# 空間資訊佔據 II：自由度傳輸、邊界飽和與結構逃逸

## Spatial Information Occupancy II: Freedom Transport, Boundary Saturation, and Structural Escape

**系列：** Spatial Information Occupancy and Generator Geometry  
**篇次：** Paper 02 / Dynamics  
**版本：** v1.0  
**日期：** 2026-10-02  
**作者：** Neo.K  
**AI 協力研究者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**狀態：** Formal Research Draft / Exact Finite Dynamics

**直接前置：**

- Paper 01《空間資訊佔據 I：超越幾何測度的容器相對自由結構》；
- E1 Freedom Transport；
- E2 Gap Operator；
- 主客邊三域代數（SOBTA）；
- Algebraic–Combinatorial Transcendence Methodology（ACTM）。

---

## 摘要

Paper 01 已證明：幾何支撐量並不足以決定容器中的 translation freedom 或 global connectivity effect。本文進一步研究一個動態問題：

> 當直接佔據量保持不變、幾何結構或邊界開口被逐步改變時，自由度如何在不同 channel 間傳輸、壓縮、釋放，並在何處發生結構逃逸？

本文在有限二維格點容器中建立兩類 exact dynamics。

第一類是固定面積矩形的 aspect-ratio stretch。令 $w\times h$ obstacle 滿足：

$$
wh=K,
$$

並以長度 $L$ 的 horizontal / vertical probes 測量 placement depletion。在 obstacle 的 probe-influence region 尚未被容器邊界截斷時，本文證明：

$$
\boxed{
I_h
=
h(w+L-1),
}
$$

$$
\boxed{
I_v
=
w(h+L-1),
}
$$

因而：

$$
\boxed{
D_v-D_h
=
\frac{(L-1)(w-h)}
{N(N-L+1)}.
}
$$

固定 $K$ 並沿 $w\uparrow$ 、 $h\downarrow$ 的 stretch path，horizontal channel 的 depletion 下降，vertical channel 的 depletion 上升；同時總 placement freedom 下降。因此 deformation 不是單一 scalar freedom 的增減，而是：

$$
\boxed{
\text{channel redistribution}
+
\text{net configuration depletion}.
}
$$

本文再給出一般 boundary clipping 公式。若 obstacle 靠近容器邊界，interior law 必須加入非負 clipping deficits：

$$
\beta_x,
\qquad
\beta_y,
$$

並有：

$$
\boxed{
I_h
=
h(w+L-1-\beta_x),
}
$$

$$
\boxed{
I_v
=
w(h+L-1-\beta_y).
}
$$

因此邊界不是只有發生物理接觸時才重要；它直接修改 admissibility count。

第二類 dynamics 是一格厚 spanning barrier 的 gap operator。對 axis-aligned $w_p\times h_p$ probe，本文證明：

$$
\boxed{
C_{\mathrm{ap}}(g;P)
=
\max(0,g-h_p+1),
}
$$

以及 crossing placement 數：

$$
\boxed{
N_{\mathrm{cross}}
=
w_p\,C_{\mathrm{ap}}(g;P).
}
$$

在適當 side-clearance 條件下，left-right configuration-space connectivity 的臨界 gap 精確為：

$$
\boxed{
g_c(P)=h_p.
}
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{geometric opening}
\neq
\text{operational freedom opening}.
}
$$

當：

$$
g<h_p
$$

時，已有 substrate 被釋放，但該 probe 的跨障礙自由仍未形成；本文稱此為 **latent freedom**。當 gap operator 把 $g=h_p-1$ 推至 $g=h_p$ 時，configuration space 的 connected-component count 由 $2$ 跳到 $1$，形成一個 exact structural escape。

本文因此把 ACTM 的 closure / escape 研究姿勢移植到空間資訊佔據：追蹤哪些 freedom relations 在 operator 下保持、重分配、被邊界修正或離開原 closure class。SOBTA 則被用作關係座標：query/action、constraint object 與 boundary condition 三者共同決定可觀察 freedom，而不是把邊界降格成輪廓附註。

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## Abstract

Paper 01 established that geometric support alone does not determine translation freedom or global connectivity effects in a finite container. This paper studies the corresponding dynamics: how freedom is redistributed, compressed, released, or structurally transformed when direct occupancy is preserved while shape or boundary openings change.

Two exact finite models are developed.

First, a fixed-area rectangle with $wh=K$ is stretched while horizontal and vertical probes of length $L$ measure placement depletion. Before the obstacle's probe-influence region is clipped by the container boundary,

$$
I_h=h(w+L-1),
$$

$$
I_v=w(h+L-1),
$$

and therefore

$$
\boxed{
D_v-D_h
=
\frac{(L-1)(w-h)}
{N(N-L+1)}.
}
$$

Along a fixed-area stretch path with increasing $w$ and decreasing $h$, horizontal depletion decreases while vertical depletion increases, whereas total translation freedom decreases. Freedom dynamics are therefore not captured by a single conserved scalar: they exhibit channel redistribution together with net configuration-space depletion.

Second, a one-cell-thick spanning barrier is opened by a contiguous gap of size $g$. For an axis-aligned $w_p\times h_p$ probe,

$$
\boxed{
C_{\mathrm{ap}}(g;P)
=
\max(0,g-h_p+1)
}
$$

counts admissible transverse aperture positions, and

$$
\boxed{
N_{\mathrm{cross}}
=
w_p C_{\mathrm{ap}}(g;P).
}
$$

Under explicit side-clearance assumptions, left-right connectivity in probe configuration space appears exactly at

$$
\boxed{
g_c(P)=h_p.
}
$$

Hence a geometrically open region can remain operationally closed for a given action class. The regime $0<g<h_p$ is interpreted as latent freedom: released substrate that has not yet formed an admissible crossing.

The paper also derives exact boundary-clipping corrections and formalizes two kinds of structural escape: leaving an interior counting-law class and crossing a configuration-space topological threshold.

---

# 1. 從靜態佔據到動態自由度

Paper 01 的基本區分是：

$$
\boxed{
\text{Geometric Measure Occupancy}
\neq
\text{Freedom Occupancy}.
}
$$

本文進一步考慮一個 operator：

$$
T:
(\mathfrak C,O,q)
\rightarrow
(\mathfrak C',O',q').
$$

研究對象不再只是：

$$
\mathbf{Occ}(O),
$$

而是：

$$
\boxed{
\mathbf{Occ}_t
\xrightarrow{T}
\mathbf{Occ}_{t+1}.
}
$$

本文稱此研究方向為：

$$
\boxed{
\text{Freedom Transport}.
}
$$

其最低問題包括：

- 哪些 occupancy 分量被 preserve？
- 哪些 freedom channel 被 release？
- 哪些 channel 被 consume？
- 是否存在 net depletion？
- 邊界何時改變 counting law？
- operator 何時使結構離開原 closure class？

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# 2. 模型 A：固定面積矩形與方向 probe

令容器：

$$
X_N
=
\{0,\ldots,N-1\}^2.
$$

令 obstacle：

$$
R
=
[x_0,x_0+w-1]
\times
[y_0,y_0+h-1]
$$

為 axis-aligned $w\times h$ rectangle。

令 horizontal probe：

$$
P_h
=
\{0,\ldots,L-1\}\times\{0\},
$$

vertical probe：

$$
P_v
=
\{0\}\times\{0,\ldots,L-1\}.
$$

兩者在空容器中的合法 translation anchors 數相同：

$$
\boxed{
Q
=
N(N-L+1).
}
$$

定義：

$$
I_h
=
\text{number of horizontal probe anchors invalidated by }R,
$$

$$
I_v
=
\text{number of vertical probe anchors invalidated by }R.
$$

相應 depletion：

$$
\boxed{
D_h=\frac{I_h}{Q},
\qquad
D_v=\frac{I_v}{Q}.
}
$$

---

# 3. Interior placement class

horizontal probe anchor 為：

$$
(a,b),
$$

其中：

$$
0\le a\le N-L,
\qquad
0\le b\le N-1.
$$

它與 obstacle 相交，當且僅當：

$$
b\in[y_0,y_0+h-1]
$$

且 interval：

$$
[a,a+L-1]
$$

與：

$$
[x_0,x_0+w-1]
$$

相交。

若 obstacle 在 $x$ 方向距左右 probe-anchor clipping boundary 都至少 $L-1$，則所有理論上會與 obstacle 相交的 horizontal anchors 都仍位於合法 anchor domain 內。

vertical case 類似。

## Definition 3.1 — Probe-interior rectangle

若：

$$
x_0\ge L-1,
$$

$$
x_0+w-1\le N-L,
$$

$$
y_0\ge L-1,
$$

$$
y_0+h-1\le N-L,
$$

則稱 $R$ 對長度 $L$ probe 為 **probe-interior**。

這是一個 sufficient condition；後續 boundary theorem 會處理一般情況。

---

# 4. Interior Freedom-Transport Law

## Theorem 4.1 — Exact Invalid-Placement Counts

若 $R$ 為 probe-interior，則：

$$
\boxed{
I_h
=
h(w+L-1),
}
$$

以及：

$$
\boxed{
I_v
=
w(h+L-1).
}
$$

### Proof

固定 obstacle 中某一 row：

$$
b\in[y_0,y_0+h-1].
$$

horizontal probe 與 obstacle 的 $x$ -interval 相交，當且僅當 anchor $a$ 落在：

$$
x_0-L+1
\le
a
\le
x_0+w-1.
$$

probe-interior 條件保證此整段落在：

$$
0\le a\le N-L
$$

內，因此共有：

$$
(x_0+w-1)-(x_0-L+1)+1
=
w+L-1
$$

個 invalid horizontal anchors。

obstacle 有 $h$ 個 rows，所以：

$$
I_h
=
h(w+L-1).
$$

vertical case 對稱，得到：

$$
I_v
=
w(h+L-1).
$$

證畢。

---

## Corollary 4.2 — Directional Anisotropy Law

在 Theorem 4.1 條件下：

$$
\boxed{
I_v-I_h
=
(L-1)(w-h).
}
$$

因此：

$$
\boxed{
D_v-D_h
=
\frac{
(L-1)(w-h)
}{
N(N-L+1)
}.
}
$$

### Proof

直接相減：

$$
\begin{aligned}
I_v-I_h
&=
w(h+L-1)
-
h(w+L-1)\\
&=
wh+w(L-1)-hw-h(L-1)\\
&=
(L-1)(w-h).
\end{aligned}
$$

再除以共同 denominator $Q$。證畢。

---

# 5. 固定 direct support 下的 freedom redistribution

現在固定：

$$
wh=K.
$$

在 interior class 中：

$$
I_h
=
K+h(L-1),
$$

$$
I_v
=
K+w(L-1).
$$

所以：

$$
\boxed{
D_h
=
\frac{
K+h(L-1)
}{
Q
},
}
$$

$$
\boxed{
D_v
=
\frac{
K+w(L-1)
}{
Q
}.
}
$$

## Theorem 5.1 — Fixed-Area Directional Redistribution

令兩個 probe-interior rectangles：

$$
R_1=(w_1,h_1),
\qquad
R_2=(w_2,h_2)
$$

滿足：

$$
w_1h_1=w_2h_2=K,
$$

以及：

$$
w_2>w_1.
$$

則：

$$
h_2<h_1,
$$

且：

$$
\boxed{
D_h(R_2)<D_h(R_1),
}
$$

$$
\boxed{
D_v(R_2)>D_v(R_1).
}
$$

### Proof

固定：

$$
wh=K,
$$

故 $w$ 增加時 $h=K/w$ 減少。

而：

$$
D_h
=
\frac{
K+(L-1)h
}{Q}
$$

對 $h$ 嚴格遞增，所以 $h$ 下降使 $D_h$ 下降。

同理：

$$
D_v
=
\frac{
K+(L-1)w
}{Q}
$$

對 $w$ 嚴格遞增，因此 $w$ 增加使 $D_v$ 上升。證畢。

---

## Corollary 5.2 — Mean Probe Depletion

定義 mean directional depletion：

$$
\boxed{
M
=
\frac{D_h+D_v}{2}.
}
$$

則：

$$
\boxed{
M
=
\frac{
K+\frac{L-1}{2}(w+h)
}{
Q
}.
}
$$

固定 $K$ 時，由 AM-GM：

$$
w+h
\ge
2\sqrt K.
$$

因此正方形：

$$
w=h=\sqrt K
$$

最小化：

$$
M.
$$

也就是說，在這個 probe model 中，離開 square symmetry 不只是把 freedom 從一個方向搬到另一個方向；平均 probe depletion 也會上升。

---

# 6. Translation freedom 與 net configuration depletion

Paper 01 已證明 rectangle 的合法 translation anchors：

$$
P_N(w,h)
=
(N-w+1)(N-h+1).
$$

固定：

$$
wh=K
$$

後：

$$
\boxed{
P_N(w,h)
=
(N+1)^2+K-(N+1)(w+h).
}
$$

若以：

$$
N^2
$$

作為固定 ambient anchor normalization，定義：

$$
\boxed{
F_{\mathrm{trans}}
=
\frac{
P_N(w,h)
}{
N^2
}.
}
$$

因此 square 最大化：

$$
F_{\mathrm{trans}}.
$$

結合 Theorem 5.1，可得到：

## Corollary 6.1 — Redistribution with Net Depletion

沿 fixed-area path 從 square 往：

$$
w>h
$$

方向拉長時：

$$
\boxed{
D_h\downarrow,
}
$$

$$
\boxed{
D_v\uparrow,
}
$$

但：

$$
\boxed{
F_{\mathrm{trans}}\downarrow.
}
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{Freedom Transport}
\neq
\text{simple scalar conservation}.
}
$$

在本模型中，更準確的是：

$$
\boxed{
\text{directional redistribution}
+
\text{net placement depletion}.
}
$$

---

# 7. Boundary clipping 的一般公式

interior law 不是所有 obstacle positions 都成立。

令：

$$
c_x
$$

為 horizontal probe anchor 在 $x$ 方向上因 obstacle 失效的合法 anchor 數。

由 interval intersection：

$$
\boxed{
c_x
=
\max
\left(
0,
\min(N-L,x_0+w-1)
-
\max(0,x_0-L+1)
+
1
\right).
}
$$

同理：

$$
\boxed{
c_y
=
\max
\left(
0,
\min(N-L,y_0+h-1)
-
\max(0,y_0-L+1)
+
1
\right).
}
$$

## Theorem 7.1 — Exact Boundary-Clipped Probe Counts

對任意合法 obstacle rectangle：

$$
\boxed{
I_h
=
h\,c_x,
}
$$

$$
\boxed{
I_v
=
w\,c_y.
}
$$

### Proof

horizontal probe 只有在其 row 落於 obstacle 的 $h$ 個 occupied rows 時才可能與 obstacle 相交。

對每一 occupied row，可造成相交的合法 $x$ anchors 恰好是理論 overlap interval：

$$
[x_0-L+1,x_0+w-1]
$$

與合法 anchor interval：

$$
[0,N-L]
$$

的交集。

其 integer cardinality 就是 $c_x$。

因此：

$$
I_h=h\,c_x.
$$

vertical case 對稱。證畢。

---

# 8. Boundary Deficit

定義 interior-theory anchor span：

$$
w+L-1
$$

與：

$$
h+L-1.
$$

再定義 boundary clipping deficits：

$$
\boxed{
\beta_x
=
(w+L-1)-c_x,
}
$$

$$
\boxed{
\beta_y
=
(h+L-1)-c_y.
}
$$

由 $c_x\le w+L-1$ 與 $c_y\le h+L-1$：

$$
\beta_x,\beta_y\ge0.
$$

Theorem 7.1 可重寫成：

$$
\boxed{
I_h
=
h(w+L-1-\beta_x),
}
$$

$$
\boxed{
I_v
=
w(h+L-1-\beta_y).
}
$$

因此：

## Corollary 8.1 — Boundary-Corrected Anisotropy

$$
\boxed{
I_v-I_h
=
(L-1)(w-h)
+
h\beta_x
-
w\beta_y.
}
$$

這個式子把 anisotropy 分成：

1. intrinsic shape term：

$$
(L-1)(w-h),
$$

2. boundary correction：

$$
h\beta_x-w\beta_y.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{observed directional depletion}
=
\text{shape contribution}
+
\text{boundary contribution}.
}
$$

---

# 9. Boundary Saturation Example

令：

$$
N=64,
$$

$$
L=8,
$$

$$
w=64,
$$

$$
h=9.
$$

obstacle 在 $x$ 方向跨完整容器，因此：

$$
x_0=0.
$$

此時：

$$
c_x
=
N-L+1
=
57.
$$

而 interior theory 會給：

$$
w+L-1
=
71.
$$

因此：

$$
\beta_x
=
14.
$$

若 $y$ 方向仍 probe-interior，則：

$$
\beta_y=0.
$$

所以：

$$
I_h
=
9(71-14)
=
513,
$$

$$
I_v
=
64(9+8-1)
=
1024.
$$

相對 interior continuation，horizontal residual：

$$
R_h
=
-9\cdot14
=
-126.
$$

這不是公式「近似失準」，而是合法 anchor domain 被 container boundary 截斷。

因此 boundary saturation 應被理解為：

$$
\boxed{
\text{change of admissibility counting law}.
}
$$

---

# 10. 模型 B：Spanning Barrier 與 Gap Operator

令：

$$
B_g
$$

是一格厚 vertical barrier，位於：

$$
x=c,
$$

並具有一段連續 vertical gap：

$$
G_g
=
\{y_0,\ldots,y_0+g-1\}.
$$

除了 gap 外：

$$
(c,y)
$$

皆被 barrier 佔據。

令 probe：

$$
P
=
w_p\times h_p
$$

為 axis-aligned rectangle。

probe translation anchor：

$$
(a,b)
$$

代表其支撐：

$$
[a,a+w_p-1]
\times
[b,b+h_p-1].
$$

---

# 11. Transverse Aperture Capacity

probe placement 若要在跨 barrier 的同時不碰到 barrier，則：

$$
[b,b+h_p-1]
$$

必須完全包含於 gap：

$$
G_g.
$$

## Theorem 11.1 — Exact Aperture Capacity

vertical gap 中可容納 probe transverse span 的合法 $b$ anchors 數為：

$$
\boxed{
C_{\mathrm{ap}}(g;P)
=
\max(0,g-h_p+1).
}
$$

### Proof

若：

$$
g<h_p,
$$

沒有任何長度 $h_p$ 的 integer interval 能完全放入長度 $g$ 的 gap，因此：

$$
C_{\mathrm{ap}}=0.
$$

若：

$$
g\ge h_p,
$$

probe vertical anchor $b$ 可從 gap 起點：

$$
y_0
$$

到：

$$
y_0+g-h_p
$$

共：

$$
g-h_p+1
$$

個位置。證畢。

---

# 12. Crossing Placement Count

若 probe 要與 barrier column：

$$
x=c
$$

相交，horizontal anchor $a$ 必須滿足：

$$
a\le c\le a+w_p-1.
$$

若 barrier 距左右 container edge 有足夠 clearance，使整個 anchor range 都合法，則：

$$
a
$$

共有：

$$
w_p
$$

個值。

## Corollary 12.1 — Exact Cross-Barrier Placement Count

在 side-clearance 條件下：

$$
\boxed{
N_{\mathrm{cross}}(g;P)
=
w_p
\max(0,g-h_p+1).
}
$$

所以：

$$
\boxed{
N_{\mathrm{cross}}>0
\iff
g\ge h_p.
}
$$

---

# 13. Configuration-Space Connectivity Threshold

令：

$$
\mathcal Q_P(B_g)
$$

為所有合法 probe translation anchors 構成的 graph，兩個 anchors 若相差一個 unit horizontal / vertical translation 則相鄰。

假設：

1. probe 在 barrier 左右兩側都存在合法 placements；
2. gap 不與 container 上下 boundary 相衝突；
3. barrier 為單一 spanning vertical strip；
4. probe 不允許旋轉，只做 axis-aligned translation。

## Theorem 13.1 — Critical Gap Theorem

在上述條件下：

$$
\boxed{
\#\pi_0(\mathcal Q_P(B_g))
=
\begin{cases}
2,
&
g<h_p,
\\
1,
&
g\ge h_p.
\end{cases}
}
$$

因此 critical gap：

$$
\boxed{
g_c(P)=h_p.
}
$$

### Proof

### Case 1: $g<h_p$

由 Theorem 11.1：

$$
C_{\mathrm{ap}}=0.
$$

因此不存在任何合法 placement 同時跨越 barrier column。

所有合法 anchors 只能位於 barrier 左側或右側。

因 barrier 從上到下 spanning container，且 probe 無法穿越 gap，所以左側與右側 anchor sets 間不存在 configuration-space path。

每一側本身為 rectangular / orthogonally connected anchor region，因此 configuration graph 恰有兩個 connected components。

### Case 2: $g\ge h_p$

由 Theorem 11.1：

$$
C_{\mathrm{ap}}\ge1.
$$

所以存在某個 vertical anchor $b^\ast$，使 probe entire vertical footprint 落在 gap 內。

由 side-clearance 條件，存在一串 horizontal anchors：

$$
a_L,
a_L+1,
\ldots,
a_R
$$

使 probe 從 barrier 左側逐步 translation，經過跨 barrier placements，再到 barrier 右側，且整段都保持合法。

左右側任意合法 placement 可先在各自 free rectangular anchor region 內移動到此 corridor，再穿越至另一側。

因此整個：

$$
\mathcal Q_P(B_g)
$$

連通。

證畢。

---

# 14. Boundary Permeability

Theorem 13.1 允許定義最小 binary permeability：

$$
\boxed{
\kappa_P(g)
=
\mathbf 1[g\ge h_p].
}
$$

以及更細的 aperture capacity：

$$
C_{\mathrm{ap}}(g;P).
$$

因此同一 boundary opening $g$，對不同 probe：

$$
P_1,
\qquad
P_2
$$

可以有：

$$
\kappa_{P_1}(g)
\neq
\kappa_{P_2}(g).
$$

這不是 observer arbitrary choice，而是不同 action class 的 admissibility structure 不同。

---

# 15. Released Substrate、Latent Freedom 與 Realized Freedom

Theorem 11.1 顯示：

$$
0<g<h_p
$$

時：

$$
g>0,
$$

但：

$$
C_{\mathrm{ap}}=0.
$$

因此需要區分三層：

$$
\boxed{
\text{Released Substrate}
\rightarrow
\text{Latent Freedom}
\rightarrow
\text{Realized Operational Freedom}.
}
$$

## Definition 15.1 — Gap Deficit

對 probe $P$ 定義：

$$
\boxed{
\delta_P(g)
=
\max(0,h_p-g).
}
$$

若：

$$
\delta_P(g)=0,
$$

表示 crossing freedom 已存在。

若：

$$
\delta_P(g)=k>0,
$$

表示至少還需要額外釋放 $k$ 個連續 transverse constituents 才能達到 crossing threshold。

這是 Paper 03 更一般 latent-freedom potential：

$$
d_q(A)
$$

的最簡一維前身。

---

# 16. Local Release 與 Global Topological Jump

Gap operator：

$$
G:
B_g
\mapsto
B_{g+1}
$$

每次只釋放一個 barrier site。

因此：

$$
\boxed{
\Delta\eta_{\mathrm{site}}
=
-\frac{1}{N^2}.
}
$$

但當：

$$
g=h_p-1
$$

推進到：

$$
g=h_p,
$$

Theorem 13.1 給出：

$$
\boxed{
\#\pi_0:
2
\rightarrow
1.
}
$$

## Corollary 16.1 — Vanishing Local Measure, Persistent Topological Transition

取一族 container sizes：

$$
N\rightarrow\infty
$$

與 probes：

$$
h_p(N)
$$

使 side-clearance 條件保持，並讓 transition 每次仍由：

$$
g=h_p(N)-1
\rightarrow
h_p(N)
$$

觸發。

則單步 direct occupancy change：

$$
\boxed{
\left|
\Delta\eta_{\mathrm{site}}
\right|
=
\frac{1}{N^2}
\rightarrow0,
}
$$

但 configuration-space topological change：

$$
\boxed{
\Delta\#\pi_0=-1
}
$$

保持不消失。

因此：

$$
\boxed{
\text{vanishing local geometric change}
\not\Rightarrow
\text{vanishing global freedom-structure change}.
}
$$

---

# 17. 兩種 Structural Escape

本文區分兩種不同 escape。

## 17.1 Counting-Law Escape

定義 probe-interior class：

$$
\mathcal K_{\mathrm{int}}
$$

為：

$$
\beta_x=\beta_y=0
$$

的 obstacle states。

若 deformation operator：

$$
T
$$

使：

$$
\beta_x>0
$$

或：

$$
\beta_y>0,
$$

則：

$$
\boxed{
T(O)
\notin
\mathcal K_{\mathrm{int}}.
}
$$

原 interior counting law 必須改用 boundary-corrected law。

## 17.2 Topological Escape

對固定 probe：

$$
\mathcal K_{\mathrm{split}}^{(P)}
=
\{
B_g:
g<h_p
\}.
$$

gap operator：

$$
G:
B_g
\mapsto
B_{g+1}
$$

在：

$$
g=h_p-1
$$

處造成：

$$
\boxed{
G(B_{h_p-1})
\notin
\mathcal K_{\mathrm{split}}^{(P)},
}
$$

並伴隨：

$$
\#\pi_0:
2\rightarrow1.
$$

第一種 escape 改變 counting regime。

第二種 escape 改變 configuration-space topology。

兩者不可混同。

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# 18. ACTM-style Freedom Audit

對 fixed-area stretch：

$$
T_{\mathrm{stretch}}
:
(w,h)
\mapsto
(w',h')
$$

且：

$$
wh=w'h'=K,
$$

可做：

### Preserve

$$
K,
\qquad
\eta_{\mathrm{site}}.
$$

### Release

在 $w$ 增加的 path：

$$
D_h\downarrow.
$$

### Consume

$$
D_v\uparrow.
$$

### Compress

$$
F_{\mathrm{trans}}\downarrow.
$$

### Escape

若 boundary clipping deficit 由：

$$
0
$$

變成正值，離開 interior closure class。

對 gap operator：

### Release substrate

$$
|B_g|
\downarrow.
$$

### Accumulate latent freedom

$$
\delta_P(g)\downarrow.
$$

### Realize freedom

在：

$$
g=h_p
$$

時：

$$
\kappa_P:
0\rightarrow1.
$$

### Topological escape

$$
\#\pi_0:
2\rightarrow1.
$$

這就是本文所謂 ACTM-style freedom transport：不是把 ACTM 的超越數工具直接搬到幾何，而是移植其「追蹤 relation 在 operator 下的 closure / escape」方法。

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# 19. SOBTA：Boundary as Admissibility Coupling

本文使用 SOBTA：

$$
\Gamma_q
=
\langle
S_q,O,\partial\mathfrak C
\rangle
$$

作為 relational coordinate。

其中：

$$
S_q
$$

指定：

- probe；
- action class；
- configuration adjacency；
- resolution；
- query semantics。

$$
O
$$

指定 obstacle / constraint。

$$
\partial\mathfrak C
$$

決定：

- anchor clipping；
- crossing 是否可行；
- 哪些 deformation 留在合法 domain；
- 哪些局部 opening 可以轉成全域 transport。

因此本文的 exact formulas 顯示：

$$
\boxed{
\text{freedom observable}
=
f(
S_q,
O,
\partial\mathfrak C
).
}
$$

但這不推出：

$$
\boxed{
\text{all geometry is ontologically SOBTA}.
}
$$

SOBTA 在此是 coordinate framework，而不是 reduction claim。

---

# 20. 「邊界」的兩個不同層次

E1/E2 迫使我們把 boundary 至少分成：

## 20.1 Container Boundary

$$
\partial\mathfrak C
$$

決定 legal anchor domain。

其作用由：

$$
\beta_x,
\beta_y
$$

顯示。

## 20.2 Internal Barrier Boundary

$$
\partial O
$$

決定 configuration space 是否分裂、gap 是否具有 permeability。

因此：

$$
\boxed{
\text{boundary}
\neq
\text{single geometric contour notion}.
}
$$

邊界更一般地是：

$$
\boxed{
\text{structure that changes admissibility relations}.
}
$$

這個定義在本文中是 operational，而不是終極本體定義。

---

# 21. Computational Audit

本文主要定理都有解析證明。

附帶：

`paper02_exact_checks.py`

只作 proof audit，驗證：

1. interior probe-count formulas；
2. fixed-area directional monotonicity；
3. boundary clipping general formula；
4. $N=64,L=8,w=64,h=9$ 的 $-126$ horizontal residual；
5. gap capacity；
6. cross-barrier placement count；
7. critical gap；
8. configuration component transition。

程式驗證不取代解析證明。

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# 22. 可證偽性與限制

## F1 — Boundary Formula Failure

若 Theorem 7.1 在明確 rectangle / probe model 中失敗，本文 boundary interpretation 失效。

## F2 — Threshold Failure

若存在符合本文 side-clearance 假設的 probe / barrier，卻有：

$$
g_c\neq h_p,
$$

則 Theorem 13.1 失效。

## F3 — Query Inflation

若任意改 query 都可事後合理化結果，框架失去辨識力。

因此 query 必須在計算前固定 probe、action、adjacency 與 admissibility。

## F4 — Overgeneralization

本文不宣稱：

$$
g_c=h_p
$$

適用於所有 curved barrier、rotation-enabled probe 或 continuous deformation。

它只適用本文明確的 axis-aligned translation model。

## F5 — Physical Ontology Overreach

本文不從 finite lattice topology jump 推出宇宙物理相變。

它只證明：

> 在明確的有限 configuration-space model 中，局部 direct-support change 可以對 global freedom topology 造成非比例影響。

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# 23. 與下一篇的接口

本文得到：

$$
0<g<h_p
$$

時 substrate 已釋放，但 operational crossing 尚未形成。

這立刻留下問題：

> 那些尚未閉合成 freedom 的 constituents 到底承載了什麼？

Paper 03 將把 gap 從單一連續區段推廣到任意 released subset：

$$
A\subseteq W.
$$

並建立：

$$
C_h(A)
=
\sum_{J\in\mathcal W_h}
\mathbf 1[J\subseteq A],
$$

以及：

$$
d_q(A)
=
\min_{G\in\mathcal G_q}
|G\setminus A|.
$$

由此研究：

- cooperative constituent information；
- Möbius / Harsanyi interaction；
- Shapley field；
- latent freedom potential；
- minimal generator hypergraph。

---

# 24. 結論

本文把 Paper 01 的靜態區分：

$$
\text{measure}
\neq
\text{freedom}
$$

推進為動態結構。

固定 direct support：

$$
wh=K
$$

並不代表 freedom 不變。

相反地：

$$
\boxed{
D_h\downarrow,
\qquad
D_v\uparrow,
\qquad
F_{\mathrm{trans}}\downarrow
}
$$

可以同時成立。

這表示 deformation 可以：

$$
\boxed{
\text{redistribute freedom}
+
\text{deplete total configuration capacity}.
}
$$

當 obstacle 接近 container boundary：

$$
\boxed{
\beta_x,\beta_y
}
$$

開始修改 counting law。

當 barrier gap 達到 probe transverse thickness：

$$
g=h_p,
$$

則：

$$
\boxed{
\text{latent freedom}
\rightarrow
\text{realized operational freedom},
}
$$

且 configuration space 發生：

$$
\boxed{
\#\pi_0:
2\rightarrow1.
}
$$

因此邊界在本文中的成熟 operational 定義是：

$$
\boxed{
\textbf{a structure that modifies admissibility laws and freedom connectivity.}
}
$$

而一句話總結本文：

$$
\boxed{
\textbf{Freedom is not merely lost or preserved; it can be transported across channels and can change regime at boundaries.}
}
$$

中文：

> **自由度不只是被保留或被消耗；它可以在不同 channel 間傳輸，並在邊界上改變其合法作用規則。**

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# Appendix A. 核心公式

Interior counts：

$$
I_h=h(w+L-1),
$$

$$
I_v=w(h+L-1).
$$

Directional anisotropy：

$$
D_v-D_h
=
\frac{(L-1)(w-h)}
{N(N-L+1)}.
$$

Boundary-clipped counts：

$$
I_h=h\,c_x,
$$

$$
I_v=w\,c_y.
$$

Clipping deficits：

$$
\beta_x=(w+L-1)-c_x,
$$

$$
\beta_y=(h+L-1)-c_y.
$$

Boundary-corrected anisotropy：

$$
I_v-I_h
=
(L-1)(w-h)
+
h\beta_x
-
w\beta_y.
$$

Gap capacity：

$$
C_{\mathrm{ap}}(g;P)
=
\max(0,g-h_p+1).
$$

Cross-barrier placements：

$$
N_{\mathrm{cross}}
=
w_p C_{\mathrm{ap}}.
$$

Critical gap：

$$
g_c(P)=h_p.
$$

Gap deficit：

$$
\delta_P(g)
=
\max(0,h_p-g).
$$

---

# Appendix B. Formal Status

**解析定理：**

- Theorem 4.1；
- Theorem 5.1；
- Theorem 7.1；
- Theorem 11.1；
- Theorem 13.1；
- Corollaries 4.2、5.2、6.1、8.1、12.1、16.1。

**Computational audit only：**

- finite parameter sweeps；
- example counts；
- BFS connectivity cross-checks。

**尚未宣稱：**

- arbitrary rotation theorem；
- arbitrary curved barrier theorem；
- continuous physical-space theorem；
- general topological phase-transition universality；
- universal freedom conservation law。