# E7 2D Generator Complex：圓、方、不規則形狀的二維自由生成結構

## E7 2D Generator Complex: Two-Dimensional Freedom Generators for Disk, Square, and Irregular Shapes

**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-10-02  
**前置：** E0–E6  
**狀態：** 2D exact finite generator construction + cross-resolution convergence test

**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  

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## 摘要

E6 已在一維 aperture family 中得到：

$$
\mathcal H_{q,N}
\rightsquigarrow
\mathcal H_q^\infty.
$$

E7 把這套結構重新帶回最初真正關心的二維問題。

在：

$$
X_N=\{0,\ldots,N-1\}^2,
$$

其中：

$$
N\in\{32,64,128\},
$$

建立三種等直接支撐 probe：

- disk-like；
- square；
- irregular star。

每種 probe 都精確滿足：

$$
K_N
=
\left(\frac N4\right)^2,
$$

所以：

$$
\boxed{
\frac{K_N}{N^2}
=
\frac1{16}
}
$$

在所有 shape 與 resolution 都完全相同。

對 probe $P$，每一個合法 translation / orientation placement：

$$
gP\subseteq X_N
$$

本身就是一個 minimal generator。

因此 E7 定義真正的二維 generator complex：

$$
\boxed{
\mathcal G_{P,N}
=
\{
gP:
g\in\mathsf{SE}_{\mathbb Z^2}^{(90^\circ)},
\;
gP\subseteq X_N
\}.
}
$$

這裡只使用 integer translation 與 $90^\circ$ rotations；尚未加入任意連續角度。

E7 得到：

1. 等直接支撐的三種 probe 產生不同 generator-complex density；
2. square 的 dyadic refinement 完全 exact；
3. disk-like 與 irregular 的 fine/coarse shape discrepancy 隨 resolution 減少；
4. 三種 shape 的 generator-capacity field 都呈現跨解析度收斂；
5. 2D generator overlap 自然形成 shape-dependent covariogram；
6. square covariogram 有 exact closed form；
7. circle / square / irregular 的差異因此可以被重新表達成 generator complex 的差異，而不是只比較面積。

---

# 1. 二維 Minimal Generator

給定 probe：

$$
P\subseteq\mathbb Z^2,
$$

其一個合法 placement：

$$
G_{r,t}
=
rP+t
$$

只要：

$$
G_{r,t}\subseteq X_N,
$$

就是一個 freedom generator。

若所有 placements 都保持同一個：

$$
|G_{r,t}|=K_N,
$$

則沒有 generator 可以真包含另一個同 cardinality generator。

因此所有 distinct legal placements 都是 minimal。

這使：

$$
\boxed{
\mathcal H_{P,N}
=
(X_N,\mathcal G_{P,N})
}
$$

成為一個真正的二維 hypergraph。

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# 2. 等面積控制

 $N=64$：

| shape | $K$ | site occupancy | bbox | unique rotations | generators | generator density |
| --- | ---: | ---: | --- | ---: | ---: | ---: |
| disk_like | 256 | 0.062500 | 18x18 | 1 | 2209 | 0.539307 |
| square | 256 | 0.062500 | 16x16 | 1 | 2401 | 0.586182 |
| irregular_star | 256 | 0.062500 | 21x21 | 4 | 7744 | 0.472656 |


三種 shape 全部：

$$
K=256,
$$

因此：

$$
\eta_{\mathrm{site}}
=
\frac{256}{4096}
=
\frac1{16}.
$$

但：

- bounding geometry 不同；
- orientation count 不同；
- legal placement 數不同；
- generator density 不同。

因此 E0 的：

$$
\text{same measure}
\not\Rightarrow
\text{same freedom occupancy}
$$

現在已經被提升成：

$$
\boxed{
\text{same hyperedge cardinality}
\not\Rightarrow
\text{same generator complex}.
}
$$

---

# 3. Rotation 進入 Generator Complex

square 在 $90^\circ$ rotations 下只有一個 unique orientation。

本輪 disk-like 被特別構造成 exact $C_4$ digital symmetry，所以也只有一個 unique orientation。

irregular star 則一般具有：

$$
4
$$

個 distinct orientations。

因此 irregular shape 的 generator complex 不只由 translation 構成，還包含 orientation layer：

$$
\boxed{
\mathcal G
=
\bigcup_r
\mathcal G^{(r)}.
}
$$

所以 rotation freedom 不是額外附註，而直接增加 generator family。

---

# 4. 2D Generator Overlap Kernel

一維 E6 有：

$$
K_\alpha(\delta)
=
\max(0,\alpha-\delta).
$$

二維自然推廣成 shape covariogram：

$$
\boxed{
K_P(\Delta)
=
\mu(
P\cap(P+\Delta)
).
}
$$

離散模型使用：

$$
\boxed{
K_{P,N}(\Delta)
=
\frac{
|P_N\cap(P_N+\Delta_N)|
}{N^2}.
}
$$

 $N=128$ 的部分結果：

| shape | $(\delta_x,\delta_y)$ | overlap/container |
| --- | --- | ---: |
| disk_like | (0.0000, 0.0000) | 0.062500 |
| disk_like | (0.0625, 0.0000) | 0.044922 |
| disk_like | (0.0625, 0.0625) | 0.037964 |
| disk_like | (0.1250, 0.0000) | 0.028442 |
| square | (0.0000, 0.0000) | 0.062500 |
| square | (0.0625, 0.0000) | 0.046875 |
| square | (0.0625, 0.0625) | 0.035156 |
| square | (0.1250, 0.0000) | 0.031250 |
| irregular_star | (0.0000, 0.0000) | 0.062500 |
| irregular_star | (0.0625, 0.0000) | 0.042053 |
| irregular_star | (0.0625, 0.0625) | 0.036377 |
| irregular_star | (0.1250, 0.0000) | 0.027344 |


這直接顯示：

$$
\boxed{
\text{equal area}
\not\Rightarrow
\text{equal overlap kernel}.
}
$$

generator 之間如何互相重疊，本身就是額外的 relational information。

---

# 5. Square 的 exact 2D kernel

square physical side：

$$
a=\frac14.
$$

若 normalized displacement 為：

$$
(\delta_x,\delta_y),
$$

則：

$$
\boxed{
K_\square(\delta_x,\delta_y)
=
\max(0,a-|\delta_x|)
\max(0,a-|\delta_y|).
}
$$

因本實驗的 shifts 都與 grid 對齊，離散 square 在所有：

$$
N=32,64,128
$$

上都 exact 滿足此式。

所以 E6 的一維 triangular kernel 在二維 square 中變成 separable product kernel。

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# 6. Disk 與 irregular 的 kernel

disk-like 與 irregular star 沒有使用 square 的 closed form。

它們直接由 finite support intersection 計算。

對固定 physical displacement：

$$
\Delta,
$$

不同 resolution 的：

$$
K_{P,N}(\Delta)
$$

逐漸穩定。

這表示 shape-dependent generator covariogram 是一個比單純：

$$
|P|
$$

更細的 cross-resolution descriptor。

對 disk 的連續極限，預期會接近兩等半徑 disk 的 overlap-area function；本輪未把該 closed form 當成驗證前提。

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# 7. Dyadic Refinement

把 coarse cell 展成：

$$
2\times2
$$

fine cells：

$$
E_2(P_N).
$$

再與 independently reconstructed：

$$
P_{2N}
$$

比較。

結果：

| shape | $32\to64$ symdiff/ $K$ | $64\to128$ symdiff/ $K$ | $32\to64$ Jaccard | $64\to128$ Jaccard |
| --- | ---: | ---: | ---: | ---: |
| disk_like | 0.125000 | 0.039062 | 0.882353 | 0.961686 |
| square | 0.000000 | 0.000000 | 1.000000 | 1.000000 |
| irregular_star | 0.140625 | 0.062500 | 0.868613 | 0.939394 |


square：

$$
\boxed{
E_2(P_N)=P_{2N}
}
$$

完全 exact。

disk-like 與 irregular 因 digital boundary reconstruction 不會逐格完全一致，但：

$$
\boxed{
\frac{
|E_2(P_N)\triangle P_{2N}|
}{
|P_{2N}|
}
}
$$

隨 refinement 降低。

這表示 discrepancy 主要落在 boundary-order，而不是 bulk-area-order。

---

# 8. 這是 2D 的 Representation / Substrate Separation

square 的 coarse → fine 可以完全由 constituent splitting 生成。

disk / irregular 則需要重新判定哪些 fine constituents 落入 shape。

所以：

$$
\boxed{
\text{refinement of carrier}
\neq
\text{mere duplication of geometric boundary}.
}
$$

但 bulk occupancy 與 generator kernels 仍可趨於穩定。

這說明二維 continuum object 不必要求：

> 每一層 lattice boundary 都逐格同一。

真正需要的是某些 normalized relational quantities 收斂。

---

# 9. Generator Capacity Field

定義：

$$
C_{P,N}(x)
=
\frac{
\#\{
G\in\mathcal G_{P,N}:x\in G
\}
}{
|\mathcal G_{P,N}|
}.
$$

它回答：

> 如果從所有 legal placements 均勻抽一個 generator，substrate constituent $x$ 被該 generator 佔用的比例是多少？

這是 E3 constituent influence field 的二維 placement-space 版本。

對 $2N$ field 做：

$$
2\times2
$$

block average，再與 $N$ field 比較。

結果：

| shape | $32\to64$ L1 field error | $64\to128$ L1 field error | finer/coarser ratio |
| --- | ---: | ---: | ---: |
| disk_like | 0.00269939 | 0.00124849 | 0.4625 |
| square | 0.00226772 | 0.00118038 | 0.5205 |
| irregular_star | 0.00236693 | 0.00120573 | 0.5094 |


三種 shape 的平均誤差都隨 refinement 下降。

因此：

$$
\boxed{
C_{P,N}
\rightarrow
C_P^\infty
}
$$

至少在本輪數值／離散序列上具有清楚的 convergence evidence。

這仍不是一般連續極限定理。

---

# 10. Capacity Field 的意義

若 container 無邊界，translation symmetry 會讓 field 均勻。

但有限 container 使靠近 boundary 的 constituents 參與較少 placements。

因此：

$$
C_{P,N}(x)
$$

同時編碼：

- probe geometry；
- container boundary；
- translation freedom。

也就是它天然是一個：

$$
\boxed{
O-\partial
}
$$

coupled field。

所以 SOBTA 的：

$$
\tau_{O\partial}
$$

在二維 generator complex 中可以直接投影到這種 boundary-induced placement asymmetry。

---

# 11. Circle、Square、Irregular 到底差在哪？

E7 之後，可以把問題改寫。

不再只問：

> 三個 shape 面積是否一樣？

而是比較：

$$
\boxed{
\mathfrak S(P)
=
(
|P|,
\mathcal G_P,
K_P,
C_P,
R_P
)
}
$$

其中：

- $|P|$：direct support；
- $\mathcal G_P$：placement generator family；
- $K_P$：generator covariogram；
- $C_P$：capacity field；
- $R_P$：orientation structure。

所以 circle / square / irregular 是不同：

$$
\boxed{
\text{2D generator-complex signatures}.
}
$$

這比「圓與方佔多少面積」多保留非常多 freedom information。

---

# 12. 與 E4/E5 的 Generator Quotient 接口

E5 使用：

$$
[\mathcal H_q]_{\cong}
$$

處理 finite hypergraphs。

E7 現在表明，在二維與跨 resolution 情況，單一 finite quotient 還不夠。

更完整的 object 可能是：

$$
\boxed{
\mathfrak C_P
=
\left(
\{
\mathcal H_{P,N}
\}_N,
\{
r_{2N\to N}
\},
K_P,
C_P
\right).
}
$$

也就是：

- 一族 resolution-indexed generator complexes；
- refinement relation；
- overlap kernel；
- constituent capacity field。

這已經開始比單一 hypergraph 更像一個真正的 **generator complex system**。

---

# 13. ACTM-style audit

由：

$$
P_N
\rightarrow
P_{2N}
$$

可分：

### Preserve

$$
\frac{|P_N|}{N^2}
=
\frac1{16}.
$$

### Preserve exactly for square

dyadic support refinement。

### Approximate / converge for disk and irregular

boundary reconstruction。

### Preserve / converge relationally

$$
K_{P,N}
\rightarrow
K_P,
$$

$$
C_{P,N}
\rightarrow
C_P.
$$

### Expand

generator count 與 constituent count。

因此 refinement 不只是換更細 pixel，而是在保持部分不變量的同時擴張 generator complex。

---

# 14. E7 Verdict

E7 得到：

$$
\boxed{
\text{equal direct occupancy}
\not\Rightarrow
\text{equal 2D generator complex}.
}
$$

而且：

$$
\boxed{
\text{2D generator overlap}
+
\text{capacity field}
}
$$

在 refinement 下呈現穩定／收斂結構。

square 提供 exact dyadic control；

disk-like 與 irregular 則顯示 boundary approximation error 隨 resolution 減少。

因此：

$$
\boxed{\mathrm{E7\ PASS}}.
$$

但本輪仍限制在：

- lattice translation；
- $90^\circ$ rotations；
- 無障礙矩形外容器；
- 三種特定 probe family。

---

# 15. 這次可以停下來重整系列了

E0–E7 已經不是零散實驗。

目前主鏈可以整理成：

$$
\boxed{
\begin{aligned}
\text{Occupancy Separation}
&\rightarrow
\text{Freedom Transport}\\
&\rightarrow
\text{Threshold / Escape}\\
&\rightarrow
\text{Cooperative Fiber Algebra}\\
&\rightarrow
\text{Latent Potential}\\
&\rightarrow
\text{Generator Quotient}\\
&\rightarrow
\text{Cross-Resolution Limit}\\
&\rightarrow
\text{2D Generator Complex}.
\end{aligned}
}
$$

到這裡最自然的下一步不再是 E8。

而是把整套研究重新拆成正式論文系列，區分：

1. 基礎定義／空間資訊佔據；
2. freedom transport；
3. cooperative constituent algebra；
4. generator quotient 與 representation invariant；
5. refinement / continuum limit；
6. 2D geometry applications。

之後再決定哪些需要繼續做更深的 E-series 作 supporting experiments。

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## Reproducibility

- `E7_2d_generator_complex.py`
- `E7_shape_summary.csv`
- `E7_overlap_kernel.csv`
- `E7_refinement.csv`
- `E7_capacity_field_convergence.csv`
- `E7_rotation_generator_stats.csv`
- `images/`
- `manifest.json`

全部 direct-support equality 與 square exact-kernel / exact-refinement gates 均以 assertions 驗證。