Probe Counts

Proof

8. Boundary Deficit

Corollary 8.1 — Boundary-Corrected Anisotropy

9. Boundary Saturation Example

10. 模型 B：Spanning Barrier 與 Gap Operator

11. Transverse Aperture Capacity

Theorem 11.1 — Exact Aperture Capacity

Proof

12. Crossing Placement Count

Corollary 12.1 — Exact Cross-Barrier Placement Count

13. Configuration-Space Connectivity Threshold

Theorem 13.1 — Critical Gap Theorem

Proof

Case 1: g<hpg<h_pg<hp​

Case 2: g≥hpg\ge h_pg≥hp​

14. Boundary Permeability

15. Released Substrate、Latent Freedom 與 Realized Freedom

Definition 15.1 — Gap Deficit

16. Local Release 與 Global Topological Jump

Corollary 16.1 — Vanishing Local Measure, Persistent Topological Transition

17. 兩種 Structural Escape

17.1 Counting-Law Escape

17.2 Topological Escape

18. ACTM-style Freedom Audit

Preserve

Release

Consume

Compress

Escape

Release substrate

Accumulate latent freedom

Realize freedom

Topological escape

19. SOBTA：Boundary as Admissibility Coupling

20. 「邊界」的兩個不同層次

20.1 Container Boundary

20.2 Internal Barrier Boundary

21. Computational Audit

22. 可證偽性與限制

F1 — Boundary Formula Failure

F2 — Threshold Failure

F3 — Query Inflation

F4 — Overgeneralization

F5 — Physical Ontology Overreach

23. 與下一篇的接口

24. 結論

Appendix A. 核心公式

Appendix B. Formal Status

Case 1: $g<h_p$

Case 2: $g\ge h_p$