E0 最小格點實驗：空間資訊佔據與自由度陰影

E0 Minimal Lattice Experiment: Spatial Information Occupancy and Freedom Shadows

版本： v0.1
日期： 2026-10-02
前置： Spatial_Information_Occupancy_Constituent_Fibers_Container_Freedom_Synthesis_v0.1_2026-10-02.md
狀態： Exact finite computation / first falsification pass

作者： Neo.K
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司

摘要

本輪把統合母論文中的第一組主張降到完全可枚舉的有限格點模型。主要問題是：

\mu(O_1)=\mu(O_2) \quad\text{是否仍可能有}\quad \mathbf{Occ}(O_1)\neq\mathbf{Occ}(O_2)?

結果是：在本文明確定義的有限操作量下，答案為是。

在 $N=64$ 容器中，disk-like、square、long rectangle、irregular star 四個物體全部精確佔據：

K=324

個格點，因此：

\eta_{\mathrm{site}} = \frac{324}{4096} = 0.079101562.

然而它們的方向 span、物體自身可放置姿態、延伸 probe 的合法 placement depletion 與界面量均不相同。

另外，一格厚的跨容器垂直 barrier 只佔：

\frac{64}{4096} = 0.015625000

的格點，卻把自由補集切成兩個連通分量，使：

\mathcal L_{\mathrm{conn}} = 0.499998

並使左到右路徑由存在變為不存在。

因此 E0 已得到第一個 operational separation：

\boxed{ \text{geometric/site occupancy} \neq \text{freedom/configuration occupancy}. }

這不是連續空間定理，也不是物理本體論證明；它是有限離散模型中的 exact counterexample to measure-only characterization。

1. 容器與等支撐控制

使用：

X_N = \{0,\ldots,N-1\}^2,

其中：

N\in\{32,64,128\}.

對等支撐組令：

m = 9\frac{N}{32}, \qquad K=m^2.

所以所有三個解析度都精確滿足：

\frac{K}{N^2} = \left(\frac{9}{32}\right)^2 = \frac{81}{1024}.

四個等支撐物體為：

disk_like：取距中心最近的 $K$ 個 lattice sites；
square： $m\times m$ ；
long_rect： $3m\times\frac{m}{3}$ ，aspect ratio $=9$ ；
irregular_star：使用固定 radial score family，再取 score 最小的 $K$ 個 lattice sites。

因此 H1 的第一輪比較不是「大物體 vs 小物體」，而是：

|\operatorname{Supp}(O_i)| = K

下比較自由度 signature。

2. Probe configuration-space depletion

給定 probe $P$ ，令：

\mathcal P_N(P;\varnothing)

為空容器中所有合法 translation placements，並令：

\mathcal P_N(P;O)

為加入 obstacle $O$ 後仍不碰撞的 placements。

定義：

\boxed{ D_P(O) = 1- \frac{ |\mathcal P_N(P;O)| }{ |\mathcal P_N(P;\varnothing)| }. }

E0 使用：

P_{\mathrm{point}}=1\times1,

P_h=\frac{N}{8}\times1, \qquad P_v=1\times\frac{N}{8},

以及：

P_{\square} = \frac{N}{16} \times \frac{N}{16}.

其中 point probe 有 exact identity：

D_{\mathrm{point}}(O) = \eta_{\mathrm{site}}(O).

因此 point probe 是控制組；extended probes 才測量超出 site count 的配置空間效應。

3. Connectivity freedom loss

把 obstacle 移除後的空白格點視為 4-neighbor graph。

若自由補集有 components：

C_1,\ldots,C_r,

大小為：

n_1,\ldots,n_r,

且總自由格數為：

M=\sum_i n_i,

定義：

\boxed{ \mathcal L_{\mathrm{conn}} = 1- \frac{ \sum_i \binom{n_i}{2} }{ \binom{M}{2} }. }

若補集連通，則：

\mathcal L_{\mathrm{conn}}=0.

4. $N=64$ 主要結果

shape	K	site_occ	span_x	span_y	self_pose_depletion	probe_hbar_depletion	probe_vbar_depletion	probe_square_depletion	interface_norm_N	fragmentation_loss	lr_path	tb_path
disk_like	324	0.079102	0.328125	0.328125	0.527344	0.129112	0.129112	0.123354	1.312500	0.000000	1	1
square	324	0.079102	0.281250	0.281250	0.460693	0.123355	0.123355	0.118517	1.125000	0.000000	1	1
long_rect	324	0.079102	0.843750	0.093750	0.841553	0.093750	0.192434	0.137866	1.875000	0.000000	1	1
irregular_star	324	0.079102	0.359375	0.375000	0.579590	0.137610	0.133498	0.129804	1.593750	0.000000	1	1
barrier_v1	64	0.015625	0.015625	1.000000	0.984375	0.140351	0.015625	0.065574	2.000000	0.499998	0	1

四個 equal- $K$ 物體全部有：

K=324, \qquad \eta_{\mathrm{site}} = 0.079101562.

但 long rectangle 的：

\eta_x = 0.843750, \qquad \eta_y = 0.093750,

而 square 為：

\eta_x = \eta_y = 0.281250.

因此等支撐量沒有決定 directional occupancy。

5. 第一個非退化結果：同 $K$ 、不同 probe depletion

在 $N=64$ ，long rectangle 有：

D_h = 0.093750,

D_v = 0.192434.

所以其 probe anisotropy：

A_P = D_v-D_h = 0.098684.

square 則有：

D_h=D_v=0.123355.

disk-like 為：

D_h=D_v=0.129112.

即使：

|\operatorname{Supp}(O_{\mathrm{disk}})| = |\operatorname{Supp}(O_{\square})| = |\operatorname{Supp}(O_{\mathrm{rect}})| = |\operatorname{Supp}(O_{\mathrm{irr}})|,

extended probe 所看到的被排除 configuration states 仍不同。

因此在本模型中：

\boxed{ \text{same site count} \not\Rightarrow \text{same configuration-space shadow}. }

6. 「最長最遠」進入 freedom channel

long rectangle 與 square 具有相同 $K=324$ ，但 long rectangle 的 $x$ span 是：

0.843750

而 square 是：

0.281250.

同時 long rectangle 的 self-pose depletion：

0.841553

高於 square 的：

0.460693.

因此在這個 translation / 90-degree-pose finite model 中，最大延伸確實不是單純視覺尺寸，而進入可計數的 freedom depletion。

7. Barrier：極小支撐，巨大 connectivity effect

垂直 barrier 只有：

K=64,

即：

\eta_{\mathrm{site}} = 0.015625000.

但：

\#\operatorname{Comp} = 2,

\mathcal L_{\mathrm{conn}} = 0.499998,

而：

\mathrm{LRPath}=0, \qquad \mathrm{TBPath}=1.

所以在 connectivity observable 下：

\boxed{ \text{small support occupancy} + \text{large global freedom effect}. }

這提供 H2 Freedom Shadow 的第一個 exact finite example。

重要限制是：這裡的 shadow 是相對指定自由度 observable 定義的。若 observable 只問 point occupancy，shadow 就退化回 support；若 observable 問 global reachability，它可以遠大於 support。

8. 第一輪解析度檢驗

等支撐組在：

N=32,64,128

都保持 exact：

\eta_{\mathrm{site}} = \frac{81}{1024}.

square 的：

\eta_x=\eta_y=\frac{9}{32}=0.28125

完全不變。

long rectangle 的：

\eta_x=\frac{27}{32}=0.84375,

\eta_y=\frac{3}{32}=0.09375

也完全不變。

horizontal-probe depletion：

shape	$N=32$	$N=64$	$N=128$
disk-like	0.122845	0.129112	0.132121
square	0.116379	0.123355	0.126936
long rectangle	0.093750	0.093750	0.093750
irregular star	0.130388	0.137610	0.141593

三個解析度還不足以宣稱 continuum convergence；但目前沒有出現「一提高解析度，所有非-measure 差異立即消失」的失敗。

9. 假說狀態

H1 — Occupancy Non-Equivalence

有限格點 operational version：

\boxed{\mathrm{PASS}}

因為 equal- $K$ shapes 有不同 directional、placement 與 probe-depletion signatures。

H2 — Freedom Shadow

connectivity-channel finite version：

\boxed{\mathrm{PASS}}

thin barrier 以極小 site support 造成 global connectivity fragmentation。

H3 — Cross-Representation Stability

\boxed{\mathrm{NOT\ TESTED}}

H4 — Resolution-Stable Occupancy

\boxed{\mathrm{PRELIMINARY}}

H5 — Freedom Transport Structure

\boxed{\mathrm{NOT\ TESTED}}

10. E0 對母論文最重要的修正

現在不宜把 Freedom Shadow 先寫成唯一一個集合。

E0 顯示至少要分成：

\operatorname{Supp}(O),

\operatorname{Shadow}_{\mathrm{config}}(O;P),

以及：

\operatorname{Shadow}_{\mathrm{connect}}(O).

因此更一般的形式應是：

\boxed{ \operatorname{Shadow}_{\mathcal F,q} (O\mid\mathfrak C), }

其中 $q$ 指定 freedom / query channel。

也就是：

\boxed{ \text{Freedom Shadow is observable-indexed.} }

這讓 SOBTA 的功能真正數學化：

\Gamma_q = \langle S_q,O,\partial\mathfrak C \rangle.

同一個 $O$ 在不同 query 下可以有不同 shadow，但這不代表底層物體被主觀任意創造；而是不同 freedom channel 在同一客體—容器關係中讀出不同 constraint consequence。

11. ACTM 下一接口

下一輪最自然的 operator path 是：

\boxed{ \text{equal-area rectangle} \xrightarrow{\text{increase aspect ratio}} \text{directional / placement freedom redistribution}. }

追蹤：

\Delta D_P, \qquad \Delta\mathcal L_{\mathrm{conn}}, \qquad \Delta\boldsymbol\eta_{\mathrm{dir}}.

這就會從 E0 的靜態比較正式進入：

\boxed{ \text{Freedom Transport}. }

12. E0 Verdict

本輪沒有證明新的空間本體論，但已通過母論文設定的最低第一關：

\boxed{ \text{same geometric/site measure} \not\Rightarrow \text{same freedom occupancy signature}. }

而且得到一個比原母論文更精確的結構：

\boxed{ \text{occupancy shadow} = \text{container-relative} + \text{object-relative} + \text{freedom-channel-indexed}. }

Reproducibility

Python source：E0_spatial_information_occupancy.py
全部 raw counts 與 normalized metrics：E0_results.csv
figures：images/
manifest：manifest.json
equal-support counts、probe valid/invalid counts、component sizes 均保留。
程式包含 exact consistency assertions。
irregular family 沒有使用 RNG。

E0 最小格點實驗：空間資訊佔據與自由度陰影

E0 最小格點實驗：空間資訊佔據與自由度陰影

E0 Minimal Lattice Experiment: Spatial Information Occupancy and Freedom Shadows

摘要

1. 容器與等支撐控制

2. Probe configuration-space depletion

3. Connectivity freedom loss

4. N=64N=64N=64 主要結果

5. 第一個非退化結果：同 KKK 、不同 probe depletion

6. 「最長最遠」進入 freedom channel

7. Barrier：極小支撐，巨大 connectivity effect

8. 第一輪解析度檢驗

9. 假說狀態

H1 — Occupancy Non-Equivalence

H2 — Freedom Shadow

H3 — Cross-Representation Stability

H4 — Resolution-Stable Occupancy

H5 — Freedom Transport Structure

10. E0 對母論文最重要的修正

11. ACTM 下一接口

12. E0 Verdict

Reproducibility

4. $N=64$ 主要結果

5. 第一個非退化結果：同 $K$ 、不同 probe depletion