# E0 最小格點實驗：空間資訊佔據與自由度陰影

## E0 Minimal Lattice Experiment: Spatial Information Occupancy and Freedom Shadows

**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-10-02  
**前置：** `Spatial_Information_Occupancy_Constituent_Fibers_Container_Freedom_Synthesis_v0.1_2026-10-02.md`  
**狀態：** Exact finite computation / first falsification pass

**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  

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## 摘要

本輪把統合母論文中的第一組主張降到完全可枚舉的有限格點模型。主要問題是：

$$
\mu(O_1)=\mu(O_2)
\quad\text{是否仍可能有}\quad
\mathbf{Occ}(O_1)\neq\mathbf{Occ}(O_2)?
$$

結果是：在本文明確定義的有限操作量下，答案為 **是**。

在 $N=64$ 容器中，disk-like、square、long rectangle、irregular star 四個物體全部精確佔據：

$$
K=324
$$

個格點，因此：

$$
\eta_{\mathrm{site}}
=
\frac{324}{4096}
=
0.079101562.
$$

然而它們的方向 span、物體自身可放置姿態、延伸 probe 的合法 placement depletion 與界面量均不相同。

另外，一格厚的跨容器垂直 barrier 只佔：

$$
\frac{64}{4096}
=
0.015625000
$$

的格點，卻把自由補集切成兩個連通分量，使：

$$
\mathcal L_{\mathrm{conn}}
=
0.499998
$$

並使左到右路徑由存在變為不存在。

因此 E0 已得到第一個 operational separation：

$$
\boxed{
\text{geometric/site occupancy}
\neq
\text{freedom/configuration occupancy}.
}
$$

這不是連續空間定理，也不是物理本體論證明；它是有限離散模型中的 exact counterexample to measure-only characterization。

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# 1. 容器與等支撐控制

使用：

$$
X_N
=
\{0,\ldots,N-1\}^2,
$$

其中：

$$
N\in\{32,64,128\}.
$$

對等支撐組令：

$$
m
=
9\frac{N}{32},
\qquad
K=m^2.
$$

所以所有三個解析度都精確滿足：

$$
\frac{K}{N^2}
=
\left(\frac{9}{32}\right)^2
=
\frac{81}{1024}.
$$

四個等支撐物體為：

- `disk_like`：取距中心最近的 $K$ 個 lattice sites；
- `square`： $m\times m$ ；
- `long_rect`： $3m\times\frac{m}{3}$，aspect ratio $=9$ ；
- `irregular_star`：使用固定 radial score family，再取 score 最小的 $K$ 個 lattice sites。

因此 H1 的第一輪比較不是「大物體 vs 小物體」，而是：

$$
|\operatorname{Supp}(O_i)|
=
K
$$

下比較自由度 signature。

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# 2. Probe configuration-space depletion

給定 probe $P$，令：

$$
\mathcal P_N(P;\varnothing)
$$

為空容器中所有合法 translation placements，並令：

$$
\mathcal P_N(P;O)
$$

為加入 obstacle $O$ 後仍不碰撞的 placements。

定義：

$$
\boxed{
D_P(O)
=
1-
\frac{
|\mathcal P_N(P;O)|
}{
|\mathcal P_N(P;\varnothing)|
}.
}
$$

E0 使用：

$$
P_{\mathrm{point}}=1\times1,
$$

$$
P_h=\frac{N}{8}\times1,
\qquad
P_v=1\times\frac{N}{8},
$$

以及：

$$
P_{\square}
=
\frac{N}{16}
\times
\frac{N}{16}.
$$

其中 point probe 有 exact identity：

$$
D_{\mathrm{point}}(O)
=
\eta_{\mathrm{site}}(O).
$$

因此 point probe 是控制組；extended probes 才測量超出 site count 的配置空間效應。

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# 3. Connectivity freedom loss

把 obstacle 移除後的空白格點視為 4-neighbor graph。

若自由補集有 components：

$$
C_1,\ldots,C_r,
$$

大小為：

$$
n_1,\ldots,n_r,
$$

且總自由格數為：

$$
M=\sum_i n_i,
$$

定義：

$$
\boxed{
\mathcal L_{\mathrm{conn}}
=
1-
\frac{
\sum_i \binom{n_i}{2}
}{
\binom{M}{2}
}.
}
$$

若補集連通，則：

$$
\mathcal L_{\mathrm{conn}}=0.
$$

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# 4. $N=64$ 主要結果

| shape | K | site_occ | span_x | span_y | self_pose_depletion | probe_hbar_depletion | probe_vbar_depletion | probe_square_depletion | interface_norm_N | fragmentation_loss | lr_path | tb_path |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| disk_like | 324 | 0.079102 | 0.328125 | 0.328125 | 0.527344 | 0.129112 | 0.129112 | 0.123354 | 1.312500 | 0.000000 | 1 | 1 |
| square | 324 | 0.079102 | 0.281250 | 0.281250 | 0.460693 | 0.123355 | 0.123355 | 0.118517 | 1.125000 | 0.000000 | 1 | 1 |
| long_rect | 324 | 0.079102 | 0.843750 | 0.093750 | 0.841553 | 0.093750 | 0.192434 | 0.137866 | 1.875000 | 0.000000 | 1 | 1 |
| irregular_star | 324 | 0.079102 | 0.359375 | 0.375000 | 0.579590 | 0.137610 | 0.133498 | 0.129804 | 1.593750 | 0.000000 | 1 | 1 |
| barrier_v1 | 64 | 0.015625 | 0.015625 | 1.000000 | 0.984375 | 0.140351 | 0.015625 | 0.065574 | 2.000000 | 0.499998 | 0 | 1 |


四個 equal- $K$ 物體全部有：

$$
K=324,
\qquad
\eta_{\mathrm{site}}
=
0.079101562.
$$

但 long rectangle 的：

$$
\eta_x
=
0.843750,
\qquad
\eta_y
=
0.093750,
$$

而 square 為：

$$
\eta_x
=
\eta_y
=
0.281250.
$$

因此等支撐量沒有決定 directional occupancy。

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# 5. 第一個非退化結果：同 $K$ 、不同 probe depletion

在 $N=64$，long rectangle 有：

$$
D_h
=
0.093750,
$$

$$
D_v
=
0.192434.
$$

所以其 probe anisotropy：

$$
A_P
=
D_v-D_h
=
0.098684.
$$

square 則有：

$$
D_h=D_v=0.123355.
$$

disk-like 為：

$$
D_h=D_v=0.129112.
$$

即使：

$$
|\operatorname{Supp}(O_{\mathrm{disk}})|
=
|\operatorname{Supp}(O_{\square})|
=
|\operatorname{Supp}(O_{\mathrm{rect}})|
=
|\operatorname{Supp}(O_{\mathrm{irr}})|,
$$

extended probe 所看到的被排除 configuration states 仍不同。

因此在本模型中：

$$
\boxed{
\text{same site count}
\not\Rightarrow
\text{same configuration-space shadow}.
}
$$

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# 6. 「最長最遠」進入 freedom channel

long rectangle 與 square 具有相同 $K=324$，但 long rectangle 的 $x$ span 是：

$$
0.843750
$$

而 square 是：

$$
0.281250.
$$

同時 long rectangle 的 self-pose depletion：

$$
0.841553
$$

高於 square 的：

$$
0.460693.
$$

因此在這個 translation / 90-degree-pose finite model 中，最大延伸確實不是單純視覺尺寸，而進入可計數的 freedom depletion。

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# 7. Barrier：極小支撐，巨大 connectivity effect

垂直 barrier 只有：

$$
K=64,
$$

即：

$$
\eta_{\mathrm{site}}
=
0.015625000.
$$

但：

$$
\#\operatorname{Comp}
=
2,
$$

$$
\mathcal L_{\mathrm{conn}}
=
0.499998,
$$

而：

$$
\mathrm{LRPath}=0,
\qquad
\mathrm{TBPath}=1.
$$

所以在 connectivity observable 下：

$$
\boxed{
\text{small support occupancy}
+
\text{large global freedom effect}.
}
$$

這提供 H2 `Freedom Shadow` 的第一個 exact finite example。

重要限制是：這裡的 shadow 是**相對指定自由度 observable** 定義的。若 observable 只問 point occupancy，shadow 就退化回 support；若 observable 問 global reachability，它可以遠大於 support。

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# 8. 第一輪解析度檢驗

等支撐組在：

$$
N=32,64,128
$$

都保持 exact：

$$
\eta_{\mathrm{site}}
=
\frac{81}{1024}.
$$

square 的：

$$
\eta_x=\eta_y=\frac{9}{32}=0.28125
$$

完全不變。

long rectangle 的：

$$
\eta_x=\frac{27}{32}=0.84375,
$$

$$
\eta_y=\frac{3}{32}=0.09375
$$

也完全不變。

horizontal-probe depletion：

| shape | $N=32$ | $N=64$ | $N=128$ |
| --- | ---: | ---: | ---: |
| disk-like | 0.122845 | 0.129112 | 0.132121 |
| square | 0.116379 | 0.123355 | 0.126936 |
| long rectangle | 0.093750 | 0.093750 | 0.093750 |
| irregular star | 0.130388 | 0.137610 | 0.141593 |

三個解析度還不足以宣稱 continuum convergence；但目前沒有出現「一提高解析度，所有非-measure 差異立即消失」的失敗。

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# 9. 假說狀態

## H1 — Occupancy Non-Equivalence

有限格點 operational version：

$$
\boxed{\mathrm{PASS}}
$$

因為 equal- $K$ shapes 有不同 directional、placement 與 probe-depletion signatures。

## H2 — Freedom Shadow

connectivity-channel finite version：

$$
\boxed{\mathrm{PASS}}
$$

thin barrier 以極小 site support 造成 global connectivity fragmentation。

## H3 — Cross-Representation Stability

$$
\boxed{\mathrm{NOT\ TESTED}}
$$

## H4 — Resolution-Stable Occupancy

$$
\boxed{\mathrm{PRELIMINARY}}
$$

## H5 — Freedom Transport Structure

$$
\boxed{\mathrm{NOT\ TESTED}}
$$

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# 10. E0 對母論文最重要的修正

現在不宜把 `Freedom Shadow` 先寫成唯一一個集合。

E0 顯示至少要分成：

$$
\operatorname{Supp}(O),
$$

$$
\operatorname{Shadow}_{\mathrm{config}}(O;P),
$$

以及：

$$
\operatorname{Shadow}_{\mathrm{connect}}(O).
$$

因此更一般的形式應是：

$$
\boxed{
\operatorname{Shadow}_{\mathcal F,q}
(O\mid\mathfrak C),
}
$$

其中 $q$ 指定 freedom / query channel。

也就是：

$$
\boxed{
\text{Freedom Shadow is observable-indexed.}
}
$$

這讓 SOBTA 的功能真正數學化：

$$
\Gamma_q
=
\langle
S_q,O,\partial\mathfrak C
\rangle.
$$

同一個 $O$ 在不同 query 下可以有不同 shadow，但這不代表底層物體被主觀任意創造；而是不同 freedom channel 在同一客體—容器關係中讀出不同 constraint consequence。

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# 11. ACTM 下一接口

下一輪最自然的 operator path 是：

$$
\boxed{
\text{equal-area rectangle}
\xrightarrow{\text{increase aspect ratio}}
\text{directional / placement freedom redistribution}.
}
$$

追蹤：

$$
\Delta D_P,
\qquad
\Delta\mathcal L_{\mathrm{conn}},
\qquad
\Delta\boldsymbol\eta_{\mathrm{dir}}.
$$

這就會從 E0 的靜態比較正式進入：

$$
\boxed{
\text{Freedom Transport}.
}
$$

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# 12. E0 Verdict

本輪沒有證明新的空間本體論，但已通過母論文設定的最低第一關：

$$
\boxed{
\text{same geometric/site measure}
\not\Rightarrow
\text{same freedom occupancy signature}.
}
$$

而且得到一個比原母論文更精確的結構：

$$
\boxed{
\text{occupancy shadow}
=
\text{container-relative}
+
\text{object-relative}
+
\text{freedom-channel-indexed}.
}
$$

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## Reproducibility

- Python source：`E0_spatial_information_occupancy.py`
- 全部 raw counts 與 normalized metrics：`E0_results.csv`
- figures：`images/`
- manifest：`manifest.json`
- equal-support counts、probe valid/invalid counts、component sizes 均保留。
- 程式包含 exact consistency assertions。
- irregular family 沒有使用 RNG。