# NIOT-03 — 無界展開有限矩陣：動態有限維、稀疏結構與任務閉包

## Unboundedly Expandable Finite Matrices: Dynamic Finite Dimensionality, Sparse Structure, and Task-Relative Closure

**系列：** Numerical Information Object Theory（NIOT）／數值資訊物件論  
**篇次：** Paper 03  
**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-22  
**文件性質：** 動態矩陣論／Runtime 本體／有限—無界橋接論文  
**前置：** NIOT-00、NIOT-01、NIOT-02  
**相關理論：** ISQL、AIC、BCODR、CAIR、SEDB、動態索引、完成—投影雙向語義  
**狀態：** DRAFT / DYNAMIC MATRIX FOUNDATION / IMPLEMENTATION-READY  
**Canonical Source：** UTF-8 Markdown  
**數學原始碼規範：** inline math 僅使用 ` $...$ `，display math 僅使用 `$$...$$`

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# 摘要

NIOT-01 建立數值資訊物件與投影非同一原理；NIOT-02 進一步將資訊探針定義為可細化等價類、可組合、可驗證且具有成本的第一級觀測算子。當探針逐步增加時，系統隨即面臨一個核心工程與數學問題：**如何讓資訊維度可以持續增加，而任何實際執行狀態仍保持有限？**

本文提出「無界展開有限矩陣」（Unboundedly Expandable Finite Matrix, UEFM）作為 NIOT 的核心動態表示。其基本原理為：

$$
\boxed{
\forall t,\quad n_t<\infty,
}
$$

但：

$$
\boxed{
\sup_t n_t=\infty.
}
$$

其中 $n_t$ 表示第 $t$ 個 epoch 中被激活的資訊維度。第一式保證任何時刻的狀態可被有限機器儲存、計算與驗證；第二式則表示理論與 Runtime 不預先設定固定最大維度，新的 probe、relation、index、spectrum、certificate、bridge 或局部結構可以在後續 epoch 被加入。

本文強調，UEFM 並不是「無限矩陣的近似」這麼簡單。它更準確地是一個**動態有限結構序列**：

$$
\boxed{
M_0
\rightarrow
M_1
\rightarrow
M_2
\rightarrow
\cdots
}
$$

其中每個 $M_t$ 都可以改變：

- 維度；
- 稀疏拓撲；
- index set；
- probe basis；
- relation graph；
- spectral coordinates；
- certificate state；
- compression state；
- local neighborhood。

因此：

$$
M_t
\subseteq
M_{t+1}
$$

並非必要條件。更一般地：

$$
\boxed{
M_{t+1}
=
\mathcal U
\left(
M_t,
\Delta_t,
\Gamma_t
\right),
}
$$

其中 $\Delta_t$ 表示新資訊， $\Gamma_t$ 表示重索引、壓縮、合併、治理與結構轉換。

本文進一步定義 active dimension、latent dimension、structural rank、probe rank、sparse envelope、dynamic reindexing、matrix folding、task-relative compression、local expansion、frontier cell、closure certificate 與 bounded execution budget。特別重要的是，本文將「無界展開」與「無限執行」徹底分離：UEFM 允許未來存在新的資訊維度，但任何具體任務都可以在有限條件下達成閉包。

最終，本文提出：

$$
\boxed{
\text{finite actuality}
+
\text{unbounded extensibility}
+
\text{task-relative closure}
}
$$

作為 NIOT 動態資訊結構的三重基礎。

**關鍵詞：** 無界展開有限矩陣、動態有限維、稀疏矩陣、Probe Matrix、任務閉包、動態索引、重索引、壓縮、局部展開、數值資訊空間

---

# 1. 問題：資訊維度可以增加，但機器永遠有限

NIOT-02 已經建立：

$$
\mathcal P_t
=
\{
P_1,\dots,P_{n_t}
\}.
$$

每加入一個有效 probe：

$$
P_{n_t+1},
$$

系統便可能獲得新的可辨識維度。

因此資訊表示自然增長：

$$
n_t
\rightarrow
n_{t+1}.
$$

但任何真實機器：

- 記憶體有限；
- 計算時間有限；
- 儲存空間有限；
- bandwidth 有限；
- probe budget 有限。

所以不能要求：

$$
n_t=\infty
$$

在任何實際 epoch 成立。

本文的基本問題因此是：

$$
\boxed{
\text{如何同時保留有限可執行性與無界可擴張性？}
}
$$

---

# 2. 無界展開有限矩陣的基本定義

## 2.1 Epoch-wise finite state

令：

$$
t\in\mathbb N
$$

表示離散 Runtime epoch。

每個 epoch 定義有限 active index set：

$$
\boxed{
I_t
=
\{
i_1,\dots,i_{n_t}
\}.
}
$$

且：

$$
\boxed{
n_t=|I_t|<\infty.
}
$$

---

## 2.2 Finite matrix state

定義：

$$
\boxed{
M_t
=
\left[
m^{(t)}_{ij}
\right]_{i,j\in I_t}.
}
$$

因此：

$$
M_t
\in
\mathbb K^{n_t\times n_t}
$$

只是最簡單情況。

更一般地，矩陣元素可以位於：

$$
\mathcal V
$$

其中 $\mathcal V$ 可以是：

- scalar；
- interval；
- symbolic object；
- relation state；
- certificate；
- sparse object；
- structured record；
- tensor block。

---

## 2.3 Unbounded extensibility

定義 UEFM 的核心條件：

$$
\boxed{
\forall t,\quad n_t<\infty,
}
$$

並允許：

$$
\boxed{
\sup_t n_t=\infty.
}
$$

這裡的「允許」非常重要。

它不宣稱：

$$
\lim_{t\to\infty}n_t=\infty
$$

對每一個任務都必然成立。

它只表示系統架構不預先設一個理論最大維度。

---

# 3. 有限實現與無界延展

本文稱：

$$
\boxed{
\forall t,\quad n_t<\infty
}
$$

為：

**Finite Actualization Principle**。

稱：

$$
\boxed{
\sup_t n_t=\infty
}
$$

為：

**Unbounded Extensibility Principle**。

兩者一起形成：

$$
\boxed{
\text{Finite Actuality}
+
\text{Unbounded Extensibility}.
}
$$

---

# 4. UEFM 不是靜態無限矩陣的截斷

## 4.1 靜態截斷模型

一個傳統無限矩陣近似可能寫成：

$$
A_\infty
\rightarrow
A_n.
$$

其中：

$$
A_n
$$

只是：

$$
A_\infty
$$

的有限截斷。

---

## 4.2 UEFM 不要求預先存在一個完成矩陣

NIOT 的 UEFM 不要求先有：

$$
M_\infty
$$

作為已知完整對象。

更合理的是：

$$
\boxed{
M_t
\rightarrow
\text{new distinction}
\rightarrow
M_{t+1}.
}
$$

也就是：

$$
\boxed{
\text{representation grows with discovery}.
}
$$

---

## 4.3 Open-ended dimensionality

因此：

$$
n_{t+1}
$$

可以由新 probe、index、relation 或 certificate 決定，而不是由預先固定的 infinite coordinate set 決定。

---

# 5. Probe-induced Matrix

## 5.1 Probe coordinates

由 NIOT-02：

$$
\mathcal P_t
=
\{
P_1,\dots,P_{n_t}
\}.
$$

最簡單的資訊向量為：

$$
\boxed{
\mathbf p_t(\mathfrak N)
=
\begin{bmatrix}
P_1(\mathfrak N)\\
P_2(\mathfrak N)\\
\vdots\\
P_{n_t}(\mathfrak N)
\end{bmatrix}.
}
$$

---

## 5.2 Relation matrix

若要記錄 probe 之間的關係，定義：

$$
\boxed{
m_{ij}^{(t)}
=
R_t
\left(
P_i(\mathfrak N),
P_j(\mathfrak N)
\right).
}
$$

因此：

$$
\boxed{
M_t
=
\left[
R_t(P_i,P_j)
\right].
}
$$

---

## 5.3 Matrix 不一定對稱

一般情況：

$$
m_{ij}\neq m_{ji}.
$$

例如：

- dependency；
- derivation；
- causal order；
- address transition；
- directed certificate；
- bridge direction。

因此 UEFM 預設允許 directed structure。

---

# 6. Active Dimension 與 Latent Dimension

## 6.1 Active dimension

定義：

$$
\boxed{
d_{\mathrm{act}}(t)
=
n_t.
}
$$

表示當前真正被 materialize 的資訊維度。

---

## 6.2 Latent dimension

令：

$$
\Lambda_{\mathrm{avail}}(t)
$$

為目前可發現但未 materialize 的 probe / coordinate 候選。

則：

$$
\boxed{
d_{\mathrm{lat}}(t)
=
|\Lambda_{\mathrm{avail}}(t)|.
}
$$

它可以：

- 有限；
- 很大；
- 未知；
- 理論上無界。

---

## 6.3 Active 不等於 Total

因此：

$$
\boxed{
d_{\mathrm{act}}
\neq
d_{\mathrm{total}}.
}
$$

目前矩陣維度只是：

$$
\boxed{
\text{current explicit information dimension}.
}
$$

---

# 7. Structural Rank

傳統 matrix rank：

$$
\operatorname{rank}(M_t)
$$

只適用線性代數語境。

NIOT 需要更一般的 structural rank：

$$
\boxed{
\rho_s(M_t)
}
$$

表示：

> 當前 active coordinates 中，實際有多少彼此不可由既有規則消去或重建的結構自由度。

在純線性 scalar matrix 中可令：

$$
\rho_s(M_t)
=
\operatorname{rank}(M_t).
$$

但在 graph / certificate / symbolic state 中，需另定義。

---

# 8. Probe Rank

對 probe set：

$$
\mathcal P_t,
$$

定義：

$$
\boxed{
\rho_P(\mathcal P_t)
}
$$

為最小 probe basis 大小。

若：

$$
|\mathcal P_t|=100
$$

但只有：

$$
\rho_P=12,
$$

表示大量 probes 是：

- redundant；
- derived；
- dominated；
- equivalent。

---

# 9. Matrix Expansion

## 9.1 Additive expansion

最簡單：

$$
I_{t+1}
=
I_t
\cup
\{i_{n_t+1}\}.
$$

因此：

$$
M_t
\mapsto
M_{t+1}.
$$

---

## 9.2 Block expansion

可一次加入 block：

$$
J_t
=
\{
j_1,\dots,j_k
\}.
$$

則：

$$
\boxed{
I_{t+1}
=
I_t
\cup
J_t.
}
$$

---

## 9.3 Local expansion

只展開某個子區域：

$$
U\subseteq I_t.
$$

定義：

$$
\boxed{
\operatorname{ExpandLocal}
(
M_t,U
)
\rightarrow
M_{t+1}.
}
$$

這是避免全域維度爆炸的主要機制。

---

# 10. Matrix Contraction

UEFM 不要求維度單調增加。

若某些 coordinates：

- redundant；
- obsolete；
- invalid；
- revoked；
- compressed；

可以移除。

因此：

$$
\boxed{
n_{t+1}
<
n_t
}
$$

完全合法。

---

# 11. General Update Law

本文採用：

$$
\boxed{
M_{t+1}
=
\mathcal U
\left(
M_t,
\Delta_t,
\Gamma_t
\right).
}
$$

其中：

- $\Delta_t$：new observations / probes / relations；
- $\Gamma_t$：reindex / merge / split / compression / governance / invalidation rules。

這比：

$$
M_t\subseteq M_{t+1}
$$

更一般。

---

# 12. Sparse Envelope

## 12.1 稠密矩陣不是預設

若：

$$
n_t
$$

大，而真正關係數：

$$
|E_t|
$$

遠小於：

$$
n_t^2,
$$

則應使用 sparse representation。

定義 density：

$$
\boxed{
\delta_t
=
\frac{|E_t|}{n_t^2}.
}
$$

若：

$$
\delta_t\ll1,
$$

則 dense matrix 是浪費。

---

## 12.2 Sparse UEFM

表示為：

$$
\boxed{
M_t
\equiv
(I_t,E_t,\omega_t).
}
$$

其中：

- $I_t$：indices；
- $E_t$：active relations；
- $\omega_t$：edge / cell payload。

因此 UEFM 在工程上可以更接近：

$$
\boxed{
\text{sparse dynamic graph with matrix semantics}.
}
$$

---

# 13. Matrix / Graph Duality

一個 UEFM 可以同時表示為：

$$
M_t
$$

或：

$$
G_t=(V_t,E_t).
$$

其中：

$$
V_t=I_t.
$$

矩陣視角方便：

- linear operators；
- algebra；
- GPU；
- tensorization。

圖視角方便：

- sparse traversal；
- provenance；
- locality；
- adaptive expansion。

因此本文不把矩陣形式視為唯一物理實作。

---

# 14. Matrix / Hypergraph Extension

若 relation 涉及：

$$
k>2
$$

個 coordinates，pairwise matrix 可能不足。

因此可建立：

$$
\boxed{
\mathcal H_t
=
(V_t,\mathcal E_t)
}
$$

hypergraph。

UEFM 在概念上允許：

$$
\boxed{
\text{matrix}
\leftrightarrow
\text{graph}
\leftrightarrow
\text{hypergraph}
}
$$

作為不同 projection。

---

# 15. Dynamic Reindexing

## 15.1 Index 可以改變

令：

$$
\rho_t:
I_t
\rightarrow
I_t'.
$$

定義：

$$
\boxed{
M_t'
=
\rho_t(M_t).
}
$$

這是 reindexing。

---

## 15.2 Identity preservation

若只是地址改變，canonical object identity 應保持：

$$
\boxed{
\iota(M_t')
=
\iota(M_t).
}
$$

這承接 AIC。

---

# 16. Split

一個 coordinate：

$$
i
$$

可能被新 probe 發現其實包含：

$$
i_1,i_2,\dots,i_k.
$$

定義：

$$
\boxed{
\operatorname{Split}(i)
=
\{i_1,\dots,i_k\}.
}
$$

這是微觀化的重要操作。

---

# 17. Merge

若：

$$
i_1,\dots,i_k
$$

對當前任務等價，可定義：

$$
\boxed{
\operatorname{Merge}
(
i_1,\dots,i_k
)
=
\hat i.
}
$$

要求保留：

$$
\boxed{
\text{merge certificate}.
}
$$

---

# 18. Split / Merge 不互為天然逆

通常：

$$
\operatorname{Merge}
\circ
\operatorname{Split}
$$

可能有資訊損失。

因此需證書：

$$
\boxed{
\varepsilon_{\mathrm{merge}}.
}
$$

---

# 19. Matrix Folding

當多個 coordinates 共享相同結構模式時，可做：

$$
\boxed{
\operatorname{Fold}
(
M_t
)
\rightarrow
\widehat M_t.
}
$$

Fold 不是刪除，而是建立：

- equivalence class；
- representative；
- multiplicity；
- unfolding map。

---

# 20. Matrix Unfolding

如果 fold 保留了足夠資訊，可做：

$$
\boxed{
\operatorname{Unfold}
(
\widehat M_t
)
\rightarrow
M_t.
}
$$

若不能 exact reconstruct，必須標記：

$$
\boxed{
\text{lossy fold}.
}
$$

---

# 21. Compression

## 21.1 Task-relative compression

定義：

$$
\boxed{
C_{\mathcal T}
:
M_t
\rightarrow
\widehat M_t.
}
$$

要求：

$$
\boxed{
\operatorname{Close}_{\mathcal T}(M_t)
=
\operatorname{Close}_{\mathcal T}(\widehat M_t).
}
$$

至少在 task-required invariants 上等價。

---

## 21.2 Lossless 與 Lossy

若：

$$
M_t
$$

可以完全重建：

$$
\boxed{
C_{\mathcal T}
\text{ is lossless}.
}
$$

否則：

$$
\boxed{
C_{\mathcal T}
\text{ is lossy}.
}
$$

---

# 22. Compression Certificate

每次 lossy compression 必須記錄：

$$
\boxed{
\mathcal C_{\mathrm{comp}}
=
\langle
\text{preserved},
\text{discarded},
\text{error},
\text{task}
\rangle.
}
$$

這與 MNVP 的 loss budget 思想相容，但作用在 Runtime state，而非視覺投影。

---

# 23. Frontier Coordinates

定義：

$$
\boxed{
F_t
\subseteq
I_t
}
$$

為 frontier。

Frontier 表示：

- unresolved；
- expandable；
- high information gain；
- structurally ambiguous；
- near certificate boundary。

---

# 24. Interior Coordinates

若某 coordinate 已經：

- stable；
- closed；
- compressed；
- low uncertainty；

可放入：

$$
\boxed{
K_t
=
I_t\setminus F_t.
}
$$

稱 closed interior。

---

# 25. Frontier-First Expansion

下一輪 probe 優先作用於：

$$
F_t.
$$

因此：

$$
\boxed{
P_{t+1}
=
\operatorname{Select}
(
F_t
).
}
$$

這可大幅降低 global expansion cost。

---

# 26. BCODR Frontier

BCODR 型系統可以把 overlap / unresolved responsibility region 直接標成：

$$
\boxed{
F_t^{\mathrm{BCODR}}.
}
$$

然後只對 surviving spine 展開更高解析度。

---

# 27. Local Matrix

對：

$$
U\subseteq I_t,
$$

定義 principal / induced local state：

$$
\boxed{
M_t[U].
}
$$

很多高成本運算只需在：

$$
M_t[U]
$$

上執行。

---

# 28. Local Closure

定義：

$$
\boxed{
\operatorname{Close}_{\mathcal T}
(
M_t[U]
)
=
1.
}
$$

表示局部區域已對任務閉包。

整體 matrix 可以尚未閉包。

---

# 29. Hierarchical Closure

可定義：

$$
U_1
\subset
U_2
\subset
\cdots
\subset
I_t.
$$

若：

$$
\operatorname{Close}_{\mathcal T}(M_t[U_k])=1,
$$

則某些外層可能不必展開。

---

# 30. Epoch

每一次結構更新產生：

$$
\boxed{
\mathsf E_t.
}
$$

epoch 應記錄：

- matrix version；
- active indices；
- active probes；
- update rule；
- provenance；
- certificate state；
- closure state。

---

# 31. Persistent Identity Across Epochs

若：

$$
M_t
$$

與：

$$
M_{t+1}
$$

只是同一 numerical information system 的不同狀態，則：

$$
\boxed{
\iota(M_t)
=
\iota(M_{t+1}).
}
$$

除非發生 canonical fork。

---

# 32. Canonical Fork

若更新導致互不兼容的兩個合法狀態：

$$
M_{t+1}^{(A)},
\qquad
M_{t+1}^{(B)},
$$

則可以建立：

$$
\boxed{
\operatorname{Fork}(M_t).
}
$$

不能假裝只有一條歷史。

---

# 33. Matrix Provenance

每個 cell / edge：

$$
m_{ij}^{(t)}
$$

應可追溯：

$$
\boxed{
\operatorname{Prov}
(
m_{ij}^{(t)}
).
}
$$

來源至少可能包括：

- direct probe；
- derived probe；
- import；
- bridge；
- inference；
- certificate；
- manual assertion。

---

# 34. Cell State

每個 cell 可以標記：

```text
KNOWN
UNKNOWN
INFERRED
DERIVED
OBSERVED
NOT_APPLICABLE
WITHHELD
REVOKED
STALE
```

因此矩陣不是只存值，也存 epistemic state。

---

# 35. Unknown Cell 不等於 Zero

這是非常重要的保護條件：

$$
\boxed{
\text{UNKNOWN}
\neq
0.
}
$$

同樣：

$$
\boxed{
\text{missing edge}
\neq
\text{zero relation}.
}
$$

---

# 36. Explicit Sparsity

因此 sparse representation 必須區分：

$$
\boxed{
\text{structural zero}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{unobserved}.
}
$$

---

# 37. Dynamic Dimension

資訊維度應寫成：

$$
\boxed{
n
=
n
(
\mathfrak N,
t,
\mathcal T,
\mathcal P_t
).
}
$$

因此：

$$
n
$$

不是固定常數。

---

# 38. Dimension Growth Rate

定義：

$$
\boxed{
g_t
=
n_{t+1}-n_t.
}
$$

如果：

$$
g_t>0,
$$

為 expansion。

若：

$$
g_t<0,
$$

為 contraction / compression。

---

# 39. Relative Growth

定義：

$$
\boxed{
r_t
=
\frac{
n_{t+1}-n_t
}{
\max(1,n_t)
}.
}
$$

可以用來監控 dimension explosion。

---

# 40. Probe Growth 與 Matrix Growth 不必相等

即使新增：

$$
k
$$

個 probe，也不一定：

$$
n_{t+1}=n_t+k.
$$

因為：

- probes 可以 redundant；
- 多 probe 可以映射同一 coordinate；
- probe 可產生 block；
- probe 可造成 split；
- probe 可觸發 merge。

---

# 41. Expansion Operator

定義：

$$
\boxed{
\mathcal E:
(M_t,Q_{t+1})
\mapsto
M_{t+1}.
}
$$

其中：

$$
Q_{t+1}
$$

是 NIOT-02 選出的 probe plan。

---

# 42. Contraction Operator

定義：

$$
\boxed{
\mathcal C:
(M_t,\tau)
\mapsto
\widehat M_t.
}
$$

其中：

$$
\tau
$$

是 task / cost / redundancy threshold。

---

# 43. Reindex Operator

定義：

$$
\boxed{
\mathcal R:
(M_t,\rho)
\mapsto
M_t'.
}
$$

---

# 44. Repair Operator

當 matrix 出現：

- stale cell；
- conflict；
- certificate revoke；
- invalid bridge；

可用：

$$
\boxed{
\mathcal F:
M_t
\mapsto
M_t^{\mathrm{repaired}}.
}
$$

---

# 45. Update Algebra

因此 Runtime 基本算子可以寫成：

$$
\boxed{
\mathfrak A_M
=
\langle
\mathcal E,
\mathcal C,
\mathcal R,
\mathcal F,
\operatorname{Split},
\operatorname{Merge},
\operatorname{Fold}
\rangle.
}
$$

---

# 46. Update Non-Commutation

一般情況：

$$
\mathcal C\circ\mathcal E
\neq
\mathcal E\circ\mathcal C.
$$

同樣：

$$
\operatorname{Merge}\circ\operatorname{Split}
\neq
\operatorname{Split}\circ\operatorname{Merge}.
$$

所以 update order 是第一級問題。

---

# 47. Update Trace

每次 epoch 應保存：

$$
\boxed{
\mathcal T_t
=
\left(
M_t,
\mathcal O_t,
M_{t+1}
\right)
}
$$

其中 $\mathcal O_t$ 是本輪操作序列。

---

# 48. Matrix History

完整歷史：

$$
\boxed{
\mathcal H_M
=
\{
\mathcal T_0,
\mathcal T_1,
\dots
\}.
}
$$

這為 replay、rollback、audit 提供基礎。

---

# 49. Rollback

若 epoch：

$$
t+1
$$

被判定無效，可：

$$
\boxed{
M_{t+1}
\rightarrow
M_t.
}
$$

但 external side effects 必須另外處理。

---

# 50. Snapshot

對任一 epoch：

$$
t,
$$

建立：

$$
\boxed{
S_t
=
\operatorname{Snapshot}(M_t).
}
$$

可以作為：

- proof checkpoint；
- publication artifact；
- test fixture；
- cross-AI handoff。

---

# 51. Matrix State Hash

若需要 integrity：

$$
\boxed{
h_t
=
H
(
\operatorname{CanonicalSerialize}(M_t)
).
}
$$

這讓不同 Runtime 可以核對同一狀態。

---

# 52. Matrix Closure

## 52.1 絕對閉包不要求

本文不要求：

$$
M_t
$$

達到宇宙性的全資訊完備。

---

## 52.2 Task closure

對任務：

$$
\mathcal T,
$$

定義：

$$
\boxed{
\operatorname{Close}_{\mathcal T}(M_t)=1.
}
$$

如果：

- required invariants 已決；
- critical uncertainty 已低於門檻；
- certificate obligations 關閉；
- frontier 不再包含 task-critical unresolved region；
- 新 probe 預期效用低於閾值。

---

# 53. Closure Certificate

定義：

$$
\boxed{
\mathcal C_{\mathrm{close}}
=
\langle
\mathcal T,
t,
I_t,
\mathcal P_t,
F_t,
\varepsilon_t,
\text{reason}
\rangle.
}
$$

---

# 54. Closed 不等於 Complete

$$
\boxed{
\operatorname{Close}_{\mathcal T}=1
}
$$

只表示：

$$
\boxed{
\text{對任務 }\mathcal T\text{ 足夠。}
}
$$

不代表：

$$
\boxed{
\text{對所有未來問題完備。}
}
$$

---

# 55. Reopen

若未來出現新任務：

$$
\mathcal T',
$$

舊閉包：

$$
\operatorname{Close}_{\mathcal T}=1
$$

不阻止：

$$
\boxed{
\operatorname{Reopen}_{\mathcal T'}(M_t).
}
$$

---

# 56. Closure Is Relative

因此 closure 是：

$$
\boxed{
\text{task-relative}
+
\text{epoch-relative}
+
\text{probe-relative}.
}
$$

---

# 57. Bounded Execution Budget

實際 Runtime 必須有 budget：

$$
\boxed{
B
=
\langle
B_{\mathrm{time}},
B_{\mathrm{memory}},
B_{\mathrm{compute}},
B_{\mathrm{probe}}
\rangle.
}
$$

---

# 58. Budget-Constrained Expansion

定義：

$$
\boxed{
\operatorname{Expand}_B
}
$$

只允許：

$$
K(\mathcal E)
\le
B.
$$

---

# 59. Graceful Stop

若 closure 未達成但 budget 用盡，不可假稱 PASS。

應輸出：

```text
STATUS:
    INCOMPLETE_UNDER_BUDGET

CLOSED:
    false

REMAINING_FRONTIER:
    ...

NEXT_RECOMMENDED_EXPANSION:
    ...
```

---

# 60. Complexity

最簡單 dense matrix：

$$
O(n_t^2)
$$

storage。

Sparse matrix：

$$
O(n_t+|E_t|).
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{sparsity is essential for scalable UEFM}.
}
$$

---

# 61. Incremental Complexity

更新不應每次重算整個矩陣。

若只更新：

$$
\Delta I_t
$$

及局部 edges：

$$
\Delta E_t,
$$

則成本應盡量限制在：

$$
\boxed{
O
(
|\Delta I_t|
+
|\Delta E_t|
)
}
$$

或其附近。

---

# 62. Locality Principle

新增 probe 若只影響局部：

$$
U\subset I_t,
$$

則不得強制全域 recompute，除非 dependency graph 顯示需要。

---

# 63. Dependency Closure

若 coordinate：

$$
i
$$

改變，需找到：

$$
\boxed{
\operatorname{Desc}(i)
}
$$

所有 downstream dependencies。

只 recompute：

$$
\operatorname{Desc}(i).
$$

---

# 64. SEDB 型稀疏持久化

UEFM 非常適合：

$$
\boxed{
\text{sparse entity / relation store}.
}
$$

而不是一定要在 RAM 中 materialize 整個矩陣。

因此：

$$
M_t
$$

可被視為 logical matrix，而 storage 使用 sparse database。

---

# 65. Virtual Matrix

定義：

$$
\boxed{
\widetilde M_t
}
$$

為 virtual matrix。

某些 cell：

$$
m_{ij}
$$

在被查詢前不計算。

這是：

$$
\boxed{
\text{lazy materialization}.
}
$$

---

# 66. On-Demand Cell

當 probe 查詢：

$$
(i,j),
$$

才執行：

$$
\boxed{
m_{ij}
=
\operatorname{Materialize}(i,j).
}
$$

---

# 67. Cached Cell

計算後可 cache：

$$
\boxed{
\operatorname{Cache}(m_{ij}).
}
$$

若 dependencies 改變則 invalidate。

---

# 68. Matrix Projection

完整 matrix 可以投影成：

- scalar summary；
- graph；
- heatmap；
- spectral view；
- proof spine；
- local block。

定義：

$$
\boxed{
\Pi_\alpha(M_t).
}
$$

---

# 69. Projection Non-Identity for Matrix

同樣：

$$
\boxed{
\Pi_\alpha(M_t)
\neq
M_t.
}
$$

這承接 NIOT-01。

---

# 70. Matrix Identity Unit

每個 epoch state：

$$
M_t
$$

可以作為：

$$
\boxed{
\mathbf 1_{M_t}
}
$$

一個可版本化的 identity unit。

而整個 temporal sequence：

$$
\{M_t\}
$$

又可以形成更高層 identity。

---

# 71. Nested Identity

因此：

$$
\boxed{
\mathbf 1_{\mathfrak N}
\supset
\mathbf 1_{M_t}
\supset
\mathbf 1_{M_t[U]}.
}
$$

此處 $\supset$ 表示 identity containment，不是集合論強制關係。

---

# 72. Hierarchical Matrix

UEFM 可以有：

$$
\boxed{
M_t^{(0)},
M_t^{(1)},
\dots,
M_t^{(L)}.
}
$$

不同層代表不同解析度。

---

# 73. Coarse-to-Fine Expansion

先使用：

$$
M_t^{(0)}
$$

粗解析度。

只有 frontier 才進：

$$
M_t^{(1)}.
$$

再必要時進：

$$
M_t^{(2)}.
$$

---

# 74. Multi-Resolution Matrix

因此：

$$
\boxed{
\mathcal M_t
=
\{
M_t^{(\ell)}
\}_{\ell=0}^{L_t}.
}
$$

可以視為 multi-resolution UEFM。

---

# 75. Spectral Matrix

若 probe parameter：

$$
\lambda
$$

存在，則可定義：

$$
\boxed{
M_t(\lambda).
}
$$

不同 $\lambda$ 對應不同資訊尺度。

---

# 76. Spectral Transition

若：

$$
M_t(\lambda^-)
$$

與：

$$
M_t(\lambda^+)
$$

在 topology / rank / active set 上不同，則：

$$
\boxed{
\lambda
}
$$

是 spectral transition。

---

# 77. Matrix Fiber

對某個 matrix projection：

$$
\Pi(M_t)=Y,
$$

可定義：

$$
\boxed{
F_Y^\Pi
=
\{
M:\Pi(M)=Y
\}.
}
$$

這延續 NIOT-01 的 fiber 結構。

---

# 78. Matrix Refinement

加入 probe 或 split coordinate 後：

$$
\boxed{
F_{t+1}
\subseteq
F_t.
}
$$

在等價類意義下，表示矩陣辨識力提高。

---

# 79. Matrix Degeneracy

若多 coordinates 長期完全同構，可出現：

$$
\boxed{
\text{structural degeneracy}.
}
$$

此時 fold / quotient 是合理的。

---

# 80. Matrix Quotient

定義 equivalence：

$$
i\sim j
$$

若它們對任務 $\mathcal T$ 在所有 relevant probes 下不可區分。

則：

$$
\boxed{
M_t/\sim
}
$$

可作為 compressed representation。

---

# 81. Quotient Certificate

必須記錄：

- equivalence rule；
- task；
- omitted distinctions；
- reversibility；
- expansion map。

---

# 82. Dynamic Quotient

隨新 probe 加入，舊 quotient class 可以 split：

$$
[i]
\rightarrow
[i_1]\cup[i_2].
$$

因此 quotient 不是永遠固定。

---

# 83. Matrix Entropy

對 partition / state distribution，可選擇定義：

$$
\boxed{
H(M_t).
}
$$

但本文不強制使用 Shannon entropy 作為唯一資訊量。

---

# 84. Matrix Information Gain

加入新 probe：

$$
P
$$

可定義：

$$
\boxed{
\Delta I_t(P)
=
I(M_{t+1})-I(M_t).
}
$$

具體 $I$ 可依任務定義。

---

# 85. Utility of Expansion

定義：

$$
\boxed{
U(\mathcal E)
=
\alpha\Delta I
-
\beta K
-
\gamma R.
}
$$

其中：

- $\Delta I$：information gain；
- $K$：cost；
- $R$：risk。

---

# 86. Expansion Policy

AI controller 可以選：

$$
\boxed{
\mathcal E_{t+1}
=
\arg\max_{\mathcal E}
U(\mathcal E).
}
$$

---

# 87. Expansion Horizon

短視：

$$
H=1.
$$

長視：

$$
H>1.
$$

可規劃多步 matrix expansion。

---

# 88. Expansion Tree

候選未來狀態形成：

$$
\boxed{
\mathcal T_M.
}
$$

每個 node 是一個可能 matrix state。

---

# 89. Pruning

低 utility branch 可以 prune：

$$
\boxed{
\operatorname{Prune}
(
\mathcal T_M
).
}
$$

---

# 90. BCODR on Expansion Tree

可用：

- outward candidate growth；
- inward constraint growth；

在 expansion tree 上做 BCODR。

因此 BCODR 不只作用 geometric proof space，也可以作用 matrix future space。

---

# 91. Matrix Responsibility Spine

經過雙向定位與 pruning 後，可留下：

$$
\boxed{
S_M
}
$$

即 matrix responsibility spine。

表示：

> 哪些 coordinates / blocks / probes 仍真正承擔未解任務責任。

---

# 92. Global Matrix 與 Local Matrix

一個大型系統可以有：

$$
M_t^{\mathrm{global}}
$$

與：

$$
M_{t,k}^{\mathrm{local}}.
$$

Local matrices 可以由 agent / subsystem 獨立展開。

---

# 93. Merge of Local Matrices

若多個 local matrix 回傳：

$$
M_{t,1},\dots,M_{t,k},
$$

需要：

$$
\boxed{
\operatorname{Reconcile}
(
M_{t,1},\dots,M_{t,k}
)
}
$$

而不是直接 union。

---

# 94. Conflict Matrix

若 local results 衝突，可以建立：

$$
\boxed{
C_t
}
$$

專門存：

- conflict pair；
- source；
- version；
- certificate；
- unresolved reason。

---

# 95. Secondary Verification Matrix

高風險結果可建立：

$$
\boxed{
V_t
}
$$

獨立於 primary matrix。

這延續 BCODR-LUC 的：

```text
STATIC_FORMAL_FACTS
LOCAL_COMPUTE_RESULTS
SECONDARY_VERIFICATION
```

分層思想。

---

# 96. Three-Layer Matrix Architecture

因此可以定義：

$$
\boxed{
\mathcal M_t
=
\left(
M_t^{\mathrm{formal}},
M_t^{\mathrm{compute}},
M_t^{\mathrm{verify}}
\right).
}
$$

三層不可互相偷換。

---

# 97. Formal Layer

存：

- theorems；
- exact rules；
- proven invariants；
- definitions。

---

# 98. Compute Layer

存：

- numerical output；
- heuristic output；
- simulation；
- optimizer result。

---

# 99. Verification Layer

存：

- replay；
- independent reproduction；
- interval audit；
- formal check；
- cross-tool validation。

---

# 100. Promote Rule

Compute result 要進 formal / canonical state，必須：

$$
\boxed{
\operatorname{Promote}
}
$$

並附 certificate。

---

# 101. Demote Rule

若證書失效：

$$
\boxed{
\operatorname{Demote}
}
$$

把舊 canonical fact 降級為 pending / revoked。

---

# 102. Matrix Governance

每個 update 可有權限：

- read；
- probe；
- expand；
- compress；
- reindex；
- promote；
- revoke。

這與 CAIR governance 相容。

---

# 103. Matrix Schema

最小 logical schema：

```json
{
  "matrix_id": "niot:matrix:...",
  "epoch": 12,
  "object_id": "niot:number:...",
  "indices": [],
  "cells": {},
  "edges": [],
  "probes": [],
  "frontier": [],
  "certificates": [],
  "closure": {},
  "history": []
}
```

---

# 104. Canonical Serialization

若需 hash：

- UTF-8；
- stable key order；
- canonical numeric representation；
- explicit UNKNOWN；
- explicit sparse zero；
- deterministic index order。

---

# 105. 不應直接用 float 重寫 canonical state

若某 cell 來源是 exact rational，不應在 canonical serialization 中自動轉成 float。

這承接 NIOT-06 將詳細處理的 bridge semantics。

---

# 106. Matrix MVP

第一個最小實驗可以只做：

1. 一個數值資訊物件；
2. 5 個初始 probes；
3. sparse relation store；
4. adaptive probe expansion；
5. redundancy compression；
6. task closure；
7. replay log。

不需要一開始就實作所有理論。

---

# 107. MVP Example

給：

$$
x=0.5.
$$

初始：

$$
I_0
=
\{
\text{value},
\text{representation},
\text{precision}
\}.
$$

因此：

$$
n_0=3.
$$

加入 provenance probe：

$$
n_1=4.
$$

加入 derivation probe 後發現 provenance 可推出，不增加獨立維：

$$
n_2=5,
\qquad
\rho_P=4.
$$

接著 compress：

$$
n_3=4.
$$

所以：

$$
\boxed{
3
\rightarrow
4
\rightarrow
5
\rightarrow
4
}
$$

完全合法。

UEFM 的「展開」不是單調增維。

---

# 108. 第二個例子：局部展開

若只有：

$$
i_2
$$

相關 certificate 有衝突，不必把所有：

$$
I_t
$$

展開。

只做：

$$
\boxed{
M_t[\mathcal N(i_2)].
}
$$

---

# 109. 第三個例子：光譜展開

對 scale probe：

$$
P_\lambda,
$$

只在：

$$
\lambda\in[\lambda_a,\lambda_b]
$$

出現 transition。

因此 adaptive expansion 只增加該區域的 spectral coordinates。

---

# 110. 第四個例子：BCODR responsibility spine

Outward probe 找到：

$$
S_+.
$$

Inward certificate probe 找到：

$$
S_-.
$$

只有：

$$
S_+\cap S_-
$$

附近 blocks 被標為 frontier。

因此高成本 local matrix 只在 overlap responsibility region materialize。

---

# 111. UEFM 與傳統矩陣的差異

傳統矩陣通常假設：

- 維度固定；
- index set 固定；
- element type 固定；
- semantics 固定。

UEFM 允許：

$$
\boxed{
\text{dimension}
+
\text{index}
+
\text{semantics}
+
\text{topology}
}
$$

都可動態更新。

---

# 112. UEFM 與資料庫的差異

Database 儲存資料。

UEFM 描述的是：

$$
\boxed{
\text{如何把可辨識資訊維度動態組成可計算狀態。}
}
$$

資料庫可以是 storage backend，但不是完整理論。

---

# 113. UEFM 與知識圖譜的差異

Knowledge graph 擅長 relation representation。

UEFM 另外強調：

- finite epoch；
- unbounded dimension；
- probe activation；
- task closure；
- compression；
- matrix / graph duality；
- dynamic rank。

---

# 114. UEFM 與 Tensor 的差異

Tensor 通常預先具有固定 axes。

UEFM 的 axes 本身可以：

- 被發現；
- 被 split；
- 被 merge；
- 被 reindex；
- 被 revoke。

---

# 115. UEFM 與 Infinite Matrix 的差異

Infinite matrix：

$$
A=(a_{ij})_{i,j\in\mathbb N}.
$$

UEFM 不要求所有：

$$
a_{ij}
$$

先有定義。

而是：

$$
\boxed{
\text{coordinates themselves can emerge}.
}
$$

---

# 116. UEFM 與 Streaming 的差異

Streaming 通常新增：

$$
\text{rows over time}.
$$

UEFM 可以新增：

- rows；
- columns；
- axes；
- relations；
- semantics；
- index topology。

因此不是一般 append-only stream。

---

# 117. UEFM 的五個核心不變量

## Invariant A — Finite epoch

$$
\boxed{
n_t<\infty.
}
$$

## Invariant B — Explicit identity

$$
\boxed{
\iota(M_t)
}
$$

可追蹤。

## Invariant C — Unknown explicitness

$$
\boxed{
\text{UNKNOWN}
\neq
0.
}
$$

## Invariant D — Update traceability

$$
\boxed{
M_t
\rightarrow
M_{t+1}
}
$$

必須可追溯。

## Invariant E — Closure relativity

$$
\boxed{
\operatorname{Close}_{\mathcal T}
}
$$

必須附帶 task。

---

# 118. 三個不可混淆的「無界」

## 118.1 維度無界

$$
\sup_t n_t=\infty.
$$

## 118.2 時間無界

Runtime 可以理論上持續更新。

## 118.3 值域無界

matrix element 值域可能本身無界。

三者不是同一概念。

---

# 119. 本文只要求第一種

UEFM 的必要條件只是：

$$
\boxed{
\text{dimension may remain open-ended}.
}
$$

不要求：

- 任務永不停止；
- 值域無界；
- 實際記憶體無限。

---

# 120. 無界擴展與完成語義

若某些理論對象需要 completion，UEFM 可以保存：

- finite prefixes；
- approximants；
- certificates；
- bridge states。

但 completion 本身由 NIOT-06 處理。

---

# 121. Matrix Completion 不等於數學 Completion

本文的：

$$
\operatorname{Close}_{\mathcal T}
$$

是 task closure。

它不是：

- metric completion；
- Cauchy completion；
- algebraic closure。

不得混用。

---

# 122. Dynamic Matrix Theorem 1

對任意 UEFM sequence：

$$
\{M_t\},
$$

若每個 epoch 都滿足：

$$
n_t<\infty,
$$

則每個 epoch 都可由有限描述表示。

因此：

$$
\boxed{
\text{unbounded extensibility does not imply infinite current storage}.
}
$$

---

# 123. Dynamic Matrix Theorem 2

若：

$$
\sup_t n_t=\infty,
$$

則不存在單一固定有限維數：

$$
N
$$

使：

$$
n_t\le N
$$

對所有 $t$ 成立。

這只是 unboundedness 的直接結果。

---

# 124. Dynamic Matrix Theorem 3

若某任務 $\mathcal T$ 在 epoch $T$ 達成：

$$
\operatorname{Close}_{\mathcal T}(M_T)=1,
$$

則即使：

$$
\sup_t n_t=\infty,
$$

該任務也可以有限停止。

因此：

$$
\boxed{
\text{unbounded model capacity}
\not\Rightarrow
\text{nonterminating task}.
}
$$

---

# 125. Dynamic Matrix Theorem 4

若 compression：

$$
C_{\mathcal T}
$$

保持 task invariants，則：

$$
\operatorname{Close}_{\mathcal T}(M_t)
=
\operatorname{Close}_{\mathcal T}(C_{\mathcal T}(M_t)).
$$

因此 task-relative compression 不破壞 closure。

---

# 126. Open Problem：最小動態基底

是否存在：

$$
\boxed{
\mathcal B_t
}
$$

使：

$$
|\mathcal B_t|
=
\rho_P(\mathcal P_t)
$$

且可最小化當前資訊表示？

這是後續重要問題。

---

# 127. Open Problem：動態秩曲率

若：

$$
\rho_s(M_t)
$$

隨 probe path 不同而產生不同局部歷史，是否存在：

$$
\boxed{
\text{rank-path curvature}
}
$$

值得研究。

---

# 128. Open Problem：最優展開策略

對給定 budget：

$$
B,
$$

如何最大化：

$$
\operatorname{ClosureProbability}
$$

或最小化：

$$
\operatorname{ExpectedRemainingGap}?
$$

這將接 AI-Native Runtime。

---

# 129. Open Problem：無界矩陣的形式語義

UEFM 是否最終應形式化為：

- inductive family；
- filtered colimit；
- direct system；
- dynamic category；
- sparse sheaf；
- evolving hypergraph；

仍待後續比較。

---

# 130. 與範疇論的可能接口

若每個 epoch 是 object：

$$
M_t,
$$

更新是 morphism：

$$
u_t:
M_t
\rightarrow
M_{t+1},
$$

則：

$$
\boxed{
M_0
\xrightarrow{u_0}
M_1
\xrightarrow{u_1}
M_2
\rightarrow
\cdots
}
$$

形成 directed system。

但因 update 可 contraction / merge / fork，不必是單純 inclusion system。

---

# 131. 與 direct limit 的差異

若所有 update 都是 compatible embeddings，才可能討論 direct limit。

一般 UEFM 不保證。

因此：

$$
\boxed{
\text{UEFM}
\neq
\text{automatic direct-limit construction}.
}
$$

---

# 132. 與 ISQL 的接口

ISQL 可以提供：

- index identity；
- semantic address；
- relation key；
- state serialization；
- dynamic link。

因此：

$$
\boxed{
\mathrm{ISQL}
\approx
\text{UEFM address / relation substrate}.
}
$$

---

# 133. 與 AIC 的接口

AIC 提供：

$$
\widehat{\mathcal E}_{i\to j}.
$$

因此 reindex、navigation、split、merge 可以獲得數學語義。

---

# 134. 與 BCODR 的接口

BCODR 提供：

$$
\boxed{
\text{frontier localization}.
}
$$

UEFM 提供：

$$
\boxed{
\text{localized dynamic state}.
}
$$

兩者結合後：

$$
\boxed{
\text{只在真正承擔未解責任的 matrix region 展開。}
}
$$

---

# 135. 與 CAIR 的接口

Matrix update 不應直接修改 canonical state。

可以：

$$
\boxed{
M_t
\rightarrow
\Delta M
\rightarrow
\text{validate}
\rightarrow
M_{t+1}.
}
$$

這承接 CAIR candidate-diff architecture。

---

# 136. 與 MNVP 的接口

UEFM 是 machine / reasoning state。

MNVP 負責把：

$$
\Pi_\alpha(M_t)
$$

轉成：

- table；
- graph；
- heatmap；
- spectral visualization；
- local view。

---

# 137. 與 NIOT-04 的接口

下一篇將處理：

$$
\boxed{
\text{光譜分辨與多探針耦合。}
}
$$

UEFM 在 NIOT-04 中將被升級為：

$$
\boxed{
M_t(\lambda_1,\dots,\lambda_k).
}
$$

並研究：

- spectral coordinates；
- cross-probe coupling；
- phase transitions；
- multi-scale structure；
- information resonance；
- degeneracy。

---

# 138. 本篇最重要的觀念修正

不要把：

$$
\boxed{
\text{無界展開有限矩陣}
}
$$

理解成：

> 一個很大的矩陣，不斷加欄。

更準確的是：

$$
\boxed{
\text{一個在任何實際時刻有限，
但其座標、維度、索引、拓撲、證書與表示都可以隨新資訊重新組織的動態狀態系統。}
}
$$

---

# 139. 三重原則

本文最後將 UEFM 壓成三句。

第一：

$$
\boxed{
\forall t,\quad
\dim M_t<\infty.
}
$$

第二：

$$
\boxed{
\sup_t\dim M_t=\infty
}
$$

作為架構允許條件。

第三：

$$
\boxed{
\exists T<\infty
\text{ such that }
\operatorname{Close}_{\mathcal T}(M_T)=1
}
$$

對可有限閉包的具體任務成立。

因此：

$$
\boxed{
\text{Finite Actuality}
+
\text{Unbounded Extensibility}
+
\text{Finite Task Closure}.
}
$$

---

# 140. 結論

NIOT-01 將數值從 scalar 提升為 identity-bearing numerical information object。

NIOT-02 將資訊差轉成 probe-driven distinguishability。

本文進一步回答：

> 當可辨識資訊方向持續增加時，這些資訊應如何存在於有限機器中？

答案不是：

$$
\boxed{
\text{建立一個真正無限大的矩陣。}
}
$$

而是：

$$
\boxed{
M_0
\rightarrow
M_1
\rightarrow
M_2
\rightarrow
\cdots
}
$$

每一個：

$$
M_t
$$

都是有限的。

但未來可以：

- 新增 probe；
- split coordinate；
- 建立新 relation；
- 引入新 spectrum；
- 加入 certificate；
- reindex；
- compress；
- reopen；
- fork。

因此：

$$
\boxed{
\text{目前有限}
\neq
\text{未來被固定有限。}
}
$$

這正是 UEFM 的核心。

它為「微觀數字世界」提供了一個真正可執行的承載體：不是一次把所有可能資訊具現化，而是在每個任務、每個 epoch、每個局部 frontier 上，只 materialize 當下有價值的有限結構。

所以：

$$
\boxed{
\text{微觀數值世界}
}
$$

不需要無限 RAM。

它需要的是：

$$
\boxed{
\text{無界的可擴展規則}
+
\text{有限的當前狀態}
+
\text{可證明的停止條件}.
}
$$

下一篇：

$$
\boxed{
\textbf{NIOT-04 — 光譜分辨與多探針耦合。}
}
$$

將處理下一個更深問題：

$$
\boxed{
\text{當資訊不是單一方向，而是沿尺度、頻率、語義深度與多探針關係形成光譜時，
矩陣如何表示耦合、相變與多尺度結構？}
}
$$

---

# Canonical Source Declaration

本檔為 `NIOT-03-v0.1` 的 UTF-8 Markdown canonical source。

數學 delimiter 僅使用 ` $...$ ` 與 `$$...$$`。

本文正式定義：
- UEFM；
- finite actualization；
- unbounded extensibility；
- active / latent dimension；
- structural rank；
- probe rank；
- sparse envelope；
- expansion；
- contraction；
- split；
- merge；
- folding；
- compression；
- frontier；
- local closure；
- task closure；
- update trace；
- matrix provenance；
- dynamic reindexing。

本文不宣稱：
- 每個任務實際維度必然趨向無限；
- UEFM 必須使用 dense matrix；
- UEFM 等同傳統 infinite matrix；
- task closure 等同數學 completion；
- 所有 update 可交換；
- 所有 compression 無損；
- 目前所有命題已完成 Lean / Coq 驗證。

後續 NIOT-04 應以本篇作為光譜矩陣與多探針耦合的動態承載基礎。

===END===