# E1 Freedom Transport：等面積矩形的方向自由度傳輸與邊界逃逸

## E1 Freedom Transport: Equal-Area Rectangles, Directional Redistribution, and Boundary Escape

**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-10-02  
**前置：** E0 Minimal Lattice Experiment  
**狀態：** Exact finite law / ACTM-style operator audit

**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  

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## 摘要

E0 已建立：

$$
\text{same site occupancy}
\not\Rightarrow
\text{same freedom occupancy signature}.
$$

E1 不再比較任意不同形狀，而固定直接支撐量，建立一條單參數 operator path：

$$
O_0
\xrightarrow{T}
O_1
\xrightarrow{T}
O_2
\xrightarrow{T}
O_3
\xrightarrow{T}
O_4,
$$

其中每一步保持：

$$
wh=K
$$

但提高：

$$
\frac{w}{h}.
$$

核心結果有兩個。

第一，在尚未碰到 probe-induced container boundary 前，存在 exact interior transport law：

$$
\boxed{
D_v-D_h
=
\frac{(L-1)(w-h)}{N(N-L+1)}.
}
$$

第二，單向 translation freedom 亦滿足：

$$
\boxed{
F_{\mathrm{trans}}
=
\frac{
(N+1)^2+K-(N+1)(w+h)
}{N^2}.
}
$$

因此在固定 $K$ 下，aspect ratio 增加使 $w+h$ 增加，從而：

$$
F_{\mathrm{trans}}\downarrow.
$$

當最後一個狀態滿足：

$$
w=N,
$$

物體碰到容器左右邊界後，原 interior law 不再適用，出現非零 boundary residual。這提供一個直接的 ACTM 式：

$$
\boxed{
\text{closure}
\rightarrow
\text{escape}.
}
$$

---

# 1. Operator path

在基準 $N=64$ 下使用五個 exact equal-area rectangles：

$$
24\times24,
$$

$$
32\times18,
$$

$$
36\times16,
$$

$$
48\times12,
$$

$$
64\times9.
$$

全部滿足：

$$
wh=576.
$$

解析度提高到：

$$
N=128,256
$$

時，長寬同比例放大，所以：

$$
\frac{K}{N^2}
=
\frac{576}{4096}
=
\frac{9}{64}
=
0.140625
$$

在所有解析度與所有狀態完全不變。

---

# 2. Extended probe definitions

令 probe 長度：

$$
L=\frac{N}{8}.
$$

horizontal probe：

$$
P_h=L\times1,
$$

vertical probe：

$$
P_v=1\times L.
$$

空容器兩者合法 translation anchor 數相同：

$$
Q=N(N-L+1).
$$

定義：

$$
D_h=\frac{I_h}{Q},
\qquad
D_v=\frac{I_v}{Q}.
$$

---

# 3. Interior closure class

只要 obstacle 的 probe-Minkowski expansion 尚未碰到容器邊界：

$$
\boxed{
I_h=h(w+L-1),
}
$$

以及：

$$
\boxed{
I_v=w(h+L-1).
}
$$

相減：

$$
I_v-I_h
=
w(h+L-1)-h(w+L-1),
$$

所以：

$$
\boxed{
I_v-I_h=(L-1)(w-h).
}
$$

除以 $Q$：

$$
\boxed{
D_v-D_h
=
\frac{(L-1)(w-h)}{N(N-L+1)}.
}
$$

這是 E1 第一個 exact freedom-transport law。

---

# 4. 為什麼這是 transport，而不只是 correlation

固定：

$$
wh=K,
$$

而讓 aspect ratio 增加，則：

$$
w\uparrow,
\qquad
h\downarrow.
$$

E1 interior path exact 驗證：

$$
D_h\downarrow,
$$

同時：

$$
D_v\uparrow.
$$

也就是：

$$
\boxed{
\text{horizontal channel releases freedom}
+
\text{vertical channel consumes freedom}.
}
$$

在 $N=64$：

| state | w | h | aspect_ratio | site_occ | D_h | D_v | A_v_minus_h | F_trans | probe_interior |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| R0_square | 24 | 24 | 1.000000 | 0.140625 | 0.203947 | 0.203947 | 0.000000 | 0.410400 | True |
| R1 | 32 | 18 | 1.777778 | 0.140625 | 0.192434 | 0.219298 | 0.026864 | 0.378662 | True |
| R2 | 36 | 16 | 2.250000 | 0.140625 | 0.188596 | 0.226974 | 0.038377 | 0.346924 | True |
| R3 | 48 | 12 | 4.000000 | 0.140625 | 0.180921 | 0.250000 | 0.069079 | 0.219971 | True |
| R4_boundary | 64 | 9 | 7.111111 | 0.140625 | 0.140625 | 0.280702 | 0.140077 | 0.013672 | False |


由 $R0$ 到 $R3$：

$$
D_h:
0.203947
\rightarrow
0.180921,
$$

而：

$$
D_v:
0.203947
\rightarrow
0.250000.
$$

anisotropy：

$$
A=D_v-D_h
$$

由：

$$
0.000000
$$

增加到：

$$
0.069079.
$$

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# 5. Translation freedom 的 exact law

對不允許旋轉、只考察 translation 的 $w\times h$ rectangle：

$$
P=(N-w+1)(N-h+1).
$$

展開：

$$
P
=
(N+1)^2
-
(N+1)(w+h)
+
wh.
$$

固定：

$$
wh=K
$$

後：

$$
\boxed{
P
=
(N+1)^2
+
K
-
(N+1)(w+h).
}
$$

因此：

$$
\boxed{
F_{\mathrm{trans}}
=
\frac{
(N+1)^2+K-(N+1)(w+h)
}{N^2}.
}
$$

對固定乘積：

$$
wh=K,
$$

AM-GM 給出：

$$
w+h\ge2\sqrt K,
$$

等號只在：

$$
w=h=\sqrt K
$$

成立。

所以在這個離散 translation model 中，正方形最大化 fixed-area rectangle 的 translation freedom。

 $N=64$ 時：

$$
F_{\mathrm{trans}}(R0)=0.410400,
$$

而：

$$
F_{\mathrm{trans}}(R3)=0.219971.
$$

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# 6. Freedom transport vector

E1 暫定：

$$
\mathbf F
=
\left(
1-D_h,
1-D_v,
F_{\mathrm{trans}}
\right).
$$

單步：

$$
T_i:
O_i\rightarrow O_{i+1}
$$

誘導：

$$
\Delta_T\mathbf F
=
\left(
-\Delta D_h,
-\Delta D_v,
\Delta F_{\mathrm{trans}}
\right).
$$

在 interior stretch path：

$$
-\Delta D_h>0,
$$

$$
-\Delta D_v<0,
$$

$$
\Delta F_{\mathrm{trans}}<0.
$$

所以它不是單純 freedom conservation，而是：

$$
\boxed{
\text{channel redistribution}
+
\text{net placement depletion}.
}
$$

---

# 7. Boundary saturation：closure law 的失效點

 $R0$ 到 $R3$ 都滿足 probe-interior condition，核心公式逐筆以 integer assertion 驗證。

但 $R4$：

$$
w=N
$$

使 obstacle 直接碰到左右容器邊界。

此時 naive interior continuation 會計入容器外的 probe anchors，因此需要 clipping。

所以：

$$
\boxed{
\text{Interior Transport Law}
\not\Rightarrow
\text{Boundary-Saturated Transport Law}.
}
$$

在 $N=64$：

$$
D_h(R4)=0.140625,
$$

$$
D_v(R4)=0.280702.
$$

boundary residual：

$$
R_h=-126,
$$

$$
R_v=0,
$$

以及 anisotropy residual：

$$
R_A=126.
$$

這可以寫成 ACTM 式：

$$
\mathcal K_{\mathrm{interior}}
\xrightarrow{T}
\mathcal K_{\mathrm{boundary}},
$$

且：

$$
T(O_3)
\notin
\mathcal K_{\mathrm{interior}}.
$$

---

# 8. SOBTA：邊界第一次成為 exact law 的變量

E1 使：

$$
\tau_{O\partial}
$$

有直接操作意義。

在 $R0$ 到 $R3$，容器邊界尚未修改 probe placement counting law。

到了 $R4$：

$$
w=N,
$$

客體與容器邊界共同決定 admissible anchor set。

因此觀察量不再只是：

$$
f(O),
$$

而必須寫成：

$$
\boxed{
f(O,\partial\mathfrak C).
}
$$

所以這裡的「邊」不是輪廓附註，而是 **admissibility law 改變的來源**。

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# 9. 跨解析度 exactness

所有核心 identities 在：

$$
N=64,128,256
$$

都通過。

對全部 interior states：

$$
I_v-I_h=(L-1)(w-h)
$$

逐筆 exact PASS。

translation count：

$$
P=(N+1)^2+K-(N+1)(w+h)
$$

也逐筆 exact PASS。

因此 E1 比 E0 的 empirical scaling 更強：這次不是只看到穩定趨勢，而是得到可解釋且跨縮放族保持的 finite combinatorial law。

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# 10. ACTM-style audit

對：

$$
T_{\mathrm{stretch}}:
(w,h)\mapsto(w',h'),
$$

且：

$$
wh=w'h'=K,
$$

E1 得到：

Preserve：

$$
K,
\qquad
\eta_{\mathrm{site}}.
$$

Redistribute：

$$
D_h,
\qquad
D_v.
$$

Compress：

$$
F_{\mathrm{trans}}.
$$

Release：

$$
D_h\downarrow.
$$

Consume：

$$
D_v\uparrow.
$$

Escape：

當：

$$
w=N
$$

時，離開 probe-interior closure class。

因此：

$$
\boxed{
T_{\mathrm{stretch}}
:
\text{preserve}
+
\text{redistribute}
+
\text{compress}
+
\text{eventual escape}.
}
$$

---

# 11. E1 Verdict

E1 的核心結果是：

$$
\boxed{
\text{fixed direct occupancy}
+
\text{controlled deformation}
\Rightarrow
\text{exact freedom transport laws}.
}
$$

並且：

$$
\boxed{
\text{boundary}
=
\text{change of admissibility law}
}
$$

在這個 finite model 中得到實際驗證。

因此：

$$
\boxed{\mathrm{E1\ PASS}}
$$

但此判定只限本文定義的 axis-aligned finite translation/probe model。

---

# 12. 下一個自然實驗

E1 已完成：

$$
\text{support-preserving deformation}
\rightarrow
\text{freedom transport}.
$$

下一輪最自然的是：

$$
\boxed{
E2:
\text{boundary opening / gap operator}.
}
$$

從 full barrier 開一個很小的 gap：

$$
B_0
\xrightarrow{G_1}
B_1
\xrightarrow{G_2}
\cdots
$$

觀察只增加少量 free sites 的局部 operator，何時造成：

$$
\boxed{
\text{global connectivity phase transition}.
}
$$

這將直接研究「空白中的無形資訊纖維面」如何因極小局部變動發生非局部重構。

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## Reproducibility

- `E1_freedom_transport.py`
- `E1_results.csv`
- `E1_boundary_residuals.csv`
- `images/`
- `manifest.json`

所有核心公式均以 integer-count assertions 驗證。