# NIOT-06 — 浮點投影、完成與跨域橋接：從有限機器表示到數值資訊物件的雙向語義

## Floating-Point Projection, Completion, and Cross-Domain Bridges: Bidirectional Semantics from Finite Machine Representations to Numerical Information Objects

**系列：** Numerical Information Object Theory（NIOT）／數值資訊物件論  
**篇次：** Paper 06  
**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-22  
**文件性質：** 跨域橋接論／浮點語義論／完成—投影整合論文  
**前置：** NIOT-00、NIOT-01、NIOT-02、NIOT-03、NIOT-04、NIOT-05  
**相關既有研究：** 《有限機器與無限實數之間：浮點數、精確實數與跨域算子的完成—投影雙向語義》、ICNS、MNVP、CAIR、ISQL、主動索引微積分  
**狀態：** DRAFT / BRIDGE-SEMANTICS FOUNDATION / IMPLEMENTATION-READY  
**Canonical Source：** UTF-8 Markdown  
**數學原始碼規範：** inline math 僅使用 ` $...$ `，display math 僅使用 `$$...$$`

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# 摘要

NIOT 前五篇已建立數值資訊物件、資訊探針、無界展開有限矩陣、光譜分辨與數值索引幾何。至此，一個數值已不再被默認為單一 scalar，而可以被理解為具有 canonical identity、representation、address、relation、history、provenance、certificate、spectrum 與 bridge endpoints 的資訊物件。本文回到本系列最早的起點：**浮點數究竟是什麼？**

本文主張，浮點數不應被視為「數本身的最後形式」，而應被放回一個更精確的位置：

$$
\boxed{
f
=
\pi_{\mathrm{float}}(\mathfrak N)
}
$$

其中 $f$ 是有限機器上的浮點投影，而 $\mathfrak N$ 是其所屬或所對應的數值資訊物件。這並不降低浮點數的工程地位；相反地，它使浮點數第一次能與 exact rational、symbolic real、decimal stream、interval enclosure、completion object、versioned numeral、measurement state 與 machine execution 被放在同一個跨域語義框架中。

本文把跨域轉換形式化為橋接物件：

$$
\boxed{
\mathfrak B
=
\left\langle
X,
Y,
\llbracket-\rrbracket_X,
\llbracket-\rrbracket_Y,
B,
\overline B,
\kappa,
\varepsilon,
\mathsf{Exc},
\mathsf{Exec},
\mathsf{Addr},
\mathsf{Cert}
\right\rangle.
}
$$

其中：

- $X,Y$：來源域與目標域；
- $\llbracket-\rrbracket_X,\llbracket-\rrbracket_Y$：各域語義映射；
- $B$：原始表示／資料層橋接；
- $\overline B$：語義層對應；
- $\kappa$：橋接類型；
- $\varepsilon$：誤差／包絡；
- $\mathsf{Exc}$：例外狀態；
- $\mathsf{Exec}$：有限機器執行語義；
- $\mathsf{Addr}$：NIOT-05 定義的 bridge endpoint / index map；
- $\mathsf{Cert}$：橋接證書。

本文重新整理七類核心橋接：

1. **Exact Recoding**；
2. **Corecursive Expansion**；
3. **Completion Lifting**；
4. **Quotient Identification**；
5. **Rounding Projection**；
6. **Interval Enclosure**；
7. **Exception Escape**。

此外，本文加入 NIOT 特有的第八類：

8. **Probe-Preserving Partial Bridge**：不要求將整個數值物件轉換到另一表示域，只要求指定 probe-relevant information 在兩域之間保持可比較或可追蹤。

這一類別直接回應本系列最初的核心洞見：**我們不一定要先把浮點轉成另一個進位制，才有資格觀察它的微觀資訊。**某些資訊可以直接透過 probe、index、bridge endpoint 與局部 chart 被定位。

本文特別強調四個不可混淆的概念：

$$
\boxed{
\text{Generation}
\neq
\text{Completion}
\neq
\text{Representation}
\neq
\text{Execution}.
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\text{Round-trip}
\neq
\text{Identity}
}
$$

在非單射、非滿射、有 rounding、有 quotient、有 exception 或有 completion 的情況下，跨域來回轉換不能被天真地視為逆函數。

本文最終建立 NIOT 的跨域原則：

$$
\boxed{
\text{數值資訊物件可跨表示域投影、橋接與完成，
但每一次跨域都必須保留：
來源、地址、語義、失真、例外與證書。}
}
$$

**關鍵詞：** 浮點數、完成、投影、跨域橋接、rounding、exact real、interval enclosure、quotient、exception、bridge certificate、NIOT

---

# 1. 問題：浮點數是不是數的全部？

考慮：

$$
f=0.1.
$$

在一般程式語境中，這可能代表：

- decimal literal；
- binary floating-point value；
- arbitrary precision decimal；
- fixed-point value；
- rational approximation；
- display string；
- measurement report。

如果只看表面 token：

$$
0.1,
$$

這些可能被混在一起。

ICNS 已經處理「裸數符的解譯不足」。

NIOT-06 進一步問：

$$
\boxed{
\text{即使解譯完成，
浮點 representation 是否等於整個 numerical object？}
}
$$

答案是否定的。

---

# 2. Float as Projection

對數值資訊物件：

$$
\mathfrak N,
$$

定義：

$$
\boxed{
\pi_F:
\mathfrak X
\rightharpoonup
\mathbb F.
}
$$

其中：

$$
\mathbb F
$$

表示某個具體浮點格式集合。

例如：

$$
\mathbb F_{32},
\qquad
\mathbb F_{64}.
$$

---

# 3. 浮點投影非同一

一般情況：

$$
\boxed{
\pi_F(\mathfrak N)
\neq
\mathfrak N.
}
$$

這直接承接 NIOT-01 的 Projection Non-Identity Principle。

---

# 4. Float Object

一個具體浮點狀態本身也可以建立：

$$
\boxed{
\mathfrak N_f.
}
$$

其最低資訊可能包含：

- sign；
- exponent；
- significand；
- format；
- rounding mode；
- exception class；
- raw bits；
- source；
- operation history。

---

# 5. Raw Bits 不等於 Value

設：

$$
b
$$

為 bit pattern。

存在 decode：

$$
\boxed{
D_F:
\{0,1\}^n
\rightarrow
\mathbb F.
}
$$

但：

$$
\boxed{
b
\neq
D_F(b).
}
$$

前者是 representation，後者是 interpreted float value。

---

# 6. Float Value 仍不等於完整 Object

即使：

$$
f=D_F(b),
$$

仍有：

$$
\boxed{
f
\neq
\mathfrak N_f.
}
$$

因為 $\mathfrak N_f$ 還可能包含：

- provenance；
- execution context；
- exception history；
- uncertainty；
- bridge provenance。

---

# 7. 四層浮點語義

本文把 float 分四層：

## Layer 1 — Bit Representation

$$
b\in\{0,1\}^n.
$$

## Layer 2 — Format-Decoded State

$$
f\in\mathbb F.
$$

## Layer 3 — Semantic Numerical Interpretation

$$
\llbracket f\rrbracket.
$$

## Layer 4 — Numerical Information Object

$$
\mathfrak N_f.
$$

因此：

$$
\boxed{
b
\neq
f
\neq
\llbracket f\rrbracket
\neq
\mathfrak N_f.
}
$$

---

# 8. 為什麼進位制不是唯一入口？

傳統研究常透過：

$$
\text{decimal}
\rightarrow
\text{binary}
\rightarrow
\text{hex}
$$

來觀察表示結構。

這很有價值，但它只是一種 bridge。

NIOT 允許直接：

$$
\boxed{
P_\lambda(\mathfrak N_f)
}
$$

對 float object 做 probe，而不必先整體轉換 representation。

---

# 9. Probe-First Principle

本文提出：

$$
\boxed{
\text{probe first when full conversion is unnecessary}.
}
$$

如果任務只需：

- exponent structure；
- rounding neighborhood；
- provenance；
- exception state；
- local ULP structure；

就不必先把整個 object 改寫成另一進位制。

---

# 10. Float Internal Addresses

依 NIOT-05，可以建立：

```text
/float/sign
/float/exponent
/float/significand
/float/raw_bits
/float/rounding
/float/exception
```

這些都是地址，不是獨立 object identity。

---

# 11. ULP Address

對 float：

$$
f,
$$

可以建立：

$$
\boxed{
a_{\mathrm{ULP}}(f).
}
$$

它表示 $f$ 在該格式局部 spacing 結構中的位置。

---

# 12. Neighbor Probe

定義：

$$
\boxed{
P_{\mathrm{next}}(f)
=
\operatorname{nextFloat}(f).
}
$$

以及：

$$
P_{\mathrm{prev}}(f).
$$

這直接提供局部 float geometry。

---

# 13. Float Local Neighborhood

可定義：

$$
\boxed{
\mathcal N_k(f)
=
\{
\operatorname{prev}^k(f),
\dots,
f,
\dots,
\operatorname{next}^k(f)
\}.
}
$$

---

# 14. Float 微觀世界不是更多 decimal digits

它可以是：

$$
\boxed{
\text{bit field}
+
\text{ULP neighborhood}
+
\text{rounding cell}
+
\text{exception branch}
+
\text{bridge provenance}.
}
$$

---

# 15. Generation

定義 generation：

$$
\boxed{
G:
S
\rightarrow
S'
}
$$

表示從某種規則持續生成表示或近似。

例如 decimal expansion：

$$
0.9,
0.99,
0.999,
\dots
$$

---

# 16. Generation 不是 Completion

一個無窮生成序列：

$$
(x_n)
$$

與其 completion / limit object：

$$
x
$$

不是同一表示層。

---

# 17. Completion

若：

$$
X
$$

需要完備化：

$$
\boxed{
\iota_C:
X
\rightarrow
\widehat X.
}
$$

則：

$$
\widehat X
$$

是 completion domain。

---

# 18. Completion Object

對：

$$
x\in\widehat X,
$$

可以建立：

$$
\boxed{
\mathfrak N_x^{\mathrm{comp}}.
}
$$

並保存：

- source approximants；
- completion rule；
- equivalence class；
- certificate。

---

# 19. Completion 不是 Representation Change

如果：

$$
X
\rightarrow
\widehat X,
$$

這不只是把 decimal 換 binary。

它可能改變可用的 mathematical domain。

---

# 20. Representation

representation 是：

$$
\boxed{
r\in\mathcal R.
}
$$

它透過：

$$
\llbracket r\rrbracket
$$

對應某個語義 object。

---

# 21. Execution

execution 是：

$$
\boxed{
\mathsf{Exec}(r,\mathcal M)
}
$$

其中：

$$
\mathcal M
$$

是 machine / runtime。

因此同一 representation 在不同 execution context 下可能行為不同。

---

# 22. 四重區分

本文正式保留：

$$
\boxed{
\text{Generation}
\neq
\text{Completion}
\neq
\text{Representation}
\neq
\text{Execution}.
}
$$

---

# 23. Bridge Object

定義：

$$
\boxed{
\mathfrak B
=
\left\langle
X,
Y,
\llbracket-\rrbracket_X,
\llbracket-\rrbracket_Y,
B,
\overline B,
\kappa,
\varepsilon,
\mathsf{Exc},
\mathsf{Exec},
\mathsf{Addr},
\mathsf{Cert}
\right\rangle.
}
$$

---

# 24. Bridge Domain

$$
X
$$

是來源表示／語義域。

---

# 25. Bridge Codomain

$$
Y
$$

是目標表示／語義域。

---

# 26. Raw Bridge

$$
\boxed{
B:X\rightarrow Y.
}
$$

表示資料層的轉換。

---

# 27. Semantic Bridge

$$
\boxed{
\overline B:
\llbracket X\rrbracket
\rightsquigarrow
\llbracket Y\rrbracket.
}
$$

---

# 28. Bridge Type

$$
\boxed{
\kappa(\mathfrak B).
}
$$

表示橋接類型。

---

# 29. Bridge Error

$$
\boxed{
\varepsilon(\mathfrak B).
}
$$

表示誤差、失真或包絡。

---

# 30. Exception Semantics

$$
\boxed{
\mathsf{Exc}(\mathfrak B)
}
$$

處理：

- overflow；
- underflow；
- NaN；
- infinity；
- invalid；
- domain escape。

---

# 31. Execution Semantics

$$
\boxed{
\mathsf{Exec}(\mathfrak B)
}
$$

記錄：

- machine format；
- instruction；
- rounding；
- environment；
- deterministic / nondeterministic behavior。

---

# 32. Address Map

依 NIOT-05：

$$
\boxed{
\mathsf{Addr}(\mathfrak B)
:
\mathcal I_X
\rightharpoonup
\mathcal I_Y.
}
$$

---

# 33. Bridge Certificate

$$
\boxed{
\mathsf{Cert}(\mathfrak B)
}
$$

至少記錄：

- source；
- target；
- rule；
- version；
- error；
- exception；
- replay；
- proof / test status。

---

# 34. Bridge Endpoint

定義：

$$
\boxed{
i_X
\xrightarrow{\mathfrak B}
i_Y.
}
$$

---

# 35. Exact Recoding

若 representation 改變，但語義 exact preserved：

$$
\boxed{
\kappa
=
\mathrm{EXACT\_RECODING}.
}
$$

要求：

$$
\boxed{
\llbracket B(x)\rrbracket_Y
=
\llbracket x\rrbracket_X.
}
$$

---

# 36. Example: Rational Re-encoding

$$
\frac12
\leftrightarrow
0.5
$$

在 exact decimal domain 中可以是 exact recoding。

---

# 37. Corecursive Expansion

若 finite seed 生成無界 stream：

$$
\boxed{
\kappa
=
\mathrm{CORECURSIVE\_EXPANSION}.
}
$$

例如：

$$
\frac13
\mapsto
0.333\dots
$$

---

# 38. Expansion 不是一次性 finite string

stream object 必須與 finite prefix 分開。

---

# 39. Completion Lifting

若：

$$
x_n
$$

作為 approximants 被提升到 completion object：

$$
\boxed{
\kappa
=
\mathrm{COMPLETION\_LIFT}.
}
$$

---

# 40. Quotient Identification

若多種 representation 被商化為同一 semantic class：

$$
\boxed{
\kappa
=
\mathrm{QUOTIENT\_IDENTIFICATION}.
}
$$

---

# 41. Example: Decimal Dual Expansion

$$
1.000\dots
$$

與：

$$
0.999\dots
$$

可以在實數語義中被識別為同一 completion value。

---

# 42. 但 representation identity 仍不同

即使：

$$
\llbracket r_1\rrbracket
=
\llbracket r_2\rrbracket,
$$

仍可能：

$$
r_1\neq r_2.
$$

---

# 43. Rounding Projection

若：

$$
x\in X
$$

被投影到有限 float：

$$
\boxed{
R_F(x)
=
f,
}
$$

則：

$$
\kappa
=
\mathrm{ROUNDING\_PROJECTION}.
$$

---

# 44. Rounding Cell

對 float：

$$
f,
$$

定義：

$$
\boxed{
C_f
=
\{
x:
R_F(x)=f
\}.
}
$$

這是一個非常重要的 fiber。

---

# 45. Float Fiber

因此：

$$
\boxed{
R_F^{-1}(f)
=
C_f.
}
$$

多個 exact values 可以投影到同一 float。

---

# 46. Rounding 非單射

一般：

$$
\boxed{
x_1\neq x_2
}
$$

但：

$$
R_F(x_1)=R_F(x_2).
$$

---

# 47. 因此 Float 不可唯一反推 Exact Value

$$
\boxed{
f
\not\Rightarrow
x_{\mathrm{unique}}.
}
$$

---

# 48. Interval Enclosure

若不回傳單一 approximate value，而回傳：

$$
[a,b]
$$

使：

$$
x\in[a,b],
$$

則：

$$
\boxed{
\kappa
=
\mathrm{INTERVAL\_ENCLOSURE}.
}
$$

---

# 49. Enclosure Certificate

需要：

$$
\boxed{
x\in I
}
$$

的可驗證保證。

---

# 50. Interval 不等於 Point Estimate

$$
\boxed{
[a,b]
\neq
\frac{a+b}{2}.
}
$$

---

# 51. Exception Escape

如果 source value 無法在 target domain 正常表示：

$$
\boxed{
\kappa
=
\mathrm{EXCEPTION\_ESCAPE}.
}
$$

---

# 52. Overflow

$$
|x|>\max\mathbb F.
$$

---

# 53. Underflow

小 magnitude 進入 subnormal / zero region。

---

# 54. NaN

NaN 不是一般實數值。

它需要獨立 semantic class。

---

# 55. Infinity

machine infinity 也不能自動等同數學上的 completed infinity object。

---

# 56. 第八類：Probe-Preserving Partial Bridge

NIOT 新增：

$$
\boxed{
\kappa
=
\mathrm{PROBE\_PRESERVING\_PARTIAL}.
}
$$

---

# 57. 定義

若不需要完整轉換：

$$
X\rightarrow Y,
$$

只要求某 probe family：

$$
\mathcal P^\star
$$

在兩域間保持可比較：

$$
\boxed{
P_Y(B(x))
\approx
T_P(P_X(x)).
}
$$

則可使用 partial bridge。

---

# 58. 為什麼重要？

因為：

$$
\boxed{
\text{完整表示轉換}
}
$$

可能：

- 昂貴；
- 不必要；
- 有失真；
- 不可逆。

但特定 probe 所需資訊可能可直接橋接。

---

# 59. Probe-Preserving Bridge Example

若只想知道：

$$
\operatorname{sign}(x),
$$

不必把 entire exact real 轉成 float。

只需：

$$
\boxed{
P_{\mathrm{sign}}
}
$$

能被安全橋接。

---

# 60. Local Bridge

更一般：

$$
\boxed{
B_U:
X|_U
\rightsquigarrow
Y|_V.
}
$$

只橋接局部地址區域。

---

# 61. Bridge Need Not Be Total

$$
\operatorname{Dom}(B)
\subsetneq X
$$

完全合法。

---

# 62. Partiality Must Be Explicit

不能把 undefined region 當成 error-free region。

---

# 63. Bridge Need Not Be Injective

rounding projection 就不是。

---

# 64. Bridge Need Not Be Surjective

某些 target representation 可能沒有 source preimage。

---

# 65. Bridge Need Not Be Invertible

這是一般情況。

---

# 66. Round-Trip

考慮：

$$
X
\xrightarrow{B}
Y
\xrightarrow{C}
X.
$$

---

# 67. Round-Trip Identity

只有在：

$$
\boxed{
C\circ B
=
\operatorname{id}_X
}
$$

時才是 exact round-trip。

---

# 68. Approximate Round-Trip

更一般：

$$
\boxed{
d_X
(
C(B(x)),x
)
\le
\varepsilon.
}
$$

---

# 69. Round-Trip Failure

若：

$$
C(B(x))
\neq x,
$$

不能單純說 bridge 錯。

可能是：

- rounding；
- quotient；
- compression；
- noninjective map；
- exception；
- completion mismatch。

---

# 70. Round-Trip Certificate

應記：

- start domain；
- intermediate domain；
- final domain；
- exact / approximate；
- error；
- lost information。

---

# 71. Bridge Composition

若：

$$
\mathfrak B_{XY}
$$

與：

$$
\mathfrak B_{YZ},
$$

可定義：

$$
\boxed{
\mathfrak B_{XZ}
=
\mathfrak B_{YZ}
\circ
\mathfrak B_{XY}.
}
$$

---

# 72. Composition Error

誤差不能簡單忽略：

$$
\boxed{
\varepsilon_{XZ}
=
\mathcal E
(
\varepsilon_{XY},
\varepsilon_{YZ}
).
}
$$

---

# 73. Composition Exception

例外集合也要傳遞：

$$
\boxed{
\mathsf{Exc}_{XZ}
}
$$

---

# 74. Bridge Path

跨多域：

$$
X_0
\rightarrow
X_1
\rightarrow
\cdots
\rightarrow
X_k.
$$

---

# 75. Bridge Path Cost

定義：

$$
\boxed{
K(\gamma_B)
=
\sum_i
K(\mathfrak B_i).
}
$$

---

# 76. Bridge Path Error

$$
\boxed{
E(\gamma_B)
=
\mathcal E
(
\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_k
).
}
$$

---

# 77. Once-Conversion Principle

若有多條 bridge path，通常希望避免不必要中介：

$$
X
\rightarrow
Y
\rightarrow
Z
$$

若存在合法 direct bridge：

$$
X
\rightarrow
Z.
$$

---

# 78. 但最少轉換不一定永遠最佳

direct bridge 可能：

- 誤差更大；
- 成本更高；
- certificate 更弱。

---

# 79. Bridge Optimization

因此應解：

$$
\boxed{
\gamma^\star
=
\arg\min_\gamma
\left(
\alpha K(\gamma)
+
\beta E(\gamma)
+
\gamma R(\gamma)
\right).
}
$$

---

# 80. Bridge Graph

建立：

$$
\boxed{
G_B
=
(V_B,E_B).
}
$$

node = representation / semantic domains。

edge = bridge。

---

# 81. Bridge Atlas

每個 domain 可以看成 chart。

跨域橋接構成：

$$
\boxed{
\mathcal A_B.
}
$$

---

# 82. Domain Chart

例如：

- exact rational chart；
- decimal chart；
- binary float chart；
- interval chart；
- symbolic real chart。

---

# 83. Cross-Domain Transition

$$
\boxed{
\phi_{YX}
}
$$

對應 bridge transition。

---

# 84. Bridge Consistency

在 triple path：

$$
X\rightarrow Y\rightarrow Z
$$

與 direct：

$$
X\rightarrow Z
$$

之間，可比較：

$$
\boxed{
\Delta_B
=
B_{XZ}
-
B_{YZ}\circ B_{XY}
}
$$

在適用語義中。

---

# 85. Bridge Defect

若：

$$
\Delta_B\neq0,
$$

需判斷：

- expected approximation；
- inconsistent semantics；
- invalid conversion；
- noncommuting completion；
- rounding path dependence。

---

# 86. Path Dependence

可能：

$$
\boxed{
B_{XZ}
\neq
B_{YZ}\circ B_{XY}.
}
$$

這是重要結構，不應一律視為 bug。

---

# 87. Bridge Holonomy

沿封閉 representation path：

$$
X_0
\rightarrow
X_1
\rightarrow
\cdots
\rightarrow
X_0,
$$

得到：

$$
\boxed{
\mathcal H_B.
}
$$

---

# 88. Nontrivial Bridge Holonomy

若：

$$
\mathcal H_B(x)\neq x,
$$

表示跨域 round-trip 有結構缺陷／失真／狀態變化。

---

# 89. Bridge Curvature Candidate

這可成為跨域 representation curvature 的候選定義。

本文不直接等同傳統 differential geometry curvature。

---

# 90. Float Rounding Geometry

對每個：

$$
f\in\mathbb F,
$$

其 rounding cell：

$$
C_f
$$

可看成 exact domain 中的一個 fiber region。

---

# 91. Cell Boundary

兩個 float：

$$
f_i,f_j
$$

之間的 rounding boundary：

$$
\boxed{
\partial C_{f_i,f_j}.
}
$$

---

# 92. Tie-Breaking

若 exact value 位於 boundary，rounding mode 決定投影。

---

# 93. Rounding Mode as Probe / Context

因此：

$$
\boxed{
\rho
=
\text{rounding mode}
}
$$

是 bridge context 的第一級參數。

---

# 94. Round-to-Nearest

只是一種：

$$
\rho.
$$

---

# 95. Directed Rounding

例如：

$$
\rho_\downarrow,
\qquad
\rho_\uparrow.
$$

---

# 96. Interval Arithmetic

利用 directed rounding 可以建立 certified enclosure。

---

# 97. Float Neighborhood Spectrum

可以對：

$$
k
$$

個 ULP radius 定義：

$$
\boxed{
P_k(f)
=
\mathcal N_k(f).
}
$$

這形成離散局部 spectrum。

---

# 98. Float Exponent Spectrum

也可按 exponent band 建 probe family。

---

# 99. Significand Probe

可以局部分析 significand structure。

---

# 100. 但 bit pattern 結構不是額外本體真理

它是 representation-dependent information。

---

# 101. Representation-Dependent Probe

定義：

$$
\boxed{
P^{(R)}
}
$$

只在特定 representation domain 有意義。

---

# 102. Representation-Invariant Probe

若跨多 representation 保持語義：

$$
\boxed{
P^{(\mathrm{inv})}.
}
$$

---

# 103. Bridge-Preserved Observable

如果：

$$
\boxed{
P_Y(B(x))
=
T(P_X(x))
}
$$

則稱 $P$ 被 bridge-preserved。

---

# 104. Bridge-Lost Observable

如果 source probe 無法在 target reconstruction：

$$
\boxed{
P_X
\not\rightsquigarrow
P_Y.
}
$$

---

# 105. Information Loss Manifest

每個 lossy bridge 應輸出：

```text
PRESERVED:
    ...

LOST:
    ...

APPROXIMATED:
    ...

UNKNOWN:
    ...
```

---

# 106. Scalar-Preserving but Structure-Losing Bridge

可能：

$$
\boxed{
\pi_v
\text{ preserved}
}
$$

但：

- provenance；
- precision；
- history；
- representation detail；

丟失。

---

# 107. Structure-Preserving but Scalar-Approximate Bridge

也可能：

- interval；
- symbolic enclosure；

保留更強結構，但不回傳單一 exact scalar。

---

# 108. Bridge Information Order

可以定義：

$$
\boxed{
\mathfrak B_1
\preceq
\mathfrak B_2
}
$$

若 $\mathfrak B_2$ 保留至少不小於 $\mathfrak B_1$ 的 task-relevant information。

---

# 109. Dominating Bridge

若：

$$
\mathfrak B_1
\preceq
\mathfrak B_2
$$

且成本不更高，可說：

$$
\mathfrak B_2
$$

dominates。

---

# 110. Bridge Pareto Frontier

在：

- cost；
- error；
- preserved info；
- trust；

之間建立 Pareto frontier。

---

# 111. Completion vs Float

對 exact real / completed real：

$$
x\in\mathbb R
$$

到：

$$
f\in\mathbb F
$$

通常是：

$$
\boxed{
\text{completion domain}
\rightarrow
\text{finite projection domain}.
}
$$

---

# 112. Float to Real

反方向：

$$
f
\mapsto
x_f
$$

通常可以精確嵌入：

$$
\boxed{
\iota_F:
\mathbb F
\hookrightarrow
\mathbb R.
}
$$

因為每個 finite float 可對應 exact dyadic rational。

---

# 113. 但這不恢復原 exact source

如果：

$$
x
\xrightarrow{R_F}
f,
$$

再：

$$
f
\xrightarrow{\iota_F}
x_f,
$$

一般：

$$
\boxed{
x_f
\neq
x.
}
$$

---

# 114. 所以 Float Round-Trip 是 Projection Then Embedding

$$
\boxed{
\mathbb R
\xrightarrow{R_F}
\mathbb F
\xrightarrow{\iota_F}
\mathbb R.
}
$$

---

# 115. 這不是 Identity

除非：

$$
x
$$

本來就是該 float 可精確表示值。

---

# 116. Exact-Representable Set

定義：

$$
\boxed{
E_F
=
\iota_F(\mathbb F).
}
$$

---

# 117. Exact Round-Trip Condition

若：

$$
x\in E_F,
$$

則可能：

$$
\boxed{
\iota_F(R_F(x))=x.
}
$$

在 compatible rounding 下。

---

# 118. Otherwise Approximate

若：

$$
x\notin E_F,
$$

則：

$$
\boxed{
\iota_F(R_F(x))
=
x+\delta,
}
$$

其中：

$$
\delta\neq0
$$

一般成立。

---

# 119. Error Probe

定義：

$$
\boxed{
P_{\mathrm{err}}(x)
=
\iota_F(R_F(x))-x.
}
$$

---

# 120. Relative Error

$$
\boxed{
P_{\mathrm{relerr}}(x)
=
\frac{
|\iota_F(R_F(x))-x|
}{
|x|
}
}
$$

當：

$$
x\neq0.
$$

---

# 121. ULP Error

可以改以 ULP 衡量。

---

# 122. Error Spectrum

隨 magnitude / exponent / rounding mode：

$$
\boxed{
\varepsilon(\lambda).
}
$$

形成 error spectrum。

---

# 123. Error Coupling

誤差可以與：

- scale；
- operation count；
- conditioning；
- representation；

耦合。

---

# 124. Operation Chain

考慮：

$$
f_0
\xrightarrow{\circ_1}
f_1
\xrightarrow{\circ_2}
\dots
\xrightarrow{\circ_n}
f_n.
$$

---

# 125. Execution Provenance

每一步應可記：

$$
\boxed{
\mathsf{Exec}_i.
}
$$

---

# 126. Cumulative Error

不能只看最後 float。

需要 operation chain certificate。

---

# 127. Floating-Point History Object

建立：

$$
\boxed{
\mathcal H_F
=
\{
(f_i,\circ_i,\rho_i,\varepsilon_i)
\}.
}
$$

---

# 128. Same Final Float, Different History

可能：

$$
f_n^{(A)}
=
f_n^{(B)}
$$

但：

$$
\mathcal H_F^{(A)}
\neq
\mathcal H_F^{(B)}.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{same float}
\not\Rightarrow
\text{same numerical information object}.
}
$$

---

# 129. Float Fiber by History

對 final float：

$$
f,
$$

可以存在：

$$
\boxed{
F_f^{\mathrm{hist}}.
}
$$

包含所有產生同一 final float 的不同 histories。

---

# 130. Probe on History Fiber

可以用：

- operation-depth probe；
- error probe；
- provenance probe；

細分。

---

# 131. Completion History

exact real object 也可以保存：

- Cauchy sequence；
- Dedekind-like representation；
- symbolic generator；
- oracle / stream；

等來源。

---

# 132. Same Real, Different Completion Representation

在 semantic value 上可能相同，但 representation identity 不同。

---

# 133. Completion Fiber

定義：

$$
\boxed{
F_x^{\mathrm{comp}}
=
\{
r:
\llbracket r\rrbracket=x
\}.
}
$$

---

# 134. Completion Probe

可以問：

- source construction；
- convergence rate；
- certificate；
- representation cost。

---

# 135. Generation Rate

若 approximant sequence：

$$
x_n
$$

存在，可定義：

$$
\boxed{
r_n
=
d(x_n,x).
}
$$

或其他 convergence measure。

---

# 136. Generation Rate 不等於 Object Value

這承接舊「生成速率—完成語義」系列。

---

# 137. Completion Time Is Not Mathematical Completion

有限 runtime 花費：

$$
T
$$

只是 execution cost。

不能把：

$$
T
$$

當成 completion 本體的一部分，除非 task 特別需要。

---

# 138. Completion Certificate

至少記：

- source representation；
- completion rule；
- equivalence criterion；
- limit semantics；
- verification status。

---

# 139. Cross-Domain Probe

定義：

$$
\boxed{
P^{X\to Y}
}
$$

直接比較 source / target 兩域的某個 invariant。

---

# 140. Bridge Fidelity Probe

例如：

$$
\boxed{
P_{\mathrm{fid}}
(
x,B(x)
)
}
$$

評估語義保留程度。

---

# 141. Bridge Identity Probe

判斷 canonical identity 是否應延續。

---

# 142. Same Object Across Representation

如果：

$$
\mathfrak N_X
$$

與：

$$
\mathfrak N_Y
$$

只是同一 canonical numerical object 的兩個表示 views，可令：

$$
\boxed{
\iota_C(\mathfrak N_X)
=
\iota_C(\mathfrak N_Y).
}
$$

---

# 143. Different Object with Same Value

如果來源／角色不同，則即使 value 一樣也可有不同 canonical identity。

---

# 144. Bridge Must Not Force Identity

跨域 bridge 不應自動把所有 same-value objects merge。

---

# 145. Identity Policy

需要：

$$
\boxed{
\mathsf{IDPolicy}(\mathfrak B).
}
$$

聲明：

- preserve identity；
- create view identity；
- create derived object；
- create new canonical object。

---

# 146. View-Preserving Bridge

只改表示：

$$
\boxed{
\text{PRESERVE\_CANONICAL\_ID}.
}
$$

---

# 147. Derived-Object Bridge

例如某數值經模型推導成新量：

$$
\boxed{
\text{NEW\_DERIVED\_ID}.
}
$$

---

# 148. Bridge Addressing

source endpoint：

$$
a_X.
$$

target endpoint：

$$
a_Y.
$$

bridge edge：

$$
a_B.
$$

---

# 149. Bridge Query

Runtime 可以問：

> 這個 float 從哪個 exact / measured / symbolic object 投影而來？

---

# 150. Reverse Bridge Query

也可以問：

> 哪些 representations 目前被認為對應同一 canonical object？

---

# 151. Bridge Registry

建立：

$$
\boxed{
\mathcal R_B.
}
$$

每個 bridge 記錄：

- ID；
- version；
- source；
- target；
- type；
- error；
- exceptions；
- identity policy；
- certificate。

---

# 152. Bridge Versioning

$$
\boxed{
\mathfrak B^{(v1)}
\neq
\mathfrak B^{(v2)}
}
$$

如果 conversion rule 改變。

---

# 153. Old Result Invalidation

bridge version 更新可能要求重新驗證舊 outputs。

---

# 154. Bridge Dependency DAG

composite conversions 形成 DAG。

---

# 155. Bridge Cache

相同 source state + bridge version 可以 cache。

---

# 156. Bridge Invalidation

source / bridge / rounding context 改變要 invalidate。

---

# 157. Bridge Security

external bridge 可能帶來：

- unsafe parser；
- data loss；
- code execution；
- untrusted conversion。

需要治理。

---

# 158. Bridge Trust Level

暫定：

```text
B0 — undocumented
B1 — deterministic
B2 — replay-tested
B3 — independently reproduced
B4 — formally specified
B5 — formally verified + independently reproduced
```

---

# 159. Bridge Certificate Object

$$
\boxed{
\mathfrak C_B
=
\left\langle
\text{id},
\text{rule},
\text{version},
\text{domain},
\text{codomain},
\text{error},
\text{exceptions},
\text{replay},
\text{trust}
\right\rangle.
}
$$

---

# 160. Exactness Is Typed

不能只寫：

```text
exact = true
```

要寫：

$$
\boxed{
\text{exact with respect to which semantics?}
}
$$

---

# 161. Representation Exactness

bits decode exact。

---

# 162. Value Exactness

semantic value exact。

---

# 163. Round-Trip Exactness

source recoverable exact。

---

# 164. Probe Exactness

specified probe preserved exact。

---

# 165. Identity Exactness

canonical identity preserved。

---

# 166. Different Exactness Notions Must Be Separate

$$
\boxed{
\text{exactness is multi-typed}.
}
$$

---

# 167. Error Is Also Typed

可能有：

- absolute error；
- relative error；
- ULP error；
- interval width；
- structural loss；
- provenance loss；
- address loss。

---

# 168. Error Vector

定義：

$$
\boxed{
\boldsymbol\varepsilon
=
(
\varepsilon_v,
\varepsilon_r,
\varepsilon_p,
\varepsilon_a,
\dots
).
}
$$

---

# 169. Scalar Error Is Not Enough

即使：

$$
\varepsilon_v=0,
$$

也可能：

$$
\varepsilon_p>0
$$

表示 provenance loss。

---

# 170. Multi-Objective Bridge Fidelity

因此 fidelity 可以是：

$$
\boxed{
F_B
=
F
(
\boldsymbol\varepsilon
).
}
$$

---

# 171. Task-Relative Fidelity

不同任務對不同 error component 權重不同。

---

# 172. Bridge Loss Budget

定義：

$$
\boxed{
L_B
\le
\tau_{\mathcal T}.
}
$$

---

# 173. Hard-Preserve Fields

某些 fields 可指定 infinite weight：

$$
w_i=\infty.
$$

一旦丟失 bridge 必須 fail。

---

# 174. Float as Lossy Bridge Result

對一般 exact real：

$$
\boxed{
R_F
}
$$

是 value-approximate、finite-storage 的 bridge。

---

# 175. Float as Exact Object in Its Own Domain

但對：

$$
f\in\mathbb F,
$$

它在自己的 finite float domain 中是 exact object。

---

# 176. 這兩句不矛盾

因為 exactness domain 不同。

---

# 177. Domain-Relative Exactness

$$
\boxed{
\operatorname{Exact}(f\mid\mathbb F)=1
}
$$

不推出：

$$
\operatorname{Exact}(f\mid\mathbb R,x)=1.
$$

---

# 178. Value Layer vs Representation Layer

同一 float：

$$
f
$$

可以 exact represent dyadic rational：

$$
q_f.
$$

但如果原 source：

$$
x\neq q_f,
$$

則 source approximation 非 exact。

---

# 179. Information Probe on Float Without Conversion

可以直接：

$$
P_{\mathrm{exponent}}(\mathfrak N_f),
$$

$$
P_{\mathrm{ULP}}(\mathfrak N_f),
$$

$$
P_{\mathrm{history}}(\mathfrak N_f).
$$

---

# 180. 這就是本系列起點的形式化

$$
\boxed{
\text{不必先換進位制，
才能看見 float 內部更多可計算資訊。}
}
$$

---

# 181. Representation Conversion Is One Probe Strategy

base conversion 可以寫成：

$$
\boxed{
P_{\mathrm{repr}\to R'}
}
$$

或 bridge：

$$
\mathfrak B_{R\to R'}.
$$

---

# 182. But Not the Only Strategy

另有：

- direct field probe；
- local neighborhood probe；
- spectral probe；
- provenance probe；
- bridge fidelity probe。

---

# 183. Cross-Base Comparison

binary、decimal、hex 可以被視為不同 representation charts。

---

# 184. Base Change as Chart Transition

$$
\boxed{
\phi_{b_1\to b_2}.
}
$$

---

# 185. Base Change Does Not Change Canonical Value Identity

若 exact recoding：

$$
\boxed{
\iota_C
\text{ preserved}.
}
$$

---

# 186. But Surface Structure Changes

digit pattern、length、local syntax 都會變。

---

# 187. Probe Spectrum Across Bases

可定義：

$$
\boxed{
\mathcal S_{\mathrm{base}}(b).
}
$$

---

# 188. Base-Dependent Motif

某些 pattern 只在特定 base 顯現。

不能直接升格成 representation-invariant property。

---

# 189. Invariant Probe Needed

若要主張本體性結構，需跨 representation 驗證。

---

# 190. Cross-Representation Structural Alignment

不是比字串相似，而是比：

- semantic role；
- canonical identity；
- bridge provenance；
- invariant relations。

---

# 191. Bridge Structural Alignment

定義：

$$
\boxed{
\operatorname{Align}_B
(
\mathfrak N_X,
\mathfrak N_Y
).
}
$$

---

# 192. Point Alignment vs Structural Alignment

同 BCODR：

- exact token equality；
- value equality；
- representation alignment；
- structural alignment；

必須分開。

---

# 193. Representation Alignment

兩表示是否描述同一 semantic value。

---

# 194. Structural Alignment

是否保留同一 higher-order mechanism / provenance / relation。

---

# 195. Example: 0.5

$$
0.5_{10}
$$

與：

$$
0.1_2
$$

value-aligned。

若來自同一 canonical object，還可 canonical-aligned。

---

# 196. Example: Same 0.5 from Different Sources

兩個：

$$
0.5
$$

可能 value-aligned，但 provenance 不同。

---

# 197. Example: Interval [0.49,0.51]

它不是 point-aligned with 0.5。

但：

$$
0.5\in[0.49,0.51].
$$

屬於 enclosure relation。

---

# 198. Typed Relation Needed

不能把：

```text
equal
contains
approximates
rounds_to
represents
```

混成一個 relation。

---

# 199. Bridge Relation Vocabulary

初版：

```text
EXACTLY_REPRESENTS
ROUNDS_TO
ENCLOSES
APPROXIMATES
COMPLETES_TO
QUOTIENTS_TO
EXPANDS_TO
EMBEDS_IN
ESCAPES_TO_EXCEPTION
PROBE_PRESERVES
```

---

# 200. Relation Is First-Class

每條 relation 都應 addressable / versioned / certifiable。

---

# 201. Cross-Domain UEFM

NIOT-03 的矩陣可以跨 representation domains。

---

# 202. Domain-Labeled Coordinates

index：

$$
\boxed{
i=(D,a).
}
$$

其中 $D$ 是 domain。

---

# 203. Cross-Domain Edge

$$
\boxed{
(D_X,a_X)
\xrightarrow{\mathfrak B}
(D_Y,a_Y).
}
$$

---

# 204. Bridge Matrix

可以建立：

$$
\boxed{
M_B
}
$$

記錄 domains 之間 bridge connectivity。

---

# 205. Sparse Bridge Graph

大多數 domain pairs 沒有 direct bridge，因此適合 sparse graph。

---

# 206. Bridge Frontier

未解析／高失真／高價值轉換 edge 形成：

$$
\boxed{
F_B.
}
$$

---

# 207. BCODR on Bridge Space

可從：

- source-capability outward；
- target-constraint inward；

雙向展開，定位可行 bridge spine。

---

# 208. Bridge Responsibility Spine

$$
\boxed{
S_B.
}
$$

表示真正承擔跨域轉換責任的少數 bridge nodes / edges。

---

# 209. Spectral Bridge

bridge 可能依：

$$
\lambda
$$

改變。

例如 precision：

$$
p.
$$

---

# 210. Precision-Parameterized Bridge

$$
\boxed{
\mathfrak B_p.
}
$$

---

# 211. Error Spectrum

$$
\boxed{
\varepsilon(p).
}
$$

---

# 212. Cost Spectrum

$$
\boxed{
K(p).
}
$$

---

# 213. Fidelity Spectrum

$$
\boxed{
F(p).
}
$$

---

# 214. Adaptive Precision Selection

選：

$$
\boxed{
p^\star
=
\arg\min_p
\left(
\alpha K(p)
+
\beta\varepsilon(p)
\right).
}
$$

subject to task closure。

---

# 215. Precision Is a Probe / Bridge Axis

這讓 precision 不再只是 static field。

---

# 216. Dynamic Precision

不同 epoch 可使用不同：

$$
p_t.
$$

---

# 217. Mixed Precision

UEFM 不同 cells 可以不同 precision。

---

# 218. Precision Address

$$
\boxed{
a_{\mathrm{precision}}(i).
}
$$

---

# 219. Precision Provenance

每次 precision change 應記錄。

---

# 220. Precision Loss

降精度要有 certificate。

---

# 221. Precision Reopen

若 task 要求更高 fidelity，可重新展開。

---

# 222. Exact Real Runtime

不必一次 materialize 無限 digits。

可以保存：

- generator；
- oracle；
- interval refinement；
- symbolic rule。

---

# 223. Lazy Exact Real

$$
\boxed{
\mathfrak N_x^{\mathrm{lazy}}.
}
$$

按需提供精度。

---

# 224. Request Precision

$$
\boxed{
P_p(\mathfrak N_x)
}
$$

要求到 precision $p$。

---

# 225. This Is Probe-Driven Materialization

而不是把完整無限 expansion 存在 RAM。

---

# 226. Exact Real and UEFM

每個 epoch 只 materialize finite precision block。

---

# 227. Unbounded Precision, Finite Epoch

$$
\boxed{
p_t<\infty
}
$$

但允許：

$$
\sup_t p_t=\infty.
$$

---

# 228. 與 UEFM 同型

這是：

$$
\boxed{
\text{finite actuality}
+
\text{unbounded extensibility}
}
$$

的另一實例。

---

# 229. Infinite Expansion Need Not Be Stored

只需保留生成規則與當前 certificate。

---

# 230. Decimal Stream

對：

$$
0.333\dots
$$

可表示為 corecursive stream。

---

# 231. Stream Prefix

任何 epoch 只持有：

$$
\boxed{
s_{1:n}.
}
$$

---

# 232. Completion Identity

stream representation 與 completed real identity 必須分開。

---

# 233. Approximation Chain

$$
\boxed{
x_1,x_2,\dots,x_n.
}
$$

---

# 234. Chain Provenance

每個 approximant 都可有 address。

---

# 235. Chain Limit Certificate

若聲稱：

$$
x_n\to x,
$$

需 convergence certificate。

---

# 236. Limit Is Not Last Prefix

$$
\boxed{
x
\neq
x_n
}
$$

一般成立。

---

# 237. This Corrects Finite-Machine Intuition

有限 prefix 不能被當成 completed object。

---

# 238. But Task May Only Need Prefix

如果 task closure 在：

$$
n=N
$$

達成，可停止。

---

# 239. Task-Relative Completion Sufficiency

不需要 ontology-total expansion。

---

# 240. Completion Probe

可以問：

> 目前 prefix 是否足以支持 task $\mathcal T$？

---

# 241. Completion Stop Rule

$$
\boxed{
\varepsilon_n
\le
\tau_{\mathcal T}.
}
$$

---

# 242. Completion Reopen

新 task 需要更高精度時：

$$
n
\rightarrow
n+k.
$$

---

# 243. Float as Task-Relative Projection

有些 task 中 float 足夠。

---

# 244. Others Need Exact / Interval

不能把一種 representation 全域宣布最佳。

---

# 245. Representation Selection

定義：

$$
\boxed{
R^\star
=
\arg\min_R
\left(
K(R)
+
L(R,\mathcal T)
\right).
}
$$

---

# 246. Representation Router

AI 可以根據 task 自動選：

- float；
- decimal；
- rational；
- interval；
- symbolic；
- exact lazy real。

---

# 247. Router Must Be Certifiable

選擇理由需要 trace。

---

# 248. Representation Switching

Runtime 可以在 task 中途切換 representation。

---

# 249. Switching Cost

$$
\boxed{
K_{\mathrm{switch}}.
}
$$

---

# 250. Switching Loss

$$
\boxed{
L_{\mathrm{switch}}.
}
$$

---

# 251. Switching Hysteresis

避免頻繁來回切 representation。

---

# 252. Representation Policy

可設：

```text
prefer_exact
prefer_speed
prefer_interval
prefer_replayability
```

---

# 253. Policy Is Not Semantics

policy 只影響路由。

---

# 254. Canonical Object Remains Above Representation

$$
\boxed{
\mathfrak N
}
$$

不應被某單一 representation 綁死。

---

# 255. CAIR Interface

這與 CAIR：

$$
\boxed{
\text{canonical object}
\neq
\text{projection}
}
$$

同構。

---

# 256. ICNS Interface

ICNS 負責 numeral interpretation。

---

# 257. MNVP Interface

MNVP 負責人類可感知呈現。

---

# 258. ISQL Interface

ISQL 可以為：

- bridge；
- endpoint；
- probe；
- representation；

提供 semantic address。

---

# 259. AIC Interface

AIC 提供跨 index / representation chart 的主動 transport。

---

# 260. Bridge as Active Index Transport

$$
\boxed{
\widehat{\mathcal E}_{i_X\to i_Y}
}
$$

可以由 $\mathfrak B$ 實作。

---

# 261. Transport Identity Policy

transport 是否保留 canonical identity 必須顯式聲明。

---

# 262. Float Probe Spectrum

可以建立：

$$
\boxed{
\mathcal S_f
=
\{
P_{\mathrm{bits}},
P_{\mathrm{exp}},
P_{\mathrm{sig}},
P_{\mathrm{ulp}},
P_{\mathrm{history}},
P_{\mathrm{error}}
\}.
}
$$

---

# 263. Float Coupling Matrix

分析：

- exponent × ULP；
- history × error；
- rounding × exception；

等耦合。

---

# 264. Representation Coupling

不同 representation 之間也可以建立：

$$
\boxed{
C_{R_iR_j}.
}
$$

---

# 265. Strong Bridge Coupling

若兩 representation 在 task invariants 上高度一致，可建立 strong coupling edge。

---

# 266. Bridge Degeneracy

多個 representation 對某 task 完全等價，可 quotient。

---

# 267. But Preserve Provenance

即使 quotient，也要保留來源與展開路徑。

---

# 268. Bridge Closure

對 task：

$$
\mathcal T,
$$

若：

1. source/target semantics 已明確；
2. error below threshold；
3. exceptions resolved；
4. identity policy decided；
5. required probes preserved；
6. certificate valid；

則：

$$
\boxed{
\operatorname{Close}^{B}_{\mathcal T}=1.
}
$$

---

# 269. Bridge Closure Is Local

它只表示該 bridge 對該 task 足夠。

---

# 270. Bridge Reopen

新 task / new precision / new probe 可重開。

---

# 271. Cross-Domain Closure Certificate

輸出：

- domains；
- bridge path；
- error；
- lost info；
- preserved probes；
- exceptions；
- identity policy；
- trust。

---

# 272. Minimal Runtime

第一版 NIOT-06 Runtime 可只做：

1. exact rational；
2. float64；
3. interval；
4. decimal string；
5. bridge registry；
6. error certificate；
7. probe-preserving bridge；
8. round-trip audit。

---

# 273. MVP Example A

source：

$$
\frac{1}{10}.
$$

bridge：

$$
\mathbb Q
\rightarrow
\mathbb F_{64}.
$$

---

# 274. Float Result

得到：

$$
f.
$$

---

# 275. Embed Back

$$
f
\rightarrow
q_f\in\mathbb Q.
$$

---

# 276. Compare

$$
\boxed{
q_f
\neq
\frac{1}{10}.
}
$$

一般成立。

---

# 277. Audit

記錄：

- exact source；
- float bits；
- exact dyadic value of float；
- absolute error；
- relative error。

---

# 278. MVP Example B

source：

$$
\sqrt2.
$$

target：

interval：

$$
[1.4142,1.4143].
$$

---

# 279. Relation

$$
\boxed{
\sqrt2
\in
[1.4142,1.4143].
}
$$

---

# 280. This Is Enclosure, Not Equality

---

# 281. MVP Example C

只需要 sign probe。

不必：

$$
\sqrt2
\rightarrow
\text{1000-digit decimal}.
$$

直接：

$$
\boxed{
P_{\mathrm{sign}}(\sqrt2)=+.
}
$$

這就是 probe-first / partial bridge。

---

# 282. MVP Example D

source float：

$$
f.
$$

想知道：

> 是不是由某 exact rational 投影而來？

這需要 provenance bridge，而不是看 bits 猜來源。

---

# 283. Same Bits, Different Provenance

不同 pipeline 可產生相同 float bits。

因此 bits 不能唯一恢復 history。

---

# 284. Information-Theoretic Irreversibility

非單射 bridge 必然造成 preimage multiplicity。

---

# 285. Bridge Fiber

對：

$$
y\in Y,
$$

定義：

$$
\boxed{
F_y^B
=
B^{-1}(y).
}
$$

---

# 286. Fiber Cardinality

如果：

$$
|F_y^B|>1,
$$

target 無法唯一恢復 source。

---

# 287. Bridge Fiber Probe

可以用其他資訊縮小 preimage。

例如 provenance。

---

# 288. Multi-Probe Source Reconstruction

$$
\boxed{
F_y^{B,P_1,\dots,P_k}
}
$$

逐步細化。

---

# 289. Exact Reconstruction Condition

當：

$$
|F_y^{B,\mathcal P}|=1,
$$

才可在指定資訊語言下唯一重建。

---

# 290. Reconstruction Is Probe-Relative

這與 NIOT-02 完全一致。

---

# 291. Bridge Fiber and Micro-Numerical World

因此跨域後的資訊差可以被視為：

$$
\boxed{
\text{bridge fiber structure}.
}
$$

---

# 292. Float Fiber as Microscopic Region

一個 float：

$$
f
$$

對應 exact domain 中一整個 rounding cell。

---

# 293. 所以「一個 float 是一個點」只在 float domain 成立

在 source exact domain：

$$
\boxed{
f
}
$$

更像是一個 projection fiber 的標籤。

---

# 294. 這是重要本體分層

$$
\boxed{
\text{point in target domain}
\leftrightarrow
\text{region / fiber in source domain}.
}
$$

---

# 295. Probe Can Enter the Fiber

如果有 additional context / provenance / interval，可進一步細分 rounding fiber。

---

# 296. Fiber Refinement Matrix

UEFM 可以 materialize：

$$
\boxed{
M_t(F_f).
}
$$

---

# 297. Fiber Spectrum

沿 precision / source / history 建：

$$
\boxed{
\mathcal S(F_f).
}
$$

---

# 298. Fiber Index Geometry

NIOT-05 可給：

$$
\boxed{
\mathcal I(F_f).
}
$$

---

# 299. Bridge BCODR

Outward：

source candidates。

Inward：

target constraints / certificates。

兩邊 overlap 可定位 plausible source spine。

---

# 300. Bridge Responsibility Spine

$$
\boxed{
S_B
}
$$

可以表示：

> 哪些 source subregions 仍可能對應目前 target state。

---

# 301. 這是 BCODR 的跨域一般化

---

# 302. Formalization Targets

第一階段 Lean / Coq：

1. exact recoding；
2. rounding projection；
3. float embedding；
4. round-trip condition；
5. bridge fiber；
6. noninjective bridge implies non-unique reverse；
7. probe-preserving partial bridge；
8. task-relative bridge closure。

---

# 303. IEEE-Specific Formalization Can Be Later

初版先做 abstract finite float domain 即可。

---

# 304. Theorem 1 — Projection Non-Invertibility Under Noninjective Rounding

若：

$$
R_F
$$

非 injective，則不存在 function：

$$
G:\mathbb F\to X
$$

使：

$$
G\circ R_F
=
\operatorname{id}_X
$$

在整個 $X$ 上成立。

---

# 305. Proof Sketch

若存在：

$$
x_1\neq x_2
$$

但：

$$
R_F(x_1)=R_F(x_2)=f,
$$

則：

$$
G(f)
$$

不可能同時等於：

$$
x_1
$$

與：

$$
x_2.
$$

Q.E.D.

---

# 306. Theorem 2 — Exact Float Embedding Does Not Recover Rounded Source

若：

$$
x\notin E_F,
$$

則一般：

$$
\boxed{
\iota_F(R_F(x))
\neq
x.
}
$$

---

# 307. Theorem 3 — Probe-Preserving Bridge Need Not Be Full Bridge

如果 task 只要求 probe family：

$$
\mathcal P^\star,
$$

只需建立：

$$
P_Y\circ B
=
T_P\circ P_X
$$

對 $\mathcal P^\star$ 成立。

不需要 source 所有結構可轉換。

---

# 308. Theorem 4 — Same Target Value Does Not Imply Same Source Object

若：

$$
B(x_1)=B(x_2)
$$

且：

$$
x_1\neq x_2,
$$

target equality 不能推出 source identity。

---

# 309. Theorem 5 — Finite Precision Does Not Imply Finite Extensibility

每 epoch：

$$
p_t<\infty
$$

仍可允許：

$$
\sup_t p_t=\infty.
$$

---

# 310. Open Problem：Bridge Category

能否以：

- domains as objects；
- bridges as morphisms；

建立 category，同時保留 partiality / error / exceptions？

---

# 311. Open Problem：Approximate Category

需要處理：

$$
\varepsilon
$$

不為零的 morphisms。

---

# 312. Open Problem：Bridge Curvature

closed conversion loop 的 defect 是否可形成可用曲率理論？

---

# 313. Open Problem：Minimal Probe-Preserving Bridge

對 task：

$$
\mathcal T,
$$

最小需要橋接哪些 probes？

---

# 314. Open Problem：Fiber Complexity

rounding fiber / quotient fiber 的結構複雜度如何量化？

---

# 315. Open Problem：Representation Search

在多 representation 間，是否應先找最適表示再解問題？

---

# 316. Open Problem：AI Bridge Router

AI 是否能根據：

- task；
- error；
- cost；
- certificate；

動態選 representation path？

---

# 317. Open Problem：Cross-Model Numerical Semantics

不同 AI / runtime 對同一 numerical object 的 representations 如何對齊？

---

# 318. 與 NIOT-07 的接口

下一篇將處理：

$$
\boxed{
\textbf{雙向結構定位與責任閉包。}
}
$$

NIOT-06 提供給它的核心對象是：

$$
\boxed{
\text{bridge fiber}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{source / target responsibility fields}.
}
$$

---

# 319. NIOT-07 將不只在幾何 proof space 用 BCODR

它會把 BCODR 推廣到：

- bridge space；
- probe space；
- matrix frontier；
- source reconstruction；
- representation alignment。

---

# 320. 本篇最重要的六句話

第一：

$$
\boxed{
\text{float}
\neq
\text{whole numerical object}.
}
$$

第二：

$$
\boxed{
\text{representation}
\neq
\text{completion}.
}
$$

第三：

$$
\boxed{
\text{rounding projection}
\neq
\text{invertible conversion}.
}
$$

第四：

$$
\boxed{
\text{same target value}
\not\Rightarrow
\text{same source identity}.
}
$$

第五：

$$
\boxed{
\text{full conversion is not always necessary;
probe-preserving partial bridges can be enough}.
}
$$

第六：

$$
\boxed{
\text{every lossy bridge must expose its fiber, loss, exception, address, and certificate semantics}.
}
$$

---

# 321. 結論

本篇把 NIOT 最早的直覺正式接回來。

我們一開始以為：

$$
\boxed{
\text{浮點數}
=
\text{數值本身}.
}
$$

更精確地說，現代計算常在工程上把它當作足夠的工作對象。

但 NIOT 現在可以寫出：

$$
\boxed{
f
=
\pi_F(\mathfrak N).
}
$$

因此：

$$
f
$$

是合法、重要、可精確定義的機器數值對象，

但它不必等於：

$$
\mathfrak N
$$

的全部資訊。

同時，我們也不再需要把「看見更多資訊」等同於：

$$
\boxed{
\text{先改進位制。}
}
$$

改進位制只是：

$$
\boxed{
\text{representation bridge}
}
$$

的一個特例。

我們還可以：

- 直接 probe exponent；
- 直接 probe ULP neighborhood；
- 直接 probe provenance；
- 直接 probe history；
- 直接 probe rounding fiber；
- 建立 interval enclosure；
- 沿 precision spectrum 展開；
- 只橋接 task-relevant probes。

因此，數值微觀世界在這一篇獲得了一個非常具體的跨域圖像：

$$
\boxed{
\text{target point}
\leftrightarrow
\text{source fiber}.
}
$$

一個有限 float 在自己的 domain 中可以是一個精確 point，

但在更高資訊來源域中，它可能對應：

$$
\boxed{
\text{一整個被 projection 壓縮過的來源區域。}
}
$$

這個來源區域可以被：

- probe；
- spectrum；
- provenance；
- bridge certificate；
- BCODR；
- UEFM；

持續細化。

所以本文最終得到：

$$
\boxed{
\text{有限機器表示不是數值研究的終點，
而是數值資訊物件的一個可定位、可驗證、可回溯的投影界面。}
}
$$

而跨域計算也不應再被寫成模糊的：

$$
x
\rightarrow
y.
$$

而應寫成：

$$
\boxed{
(\mathfrak N_X,i_X)
\xrightarrow{
\mathfrak B,\,
\varepsilon,\,
\mathsf{Exc},\,
\mathsf{Cert}
}
(\mathfrak N_Y,i_Y).
}
$$

這為下一篇：

$$
\boxed{
\textbf{NIOT-07 — 雙向結構定位與責任閉包}
}
$$

提供完整入口。

---

# Canonical Source Declaration

本檔為 `NIOT-06-v0.1` 的 UTF-8 Markdown canonical source。

數學 delimiter 僅使用 ` $...$ ` 與 `$$...$$`。

本文正式整合：
- float as projection；
- float information object；
- generation / completion / representation / execution separation；
- exact recoding；
- corecursive expansion；
- completion lifting；
- quotient identification；
- rounding projection；
- interval enclosure；
- exception escape；
- probe-preserving partial bridge；
- bridge fiber；
- bridge endpoint；
- bridge identity policy；
- bridge certificate；
- round-trip semantics；
- error vector；
- task-relative fidelity；
- precision spectrum；
- exact-real lazy materialization；
- cross-domain UEFM；
- bridge BCODR interface。

本文不宣稱：
- 所有浮點誤差都能由單一 scalar error 描述；
- 所有跨域轉換可逆；
- 所有 representation 具有相同資訊容量；
- 所有 exactness 概念相同；
- 所有 completion representation 具有唯一形式；
- 所有 bridge loop defect 都已形成完整 curvature theory。

後續 NIOT-07 應以 bridge fiber、source/target responsibility fields 與 BCODR 一般化作為主要基礎。

===END===