E1 Freedom Transport：等面積矩形的方向自由度傳輸與邊界逃逸

E1 Freedom Transport: Equal-Area Rectangles, Directional Redistribution, and Boundary Escape

版本： v0.1
日期： 2026-10-02
前置： E0 Minimal Lattice Experiment
狀態： Exact finite law / ACTM-style operator audit

作者： Neo.K
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司

摘要

E0 已建立：

\text{same site occupancy} \not\Rightarrow \text{same freedom occupancy signature}.

E1 不再比較任意不同形狀，而固定直接支撐量，建立一條單參數 operator path：

O_0 \xrightarrow{T} O_1 \xrightarrow{T} O_2 \xrightarrow{T} O_3 \xrightarrow{T} O_4,

其中每一步保持：

wh=K

但提高：

\frac{w}{h}.

核心結果有兩個。

第一，在尚未碰到 probe-induced container boundary 前，存在 exact interior transport law：

\boxed{ D_v-D_h = \frac{(L-1)(w-h)}{N(N-L+1)}. }

第二，單向 translation freedom 亦滿足：

\boxed{ F_{\mathrm{trans}} = \frac{ (N+1)^2+K-(N+1)(w+h) }{N^2}. }

因此在固定 $K$ 下，aspect ratio 增加使 $w+h$ 增加，從而：

F_{\mathrm{trans}}\downarrow.

當最後一個狀態滿足：

w=N,

物體碰到容器左右邊界後，原 interior law 不再適用，出現非零 boundary residual。這提供一個直接的 ACTM 式：

\boxed{ \text{closure} \rightarrow \text{escape}. }

1. Operator path

在基準 $N=64$ 下使用五個 exact equal-area rectangles：

24\times24,

32\times18,

36\times16,

48\times12,

64\times9.

全部滿足：

wh=576.

解析度提高到：

N=128,256

時，長寬同比例放大，所以：

\frac{K}{N^2} = \frac{576}{4096} = \frac{9}{64} = 0.140625

在所有解析度與所有狀態完全不變。

2. Extended probe definitions

令 probe 長度：

L=\frac{N}{8}.

horizontal probe：

P_h=L\times1,

vertical probe：

P_v=1\times L.

空容器兩者合法 translation anchor 數相同：

Q=N(N-L+1).

定義：

D_h=\frac{I_h}{Q}, \qquad D_v=\frac{I_v}{Q}.

3. Interior closure class

只要 obstacle 的 probe-Minkowski expansion 尚未碰到容器邊界：

\boxed{ I_h=h(w+L-1), }

以及：

\boxed{ I_v=w(h+L-1). }

相減：

I_v-I_h = w(h+L-1)-h(w+L-1),

所以：

\boxed{ I_v-I_h=(L-1)(w-h). }

除以 $Q$ ：

\boxed{ D_v-D_h = \frac{(L-1)(w-h)}{N(N-L+1)}. }

這是 E1 第一個 exact freedom-transport law。

4. 為什麼這是 transport，而不只是 correlation

固定：

wh=K,

而讓 aspect ratio 增加，則：

w\uparrow, \qquad h\downarrow.

E1 interior path exact 驗證：

D_h\downarrow,

同時：

D_v\uparrow.

也就是：

\boxed{ \text{horizontal channel releases freedom} + \text{vertical channel consumes freedom}. }

在 $N=64$ ：

state	w	h	aspect_ratio	site_occ	D_h	D_v	A_v_minus_h	F_trans	probe_interior
R0_square	24	24	1.000000	0.140625	0.203947	0.203947	0.000000	0.410400	True
R1	32	18	1.777778	0.140625	0.192434	0.219298	0.026864	0.378662	True
R2	36	16	2.250000	0.140625	0.188596	0.226974	0.038377	0.346924	True
R3	48	12	4.000000	0.140625	0.180921	0.250000	0.069079	0.219971	True
R4_boundary	64	9	7.111111	0.140625	0.140625	0.280702	0.140077	0.013672	False

由 $R0$ 到 $R3$ ：

D_h: 0.203947 \rightarrow 0.180921,

而：

D_v: 0.203947 \rightarrow 0.250000.

anisotropy：

A=D_v-D_h

由：

0.000000

增加到：

0.069079.

5. Translation freedom 的 exact law

對不允許旋轉、只考察 translation 的 $w\times h$ rectangle：

P=(N-w+1)(N-h+1).

展開：

P = (N+1)^2 - (N+1)(w+h) + wh.

固定：

wh=K

後：

\boxed{ P = (N+1)^2 + K - (N+1)(w+h). }

因此：

\boxed{ F_{\mathrm{trans}} = \frac{ (N+1)^2+K-(N+1)(w+h) }{N^2}. }

對固定乘積：

wh=K,

AM-GM 給出：

w+h\ge2\sqrt K,

等號只在：

w=h=\sqrt K

成立。

所以在這個離散 translation model 中，正方形最大化 fixed-area rectangle 的 translation freedom。

$N=64$ 時：

F_{\mathrm{trans}}(R0)=0.410400,

而：

F_{\mathrm{trans}}(R3)=0.219971.

6. Freedom transport vector

E1 暫定：

\mathbf F = \left( 1-D_h, 1-D_v, F_{\mathrm{trans}} \right).

單步：

T_i: O_i\rightarrow O_{i+1}

誘導：

\Delta_T\mathbf F = \left( -\Delta D_h, -\Delta D_v, \Delta F_{\mathrm{trans}} \right).

在 interior stretch path：

-\Delta D_h>0,

-\Delta D_v<0,

\Delta F_{\mathrm{trans}}<0.

所以它不是單純 freedom conservation，而是：

\boxed{ \text{channel redistribution} + \text{net placement depletion}. }

7. Boundary saturation：closure law 的失效點

$R0$ 到 $R3$ 都滿足 probe-interior condition，核心公式逐筆以 integer assertion 驗證。

但 $R4$ ：

w=N

使 obstacle 直接碰到左右容器邊界。

此時 naive interior continuation 會計入容器外的 probe anchors，因此需要 clipping。

所以：

\boxed{ \text{Interior Transport Law} \not\Rightarrow \text{Boundary-Saturated Transport Law}. }

在 $N=64$ ：

D_h(R4)=0.140625,

D_v(R4)=0.280702.

boundary residual：

R_h=-126,

R_v=0,

以及 anisotropy residual：

R_A=126.

這可以寫成 ACTM 式：

\mathcal K_{\mathrm{interior}} \xrightarrow{T} \mathcal K_{\mathrm{boundary}},

且：

T(O_3) \notin \mathcal K_{\mathrm{interior}}.

8. SOBTA：邊界第一次成為 exact law 的變量

E1 使：

\tau_{O\partial}

有直接操作意義。

在 $R0$ 到 $R3$ ，容器邊界尚未修改 probe placement counting law。

到了 $R4$ ：

w=N,

客體與容器邊界共同決定 admissible anchor set。

因此觀察量不再只是：

f(O),

而必須寫成：

\boxed{ f(O,\partial\mathfrak C). }

所以這裡的「邊」不是輪廓附註，而是 admissibility law 改變的來源。

9. 跨解析度 exactness

所有核心 identities 在：

N=64,128,256

都通過。

對全部 interior states：

I_v-I_h=(L-1)(w-h)

逐筆 exact PASS。

translation count：

P=(N+1)^2+K-(N+1)(w+h)

也逐筆 exact PASS。

因此 E1 比 E0 的 empirical scaling 更強：這次不是只看到穩定趨勢，而是得到可解釋且跨縮放族保持的 finite combinatorial law。

10. ACTM-style audit

對：

T_{\mathrm{stretch}}: (w,h)\mapsto(w',h'),

且：

wh=w'h'=K,

E1 得到：

Preserve：

K, \qquad \eta_{\mathrm{site}}.

Redistribute：

D_h, \qquad D_v.

Compress：

F_{\mathrm{trans}}.

Release：

D_h\downarrow.

Consume：

D_v\uparrow.

Escape：

當：

w=N

時，離開 probe-interior closure class。

因此：

\boxed{ T_{\mathrm{stretch}} : \text{preserve} + \text{redistribute} + \text{compress} + \text{eventual escape}. }

11. E1 Verdict

E1 的核心結果是：

\boxed{ \text{fixed direct occupancy} + \text{controlled deformation} \Rightarrow \text{exact freedom transport laws}. }

並且：

\boxed{ \text{boundary} = \text{change of admissibility law} }

在這個 finite model 中得到實際驗證。

因此：

\boxed{\mathrm{E1\ PASS}}

但此判定只限本文定義的 axis-aligned finite translation/probe model。

12. 下一個自然實驗

E1 已完成：

\text{support-preserving deformation} \rightarrow \text{freedom transport}.

下一輪最自然的是：

\boxed{ E2: \text{boundary opening / gap operator}. }

從 full barrier 開一個很小的 gap：

B_0 \xrightarrow{G_1} B_1 \xrightarrow{G_2} \cdots

觀察只增加少量 free sites 的局部 operator，何時造成：

\boxed{ \text{global connectivity phase transition}. }

這將直接研究「空白中的無形資訊纖維面」如何因極小局部變動發生非局部重構。

Reproducibility

E1_freedom_transport.py
E1_results.csv
E1_boundary_residuals.csv
images/
manifest.json

所有核心公式均以 integer-count assertions 驗證。