NIOT-03 — 無界展開有限矩陣：動態有限維、稀疏結構與任務閉包

Unboundedly Expandable Finite Matrices: Dynamic Finite Dimensionality, Sparse Structure, and Task-Relative Closure

系列： Numerical Information Object Theory（NIOT）／數值資訊物件論
篇次： Paper 03
作者： Neo.K
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司
版本： v0.1
日期： 2026-09-22
文件性質： 動態矩陣論／Runtime 本體／有限—無界橋接論文
前置： NIOT-00、NIOT-01、NIOT-02
相關理論： ISQL、AIC、BCODR、CAIR、SEDB、動態索引、完成—投影雙向語義
狀態： DRAFT / DYNAMIC MATRIX FOUNDATION / IMPLEMENTATION-READY
Canonical Source： UTF-8 Markdown
數學原始碼規範： inline math 僅使用 $...$ ，display math 僅使用 $$...$$

摘要

NIOT-01 建立數值資訊物件與投影非同一原理；NIOT-02 進一步將資訊探針定義為可細化等價類、可組合、可驗證且具有成本的第一級觀測算子。當探針逐步增加時，系統隨即面臨一個核心工程與數學問題：如何讓資訊維度可以持續增加，而任何實際執行狀態仍保持有限？

本文提出「無界展開有限矩陣」（Unboundedly Expandable Finite Matrix, UEFM）作為 NIOT 的核心動態表示。其基本原理為：

\boxed{ \forall t,\quad n_t<\infty, }

但：

\boxed{ \sup_t n_t=\infty. }

其中 $n_t$ 表示第 $t$ 個 epoch 中被激活的資訊維度。第一式保證任何時刻的狀態可被有限機器儲存、計算與驗證；第二式則表示理論與 Runtime 不預先設定固定最大維度，新的 probe、relation、index、spectrum、certificate、bridge 或局部結構可以在後續 epoch 被加入。

本文強調，UEFM 並不是「無限矩陣的近似」這麼簡單。它更準確地是一個動態有限結構序列：

\boxed{ M_0 \rightarrow M_1 \rightarrow M_2 \rightarrow \cdots }

其中每個 $M_t$ 都可以改變：

維度；
稀疏拓撲；
index set；
probe basis；
relation graph；
spectral coordinates；
certificate state；
compression state；
local neighborhood。

因此：

M_t \subseteq M_{t+1}

並非必要條件。更一般地：

\boxed{ M_{t+1} = \mathcal U \left( M_t, \Delta_t, \Gamma_t \right), }

其中 $\Delta_t$ 表示新資訊， $\Gamma_t$ 表示重索引、壓縮、合併、治理與結構轉換。

本文進一步定義 active dimension、latent dimension、structural rank、probe rank、sparse envelope、dynamic reindexing、matrix folding、task-relative compression、local expansion、frontier cell、closure certificate 與 bounded execution budget。特別重要的是，本文將「無界展開」與「無限執行」徹底分離：UEFM 允許未來存在新的資訊維度，但任何具體任務都可以在有限條件下達成閉包。

最終，本文提出：

\boxed{ \text{finite actuality} + \text{unbounded extensibility} + \text{task-relative closure} }

作為 NIOT 動態資訊結構的三重基礎。

關鍵詞： 無界展開有限矩陣、動態有限維、稀疏矩陣、Probe Matrix、任務閉包、動態索引、重索引、壓縮、局部展開、數值資訊空間

1. 問題：資訊維度可以增加，但機器永遠有限

NIOT-02 已經建立：

\mathcal P_t = \{ P_1,\dots,P_{n_t} \}.

每加入一個有效 probe：

P_{n_t+1},

系統便可能獲得新的可辨識維度。

因此資訊表示自然增長：

n_t \rightarrow n_{t+1}.

但任何真實機器：

記憶體有限；
計算時間有限；
儲存空間有限；
bandwidth 有限；
probe budget 有限。

所以不能要求：

n_t=\infty

在任何實際 epoch 成立。

本文的基本問題因此是：

\boxed{ \text{如何同時保留有限可執行性與無界可擴張性？} }

2. 無界展開有限矩陣的基本定義

2.1 Epoch-wise finite state

令：

t\in\mathbb N

表示離散 Runtime epoch。

每個 epoch 定義有限 active index set：

\boxed{ I_t = \{ i_1,\dots,i_{n_t} \}. }

且：

\boxed{ n_t=|I_t|<\infty. }

2.2 Finite matrix state

定義：

\boxed{ M_t = \left[ m^{(t)}_{ij} \right]_{i,j\in I_t}. }

因此：

M_t \in \mathbb K^{n_t\times n_t}

只是最簡單情況。

更一般地，矩陣元素可以位於：

\mathcal V

其中 $\mathcal V$ 可以是：

scalar；
interval；
symbolic object；
relation state；
certificate；
sparse object；
structured record；
tensor block。

2.3 Unbounded extensibility

定義 UEFM 的核心條件：

\boxed{ \forall t,\quad n_t<\infty, }

並允許：

\boxed{ \sup_t n_t=\infty. }

這裡的「允許」非常重要。

它不宣稱：

\lim_{t\to\infty}n_t=\infty

對每一個任務都必然成立。

它只表示系統架構不預先設一個理論最大維度。

3. 有限實現與無界延展

本文稱：

\boxed{ \forall t,\quad n_t<\infty }

為：

Finite Actualization Principle。

稱：

\boxed{ \sup_t n_t=\infty }

為：

Unbounded Extensibility Principle。

兩者一起形成：

\boxed{ \text{Finite Actuality} + \text{Unbounded Extensibility}. }

4. UEFM 不是靜態無限矩陣的截斷

4.1 靜態截斷模型

一個傳統無限矩陣近似可能寫成：

A_\infty \rightarrow A_n.

其中：

A_n

只是：

A_\infty

的有限截斷。

4.2 UEFM 不要求預先存在一個完成矩陣

NIOT 的 UEFM 不要求先有：

M_\infty

作為已知完整對象。

更合理的是：

\boxed{ M_t \rightarrow \text{new distinction} \rightarrow M_{t+1}. }

也就是：

\boxed{ \text{representation grows with discovery}. }

4.3 Open-ended dimensionality

因此：

n_{t+1}

可以由新 probe、index、relation 或 certificate 決定，而不是由預先固定的 infinite coordinate set 決定。

5. Probe-induced Matrix

5.1 Probe coordinates

由 NIOT-02：

\mathcal P_t = \{ P_1,\dots,P_{n_t} \}.

最簡單的資訊向量為：

\boxed{ \mathbf p_t(\mathfrak N) = \begin{bmatrix} P_1(\mathfrak N)\\ P_2(\mathfrak N)\\ \vdots\\ P_{n_t}(\mathfrak N) \end{bmatrix}. }

5.2 Relation matrix

若要記錄 probe 之間的關係，定義：

\boxed{ m_{ij}^{(t)} = R_t \left( P_i(\mathfrak N), P_j(\mathfrak N) \right). }

因此：

\boxed{ M_t = \left[ R_t(P_i,P_j) \right]. }

5.3 Matrix 不一定對稱

一般情況：

m_{ij}\neq m_{ji}.

例如：

dependency；
derivation；
causal order；
address transition；
directed certificate；
bridge direction。

因此 UEFM 預設允許 directed structure。

6. Active Dimension 與 Latent Dimension

6.1 Active dimension

定義：

\boxed{ d_{\mathrm{act}}(t) = n_t. }

表示當前真正被 materialize 的資訊維度。

6.2 Latent dimension

令：

\Lambda_{\mathrm{avail}}(t)

為目前可發現但未 materialize 的 probe / coordinate 候選。

則：

\boxed{ d_{\mathrm{lat}}(t) = |\Lambda_{\mathrm{avail}}(t)|. }

它可以：

有限；
很大；
未知；
理論上無界。

6.3 Active 不等於 Total

因此：

\boxed{ d_{\mathrm{act}} \neq d_{\mathrm{total}}. }

目前矩陣維度只是：

\boxed{ \text{current explicit information dimension}. }

7. Structural Rank

傳統 matrix rank：

\operatorname{rank}(M_t)

只適用線性代數語境。

NIOT 需要更一般的 structural rank：

\boxed{ \rho_s(M_t) }

表示：

當前 active coordinates 中，實際有多少彼此不可由既有規則消去或重建的結構自由度。

在純線性 scalar matrix 中可令：

\rho_s(M_t) = \operatorname{rank}(M_t).

但在 graph / certificate / symbolic state 中，需另定義。

8. Probe Rank

對 probe set：

\mathcal P_t,

定義：

\boxed{ \rho_P(\mathcal P_t) }

為最小 probe basis 大小。

若：

|\mathcal P_t|=100

但只有：

\rho_P=12,

表示大量 probes 是：

redundant；
derived；
dominated；
equivalent。

9. Matrix Expansion

9.1 Additive expansion

最簡單：

I_{t+1} = I_t \cup \{i_{n_t+1}\}.

因此：

M_t \mapsto M_{t+1}.

9.2 Block expansion

可一次加入 block：

J_t = \{ j_1,\dots,j_k \}.

則：

\boxed{ I_{t+1} = I_t \cup J_t. }

9.3 Local expansion

只展開某個子區域：

U\subseteq I_t.

定義：

\boxed{ \operatorname{ExpandLocal} ( M_t,U ) \rightarrow M_{t+1}. }

這是避免全域維度爆炸的主要機制。

10. Matrix Contraction

UEFM 不要求維度單調增加。

若某些 coordinates：

redundant；
obsolete；
invalid；
revoked；
compressed；

可以移除。

因此：

\boxed{ n_{t+1} < n_t }

完全合法。

11. General Update Law

本文採用：

\boxed{ M_{t+1} = \mathcal U \left( M_t, \Delta_t, \Gamma_t \right). }

其中：

$\Delta_t$ ：new observations / probes / relations；
$\Gamma_t$ ：reindex / merge / split / compression / governance / invalidation rules。

這比：

M_t\subseteq M_{t+1}

更一般。

12. Sparse Envelope

12.1 稠密矩陣不是預設

若：

n_t

大，而真正關係數：

|E_t|

遠小於：

n_t^2,

則應使用 sparse representation。

定義 density：

\boxed{ \delta_t = \frac{|E_t|}{n_t^2}. }

若：

\delta_t\ll1,

則 dense matrix 是浪費。

12.2 Sparse UEFM

表示為：

\boxed{ M_t \equiv (I_t,E_t,\omega_t). }

其中：

$I_t$ ：indices；
$E_t$ ：active relations；
$\omega_t$ ：edge / cell payload。

因此 UEFM 在工程上可以更接近：

\boxed{ \text{sparse dynamic graph with matrix semantics}. }

13. Matrix / Graph Duality

一個 UEFM 可以同時表示為：

M_t

或：

G_t=(V_t,E_t).

其中：

V_t=I_t.

矩陣視角方便：

linear operators；
algebra；
GPU；
tensorization。

圖視角方便：

sparse traversal；
provenance；
locality；
adaptive expansion。

因此本文不把矩陣形式視為唯一物理實作。

14. Matrix / Hypergraph Extension

若 relation 涉及：

k>2

個 coordinates，pairwise matrix 可能不足。

因此可建立：

\boxed{ \mathcal H_t = (V_t,\mathcal E_t) }

hypergraph。

UEFM 在概念上允許：

\boxed{ \text{matrix} \leftrightarrow \text{graph} \leftrightarrow \text{hypergraph} }

作為不同 projection。

15. Dynamic Reindexing

15.1 Index 可以改變

令：

\rho_t: I_t \rightarrow I_t'.

定義：

\boxed{ M_t' = \rho_t(M_t). }

這是 reindexing。

15.2 Identity preservation

若只是地址改變，canonical object identity 應保持：

\boxed{ \iota(M_t') = \iota(M_t). }

這承接 AIC。

16. Split

一個 coordinate：

i

可能被新 probe 發現其實包含：

i_1,i_2,\dots,i_k.

定義：

\boxed{ \operatorname{Split}(i) = \{i_1,\dots,i_k\}. }

這是微觀化的重要操作。

17. Merge

若：

i_1,\dots,i_k

對當前任務等價，可定義：

\boxed{ \operatorname{Merge} ( i_1,\dots,i_k ) = \hat i. }

要求保留：

\boxed{ \text{merge certificate}. }

18. Split / Merge 不互為天然逆

通常：

\operatorname{Merge} \circ \operatorname{Split}

可能有資訊損失。

因此需證書：

\boxed{ \varepsilon_{\mathrm{merge}}. }

19. Matrix Folding

當多個 coordinates 共享相同結構模式時，可做：

\boxed{ \operatorname{Fold} ( M_t ) \rightarrow \widehat M_t. }

Fold 不是刪除，而是建立：

equivalence class；
representative；
multiplicity；
unfolding map。

20. Matrix Unfolding

如果 fold 保留了足夠資訊，可做：

\boxed{ \operatorname{Unfold} ( \widehat M_t ) \rightarrow M_t. }

若不能 exact reconstruct，必須標記：

\boxed{ \text{lossy fold}. }

21. Compression

21.1 Task-relative compression

定義：

\boxed{ C_{\mathcal T} : M_t \rightarrow \widehat M_t. }

要求：

\boxed{ \operatorname{Close}_{\mathcal T}(M_t) = \operatorname{Close}_{\mathcal T}(\widehat M_t). }

至少在 task-required invariants 上等價。

21.2 Lossless 與 Lossy

若：

M_t

可以完全重建：

\boxed{ C_{\mathcal T} \text{ is lossless}. }

否則：

\boxed{ C_{\mathcal T} \text{ is lossy}. }

22. Compression Certificate

每次 lossy compression 必須記錄：

\boxed{ \mathcal C_{\mathrm{comp}} = \langle \text{preserved}, \text{discarded}, \text{error}, \text{task} \rangle. }

這與 MNVP 的 loss budget 思想相容，但作用在 Runtime state，而非視覺投影。

23. Frontier Coordinates

定義：

\boxed{ F_t \subseteq I_t }

為 frontier。

Frontier 表示：

unresolved；
expandable；
high information gain；
structurally ambiguous；
near certificate boundary。

24. Interior Coordinates

若某 coordinate 已經：

stable；
closed；
compressed；
low uncertainty；

可放入：

\boxed{ K_t = I_t\setminus F_t. }

稱 closed interior。

25. Frontier-First Expansion

下一輪 probe 優先作用於：

F_t.

因此：

\boxed{ P_{t+1} = \operatorname{Select} ( F_t ). }

這可大幅降低 global expansion cost。

26. BCODR Frontier

BCODR 型系統可以把 overlap / unresolved responsibility region 直接標成：

\boxed{ F_t^{\mathrm{BCODR}}. }

然後只對 surviving spine 展開更高解析度。

27. Local Matrix

對：

U\subseteq I_t,

定義 principal / induced local state：

\boxed{ M_t[U]. }

很多高成本運算只需在：

M_t[U]

上執行。

28. Local Closure

定義：

\boxed{ \operatorname{Close}_{\mathcal T} ( M_t[U] ) = 1. }

表示局部區域已對任務閉包。

整體 matrix 可以尚未閉包。

29. Hierarchical Closure

可定義：

U_1 \subset U_2 \subset \cdots \subset I_t.

若：

\operatorname{Close}_{\mathcal T}(M_t[U_k])=1,

則某些外層可能不必展開。

30. Epoch

每一次結構更新產生：

\boxed{ \mathsf E_t. }

epoch 應記錄：

matrix version；
active indices；
active probes；
update rule；
provenance；
certificate state；
closure state。

31. Persistent Identity Across Epochs

若：

M_t

與：

M_{t+1}

只是同一 numerical information system 的不同狀態，則：

\boxed{ \iota(M_t) = \iota(M_{t+1}). }

除非發生 canonical fork。

32. Canonical Fork

若更新導致互不兼容的兩個合法狀態：

M_{t+1}^{(A)}, \qquad M_{t+1}^{(B)},

則可以建立：

\boxed{ \operatorname{Fork}(M_t). }

不能假裝只有一條歷史。

33. Matrix Provenance

每個 cell / edge：

m_{ij}^{(t)}

應可追溯：

\boxed{ \operatorname{Prov} ( m_{ij}^{(t)} ). }

來源至少可能包括：

direct probe；
derived probe；
import；
bridge；
inference；
certificate；
manual assertion。

34. Cell State

每個 cell 可以標記：

KNOWN
UNKNOWN
INFERRED
DERIVED
OBSERVED
NOT_APPLICABLE
WITHHELD
REVOKED
STALE

因此矩陣不是只存值，也存 epistemic state。

35. Unknown Cell 不等於 Zero

這是非常重要的保護條件：

\boxed{ \text{UNKNOWN} \neq 0. }

同樣：

\boxed{ \text{missing edge} \neq \text{zero relation}. }

36. Explicit Sparsity

因此 sparse representation 必須區分：

\boxed{ \text{structural zero} }

與：

\boxed{ \text{unobserved}. }

37. Dynamic Dimension

資訊維度應寫成：

\boxed{ n = n ( \mathfrak N, t, \mathcal T, \mathcal P_t ). }

因此：

n

不是固定常數。

38. Dimension Growth Rate

定義：

\boxed{ g_t = n_{t+1}-n_t. }

如果：

g_t>0,

為 expansion。

若：

g_t<0,

為 contraction / compression。

39. Relative Growth

定義：

\boxed{ r_t = \frac{ n_{t+1}-n_t }{ \max(1,n_t) }. }

可以用來監控 dimension explosion。

40. Probe Growth 與 Matrix Growth 不必相等

即使新增：

k

個 probe，也不一定：

n_{t+1}=n_t+k.

因為：

probes 可以 redundant；
多 probe 可以映射同一 coordinate；
probe 可產生 block；
probe 可造成 split；
probe 可觸發 merge。

41. Expansion Operator

定義：

\boxed{ \mathcal E: (M_t,Q_{t+1}) \mapsto M_{t+1}. }

其中：

Q_{t+1}

是 NIOT-02 選出的 probe plan。

42. Contraction Operator

定義：

\boxed{ \mathcal C: (M_t,\tau) \mapsto \widehat M_t. }

其中：

\tau

是 task / cost / redundancy threshold。

43. Reindex Operator

定義：

\boxed{ \mathcal R: (M_t,\rho) \mapsto M_t'. }

44. Repair Operator

當 matrix 出現：

stale cell；
conflict；
certificate revoke；
invalid bridge；

可用：

\boxed{ \mathcal F: M_t \mapsto M_t^{\mathrm{repaired}}. }

45. Update Algebra

因此 Runtime 基本算子可以寫成：

\boxed{ \mathfrak A_M = \langle \mathcal E, \mathcal C, \mathcal R, \mathcal F, \operatorname{Split}, \operatorname{Merge}, \operatorname{Fold} \rangle. }

46. Update Non-Commutation

一般情況：

\mathcal C\circ\mathcal E \neq \mathcal E\circ\mathcal C.

同樣：

\operatorname{Merge}\circ\operatorname{Split} \neq \operatorname{Split}\circ\operatorname{Merge}.

所以 update order 是第一級問題。

47. Update Trace

每次 epoch 應保存：

\boxed{ \mathcal T_t = \left( M_t, \mathcal O_t, M_{t+1} \right) }

其中 $\mathcal O_t$ 是本輪操作序列。

48. Matrix History

完整歷史：

\boxed{ \mathcal H_M = \{ \mathcal T_0, \mathcal T_1, \dots \}. }

這為 replay、rollback、audit 提供基礎。

49. Rollback

若 epoch：

t+1

被判定無效，可：

\boxed{ M_{t+1} \rightarrow M_t. }

但 external side effects 必須另外處理。

50. Snapshot

對任一 epoch：

t,

建立：

\boxed{ S_t = \operatorname{Snapshot}(M_t). }

可以作為：

proof checkpoint；
publication artifact；
test fixture；
cross-AI handoff。

51. Matrix State Hash

若需要 integrity：

\boxed{ h_t = H ( \operatorname{CanonicalSerialize}(M_t) ). }

這讓不同 Runtime 可以核對同一狀態。

52. Matrix Closure

52.1 絕對閉包不要求

本文不要求：

M_t

達到宇宙性的全資訊完備。

52.2 Task closure

對任務：

\mathcal T,

定義：

\boxed{ \operatorname{Close}_{\mathcal T}(M_t)=1. }

如果：

required invariants 已決；
critical uncertainty 已低於門檻；
certificate obligations 關閉；
frontier 不再包含 task-critical unresolved region；
新 probe 預期效用低於閾值。

53. Closure Certificate

定義：

\boxed{ \mathcal C_{\mathrm{close}} = \langle \mathcal T, t, I_t, \mathcal P_t, F_t, \varepsilon_t, \text{reason} \rangle. }

54. Closed 不等於 Complete

\boxed{ \operatorname{Close}_{\mathcal T}=1 }

只表示：

\boxed{ \text{對任務 }\mathcal T\text{ 足夠。} }

不代表：

\boxed{ \text{對所有未來問題完備。} }

55. Reopen

若未來出現新任務：

\mathcal T',

舊閉包：

\operatorname{Close}_{\mathcal T}=1

不阻止：

\boxed{ \operatorname{Reopen}_{\mathcal T'}(M_t). }

56. Closure Is Relative

因此 closure 是：

\boxed{ \text{task-relative} + \text{epoch-relative} + \text{probe-relative}. }

57. Bounded Execution Budget

實際 Runtime 必須有 budget：

\boxed{ B = \langle B_{\mathrm{time}}, B_{\mathrm{memory}}, B_{\mathrm{compute}}, B_{\mathrm{probe}} \rangle. }

58. Budget-Constrained Expansion

定義：

\boxed{ \operatorname{Expand}_B }

只允許：

K(\mathcal E) \le B.

59. Graceful Stop

若 closure 未達成但 budget 用盡，不可假稱 PASS。

應輸出：

STATUS:
    INCOMPLETE_UNDER_BUDGET

CLOSED:
    false

REMAINING_FRONTIER:
    ...

NEXT_RECOMMENDED_EXPANSION:
    ...

60. Complexity

最簡單 dense matrix：

O(n_t^2)

storage。

Sparse matrix：

O(n_t+|E_t|).

因此：

\boxed{ \text{sparsity is essential for scalable UEFM}. }

61. Incremental Complexity

更新不應每次重算整個矩陣。

若只更新：

\Delta I_t

及局部 edges：

\Delta E_t,

則成本應盡量限制在：

\boxed{ O ( |\Delta I_t| + |\Delta E_t| ) }

或其附近。

62. Locality Principle

新增 probe 若只影響局部：

U\subset I_t,

則不得強制全域 recompute，除非 dependency graph 顯示需要。

63. Dependency Closure

若 coordinate：

i

改變，需找到：

\boxed{ \operatorname{Desc}(i) }

所有 downstream dependencies。

只 recompute：

\operatorname{Desc}(i).

64. SEDB 型稀疏持久化

UEFM 非常適合：

\boxed{ \text{sparse entity / relation store}. }

而不是一定要在 RAM 中 materialize 整個矩陣。

因此：

M_t

可被視為 logical matrix，而 storage 使用 sparse database。

65. Virtual Matrix

定義：

\boxed{ \widetilde M_t }

為 virtual matrix。

某些 cell：

m_{ij}

在被查詢前不計算。

這是：

\boxed{ \text{lazy materialization}. }

66. On-Demand Cell

當 probe 查詢：

(i,j),

才執行：

\boxed{ m_{ij} = \operatorname{Materialize}(i,j). }

67. Cached Cell

計算後可 cache：

\boxed{ \operatorname{Cache}(m_{ij}). }

若 dependencies 改變則 invalidate。

68. Matrix Projection

完整 matrix 可以投影成：

scalar summary；
graph；
heatmap；
spectral view；
proof spine；
local block。

定義：

\boxed{ \Pi_\alpha(M_t). }

69. Projection Non-Identity for Matrix

同樣：

\boxed{ \Pi_\alpha(M_t) \neq M_t. }

這承接 NIOT-01。

70. Matrix Identity Unit

每個 epoch state：

M_t

可以作為：

\boxed{ \mathbf 1_{M_t} }

一個可版本化的 identity unit。

而整個 temporal sequence：

\{M_t\}

又可以形成更高層 identity。

71. Nested Identity

因此：

\boxed{ \mathbf 1_{\mathfrak N} \supset \mathbf 1_{M_t} \supset \mathbf 1_{M_t[U]}. }

此處 $\supset$ 表示 identity containment，不是集合論強制關係。

72. Hierarchical Matrix

UEFM 可以有：

\boxed{ M_t^{(0)}, M_t^{(1)}, \dots, M_t^{(L)}. }

不同層代表不同解析度。

73. Coarse-to-Fine Expansion

先使用：

M_t^{(0)}

粗解析度。

只有 frontier 才進：

M_t^{(1)}.

再必要時進：

M_t^{(2)}.

74. Multi-Resolution Matrix

因此：

\boxed{ \mathcal M_t = \{ M_t^{(\ell)} \}_{\ell=0}^{L_t}. }

可以視為 multi-resolution UEFM。

75. Spectral Matrix

若 probe parameter：

\lambda

存在，則可定義：

\boxed{ M_t(\lambda). }

不同 $\lambda$ 對應不同資訊尺度。

76. Spectral Transition

若：

M_t(\lambda^-)

與：

M_t(\lambda^+)

在 topology / rank / active set 上不同，則：

\boxed{ \lambda }

是 spectral transition。

77. Matrix Fiber

對某個 matrix projection：

\Pi(M_t)=Y,

可定義：

\boxed{ F_Y^\Pi = \{ M:\Pi(M)=Y \}. }

這延續 NIOT-01 的 fiber 結構。

78. Matrix Refinement

加入 probe 或 split coordinate 後：

\boxed{ F_{t+1} \subseteq F_t. }

在等價類意義下，表示矩陣辨識力提高。

79. Matrix Degeneracy

若多 coordinates 長期完全同構，可出現：

\boxed{ \text{structural degeneracy}. }

此時 fold / quotient 是合理的。

80. Matrix Quotient

定義 equivalence：

i\sim j

若它們對任務 $\mathcal T$ 在所有 relevant probes 下不可區分。

則：

\boxed{ M_t/\sim }

可作為 compressed representation。

81. Quotient Certificate

必須記錄：

equivalence rule；
task；
omitted distinctions；
reversibility；
expansion map。

82. Dynamic Quotient

隨新 probe 加入，舊 quotient class 可以 split：

[i] \rightarrow [i_1]\cup[i_2].

因此 quotient 不是永遠固定。

83. Matrix Entropy

對 partition / state distribution，可選擇定義：

\boxed{ H(M_t). }

但本文不強制使用 Shannon entropy 作為唯一資訊量。

84. Matrix Information Gain

加入新 probe：

P

可定義：

\boxed{ \Delta I_t(P) = I(M_{t+1})-I(M_t). }

具體 $I$ 可依任務定義。

85. Utility of Expansion

定義：

\boxed{ U(\mathcal E) = \alpha\Delta I - \beta K - \gamma R. }

其中：

$\Delta I$ ：information gain；
$K$ ：cost；
$R$ ：risk。

86. Expansion Policy

AI controller 可以選：

\boxed{ \mathcal E_{t+1} = \arg\max_{\mathcal E} U(\mathcal E). }

87. Expansion Horizon

短視：

H=1.

長視：

H>1.

可規劃多步 matrix expansion。

88. Expansion Tree

候選未來狀態形成：

\boxed{ \mathcal T_M. }

每個 node 是一個可能 matrix state。

89. Pruning

低 utility branch 可以 prune：

\boxed{ \operatorname{Prune} ( \mathcal T_M ). }

90. BCODR on Expansion Tree

可用：

outward candidate growth；
inward constraint growth；

在 expansion tree 上做 BCODR。

因此 BCODR 不只作用 geometric proof space，也可以作用 matrix future space。

91. Matrix Responsibility Spine

經過雙向定位與 pruning 後，可留下：

\boxed{ S_M }

即 matrix responsibility spine。

表示：

哪些 coordinates / blocks / probes 仍真正承擔未解任務責任。

92. Global Matrix 與 Local Matrix

一個大型系統可以有：

M_t^{\mathrm{global}}

與：

M_{t,k}^{\mathrm{local}}.

Local matrices 可以由 agent / subsystem 獨立展開。

93. Merge of Local Matrices

若多個 local matrix 回傳：

M_{t,1},\dots,M_{t,k},

需要：

\boxed{ \operatorname{Reconcile} ( M_{t,1},\dots,M_{t,k} ) }

而不是直接 union。

94. Conflict Matrix

若 local results 衝突，可以建立：

\boxed{ C_t }

專門存：

conflict pair；
source；
version；
certificate；
unresolved reason。

95. Secondary Verification Matrix

高風險結果可建立：

\boxed{ V_t }

獨立於 primary matrix。

這延續 BCODR-LUC 的：

STATIC_FORMAL_FACTS
LOCAL_COMPUTE_RESULTS
SECONDARY_VERIFICATION

分層思想。

96. Three-Layer Matrix Architecture

因此可以定義：

\boxed{ \mathcal M_t = \left( M_t^{\mathrm{formal}}, M_t^{\mathrm{compute}}, M_t^{\mathrm{verify}} \right). }

三層不可互相偷換。

97. Formal Layer

存：

theorems；
exact rules；
proven invariants；
definitions。

98. Compute Layer

存：

numerical output；
heuristic output；
simulation；
optimizer result。

99. Verification Layer

存：

replay；
independent reproduction；
interval audit；
formal check；
cross-tool validation。

100. Promote Rule

Compute result 要進 formal / canonical state，必須：

\boxed{ \operatorname{Promote} }

並附 certificate。

101. Demote Rule

若證書失效：

\boxed{ \operatorname{Demote} }

把舊 canonical fact 降級為 pending / revoked。

102. Matrix Governance

每個 update 可有權限：

read；
probe；
expand；
compress；
reindex；
promote；
revoke。

這與 CAIR governance 相容。

103. Matrix Schema

最小 logical schema：

{
  "matrix_id": "niot:matrix:...",
  "epoch": 12,
  "object_id": "niot:number:...",
  "indices": [],
  "cells": {},
  "edges": [],
  "probes": [],
  "frontier": [],
  "certificates": [],
  "closure": {},
  "history": []
}

104. Canonical Serialization

若需 hash：

UTF-8；
stable key order；
canonical numeric representation；
explicit UNKNOWN；
explicit sparse zero；
deterministic index order。

105. 不應直接用 float 重寫 canonical state

若某 cell 來源是 exact rational，不應在 canonical serialization 中自動轉成 float。

這承接 NIOT-06 將詳細處理的 bridge semantics。

106. Matrix MVP

第一個最小實驗可以只做：

一個數值資訊物件；
5 個初始 probes；
sparse relation store；
adaptive probe expansion；
redundancy compression；
task closure；
replay log。

不需要一開始就實作所有理論。

107. MVP Example

給：

x=0.5.

初始：

I_0 = \{ \text{value}, \text{representation}, \text{precision} \}.

因此：

n_0=3.

加入 provenance probe：

n_1=4.

加入 derivation probe 後發現 provenance 可推出，不增加獨立維：

n_2=5, \qquad \rho_P=4.

接著 compress：

n_3=4.

所以：

\boxed{ 3 \rightarrow 4 \rightarrow 5 \rightarrow 4 }

完全合法。

UEFM 的「展開」不是單調增維。

108. 第二個例子：局部展開

若只有：

i_2

相關 certificate 有衝突，不必把所有：

I_t

展開。

只做：

\boxed{ M_t[\mathcal N(i_2)]. }

109. 第三個例子：光譜展開

對 scale probe：

P_\lambda,

只在：

\lambda\in[\lambda_a,\lambda_b]

出現 transition。

因此 adaptive expansion 只增加該區域的 spectral coordinates。

110. 第四個例子：BCODR responsibility spine

Outward probe 找到：

S_+.

Inward certificate probe 找到：

S_-.

只有：

S_+\cap S_-

附近 blocks 被標為 frontier。

因此高成本 local matrix 只在 overlap responsibility region materialize。

111. UEFM 與傳統矩陣的差異

傳統矩陣通常假設：

維度固定；
index set 固定；
element type 固定；
semantics 固定。

UEFM 允許：

\boxed{ \text{dimension} + \text{index} + \text{semantics} + \text{topology} }

都可動態更新。

112. UEFM 與資料庫的差異

Database 儲存資料。

UEFM 描述的是：

\boxed{ \text{如何把可辨識資訊維度動態組成可計算狀態。} }

資料庫可以是 storage backend，但不是完整理論。

113. UEFM 與知識圖譜的差異

Knowledge graph 擅長 relation representation。

UEFM 另外強調：

finite epoch；
unbounded dimension；
probe activation；
task closure；
compression；
matrix / graph duality；
dynamic rank。

114. UEFM 與 Tensor 的差異

Tensor 通常預先具有固定 axes。

UEFM 的 axes 本身可以：

被發現；
被 split；
被 merge；
被 reindex；
被 revoke。

115. UEFM 與 Infinite Matrix 的差異

Infinite matrix：

A=(a_{ij})_{i,j\in\mathbb N}.

UEFM 不要求所有：

a_{ij}

先有定義。

而是：

\boxed{ \text{coordinates themselves can emerge}. }

116. UEFM 與 Streaming 的差異

Streaming 通常新增：

\text{rows over time}.

UEFM 可以新增：

rows；
columns；
axes；
relations；
semantics；
index topology。

因此不是一般 append-only stream。

117. UEFM 的五個核心不變量

Invariant A — Finite epoch

\boxed{ n_t<\infty. }

Invariant B — Explicit identity

\boxed{ \iota(M_t) }

可追蹤。

Invariant C — Unknown explicitness

\boxed{ \text{UNKNOWN} \neq 0. }

Invariant D — Update traceability

\boxed{ M_t \rightarrow M_{t+1} }

必須可追溯。

Invariant E — Closure relativity

\boxed{ \operatorname{Close}_{\mathcal T} }

必須附帶 task。

118. 三個不可混淆的「無界」

118.1 維度無界

\sup_t n_t=\infty.

118.2 時間無界

Runtime 可以理論上持續更新。

118.3 值域無界

matrix element 值域可能本身無界。

三者不是同一概念。

119. 本文只要求第一種

UEFM 的必要條件只是：

\boxed{ \text{dimension may remain open-ended}. }

不要求：

任務永不停止；
值域無界；
實際記憶體無限。

120. 無界擴展與完成語義

若某些理論對象需要 completion，UEFM 可以保存：

finite prefixes；
approximants；
certificates；
bridge states。

但 completion 本身由 NIOT-06 處理。

121. Matrix Completion 不等於數學 Completion

本文的：

\operatorname{Close}_{\mathcal T}

是 task closure。

它不是：

metric completion；
Cauchy completion；
algebraic closure。

不得混用。

122. Dynamic Matrix Theorem 1

對任意 UEFM sequence：

\{M_t\},

若每個 epoch 都滿足：

n_t<\infty,

則每個 epoch 都可由有限描述表示。

因此：

\boxed{ \text{unbounded extensibility does not imply infinite current storage}. }

123. Dynamic Matrix Theorem 2

若：

\sup_t n_t=\infty,

則不存在單一固定有限維數：

N

使：

n_t\le N

對所有 $t$ 成立。

這只是 unboundedness 的直接結果。

124. Dynamic Matrix Theorem 3

若某任務 $\mathcal T$ 在 epoch $T$ 達成：

\operatorname{Close}_{\mathcal T}(M_T)=1,

則即使：

\sup_t n_t=\infty,

該任務也可以有限停止。

因此：

\boxed{ \text{unbounded model capacity} \not\Rightarrow \text{nonterminating task}. }

125. Dynamic Matrix Theorem 4

若 compression：

C_{\mathcal T}

保持 task invariants，則：

\operatorname{Close}_{\mathcal T}(M_t) = \operatorname{Close}_{\mathcal T}(C_{\mathcal T}(M_t)).

因此 task-relative compression 不破壞 closure。

126. Open Problem：最小動態基底

是否存在：

\boxed{ \mathcal B_t }

使：

|\mathcal B_t| = \rho_P(\mathcal P_t)

且可最小化當前資訊表示？

這是後續重要問題。

127. Open Problem：動態秩曲率

若：

\rho_s(M_t)

隨 probe path 不同而產生不同局部歷史，是否存在：

\boxed{ \text{rank-path curvature} }

值得研究。

128. Open Problem：最優展開策略

對給定 budget：

B,

如何最大化：

\operatorname{ClosureProbability}

或最小化：

\operatorname{ExpectedRemainingGap}?

這將接 AI-Native Runtime。

129. Open Problem：無界矩陣的形式語義

UEFM 是否最終應形式化為：

inductive family；
filtered colimit；
direct system；
dynamic category；
sparse sheaf；
evolving hypergraph；

仍待後續比較。

130. 與範疇論的可能接口

若每個 epoch 是 object：

M_t,

更新是 morphism：

u_t: M_t \rightarrow M_{t+1},

則：

\boxed{ M_0 \xrightarrow{u_0} M_1 \xrightarrow{u_1} M_2 \rightarrow \cdots }

形成 directed system。

但因 update 可 contraction / merge / fork，不必是單純 inclusion system。

131. 與 direct limit 的差異

若所有 update 都是 compatible embeddings，才可能討論 direct limit。

一般 UEFM 不保證。

因此：

\boxed{ \text{UEFM} \neq \text{automatic direct-limit construction}. }

132. 與 ISQL 的接口

ISQL 可以提供：

index identity；
semantic address；
relation key；
state serialization；
dynamic link。

因此：

\boxed{ \mathrm{ISQL} \approx \text{UEFM address / relation substrate}. }

133. 與 AIC 的接口

AIC 提供：

\widehat{\mathcal E}_{i\to j}.

因此 reindex、navigation、split、merge 可以獲得數學語義。

134. 與 BCODR 的接口

BCODR 提供：

\boxed{ \text{frontier localization}. }

UEFM 提供：

\boxed{ \text{localized dynamic state}. }

兩者結合後：

\boxed{ \text{只在真正承擔未解責任的 matrix region 展開。} }

135. 與 CAIR 的接口

Matrix update 不應直接修改 canonical state。

可以：

\boxed{ M_t \rightarrow \Delta M \rightarrow \text{validate} \rightarrow M_{t+1}. }

這承接 CAIR candidate-diff architecture。

136. 與 MNVP 的接口

UEFM 是 machine / reasoning state。

MNVP 負責把：

\Pi_\alpha(M_t)

轉成：

table；
graph；
heatmap；
spectral visualization；
local view。

137. 與 NIOT-04 的接口

下一篇將處理：

\boxed{ \text{光譜分辨與多探針耦合。} }

UEFM 在 NIOT-04 中將被升級為：

\boxed{ M_t(\lambda_1,\dots,\lambda_k). }

並研究：

spectral coordinates；
cross-probe coupling；
phase transitions；
multi-scale structure；
information resonance；
degeneracy。

138. 本篇最重要的觀念修正

不要把：

\boxed{ \text{無界展開有限矩陣} }

理解成：

一個很大的矩陣，不斷加欄。

更準確的是：

\boxed{ \text{一個在任何實際時刻有限， 但其座標、維度、索引、拓撲、證書與表示都可以隨新資訊重新組織的動態狀態系統。} }

139. 三重原則

本文最後將 UEFM 壓成三句。

第一：

\boxed{ \forall t,\quad \dim M_t<\infty. }

第二：

\boxed{ \sup_t\dim M_t=\infty }

作為架構允許條件。

第三：

\boxed{ \exists T<\infty \text{ such that } \operatorname{Close}_{\mathcal T}(M_T)=1 }

對可有限閉包的具體任務成立。

因此：

\boxed{ \text{Finite Actuality} + \text{Unbounded Extensibility} + \text{Finite Task Closure}. }

140. 結論

NIOT-01 將數值從 scalar 提升為 identity-bearing numerical information object。

NIOT-02 將資訊差轉成 probe-driven distinguishability。

本文進一步回答：

當可辨識資訊方向持續增加時，這些資訊應如何存在於有限機器中？

答案不是：

\boxed{ \text{建立一個真正無限大的矩陣。} }

而是：

\boxed{ M_0 \rightarrow M_1 \rightarrow M_2 \rightarrow \cdots }

每一個：

M_t

都是有限的。

但未來可以：

新增 probe；
split coordinate；
建立新 relation；
引入新 spectrum；
加入 certificate；
reindex；
compress；
reopen；
fork。

因此：

\boxed{ \text{目前有限} \neq \text{未來被固定有限。} }

這正是 UEFM 的核心。

它為「微觀數字世界」提供了一個真正可執行的承載體：不是一次把所有可能資訊具現化，而是在每個任務、每個 epoch、每個局部 frontier 上，只 materialize 當下有價值的有限結構。

所以：

\boxed{ \text{微觀數值世界} }

不需要無限 RAM。

它需要的是：

\boxed{ \text{無界的可擴展規則} + \text{有限的當前狀態} + \text{可證明的停止條件}. }

\boxed{ \textbf{NIOT-04 — 光譜分辨與多探針耦合。} }

將處理下一個更深問題：

\boxed{ \text{當資訊不是單一方向，而是沿尺度、頻率、語義深度與多探針關係形成光譜時， 矩陣如何表示耦合、相變與多尺度結構？} }

Canonical Source Declaration

本檔為 NIOT-03-v0.1 的 UTF-8 Markdown canonical source。

數學 delimiter 僅使用 $...$ 與 $$...$$。

本文正式定義：

UEFM；
finite actualization；
unbounded extensibility；
active / latent dimension；
structural rank；
probe rank；
sparse envelope；
expansion；
contraction；
split；
merge；
folding；
compression；
frontier；
local closure；
task closure；
update trace；
matrix provenance；
dynamic reindexing。

本文不宣稱：

每個任務實際維度必然趨向無限；
UEFM 必須使用 dense matrix；
UEFM 等同傳統 infinite matrix；
task closure 等同數學 completion；
所有 update 可交換；
所有 compression 無損；
目前所有命題已完成 Lean / Coq 驗證。

後續 NIOT-04 應以本篇作為光譜矩陣與多探針耦合的動態承載基礎。

===END===