E7 2D Generator Complex：圓、方、不規則形狀的二維自由生成結構

E7 2D Generator Complex: Two-Dimensional Freedom Generators for Disk, Square, and Irregular Shapes

版本： v0.1
日期： 2026-10-02
前置： E0–E6
狀態： 2D exact finite generator construction + cross-resolution convergence test

作者： Neo.K
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司

摘要

E6 已在一維 aperture family 中得到：

\mathcal H_{q,N} \rightsquigarrow \mathcal H_q^\infty.

E7 把這套結構重新帶回最初真正關心的二維問題。

在：

X_N=\{0,\ldots,N-1\}^2,

其中：

N\in\{32,64,128\},

建立三種等直接支撐 probe：

disk-like；
square；
irregular star。

每種 probe 都精確滿足：

K_N = \left(\frac N4\right)^2,

所以：

\boxed{ \frac{K_N}{N^2} = \frac1{16} }

在所有 shape 與 resolution 都完全相同。

對 probe $P$ ，每一個合法 translation / orientation placement：

gP\subseteq X_N

本身就是一個 minimal generator。

因此 E7 定義真正的二維 generator complex：

\boxed{ \mathcal G_{P,N} = \{ gP: g\in\mathsf{SE}_{\mathbb Z^2}^{(90^\circ)}, \; gP\subseteq X_N \}. }

這裡只使用 integer translation 與 $90^\circ$ rotations；尚未加入任意連續角度。

E7 得到：

等直接支撐的三種 probe 產生不同 generator-complex density；
square 的 dyadic refinement 完全 exact；
disk-like 與 irregular 的 fine/coarse shape discrepancy 隨 resolution 減少；
三種 shape 的 generator-capacity field 都呈現跨解析度收斂；
2D generator overlap 自然形成 shape-dependent covariogram；
square covariogram 有 exact closed form；
circle / square / irregular 的差異因此可以被重新表達成 generator complex 的差異，而不是只比較面積。

1. 二維 Minimal Generator

給定 probe：

P\subseteq\mathbb Z^2,

其一個合法 placement：

G_{r,t} = rP+t

只要：

G_{r,t}\subseteq X_N,

就是一個 freedom generator。

若所有 placements 都保持同一個：

|G_{r,t}|=K_N,

則沒有 generator 可以真包含另一個同 cardinality generator。

因此所有 distinct legal placements 都是 minimal。

這使：

\boxed{ \mathcal H_{P,N} = (X_N,\mathcal G_{P,N}) }

成為一個真正的二維 hypergraph。

2. 等面積控制

$N=64$ ：

shape	$K$	site occupancy	bbox	unique rotations	generators	generator density
disk_like	256	0.062500	18x18	1	2209	0.539307
square	256	0.062500	16x16	1	2401	0.586182
irregular_star	256	0.062500	21x21	4	7744	0.472656

三種 shape 全部：

K=256,

因此：

\eta_{\mathrm{site}} = \frac{256}{4096} = \frac1{16}.

但：

bounding geometry 不同；
orientation count 不同；
legal placement 數不同；
generator density 不同。

因此 E0 的：

\text{same measure} \not\Rightarrow \text{same freedom occupancy}

現在已經被提升成：

\boxed{ \text{same hyperedge cardinality} \not\Rightarrow \text{same generator complex}. }

3. Rotation 進入 Generator Complex

square 在 $90^\circ$ rotations 下只有一個 unique orientation。

本輪 disk-like 被特別構造成 exact $C_4$ digital symmetry，所以也只有一個 unique orientation。

irregular star 則一般具有：

4

個 distinct orientations。

因此 irregular shape 的 generator complex 不只由 translation 構成，還包含 orientation layer：

\boxed{ \mathcal G = \bigcup_r \mathcal G^{(r)}. }

所以 rotation freedom 不是額外附註，而直接增加 generator family。

4. 2D Generator Overlap Kernel

一維 E6 有：

K_\alpha(\delta) = \max(0,\alpha-\delta).

二維自然推廣成 shape covariogram：

\boxed{ K_P(\Delta) = \mu( P\cap(P+\Delta) ). }

離散模型使用：

\boxed{ K_{P,N}(\Delta) = \frac{ |P_N\cap(P_N+\Delta_N)| }{N^2}. }

$N=128$ 的部分結果：

shape	$(\delta_x,\delta_y)$	overlap/container
disk_like	(0.0000, 0.0000)	0.062500
disk_like	(0.0625, 0.0000)	0.044922
disk_like	(0.0625, 0.0625)	0.037964
disk_like	(0.1250, 0.0000)	0.028442
square	(0.0000, 0.0000)	0.062500
square	(0.0625, 0.0000)	0.046875
square	(0.0625, 0.0625)	0.035156
square	(0.1250, 0.0000)	0.031250
irregular_star	(0.0000, 0.0000)	0.062500
irregular_star	(0.0625, 0.0000)	0.042053
irregular_star	(0.0625, 0.0625)	0.036377
irregular_star	(0.1250, 0.0000)	0.027344

這直接顯示：

\boxed{ \text{equal area} \not\Rightarrow \text{equal overlap kernel}. }

generator 之間如何互相重疊，本身就是額外的 relational information。

5. Square 的 exact 2D kernel

square physical side：

a=\frac14.

若 normalized displacement 為：

(\delta_x,\delta_y),

則：

\boxed{ K_\square(\delta_x,\delta_y) = \max(0,a-|\delta_x|) \max(0,a-|\delta_y|). }

因本實驗的 shifts 都與 grid 對齊，離散 square 在所有：

N=32,64,128

上都 exact 滿足此式。

所以 E6 的一維 triangular kernel 在二維 square 中變成 separable product kernel。

6. Disk 與 irregular 的 kernel

disk-like 與 irregular star 沒有使用 square 的 closed form。

它們直接由 finite support intersection 計算。

對固定 physical displacement：

\Delta,

不同 resolution 的：

K_{P,N}(\Delta)

逐漸穩定。

這表示 shape-dependent generator covariogram 是一個比單純：

|P|

更細的 cross-resolution descriptor。

對 disk 的連續極限，預期會接近兩等半徑 disk 的 overlap-area function；本輪未把該 closed form 當成驗證前提。

7. Dyadic Refinement

把 coarse cell 展成：

2\times2

fine cells：

E_2(P_N).

再與 independently reconstructed：

P_{2N}

比較。

結果：

shape	$32\to64$ symdiff/ $K$	$64\to128$ symdiff/ $K$	$32\to64$ Jaccard	$64\to128$ Jaccard
disk_like	0.125000	0.039062	0.882353	0.961686
square	0.000000	0.000000	1.000000	1.000000
irregular_star	0.140625	0.062500	0.868613	0.939394

square：

\boxed{ E_2(P_N)=P_{2N} }

完全 exact。

disk-like 與 irregular 因 digital boundary reconstruction 不會逐格完全一致，但：

\boxed{ \frac{ |E_2(P_N)\triangle P_{2N}| }{ |P_{2N}| } }

隨 refinement 降低。

這表示 discrepancy 主要落在 boundary-order，而不是 bulk-area-order。

8. 這是 2D 的 Representation / Substrate Separation

square 的 coarse → fine 可以完全由 constituent splitting 生成。

disk / irregular 則需要重新判定哪些 fine constituents 落入 shape。

所以：

\boxed{ \text{refinement of carrier} \neq \text{mere duplication of geometric boundary}. }

但 bulk occupancy 與 generator kernels 仍可趨於穩定。

這說明二維 continuum object 不必要求：

每一層 lattice boundary 都逐格同一。

真正需要的是某些 normalized relational quantities 收斂。

9. Generator Capacity Field

定義：

C_{P,N}(x) = \frac{ \#\{ G\in\mathcal G_{P,N}:x\in G \} }{ |\mathcal G_{P,N}| }.

它回答：

如果從所有 legal placements 均勻抽一個 generator，substrate constituent $x$ 被該 generator 佔用的比例是多少？

這是 E3 constituent influence field 的二維 placement-space 版本。

對 $2N$ field 做：

2\times2

block average，再與 $N$ field 比較。

結果：

shape	$32\to64$ L1 field error	$64\to128$ L1 field error	finer/coarser ratio
disk_like	0.00269939	0.00124849	0.4625
square	0.00226772	0.00118038	0.5205
irregular_star	0.00236693	0.00120573	0.5094

三種 shape 的平均誤差都隨 refinement 下降。

因此：

\boxed{ C_{P,N} \rightarrow C_P^\infty }

至少在本輪數值／離散序列上具有清楚的 convergence evidence。

這仍不是一般連續極限定理。

10. Capacity Field 的意義

若 container 無邊界，translation symmetry 會讓 field 均勻。

但有限 container 使靠近 boundary 的 constituents 參與較少 placements。

因此：

C_{P,N}(x)

同時編碼：

probe geometry；
container boundary；
translation freedom。

也就是它天然是一個：

\boxed{ O-\partial }

coupled field。

所以 SOBTA 的：

\tau_{O\partial}

在二維 generator complex 中可以直接投影到這種 boundary-induced placement asymmetry。

11. Circle、Square、Irregular 到底差在哪？

E7 之後，可以把問題改寫。

不再只問：

三個 shape 面積是否一樣？

而是比較：

\boxed{ \mathfrak S(P) = ( |P|, \mathcal G_P, K_P, C_P, R_P ) }

其中：

$|P|$ ：direct support；
$\mathcal G_P$ ：placement generator family；
$K_P$ ：generator covariogram；
$C_P$ ：capacity field；
$R_P$ ：orientation structure。

所以 circle / square / irregular 是不同：

\boxed{ \text{2D generator-complex signatures}. }

這比「圓與方佔多少面積」多保留非常多 freedom information。

12. 與 E4/E5 的 Generator Quotient 接口

E5 使用：

[\mathcal H_q]_{\cong}

處理 finite hypergraphs。

E7 現在表明，在二維與跨 resolution 情況，單一 finite quotient 還不夠。

更完整的 object 可能是：

\boxed{ \mathfrak C_P = \left( \{ \mathcal H_{P,N} \}_N, \{ r_{2N\to N} \}, K_P, C_P \right). }

也就是：

一族 resolution-indexed generator complexes；
refinement relation；
overlap kernel；
constituent capacity field。

這已經開始比單一 hypergraph 更像一個真正的 generator complex system。

13. ACTM-style audit

由：

P_N \rightarrow P_{2N}

可分：

Preserve

\frac{|P_N|}{N^2} = \frac1{16}.

Preserve exactly for square

dyadic support refinement。

Approximate / converge for disk and irregular

boundary reconstruction。

Preserve / converge relationally

K_{P,N} \rightarrow K_P,

C_{P,N} \rightarrow C_P.

Expand

generator count 與 constituent count。

因此 refinement 不只是換更細 pixel，而是在保持部分不變量的同時擴張 generator complex。

14. E7 Verdict

E7 得到：

\boxed{ \text{equal direct occupancy} \not\Rightarrow \text{equal 2D generator complex}. }

而且：

\boxed{ \text{2D generator overlap} + \text{capacity field} }

在 refinement 下呈現穩定／收斂結構。

square 提供 exact dyadic control；

disk-like 與 irregular 則顯示 boundary approximation error 隨 resolution 減少。

因此：

\boxed{\mathrm{E7\ PASS}}.

但本輪仍限制在：

lattice translation；
$90^\circ$ rotations；
無障礙矩形外容器；
三種特定 probe family。

15. 這次可以停下來重整系列了

E0–E7 已經不是零散實驗。

目前主鏈可以整理成：

\boxed{ \begin{aligned} \text{Occupancy Separation} &\rightarrow \text{Freedom Transport}\\ &\rightarrow \text{Threshold / Escape}\\ &\rightarrow \text{Cooperative Fiber Algebra}\\ &\rightarrow \text{Latent Potential}\\ &\rightarrow \text{Generator Quotient}\\ &\rightarrow \text{Cross-Resolution Limit}\\ &\rightarrow \text{2D Generator Complex}. \end{aligned} }

到這裡最自然的下一步不再是 E8。

而是把整套研究重新拆成正式論文系列，區分：

基礎定義／空間資訊佔據；
freedom transport；
cooperative constituent algebra；
generator quotient 與 representation invariant；
refinement / continuum limit；
2D geometry applications。

之後再決定哪些需要繼續做更深的 E-series 作 supporting experiments。

Reproducibility

E7_2d_generator_complex.py
E7_shape_summary.csv
E7_overlap_kernel.csv
E7_refinement.csv
E7_capacity_field_convergence.csv
E7_rotation_generator_stats.csv
images/
manifest.json

全部 direct-support equality 與 square exact-kernel / exact-refinement gates 均以 assertions 驗證。