NIOT-06 — 浮點投影、完成與跨域橋接：從有限機器表示到數值資訊物件的雙向語義

Floating-Point Projection, Completion, and Cross-Domain Bridges: Bidirectional Semantics from Finite Machine Representations to Numerical Information Objects

系列： Numerical Information Object Theory（NIOT）／數值資訊物件論
篇次： Paper 06
作者： Neo.K
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司
版本： v0.1
日期： 2026-09-22
文件性質： 跨域橋接論／浮點語義論／完成—投影整合論文
前置： NIOT-00、NIOT-01、NIOT-02、NIOT-03、NIOT-04、NIOT-05
相關既有研究： 《有限機器與無限實數之間：浮點數、精確實數與跨域算子的完成—投影雙向語義》、ICNS、MNVP、CAIR、ISQL、主動索引微積分
狀態： DRAFT / BRIDGE-SEMANTICS FOUNDATION / IMPLEMENTATION-READY
Canonical Source： UTF-8 Markdown
數學原始碼規範： inline math 僅使用 $...$ ，display math 僅使用 $$...$$

摘要

NIOT 前五篇已建立數值資訊物件、資訊探針、無界展開有限矩陣、光譜分辨與數值索引幾何。至此，一個數值已不再被默認為單一 scalar，而可以被理解為具有 canonical identity、representation、address、relation、history、provenance、certificate、spectrum 與 bridge endpoints 的資訊物件。本文回到本系列最早的起點：浮點數究竟是什麼？

本文主張，浮點數不應被視為「數本身的最後形式」，而應被放回一個更精確的位置：

\boxed{ f = \pi_{\mathrm{float}}(\mathfrak N) }

其中 $f$ 是有限機器上的浮點投影，而 $\mathfrak N$ 是其所屬或所對應的數值資訊物件。這並不降低浮點數的工程地位；相反地，它使浮點數第一次能與 exact rational、symbolic real、decimal stream、interval enclosure、completion object、versioned numeral、measurement state 與 machine execution 被放在同一個跨域語義框架中。

本文把跨域轉換形式化為橋接物件：

\boxed{ \mathfrak B = \left\langle X, Y, \llbracket-\rrbracket_X, \llbracket-\rrbracket_Y, B, \overline B, \kappa, \varepsilon, \mathsf{Exc}, \mathsf{Exec}, \mathsf{Addr}, \mathsf{Cert} \right\rangle. }

其中：

$X,Y$ ：來源域與目標域；
$\llbracket-\rrbracket_X,\llbracket-\rrbracket_Y$ ：各域語義映射；
$B$ ：原始表示／資料層橋接；
$\overline B$ ：語義層對應；
$\kappa$ ：橋接類型；
$\varepsilon$ ：誤差／包絡；
$\mathsf{Exc}$ ：例外狀態；
$\mathsf{Exec}$ ：有限機器執行語義；
$\mathsf{Addr}$ ：NIOT-05 定義的 bridge endpoint / index map；
$\mathsf{Cert}$ ：橋接證書。

本文重新整理七類核心橋接：

Exact Recoding；
Corecursive Expansion；
Completion Lifting；
Quotient Identification；
Rounding Projection；
Interval Enclosure；
Exception Escape。

此外，本文加入 NIOT 特有的第八類：

Probe-Preserving Partial Bridge：不要求將整個數值物件轉換到另一表示域，只要求指定 probe-relevant information 在兩域之間保持可比較或可追蹤。

這一類別直接回應本系列最初的核心洞見：**我們不一定要先把浮點轉成另一個進位制，才有資格觀察它的微觀資訊。**某些資訊可以直接透過 probe、index、bridge endpoint 與局部 chart 被定位。

本文特別強調四個不可混淆的概念：

\boxed{ \text{Generation} \neq \text{Completion} \neq \text{Representation} \neq \text{Execution}. }

以及：

\boxed{ \text{Round-trip} \neq \text{Identity} }

在非單射、非滿射、有 rounding、有 quotient、有 exception 或有 completion 的情況下，跨域來回轉換不能被天真地視為逆函數。

本文最終建立 NIOT 的跨域原則：

\boxed{ \text{數值資訊物件可跨表示域投影、橋接與完成， 但每一次跨域都必須保留： 來源、地址、語義、失真、例外與證書。} }

關鍵詞： 浮點數、完成、投影、跨域橋接、rounding、exact real、interval enclosure、quotient、exception、bridge certificate、NIOT

1. 問題：浮點數是不是數的全部？

考慮：

f=0.1.

在一般程式語境中，這可能代表：

decimal literal；
binary floating-point value；
arbitrary precision decimal；
fixed-point value；
rational approximation；
display string；
measurement report。

如果只看表面 token：

0.1,

這些可能被混在一起。

ICNS 已經處理「裸數符的解譯不足」。

NIOT-06 進一步問：

\boxed{ \text{即使解譯完成， 浮點 representation 是否等於整個 numerical object？} }

答案是否定的。

2. Float as Projection

對數值資訊物件：

\mathfrak N,

定義：

\boxed{ \pi_F: \mathfrak X \rightharpoonup \mathbb F. }

其中：

\mathbb F

表示某個具體浮點格式集合。

例如：

\mathbb F_{32}, \qquad \mathbb F_{64}.

3. 浮點投影非同一

一般情況：

\boxed{ \pi_F(\mathfrak N) \neq \mathfrak N. }

這直接承接 NIOT-01 的 Projection Non-Identity Principle。

4. Float Object

一個具體浮點狀態本身也可以建立：

\boxed{ \mathfrak N_f. }

其最低資訊可能包含：

sign；
exponent；
significand；
format；
rounding mode；
exception class；
raw bits；
source；
operation history。

5. Raw Bits 不等於 Value

設：

b

為 bit pattern。

存在 decode：

\boxed{ D_F: \{0,1\}^n \rightarrow \mathbb F. }

但：

\boxed{ b \neq D_F(b). }

前者是 representation，後者是 interpreted float value。

6. Float Value 仍不等於完整 Object

即使：

f=D_F(b),

仍有：

\boxed{ f \neq \mathfrak N_f. }

因為 $\mathfrak N_f$ 還可能包含：

provenance；
execution context；
exception history；
uncertainty；
bridge provenance。

7. 四層浮點語義

本文把 float 分四層：

Layer 1 — Bit Representation

b\in\{0,1\}^n.

Layer 2 — Format-Decoded State

f\in\mathbb F.

Layer 3 — Semantic Numerical Interpretation

\llbracket f\rrbracket.

Layer 4 — Numerical Information Object

\mathfrak N_f.

因此：

\boxed{ b \neq f \neq \llbracket f\rrbracket \neq \mathfrak N_f. }

8. 為什麼進位制不是唯一入口？

傳統研究常透過：

\text{decimal} \rightarrow \text{binary} \rightarrow \text{hex}

來觀察表示結構。

這很有價值，但它只是一種 bridge。

NIOT 允許直接：

\boxed{ P_\lambda(\mathfrak N_f) }

對 float object 做 probe，而不必先整體轉換 representation。

9. Probe-First Principle

本文提出：

\boxed{ \text{probe first when full conversion is unnecessary}. }

如果任務只需：

exponent structure；
rounding neighborhood；
provenance；
exception state；
local ULP structure；

就不必先把整個 object 改寫成另一進位制。

10. Float Internal Addresses

依 NIOT-05，可以建立：

/float/sign
/float/exponent
/float/significand
/float/raw_bits
/float/rounding
/float/exception

這些都是地址，不是獨立 object identity。

11. ULP Address

對 float：

f,

可以建立：

\boxed{ a_{\mathrm{ULP}}(f). }

它表示 $f$ 在該格式局部 spacing 結構中的位置。

12. Neighbor Probe

定義：

\boxed{ P_{\mathrm{next}}(f) = \operatorname{nextFloat}(f). }

以及：

P_{\mathrm{prev}}(f).

這直接提供局部 float geometry。

13. Float Local Neighborhood

可定義：

\boxed{ \mathcal N_k(f) = \{ \operatorname{prev}^k(f), \dots, f, \dots, \operatorname{next}^k(f) \}. }

14. Float 微觀世界不是更多 decimal digits

它可以是：

\boxed{ \text{bit field} + \text{ULP neighborhood} + \text{rounding cell} + \text{exception branch} + \text{bridge provenance}. }

15. Generation

定義 generation：

\boxed{ G: S \rightarrow S' }

表示從某種規則持續生成表示或近似。

例如 decimal expansion：

0.9, 0.99, 0.999, \dots

16. Generation 不是 Completion

一個無窮生成序列：

(x_n)

與其 completion / limit object：

x

不是同一表示層。

17. Completion

若：

X

需要完備化：

\boxed{ \iota_C: X \rightarrow \widehat X. }

則：

\widehat X

是 completion domain。

18. Completion Object

對：

x\in\widehat X,

可以建立：

\boxed{ \mathfrak N_x^{\mathrm{comp}}. }

並保存：

source approximants；
completion rule；
equivalence class；
certificate。

19. Completion 不是 Representation Change

如果：

X \rightarrow \widehat X,

這不只是把 decimal 換 binary。

它可能改變可用的 mathematical domain。

20. Representation

representation 是：

\boxed{ r\in\mathcal R. }

它透過：

\llbracket r\rrbracket

對應某個語義 object。

21. Execution

execution 是：

\boxed{ \mathsf{Exec}(r,\mathcal M) }

其中：

\mathcal M

是 machine / runtime。

因此同一 representation 在不同 execution context 下可能行為不同。

22. 四重區分

本文正式保留：

\boxed{ \text{Generation} \neq \text{Completion} \neq \text{Representation} \neq \text{Execution}. }

23. Bridge Object

定義：

\boxed{ \mathfrak B = \left\langle X, Y, \llbracket-\rrbracket_X, \llbracket-\rrbracket_Y, B, \overline B, \kappa, \varepsilon, \mathsf{Exc}, \mathsf{Exec}, \mathsf{Addr}, \mathsf{Cert} \right\rangle. }

24. Bridge Domain

X

是來源表示／語義域。

25. Bridge Codomain

Y

是目標表示／語義域。

26. Raw Bridge

\boxed{ B:X\rightarrow Y. }

表示資料層的轉換。

27. Semantic Bridge

\boxed{ \overline B: \llbracket X\rrbracket \rightsquigarrow \llbracket Y\rrbracket. }

28. Bridge Type

\boxed{ \kappa(\mathfrak B). }

表示橋接類型。

29. Bridge Error

\boxed{ \varepsilon(\mathfrak B). }

表示誤差、失真或包絡。

30. Exception Semantics

\boxed{ \mathsf{Exc}(\mathfrak B) }

處理：

overflow；
underflow；
NaN；
infinity；
invalid；
domain escape。

31. Execution Semantics

\boxed{ \mathsf{Exec}(\mathfrak B) }

記錄：

machine format；
instruction；
rounding；
environment；
deterministic / nondeterministic behavior。

32. Address Map

依 NIOT-05：

\boxed{ \mathsf{Addr}(\mathfrak B) : \mathcal I_X \rightharpoonup \mathcal I_Y. }

33. Bridge Certificate

\boxed{ \mathsf{Cert}(\mathfrak B) }

至少記錄：

source；
target；
rule；
version；
error；
exception；
replay；
proof / test status。

34. Bridge Endpoint

定義：

\boxed{ i_X \xrightarrow{\mathfrak B} i_Y. }

35. Exact Recoding

若 representation 改變，但語義 exact preserved：

\boxed{ \kappa = \mathrm{EXACT\_RECODING}. }

要求：

\boxed{ \llbracket B(x)\rrbracket_Y = \llbracket x\rrbracket_X. }

36. Example: Rational Re-encoding

\frac12 \leftrightarrow 0.5

在 exact decimal domain 中可以是 exact recoding。

37. Corecursive Expansion

若 finite seed 生成無界 stream：

\boxed{ \kappa = \mathrm{CORECURSIVE\_EXPANSION}. }

例如：

\frac13 \mapsto 0.333\dots

38. Expansion 不是一次性 finite string

stream object 必須與 finite prefix 分開。

39. Completion Lifting

若：

x_n

作為 approximants 被提升到 completion object：

\boxed{ \kappa = \mathrm{COMPLETION\_LIFT}. }

40. Quotient Identification

若多種 representation 被商化為同一 semantic class：

\boxed{ \kappa = \mathrm{QUOTIENT\_IDENTIFICATION}. }

41. Example: Decimal Dual Expansion

1.000\dots

與：

0.999\dots

可以在實數語義中被識別為同一 completion value。

42. 但 representation identity 仍不同

即使：

\llbracket r_1\rrbracket = \llbracket r_2\rrbracket,

仍可能：

r_1\neq r_2.

43. Rounding Projection

若：

x\in X

被投影到有限 float：

\boxed{ R_F(x) = f, }

則：

\kappa = \mathrm{ROUNDING\_PROJECTION}.

44. Rounding Cell

對 float：

f,

定義：

\boxed{ C_f = \{ x: R_F(x)=f \}. }

這是一個非常重要的 fiber。

45. Float Fiber

因此：

\boxed{ R_F^{-1}(f) = C_f. }

多個 exact values 可以投影到同一 float。

46. Rounding 非單射

一般：

\boxed{ x_1\neq x_2 }

但：

R_F(x_1)=R_F(x_2).

47. 因此 Float 不可唯一反推 Exact Value

\boxed{ f \not\Rightarrow x_{\mathrm{unique}}. }

48. Interval Enclosure

若不回傳單一 approximate value，而回傳：

[a,b]

使：

x\in[a,b],

則：

\boxed{ \kappa = \mathrm{INTERVAL\_ENCLOSURE}. }

49. Enclosure Certificate

需要：

\boxed{ x\in I }

的可驗證保證。

50. Interval 不等於 Point Estimate

\boxed{ [a,b] \neq \frac{a+b}{2}. }

51. Exception Escape

如果 source value 無法在 target domain 正常表示：

\boxed{ \kappa = \mathrm{EXCEPTION\_ESCAPE}. }

52. Overflow

|x|>\max\mathbb F.

53. Underflow

小 magnitude 進入 subnormal / zero region。

54. NaN

NaN 不是一般實數值。

它需要獨立 semantic class。

55. Infinity

machine infinity 也不能自動等同數學上的 completed infinity object。

56. 第八類：Probe-Preserving Partial Bridge

NIOT 新增：

\boxed{ \kappa = \mathrm{PROBE\_PRESERVING\_PARTIAL}. }

57. 定義

若不需要完整轉換：

X\rightarrow Y,

只要求某 probe family：

\mathcal P^\star

在兩域間保持可比較：

\boxed{ P_Y(B(x)) \approx T_P(P_X(x)). }

則可使用 partial bridge。

58. 為什麼重要？

因為：

\boxed{ \text{完整表示轉換} }

可能：

昂貴；
不必要；
有失真；
不可逆。

但特定 probe 所需資訊可能可直接橋接。

59. Probe-Preserving Bridge Example

若只想知道：

\operatorname{sign}(x),

不必把 entire exact real 轉成 float。

只需：

\boxed{ P_{\mathrm{sign}} }

能被安全橋接。

60. Local Bridge

更一般：

\boxed{ B_U: X|_U \rightsquigarrow Y|_V. }

只橋接局部地址區域。

61. Bridge Need Not Be Total

\operatorname{Dom}(B) \subsetneq X

完全合法。

62. Partiality Must Be Explicit

不能把 undefined region 當成 error-free region。

63. Bridge Need Not Be Injective

rounding projection 就不是。

64. Bridge Need Not Be Surjective

某些 target representation 可能沒有 source preimage。

65. Bridge Need Not Be Invertible

這是一般情況。

66. Round-Trip

考慮：

X \xrightarrow{B} Y \xrightarrow{C} X.

67. Round-Trip Identity

只有在：

\boxed{ C\circ B = \operatorname{id}_X }

時才是 exact round-trip。

68. Approximate Round-Trip

更一般：

\boxed{ d_X ( C(B(x)),x ) \le \varepsilon. }

69. Round-Trip Failure

若：

C(B(x)) \neq x,

不能單純說 bridge 錯。

可能是：

rounding；
quotient；
compression；
noninjective map；
exception；
completion mismatch。

70. Round-Trip Certificate

應記：

start domain；
intermediate domain；
final domain；
exact / approximate；
error；
lost information。

71. Bridge Composition

若：

\mathfrak B_{XY}

與：

\mathfrak B_{YZ},

可定義：

\boxed{ \mathfrak B_{XZ} = \mathfrak B_{YZ} \circ \mathfrak B_{XY}. }

72. Composition Error

誤差不能簡單忽略：

\boxed{ \varepsilon_{XZ} = \mathcal E ( \varepsilon_{XY}, \varepsilon_{YZ} ). }

73. Composition Exception

例外集合也要傳遞：

\boxed{ \mathsf{Exc}_{XZ} }

74. Bridge Path

跨多域：

X_0 \rightarrow X_1 \rightarrow \cdots \rightarrow X_k.

75. Bridge Path Cost

定義：

\boxed{ K(\gamma_B) = \sum_i K(\mathfrak B_i). }

76. Bridge Path Error

\boxed{ E(\gamma_B) = \mathcal E ( \varepsilon_1,\dots,\varepsilon_k ). }

77. Once-Conversion Principle

若有多條 bridge path，通常希望避免不必要中介：

X \rightarrow Y \rightarrow Z

若存在合法 direct bridge：

X \rightarrow Z.

78. 但最少轉換不一定永遠最佳

direct bridge 可能：

誤差更大；
成本更高；
certificate 更弱。

79. Bridge Optimization

因此應解：

\boxed{ \gamma^\star = \arg\min_\gamma \left( \alpha K(\gamma) + \beta E(\gamma) + \gamma R(\gamma) \right). }

80. Bridge Graph

建立：

\boxed{ G_B = (V_B,E_B). }

node = representation / semantic domains。

edge = bridge。

81. Bridge Atlas

每個 domain 可以看成 chart。

跨域橋接構成：

\boxed{ \mathcal A_B. }

82. Domain Chart

例如：

exact rational chart；
decimal chart；
binary float chart；
interval chart；
symbolic real chart。

83. Cross-Domain Transition

\boxed{ \phi_{YX} }

對應 bridge transition。

84. Bridge Consistency

在 triple path：

X\rightarrow Y\rightarrow Z

與 direct：

X\rightarrow Z

之間，可比較：

\boxed{ \Delta_B = B_{XZ} - B_{YZ}\circ B_{XY} }

在適用語義中。

85. Bridge Defect

若：

\Delta_B\neq0,

需判斷：

expected approximation；
inconsistent semantics；
invalid conversion；
noncommuting completion；
rounding path dependence。

86. Path Dependence

可能：

\boxed{ B_{XZ} \neq B_{YZ}\circ B_{XY}. }

這是重要結構，不應一律視為 bug。

87. Bridge Holonomy

沿封閉 representation path：

X_0 \rightarrow X_1 \rightarrow \cdots \rightarrow X_0,

得到：

\boxed{ \mathcal H_B. }

88. Nontrivial Bridge Holonomy

若：

\mathcal H_B(x)\neq x,

表示跨域 round-trip 有結構缺陷／失真／狀態變化。

89. Bridge Curvature Candidate

這可成為跨域 representation curvature 的候選定義。

本文不直接等同傳統 differential geometry curvature。

90. Float Rounding Geometry

對每個：

f\in\mathbb F,

其 rounding cell：

C_f

可看成 exact domain 中的一個 fiber region。

91. Cell Boundary

兩個 float：

f_i,f_j

之間的 rounding boundary：

\boxed{ \partial C_{f_i,f_j}. }

92. Tie-Breaking

若 exact value 位於 boundary，rounding mode 決定投影。

93. Rounding Mode as Probe / Context

因此：

\boxed{ \rho = \text{rounding mode} }

是 bridge context 的第一級參數。

94. Round-to-Nearest

只是一種：

\rho.

95. Directed Rounding

例如：

\rho_\downarrow, \qquad \rho_\uparrow.

96. Interval Arithmetic

利用 directed rounding 可以建立 certified enclosure。

97. Float Neighborhood Spectrum

可以對：

k

個 ULP radius 定義：

\boxed{ P_k(f) = \mathcal N_k(f). }

這形成離散局部 spectrum。

98. Float Exponent Spectrum

也可按 exponent band 建 probe family。

99. Significand Probe

可以局部分析 significand structure。

100. 但 bit pattern 結構不是額外本體真理

它是 representation-dependent information。

101. Representation-Dependent Probe

定義：

\boxed{ P^{(R)} }

只在特定 representation domain 有意義。

102. Representation-Invariant Probe

若跨多 representation 保持語義：

\boxed{ P^{(\mathrm{inv})}. }

103. Bridge-Preserved Observable

如果：

\boxed{ P_Y(B(x)) = T(P_X(x)) }

則稱 $P$ 被 bridge-preserved。

104. Bridge-Lost Observable

如果 source probe 無法在 target reconstruction：

\boxed{ P_X \not\rightsquigarrow P_Y. }

105. Information Loss Manifest

每個 lossy bridge 應輸出：

PRESERVED:
    ...

LOST:
    ...

APPROXIMATED:
    ...

UNKNOWN:
    ...

106. Scalar-Preserving but Structure-Losing Bridge

可能：

\boxed{ \pi_v \text{ preserved} }

但：

provenance；
precision；
history；
representation detail；

丟失。

107. Structure-Preserving but Scalar-Approximate Bridge

也可能：

interval；
symbolic enclosure；

保留更強結構，但不回傳單一 exact scalar。

108. Bridge Information Order

可以定義：

\boxed{ \mathfrak B_1 \preceq \mathfrak B_2 }

若 $\mathfrak B_2$ 保留至少不小於 $\mathfrak B_1$ 的 task-relevant information。

109. Dominating Bridge

若：

\mathfrak B_1 \preceq \mathfrak B_2

且成本不更高，可說：

\mathfrak B_2

dominates。

110. Bridge Pareto Frontier

在：

cost；
error；
preserved info；
trust；

之間建立 Pareto frontier。

111. Completion vs Float

對 exact real / completed real：

x\in\mathbb R

到：

f\in\mathbb F

通常是：

\boxed{ \text{completion domain} \rightarrow \text{finite projection domain}. }

112. Float to Real

反方向：

f \mapsto x_f

通常可以精確嵌入：

\boxed{ \iota_F: \mathbb F \hookrightarrow \mathbb R. }

因為每個 finite float 可對應 exact dyadic rational。

113. 但這不恢復原 exact source

如果：

x \xrightarrow{R_F} f,

再：

f \xrightarrow{\iota_F} x_f,

一般：

\boxed{ x_f \neq x. }

114. 所以 Float Round-Trip 是 Projection Then Embedding

\boxed{ \mathbb R \xrightarrow{R_F} \mathbb F \xrightarrow{\iota_F} \mathbb R. }

115. 這不是 Identity

除非：

x

本來就是該 float 可精確表示值。

116. Exact-Representable Set

定義：

\boxed{ E_F = \iota_F(\mathbb F). }

117. Exact Round-Trip Condition

若：

x\in E_F,

則可能：

\boxed{ \iota_F(R_F(x))=x. }

在 compatible rounding 下。

118. Otherwise Approximate

若：

x\notin E_F,

則：

\boxed{ \iota_F(R_F(x)) = x+\delta, }

其中：

\delta\neq0

一般成立。

119. Error Probe

定義：

\boxed{ P_{\mathrm{err}}(x) = \iota_F(R_F(x))-x. }

120. Relative Error

\boxed{ P_{\mathrm{relerr}}(x) = \frac{ |\iota_F(R_F(x))-x| }{ |x| } }

當：

x\neq0.

121. ULP Error

可以改以 ULP 衡量。

122. Error Spectrum

隨 magnitude / exponent / rounding mode：

\boxed{ \varepsilon(\lambda). }

形成 error spectrum。

123. Error Coupling

誤差可以與：

scale；
operation count；
conditioning；
representation；

耦合。

124. Operation Chain

考慮：

f_0 \xrightarrow{\circ_1} f_1 \xrightarrow{\circ_2} \dots \xrightarrow{\circ_n} f_n.

125. Execution Provenance

每一步應可記：

\boxed{ \mathsf{Exec}_i. }

126. Cumulative Error

不能只看最後 float。

需要 operation chain certificate。

127. Floating-Point History Object

建立：

\boxed{ \mathcal H_F = \{ (f_i,\circ_i,\rho_i,\varepsilon_i) \}. }

128. Same Final Float, Different History

可能：

f_n^{(A)} = f_n^{(B)}

但：

\mathcal H_F^{(A)} \neq \mathcal H_F^{(B)}.

因此：

\boxed{ \text{same float} \not\Rightarrow \text{same numerical information object}. }

129. Float Fiber by History

對 final float：

f,

可以存在：

\boxed{ F_f^{\mathrm{hist}}. }

包含所有產生同一 final float 的不同 histories。

130. Probe on History Fiber

可以用：

operation-depth probe；
error probe；
provenance probe；

細分。

131. Completion History

exact real object 也可以保存：

Cauchy sequence；
Dedekind-like representation；
symbolic generator；
oracle / stream；

等來源。

132. Same Real, Different Completion Representation

在 semantic value 上可能相同，但 representation identity 不同。

133. Completion Fiber

定義：

\boxed{ F_x^{\mathrm{comp}} = \{ r: \llbracket r\rrbracket=x \}. }

134. Completion Probe

可以問：

source construction；
convergence rate；
certificate；
representation cost。

135. Generation Rate

若 approximant sequence：

x_n

存在，可定義：

\boxed{ r_n = d(x_n,x). }

或其他 convergence measure。

136. Generation Rate 不等於 Object Value

這承接舊「生成速率—完成語義」系列。

137. Completion Time Is Not Mathematical Completion

有限 runtime 花費：

T

只是 execution cost。

不能把：

T

當成 completion 本體的一部分，除非 task 特別需要。

138. Completion Certificate

至少記：

source representation；
completion rule；
equivalence criterion；
limit semantics；
verification status。

139. Cross-Domain Probe

定義：

\boxed{ P^{X\to Y} }

直接比較 source / target 兩域的某個 invariant。

140. Bridge Fidelity Probe

例如：

\boxed{ P_{\mathrm{fid}} ( x,B(x) ) }

評估語義保留程度。

141. Bridge Identity Probe

判斷 canonical identity 是否應延續。

142. Same Object Across Representation

如果：

\mathfrak N_X

與：

\mathfrak N_Y

只是同一 canonical numerical object 的兩個表示 views，可令：

\boxed{ \iota_C(\mathfrak N_X) = \iota_C(\mathfrak N_Y). }

143. Different Object with Same Value

如果來源／角色不同，則即使 value 一樣也可有不同 canonical identity。

144. Bridge Must Not Force Identity

跨域 bridge 不應自動把所有 same-value objects merge。

145. Identity Policy

需要：

\boxed{ \mathsf{IDPolicy}(\mathfrak B). }

聲明：

preserve identity；
create view identity；
create derived object；
create new canonical object。

146. View-Preserving Bridge

只改表示：

\boxed{ \text{PRESERVE\_CANONICAL\_ID}. }

147. Derived-Object Bridge

例如某數值經模型推導成新量：

\boxed{ \text{NEW\_DERIVED\_ID}. }

148. Bridge Addressing

source endpoint：

a_X.

target endpoint：

a_Y.

bridge edge：

a_B.

149. Bridge Query

Runtime 可以問：

這個 float 從哪個 exact / measured / symbolic object 投影而來？

150. Reverse Bridge Query

也可以問：

哪些 representations 目前被認為對應同一 canonical object？

151. Bridge Registry

建立：

\boxed{ \mathcal R_B. }

每個 bridge 記錄：

ID；
version；
source；
target；
type；
error；
exceptions；
identity policy；
certificate。

152. Bridge Versioning

\boxed{ \mathfrak B^{(v1)} \neq \mathfrak B^{(v2)} }

如果 conversion rule 改變。

153. Old Result Invalidation

bridge version 更新可能要求重新驗證舊 outputs。

154. Bridge Dependency DAG

composite conversions 形成 DAG。

155. Bridge Cache

相同 source state + bridge version 可以 cache。

156. Bridge Invalidation

source / bridge / rounding context 改變要 invalidate。

157. Bridge Security

external bridge 可能帶來：

unsafe parser；
data loss；
code execution；
untrusted conversion。

需要治理。

158. Bridge Trust Level

暫定：

B0 — undocumented
B1 — deterministic
B2 — replay-tested
B3 — independently reproduced
B4 — formally specified
B5 — formally verified + independently reproduced

159. Bridge Certificate Object

\boxed{ \mathfrak C_B = \left\langle \text{id}, \text{rule}, \text{version}, \text{domain}, \text{codomain}, \text{error}, \text{exceptions}, \text{replay}, \text{trust} \right\rangle. }

160. Exactness Is Typed

不能只寫：

exact = true

要寫：

\boxed{ \text{exact with respect to which semantics?} }

161. Representation Exactness

bits decode exact。

162. Value Exactness

semantic value exact。

163. Round-Trip Exactness

source recoverable exact。

164. Probe Exactness

specified probe preserved exact。

165. Identity Exactness

canonical identity preserved。

166. Different Exactness Notions Must Be Separate

\boxed{ \text{exactness is multi-typed}. }

167. Error Is Also Typed

可能有：

absolute error；
relative error；
ULP error；
interval width；
structural loss；
provenance loss；
address loss。

168. Error Vector

定義：

\boxed{ \boldsymbol\varepsilon = ( \varepsilon_v, \varepsilon_r, \varepsilon_p, \varepsilon_a, \dots ). }

169. Scalar Error Is Not Enough

即使：

\varepsilon_v=0,

也可能：

\varepsilon_p>0

表示 provenance loss。

170. Multi-Objective Bridge Fidelity

因此 fidelity 可以是：

\boxed{ F_B = F ( \boldsymbol\varepsilon ). }

171. Task-Relative Fidelity

不同任務對不同 error component 權重不同。

172. Bridge Loss Budget

定義：

\boxed{ L_B \le \tau_{\mathcal T}. }

173. Hard-Preserve Fields

某些 fields 可指定 infinite weight：

w_i=\infty.

一旦丟失 bridge 必須 fail。

174. Float as Lossy Bridge Result

對一般 exact real：

\boxed{ R_F }

是 value-approximate、finite-storage 的 bridge。

175. Float as Exact Object in Its Own Domain

但對：

f\in\mathbb F,

它在自己的 finite float domain 中是 exact object。

176. 這兩句不矛盾

因為 exactness domain 不同。

177. Domain-Relative Exactness

\boxed{ \operatorname{Exact}(f\mid\mathbb F)=1 }

不推出：

\operatorname{Exact}(f\mid\mathbb R,x)=1.

178. Value Layer vs Representation Layer

同一 float：

f

可以 exact represent dyadic rational：

q_f.

但如果原 source：

x\neq q_f,

則 source approximation 非 exact。

179. Information Probe on Float Without Conversion

可以直接：

P_{\mathrm{exponent}}(\mathfrak N_f),

P_{\mathrm{ULP}}(\mathfrak N_f),

P_{\mathrm{history}}(\mathfrak N_f).

180. 這就是本系列起點的形式化

\boxed{ \text{不必先換進位制， 才能看見 float 內部更多可計算資訊。} }

181. Representation Conversion Is One Probe Strategy

base conversion 可以寫成：

\boxed{ P_{\mathrm{repr}\to R'} }

或 bridge：

\mathfrak B_{R\to R'}.

182. But Not the Only Strategy

另有：

direct field probe；
local neighborhood probe；
spectral probe；
provenance probe；
bridge fidelity probe。

183. Cross-Base Comparison

binary、decimal、hex 可以被視為不同 representation charts。

184. Base Change as Chart Transition

\boxed{ \phi_{b_1\to b_2}. }

185. Base Change Does Not Change Canonical Value Identity

若 exact recoding：

\boxed{ \iota_C \text{ preserved}. }

186. But Surface Structure Changes

digit pattern、length、local syntax 都會變。

187. Probe Spectrum Across Bases

可定義：

\boxed{ \mathcal S_{\mathrm{base}}(b). }

188. Base-Dependent Motif

某些 pattern 只在特定 base 顯現。

不能直接升格成 representation-invariant property。

189. Invariant Probe Needed

若要主張本體性結構，需跨 representation 驗證。

190. Cross-Representation Structural Alignment

不是比字串相似，而是比：

semantic role；
canonical identity；
bridge provenance；
invariant relations。

191. Bridge Structural Alignment

定義：

\boxed{ \operatorname{Align}_B ( \mathfrak N_X, \mathfrak N_Y ). }

192. Point Alignment vs Structural Alignment

同 BCODR：

exact token equality；
value equality；
representation alignment；
structural alignment；

必須分開。

193. Representation Alignment

兩表示是否描述同一 semantic value。

194. Structural Alignment

是否保留同一 higher-order mechanism / provenance / relation。

195. Example: 0.5

0.5_{10}

與：

0.1_2

value-aligned。

若來自同一 canonical object，還可 canonical-aligned。

196. Example: Same 0.5 from Different Sources

兩個：

0.5

可能 value-aligned，但 provenance 不同。

197. Example: Interval [0.49,0.51]

它不是 point-aligned with 0.5。

但：

0.5\in[0.49,0.51].

屬於 enclosure relation。

198. Typed Relation Needed

不能把：

equal
contains
approximates
rounds_to
represents

混成一個 relation。

199. Bridge Relation Vocabulary

初版：

EXACTLY_REPRESENTS
ROUNDS_TO
ENCLOSES
APPROXIMATES
COMPLETES_TO
QUOTIENTS_TO
EXPANDS_TO
EMBEDS_IN
ESCAPES_TO_EXCEPTION
PROBE_PRESERVES

200. Relation Is First-Class

每條 relation 都應 addressable / versioned / certifiable。

201. Cross-Domain UEFM

NIOT-03 的矩陣可以跨 representation domains。

202. Domain-Labeled Coordinates

index：

\boxed{ i=(D,a). }

其中 $D$ 是 domain。

203. Cross-Domain Edge

\boxed{ (D_X,a_X) \xrightarrow{\mathfrak B} (D_Y,a_Y). }

204. Bridge Matrix

可以建立：

\boxed{ M_B }

記錄 domains 之間 bridge connectivity。

205. Sparse Bridge Graph

大多數 domain pairs 沒有 direct bridge，因此適合 sparse graph。

206. Bridge Frontier

未解析／高失真／高價值轉換 edge 形成：

\boxed{ F_B. }

207. BCODR on Bridge Space

可從：

source-capability outward；
target-constraint inward；

雙向展開，定位可行 bridge spine。

208. Bridge Responsibility Spine

\boxed{ S_B. }

表示真正承擔跨域轉換責任的少數 bridge nodes / edges。

209. Spectral Bridge

bridge 可能依：

\lambda

改變。

例如 precision：

p.

210. Precision-Parameterized Bridge

\boxed{ \mathfrak B_p. }

211. Error Spectrum

\boxed{ \varepsilon(p). }

212. Cost Spectrum

\boxed{ K(p). }

213. Fidelity Spectrum

\boxed{ F(p). }

214. Adaptive Precision Selection

選：

\boxed{ p^\star = \arg\min_p \left( \alpha K(p) + \beta\varepsilon(p) \right). }

subject to task closure。

215. Precision Is a Probe / Bridge Axis

這讓 precision 不再只是 static field。

216. Dynamic Precision

不同 epoch 可使用不同：

p_t.

217. Mixed Precision

UEFM 不同 cells 可以不同 precision。

218. Precision Address

\boxed{ a_{\mathrm{precision}}(i). }

219. Precision Provenance

每次 precision change 應記錄。

220. Precision Loss

降精度要有 certificate。

221. Precision Reopen

若 task 要求更高 fidelity，可重新展開。

222. Exact Real Runtime

不必一次 materialize 無限 digits。

可以保存：

generator；
oracle；
interval refinement；
symbolic rule。

223. Lazy Exact Real

\boxed{ \mathfrak N_x^{\mathrm{lazy}}. }

按需提供精度。

224. Request Precision

\boxed{ P_p(\mathfrak N_x) }

要求到 precision $p$ 。

225. This Is Probe-Driven Materialization

而不是把完整無限 expansion 存在 RAM。

226. Exact Real and UEFM

每個 epoch 只 materialize finite precision block。

227. Unbounded Precision, Finite Epoch

\boxed{ p_t<\infty }

但允許：

\sup_t p_t=\infty.

228. 與 UEFM 同型

這是：

\boxed{ \text{finite actuality} + \text{unbounded extensibility} }

的另一實例。

229. Infinite Expansion Need Not Be Stored

只需保留生成規則與當前 certificate。

230. Decimal Stream

對：

0.333\dots

可表示為 corecursive stream。

231. Stream Prefix

任何 epoch 只持有：

\boxed{ s_{1:n}. }

232. Completion Identity

stream representation 與 completed real identity 必須分開。

233. Approximation Chain

\boxed{ x_1,x_2,\dots,x_n. }

234. Chain Provenance

每個 approximant 都可有 address。

235. Chain Limit Certificate

若聲稱：

x_n\to x,

需 convergence certificate。

236. Limit Is Not Last Prefix

\boxed{ x \neq x_n }

一般成立。

237. This Corrects Finite-Machine Intuition

有限 prefix 不能被當成 completed object。

238. But Task May Only Need Prefix

如果 task closure 在：

n=N

達成，可停止。

239. Task-Relative Completion Sufficiency

不需要 ontology-total expansion。

240. Completion Probe

可以問：

目前 prefix 是否足以支持 task $\mathcal T$ ？

241. Completion Stop Rule

\boxed{ \varepsilon_n \le \tau_{\mathcal T}. }

242. Completion Reopen

新 task 需要更高精度時：

n \rightarrow n+k.

243. Float as Task-Relative Projection

有些 task 中 float 足夠。

244. Others Need Exact / Interval

不能把一種 representation 全域宣布最佳。

245. Representation Selection

定義：

\boxed{ R^\star = \arg\min_R \left( K(R) + L(R,\mathcal T) \right). }

246. Representation Router

AI 可以根據 task 自動選：

float；
decimal；
rational；
interval；
symbolic；
exact lazy real。

247. Router Must Be Certifiable

選擇理由需要 trace。

248. Representation Switching

Runtime 可以在 task 中途切換 representation。

249. Switching Cost

\boxed{ K_{\mathrm{switch}}. }

250. Switching Loss

\boxed{ L_{\mathrm{switch}}. }

251. Switching Hysteresis

避免頻繁來回切 representation。

252. Representation Policy

可設：

prefer_exact
prefer_speed
prefer_interval
prefer_replayability

253. Policy Is Not Semantics

policy 只影響路由。

254. Canonical Object Remains Above Representation

\boxed{ \mathfrak N }

不應被某單一 representation 綁死。

255. CAIR Interface

這與 CAIR：

\boxed{ \text{canonical object} \neq \text{projection} }

同構。

256. ICNS Interface

ICNS 負責 numeral interpretation。

257. MNVP Interface

MNVP 負責人類可感知呈現。

258. ISQL Interface

ISQL 可以為：

bridge；
endpoint；
probe；
representation；

提供 semantic address。

259. AIC Interface

AIC 提供跨 index / representation chart 的主動 transport。

260. Bridge as Active Index Transport

\boxed{ \widehat{\mathcal E}_{i_X\to i_Y} }

可以由 $\mathfrak B$ 實作。

261. Transport Identity Policy

transport 是否保留 canonical identity 必須顯式聲明。

262. Float Probe Spectrum

可以建立：

\boxed{ \mathcal S_f = \{ P_{\mathrm{bits}}, P_{\mathrm{exp}}, P_{\mathrm{sig}}, P_{\mathrm{ulp}}, P_{\mathrm{history}}, P_{\mathrm{error}} \}. }

263. Float Coupling Matrix

分析：

exponent × ULP；
history × error；
rounding × exception；

等耦合。

264. Representation Coupling

不同 representation 之間也可以建立：

\boxed{ C_{R_iR_j}. }

265. Strong Bridge Coupling

若兩 representation 在 task invariants 上高度一致，可建立 strong coupling edge。

266. Bridge Degeneracy

多個 representation 對某 task 完全等價，可 quotient。

267. But Preserve Provenance

即使 quotient，也要保留來源與展開路徑。

268. Bridge Closure

對 task：

\mathcal T,

若：

source/target semantics 已明確；
error below threshold；
exceptions resolved；
identity policy decided；
required probes preserved；
certificate valid；

則：

\boxed{ \operatorname{Close}^{B}_{\mathcal T}=1. }

269. Bridge Closure Is Local

它只表示該 bridge 對該 task 足夠。

270. Bridge Reopen

新 task / new precision / new probe 可重開。

271. Cross-Domain Closure Certificate

輸出：

domains；
bridge path；
error；
lost info；
preserved probes；
exceptions；
identity policy；
trust。

272. Minimal Runtime

第一版 NIOT-06 Runtime 可只做：

exact rational；
float64；
interval；
decimal string；
bridge registry；
error certificate；
probe-preserving bridge；
round-trip audit。

273. MVP Example A

source：

\frac{1}{10}.

bridge：

\mathbb Q \rightarrow \mathbb F_{64}.

274. Float Result

得到：

f.

275. Embed Back

f \rightarrow q_f\in\mathbb Q.

276. Compare

\boxed{ q_f \neq \frac{1}{10}. }

一般成立。

277. Audit

記錄：

exact source；
float bits；
exact dyadic value of float；
absolute error；
relative error。

278. MVP Example B

source：

\sqrt2.

target：

interval：

[1.4142,1.4143].

279. Relation

\boxed{ \sqrt2 \in [1.4142,1.4143]. }

280. This Is Enclosure, Not Equality

281. MVP Example C

只需要 sign probe。

不必：

\sqrt2 \rightarrow \text{1000-digit decimal}.

直接：

\boxed{ P_{\mathrm{sign}}(\sqrt2)=+. }

這就是 probe-first / partial bridge。

282. MVP Example D

source float：

f.

想知道：

是不是由某 exact rational 投影而來？

這需要 provenance bridge，而不是看 bits 猜來源。

283. Same Bits, Different Provenance

不同 pipeline 可產生相同 float bits。

因此 bits 不能唯一恢復 history。

284. Information-Theoretic Irreversibility

非單射 bridge 必然造成 preimage multiplicity。

285. Bridge Fiber

對：

y\in Y,

定義：

\boxed{ F_y^B = B^{-1}(y). }

286. Fiber Cardinality

如果：

|F_y^B|>1,

target 無法唯一恢復 source。

287. Bridge Fiber Probe

可以用其他資訊縮小 preimage。

例如 provenance。

288. Multi-Probe Source Reconstruction

\boxed{ F_y^{B,P_1,\dots,P_k} }

逐步細化。

289. Exact Reconstruction Condition

當：

|F_y^{B,\mathcal P}|=1,

才可在指定資訊語言下唯一重建。

290. Reconstruction Is Probe-Relative

這與 NIOT-02 完全一致。

291. Bridge Fiber and Micro-Numerical World

因此跨域後的資訊差可以被視為：

\boxed{ \text{bridge fiber structure}. }

292. Float Fiber as Microscopic Region

一個 float：

f

對應 exact domain 中一整個 rounding cell。

293. 所以「一個 float 是一個點」只在 float domain 成立

在 source exact domain：

\boxed{ f }

更像是一個 projection fiber 的標籤。

294. 這是重要本體分層

\boxed{ \text{point in target domain} \leftrightarrow \text{region / fiber in source domain}. }

295. Probe Can Enter the Fiber

如果有 additional context / provenance / interval，可進一步細分 rounding fiber。

296. Fiber Refinement Matrix

UEFM 可以 materialize：

\boxed{ M_t(F_f). }

297. Fiber Spectrum

沿 precision / source / history 建：

\boxed{ \mathcal S(F_f). }

298. Fiber Index Geometry

NIOT-05 可給：

\boxed{ \mathcal I(F_f). }

299. Bridge BCODR

Outward：

source candidates。

Inward：

target constraints / certificates。

兩邊 overlap 可定位 plausible source spine。

300. Bridge Responsibility Spine

\boxed{ S_B }

可以表示：

哪些 source subregions 仍可能對應目前 target state。

301. 這是 BCODR 的跨域一般化

302. Formalization Targets

第一階段 Lean / Coq：

exact recoding；
rounding projection；
float embedding；
round-trip condition；
bridge fiber；
noninjective bridge implies non-unique reverse；
probe-preserving partial bridge；
task-relative bridge closure。

303. IEEE-Specific Formalization Can Be Later

初版先做 abstract finite float domain 即可。

304. Theorem 1 — Projection Non-Invertibility Under Noninjective Rounding

若：

R_F

非 injective，則不存在 function：

G:\mathbb F\to X

使：

G\circ R_F = \operatorname{id}_X

在整個 $X$ 上成立。

305. Proof Sketch

若存在：

x_1\neq x_2

但：

R_F(x_1)=R_F(x_2)=f,

則：

G(f)

不可能同時等於：

x_1

與：

x_2.

Q.E.D.

306. Theorem 2 — Exact Float Embedding Does Not Recover Rounded Source

若：

x\notin E_F,

則一般：

\boxed{ \iota_F(R_F(x)) \neq x. }

307. Theorem 3 — Probe-Preserving Bridge Need Not Be Full Bridge

如果 task 只要求 probe family：

\mathcal P^\star,

只需建立：

P_Y\circ B = T_P\circ P_X

對 $\mathcal P^\star$ 成立。

不需要 source 所有結構可轉換。

308. Theorem 4 — Same Target Value Does Not Imply Same Source Object

若：

B(x_1)=B(x_2)

且：

x_1\neq x_2,

target equality 不能推出 source identity。

309. Theorem 5 — Finite Precision Does Not Imply Finite Extensibility

每 epoch：

p_t<\infty

仍可允許：

\sup_t p_t=\infty.

310. Open Problem：Bridge Category

能否以：

domains as objects；
bridges as morphisms；

建立 category，同時保留 partiality / error / exceptions？

311. Open Problem：Approximate Category

需要處理：

\varepsilon

不為零的 morphisms。

312. Open Problem：Bridge Curvature

closed conversion loop 的 defect 是否可形成可用曲率理論？

313. Open Problem：Minimal Probe-Preserving Bridge

對 task：

\mathcal T,

最小需要橋接哪些 probes？

314. Open Problem：Fiber Complexity

rounding fiber / quotient fiber 的結構複雜度如何量化？

315. Open Problem：Representation Search

在多 representation 間，是否應先找最適表示再解問題？

316. Open Problem：AI Bridge Router

AI 是否能根據：

task；
error；
cost；
certificate；

動態選 representation path？

317. Open Problem：Cross-Model Numerical Semantics

不同 AI / runtime 對同一 numerical object 的 representations 如何對齊？

318. 與 NIOT-07 的接口

下一篇將處理：

\boxed{ \textbf{雙向結構定位與責任閉包。} }

NIOT-06 提供給它的核心對象是：

\boxed{ \text{bridge fiber} }

與：

\boxed{ \text{source / target responsibility fields}. }

319. NIOT-07 將不只在幾何 proof space 用 BCODR

它會把 BCODR 推廣到：

bridge space；
probe space；
matrix frontier；
source reconstruction；
representation alignment。

320. 本篇最重要的六句話

第一：

\boxed{ \text{float} \neq \text{whole numerical object}. }

第二：

\boxed{ \text{representation} \neq \text{completion}. }

第三：

\boxed{ \text{rounding projection} \neq \text{invertible conversion}. }

第四：

\boxed{ \text{same target value} \not\Rightarrow \text{same source identity}. }

第五：

\boxed{ \text{full conversion is not always necessary; probe-preserving partial bridges can be enough}. }

第六：

\boxed{ \text{every lossy bridge must expose its fiber, loss, exception, address, and certificate semantics}. }

321. 結論

本篇把 NIOT 最早的直覺正式接回來。

我們一開始以為：

\boxed{ \text{浮點數} = \text{數值本身}. }

更精確地說，現代計算常在工程上把它當作足夠的工作對象。

但 NIOT 現在可以寫出：

\boxed{ f = \pi_F(\mathfrak N). }

因此：

f

是合法、重要、可精確定義的機器數值對象，

但它不必等於：

\mathfrak N

的全部資訊。

同時，我們也不再需要把「看見更多資訊」等同於：

\boxed{ \text{先改進位制。} }

改進位制只是：

\boxed{ \text{representation bridge} }

的一個特例。

我們還可以：

直接 probe exponent；
直接 probe ULP neighborhood；
直接 probe provenance；
直接 probe history；
直接 probe rounding fiber；
建立 interval enclosure；
沿 precision spectrum 展開；
只橋接 task-relevant probes。

因此，數值微觀世界在這一篇獲得了一個非常具體的跨域圖像：

\boxed{ \text{target point} \leftrightarrow \text{source fiber}. }

一個有限 float 在自己的 domain 中可以是一個精確 point，

但在更高資訊來源域中，它可能對應：

\boxed{ \text{一整個被 projection 壓縮過的來源區域。} }

這個來源區域可以被：

probe；
spectrum；
provenance；
bridge certificate；
BCODR；
UEFM；

持續細化。

所以本文最終得到：

\boxed{ \text{有限機器表示不是數值研究的終點， 而是數值資訊物件的一個可定位、可驗證、可回溯的投影界面。} }

而跨域計算也不應再被寫成模糊的：

x \rightarrow y.

而應寫成：

\boxed{ (\mathfrak N_X,i_X) \xrightarrow{ \mathfrak B,\, \varepsilon,\, \mathsf{Exc},\, \mathsf{Cert} } (\mathfrak N_Y,i_Y). }

這為下一篇：

\boxed{ \textbf{NIOT-07 — 雙向結構定位與責任閉包} }

提供完整入口。

Canonical Source Declaration

本檔為 NIOT-06-v0.1 的 UTF-8 Markdown canonical source。

數學 delimiter 僅使用 $...$ 與 $$...$$。

本文正式整合：

float as projection；
float information object；
generation / completion / representation / execution separation；
exact recoding；
corecursive expansion；
completion lifting；
quotient identification；
rounding projection；
interval enclosure；
exception escape；
probe-preserving partial bridge；
bridge fiber；
bridge endpoint；
bridge identity policy；
bridge certificate；
round-trip semantics；
error vector；
task-relative fidelity；
precision spectrum；
exact-real lazy materialization；
cross-domain UEFM；
bridge BCODR interface。

本文不宣稱：

所有浮點誤差都能由單一 scalar error 描述；
所有跨域轉換可逆；
所有 representation 具有相同資訊容量；
所有 exactness 概念相同；
所有 completion representation 具有唯一形式；
所有 bridge loop defect 都已形成完整 curvature theory。

後續 NIOT-07 應以 bridge fiber、source/target responsibility fields 與 BCODR 一般化作為主要基礎。

===END===