MCC-OE-13 — One-Sided Critical-Cone Remainder and Secondary-Atlas Stress Audit

從 $|R_3|$ 到 $R_3\ge-C_3^\downarrow\rho^3$ ：把 Uniform Remainder Gate 改寫成真正的 Lower-Certificate 問題

系列： Measured-Construct Closure / Observable Exhaustion
文件代號： MCC-OE-13-v0.1
作者： Neo.K
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司
版本： v0.1
日期： 2026-09-23
文件性質： One-Sided Remainder Recenter／Critical-Cone Stress Audit／Interval-AD Contract
前置： MCC-OE-00～12；LESR 09C～09H
狀態： ONE-SIDED REMAINDER TARGET DEFINED / DIAGNOSTIC STRESS FAR BELOW BUDGET / OUTWARD C3-DOWN CERTIFICATE OPEN
Canonical Source： UTF-8 Markdown
數學原始碼規範： inline math 僅使用 $...$ ，display math 僅使用 $$...$$

摘要

LESR 09D 將 root-6217 local second-order gate壓成：

\boxed{ \Phi_2 \ge c_\star }

並以 broad acceptance box建立：

\boxed{ \Phi_2 \ge 0.202. }

09D 為了把 asymptotic second-order lower延伸到 finite radius，採用一個方便但偏強的充分條件：

\boxed{ |R_3(\rho)| \le C_3\rho^3. }

然後要求：

C_3\le30

即可在：

\rho\le0.003

上得到：

A(\rho) \ge A_0+0.112\rho^2.

MCC-OE-12 重新放到 B01 micro-radius：

\rho \le 1.4\times10^{-4}

後指出，若使用 09H measured：

\underline c_\star = 0.2255863323301787\ldots,

其實只需要一個非常寬鬆的：

C_3 < 897.04523093.

本文再往前一步。

對 lower-bound theorem 而言，根本不需要控制：

\boxed{ |R_3|. }

真正需要的只有：

\boxed{ R_3 \ge - C_3^\downarrow\rho^3. }

也就是：

\boxed{ \textbf{one-sided downward remainder}. }

因為正的 higher-order correction只會提高 area，對 lower-bound certificate 完全無害。

因此：

A = A_0 + \rho^2\Phi_2 + R_3

只要：

\Phi_2\ge L_2

以及：

R_3 \ge - C_3^\downarrow\rho^3,

就得到：

\boxed{ A-A_0 \ge \rho^2 \left( L_2 - C_3^\downarrow\rho \right). }

所以 B01 target：

A \ge A_0+0.1\rho^2

真正需要的是：

\boxed{ C_3^\downarrow < \frac{ L_2-0.1 }{ \rho_{\max} }. }

用 09D broad：

L_2=0.202

只需：

\boxed{ C_3^\downarrow < 728.57142857. }

用 09H measured：

\underline c_\star = 0.2255863323301787\ldots

則只需：

\boxed{ C_3^\downarrow < 897.04523093. }

這比「absolute third-order norm」更符合真正 proof obligation。

本文接著用兩組 diagnostics測試這個新量。

第一組完全來自 09C 的 finite- $\rho$ replay。

09C 在 canonical secondary representative：

(u_2^\star,v_2^\star,w_2^\star) \approx ( 37.01279, 0.133549, -0.178616 )

上給出：

Q_\rho = \frac{ A(\rho)-A_0 }{ \rho^2 }

如下：

\rho=10^{-4}: \quad Q_\rho\approx0.2255848,

\rho=5\times10^{-5}: \quad Q_\rho\approx0.2255856,

\rho=2\times10^{-5}: \quad Q_\rho\approx0.2255860,

\rho=10^{-5}: \quad Q_\rho\approx0.2255862.

相對 nominal：

\Phi_2^{\min} \approx 0.22558634,

定義 diagnostic downward constant：

\boxed{ C_{3,\mathrm{eff}}^\downarrow(\rho) = \max \left( 0, \frac{ \Phi_2^{\min}-Q_\rho }{ \rho } \right). }

得到：

$\rho$	$C_{3,\mathrm{eff}}^\downarrow$
$10^{-4}$	$\approx0.0154$
$5\times10^{-5}$	$\approx0.0148$
$2\times10^{-5}$	$\approx0.0170$
$10^{-5}$	$\approx0.0140$

也就是：

\boxed{ C_{3,\mathrm{eff}}^\downarrow \sim10^{-2} }

在 canonical secondary representative上。

這和 09D 自己記錄的：

empirical cubic coefficient about $10^{-2}$

完全一致。

第二組是本文新增的 secondary-cone exact-envelope stress。

使用 09G sampling-free exact-envelope evaluator，並以 09C/09D nominal secondary lower model：

L_2^{\rm model} = c_0 + \gamma_w w_2 + \lambda_S \left( |\delta_+| + |\delta_-| \right) + \lambda_T[\delta_T]_+

作 asymptotic comparison基準。

對 finite：

(u_2,v_2,w_2)

盒做隨機 stress，定義：

\boxed{ C_{3,\mathrm{eff}}^\downarrow = \max \left[ 0, \frac{ L_2^{\rm model}-Q_\rho }{ \rho } \right]. }

注意：

若：

Q_\rho > L_2^{\rm model},

則差值是正 correction，對 lower bound無害，因此記為：

0.

20,000-point diagnostics得到：

Secondary box	max diagnostic $C_3^\downarrow$
$	u_2
$	u_2
$	u_2
$	u_2

再將 secondary stress擴至：

|u_2|\le5000, \qquad |v_2|,|w_2|\le50,

10,000-point diagnostic仍只看到約：

\boxed{ C_{3,\mathrm{eff}}^\downarrow \approx92.53 }

的最大 downward value。

另一個接近 B01 central hard slab 的 large diagnostic cone：

|u_2|\le8500, \qquad |v_2|\le110, \qquad |w_2|\le100

並只保留實際落回 B01 domain 的樣本，約：

18{,}943

個 valid points中，最大 downward diagnostic約：

\boxed{ 103.63. }

全部仍遠低於：

728.57

與：

897.05.

這些數值不是 interval proof。

其用途是顯示：

\boxed{ \text{the dangerous negative remainder appears dramatically smaller than the available B01 budget}. }

更重要的是，本輪同時發現：

如果還沿用 absolute：

|R_3|

思維，secondary stress中會出現非常大的 positive effective cubic corrections，例如數百、數千甚至更高。

但那些大的值主要來自：

\boxed{ Q_\rho > L_2^{\rm model}, }

也就是 finite geometry增加了比 nominal lower model更多的正 area contribution。

對 lower-bound theorem，這些 correction不是 threat。

所以：

\boxed{ \text{absolute remainder mixes dangerous negative error with harmless positive geometry}. }

這就是 one-sided recenter 的核心價值。

本文另外對 secondary topology做 exact-envelope stress。

即使在：

|u_2|\le50, \qquad |v_2|,|w_2|\le0.5

的有限 box中，1000-point exact-envelope diagnostics已觀察到：

\boxed{ 7 }

種不同 winner sequences。

放大到：

|u_2|\le100, \qquad |v_2|,|w_2|\le1

後觀察到：

\boxed{ 8 }

種。

因此 critical-cone remainder不能被實作成：

固定 canonical 18-piece chart後算一個 third derivative。

這會違反 09C 已經揭露的 secondary-sliver結構。

真正的 interval compiler應該是：

\boxed{ \text{secondary atlas} + \text{one-sided lower remainder}. }

本文因此將 09D local template中的：

C3_upper

重新細分為：

C3_abs_upper       # optional stronger field
C3_down_upper      # theorem-critical field

並把 finite-radius verifier主 gate改寫為：

\boxed{ L_2 - C_3^\downarrow\rho_{\max} > 0.1. }

這不是削弱證明嚴謹度。

而是把 certificate predicate精確對齊 theorem真正需要的方向。

本文沒有取得：

\boxed{ C_3^\downarrow<728.57 }

的 outward interval certificate。

所以 official B01 coverage仍維持：

\boxed{ 83.0642046752\%. }

但 remainder problem已再次大幅收縮：

原本是：

\boxed{ \text{prove a uniform absolute third-order norm bound}. }

現在是：

\boxed{ \textbf{prove a one-sided downward residual bound on a finite secondary atlas}. }

而目前 diagnostics顯示，required budget大約比 observed dangerous scale寬：

\boxed{ 7\times \text{ 到 } 10^4\times }

不等。

這使下一輪 interval AD具有非常明確的成功標準與巨大 slack。

關鍵詞： One-Sided Remainder、 $C_3^\downarrow$ 、Critical Cone、Secondary Sliver、Interval AD、09D、AMRAL、Lebesgue、Observable Exhaustion

1. 09D Original Remainder Gate

09D寫：

\boxed{ A(\rho) = A_0 + \rho^2\Phi_2 + R_3(\rho). }

並採 sufficient condition：

\boxed{ |R_3(\rho)| \le C_3\rho^3. }

2. Why This Was Reasonable

absolute bound：

容易描述；
對上下誤差都安全；
可直接作 generic Taylor remainder。

但 target只有 lower bound。

3. Actual Theorem Direction

我們只需要：

\boxed{ A-A_0 \ge 0.1\rho^2. }

若：

\Phi_2\ge L_2,

則只需控制：

R_3

向負方向的最壞情況。

4. One-Sided Remainder Definition

定義：

\boxed{ C_3^\downarrow }

使：

\boxed{ R_3(\rho) \ge - C_3^\downarrow\rho^3. }

5. One-Sided Finite-Radius Lemma

若：

\Phi_2\ge L_2

以及：

R_3 \ge -C_3^\downarrow\rho^3,

則：

\boxed{ A-A_0 \ge \rho^2 \left( L_2 - C_3^\downarrow\rho \right). }

6. Proof

A-A_0 = \rho^2\Phi_2 + R_3.

使用兩個 lower bounds：

\ge \rho^2L_2 - C_3^\downarrow\rho^3.

factor：

= \rho^2 \left( L_2-C_3^\downarrow\rho \right).

Q.E.D.

7. Exact B01 Acceptance Condition

因此只需：

\boxed{ L_2-C_3^\downarrow\rho_{\max}>0.1. }

8. Broad 09D Budget

L_2=0.202,

\rho_{\max}=1.4\times10^{-4}.

所以：

\boxed{ C_3^\downarrow < 728.57142857. }

9. Measured 09H Budget

使用：

\underline c_\star = 0.2255863323301787499\ldots

得到：

\boxed{ C_3^\downarrow < 897.04523093. }

10. Absolute Bound Implies One-Sided Bound

如果：

|R_3| \le C_3\rho^3,

當然有：

R_3 \ge -C_3\rho^3.

所以 09D 舊 gate仍然合法。

11. Converse Does Not Hold

one-sided bound允許：

R_3

非常大且為正。

這對 lower bound沒有問題。

12. Why This Matters for Secondary Topology

新的 secondary slivers可能增加：

O(\rho^3)

甚至 finite positive corrections。

absolute norm會把這些也當作「error」。

one-sided lower certificate則不會。

13. Source Diagnostic — 09C Replay

09C nominal minimum：

\boxed{ \Phi_2^{\min} \approx 0.22558634. }

14. $\rho=10^{-4}$

Q_\rho \approx 0.2255848.

所以：

\boxed{ C_{3,\rm eff}^\downarrow \approx 0.0154. }

15. $\rho=5\times10^{-5}$

Q_\rho \approx 0.2255856.

所以：

\boxed{ C_{3,\rm eff}^\downarrow \approx 0.0148. }

16. $\rho=2\times10^{-5}$

Q_\rho \approx 0.2255860.

所以：

\boxed{ C_{3,\rm eff}^\downarrow \approx 0.0170. }

17. $\rho=10^{-5}$

Q_\rho \approx 0.2255862.

所以：

\boxed{ C_{3,\rm eff}^\downarrow \approx 0.0140. }

18. Source-Level Interpretation

這支持 09D 已寫出的：

\boxed{ \text{empirical cubic coefficient }\sim10^{-2}. }

但：

STATUS:
    HIGH-PRECISION NUMERICAL REPLAY
    NOT INTERVAL PROOF

19. Secondary Lower Model

使用 09C nominal：

\Phi_2^{\rm model} = c_0 + \gamma_w w_2 + \lambda_S \left( |\delta_+| + |\delta_-| \right) + \lambda_T[\delta_T]_+.

20. Nominal Signed Widths

\delta_+ = A + Bu_2 + Cv_2 + Dw_2,

\delta_- = -A + Bu_2 + Cv_2 - Dw_2,

\delta_T = T + Eu_2 + Fv_2.

21. Diagnostic Downward Constant

對 exact finite ratio：

Q_\rho = \frac{A(\rho)-A_0}{\rho^2},

定義：

\boxed{ C_{3,\rm eff}^\downarrow = \max \left( 0, \frac{ \Phi_2^{\rm model}-Q_\rho }{ \rho } \right). }

22. Important Status

這只是：

NOMINAL-MODEL DIAGNOSTIC

因：

coefficients不是 outward intervals；
topology exhaustion不是 interval-certified；
exact envelope使用 numerical evaluator。

23. Secondary Box S50

|u_2|\le50,

|v_2|\le0.5,

|w_2|\le0.5.

20k stress：

\boxed{ \max C_{3,\rm eff}^\downarrow \approx1.40. }

24. S100

|u_2|\le100,

|v_2|,|w_2|\le1.

diagnostic：

\boxed{ \approx2.53. }

25. S200

|u_2|\le200,

|v_2|,|w_2|\le2.

diagnostic：

\boxed{ \approx4.41. }

26. S500

|u_2|\le500,

|v_2|,|w_2|\le5.

diagnostic：

\boxed{ \approx10.14. }

27. S5000

|u_2|\le5000,

|v_2|,|w_2|\le50.

10k stress：

\boxed{ \max C_{3,\rm eff}^\downarrow \approx92.53. }

28. B01-Like Large Secondary Slab

取：

|u_2|\le8500,

|v_2|\le110,

|w_2|\le100,

並只保留映回 actual B01：

u\in[4.5,6],

v\in[-0.23,-0.15],

w\in[-0.01,0.01]

的 points。

29. Valid Sample Count

30k proposals中：

\boxed{ 18{,}943 }

個 valid。

30. Maximum Downward Diagnostic

\boxed{ C_{3,\rm eff}^\downarrow \approx103.63. }

仍只有 broad 09D B01 budget：

728.57

的約七分之一。

31. Why We Do Not Promote This

因 secondary expansion要求：

u_2,v_2,w_2

在 epi-derivative sequence中保持 finite。

非常大的 finite coordinates在 fixed micro radius上可以作 stress，

但不能單靠 sampling宣稱 uniform asymptotic theorem。

32. The Point of the Stress

不是證明：

C_3^\downarrow<104.

而是檢查：

required $728$ budget 是否看起來接近數值危險尺度？

目前答案：

\boxed{ \text{沒有。} }

33. Positive Corrections Can Be Huge

在同一 stress中，

若看 signed：

\frac{ Q_\rho-\Phi_2^{\rm model} }{ \rho },

正方向可達：

hundreds；
thousands；
larger values。

34. But These Are Harmless for Lower Bound

如果：

Q_\rho \gg \Phi_2^{\rm model},

代表 finite geometry比 lower asymptotic model更高。

35. Therefore Absolute C3 Is Misconditioned for This Task

absolute：

\left| Q_\rho-\Phi_2^{\rm model} \right|/\rho

會被 harmless positive corrections支配。

36. New Probe

真正 probe：

\boxed{ P_{C_3^\downarrow} = \max \left( 0, \frac{ \Phi_2^{\rm lower}-Q_\rho }{ \rho } \right). }

37. Reverse Threat

theorem threat只在：

\boxed{ C_3^\downarrow \ge \frac{ L_2-0.1 }{ \rho } }

時發生。

38. Secondary Topology Stress

本文另用 exact-envelope winner sequence作 topology diagnostic。

39. S50

1000 random secondary points內觀察：

\boxed{ 7 }

種 winner sequences。

40. S100

觀察：

\boxed{ 8 }

種。

41. Consequence

\boxed{ \text{critical cone} \neq \text{one fixed finite support chart}. }

42. Relation to 09C Five-Sliver Atlas

這與 09C 的：

\boxed{ \text{five potential secondary slivers} }

方向一致。

但本輪 sequence count不等於 five-sliver exhaustion proof。

43. Important Discipline

不能由：

7\text{ or }8\text{ observed sequences}

推出：

\boxed{ \text{complete topology count}. }

它只否定 single-chart shortcut。

44. Correct Remainder Architecture

因此：

\boxed{ \text{one-sided remainder} + \text{finite secondary atlas}. }

45. Candidate First Interval Cone

本文建議先從：

\boxed{ \mathcal S_{100} = [-100,100] \times [-1,1] \times [-1,1] }

開始 interval AD。

46. Why S100

它包含 09C canonical representative：

( 37.01279, 0.133549, -0.178616 ).

47. Numerical Slack

diagnostic downward max：

\approx2.53.

相對：

728.57

有超過：

\boxed{ 280\times }

的 ratio。

48. But It Has Multiple Charts

所以 S100必須按 secondary topology / signed-width cells切。

49. Secondary Atlas Coordinates

natural walls：

\delta_+=0,

\delta_-=0,

\delta_T=0.

再加有限 support-transition walls。

50. Paired-Sliver Advantage

09D scalar inequality已經對：

\delta_+, \delta_-

做解析消元。

所以 interval AD不必精確求 secondary minimizer。

51. New Remainder Certificate Form

對 atlas cell：

S_j,

需要：

\boxed{ Q_\rho \ge L_{2,j} - C_{3,j}^\downarrow\rho. }

52. Local Acceptance

若：

\boxed{ L_{2,j} - C_{3,j}^\downarrow\rho_{\max} > 0.1, }

cell closed。

53. Global Critical Cone

如果：

\mathcal S_{\rm crit} = \bigcup_jS_j

且所有 cells PASS，

critical cone closed。

54. New JSON Contract

{
  "uniform_remainder": {
    "mode": "ONE_SIDED_LOWER",
    "rho_max": "0.00014",
    "C3_down_upper": null,
    "C3_abs_upper": null,
    "status": "PENDING"
  }
}

55. Verifier Rule

舊：

abs(R3) <= C3 * rho^3

新 primary lower gate：

R3 >= -C3_down * rho^3

56. Derived Finite Lower

finite_lower =
    phi2_lower
    - C3_down_upper * rho_max

57. Pass

finite_lower > 0.1

58. Absolute Bound Remains Optional

如果 publication audit順便得到：

|R_3| \le C_3^{\rm abs}\rho^3,

當然很好。

但它不應阻塞 lower theorem。

59. Interval AD Target

不要對：

A

直接求 huge global third derivative norm。

60. Instead

對每 secondary atlas cell：

建 exact / Taylor area expression；
subtract certified second-order lower model；
只 enclosure negative residual。

61. Signed Residual Function

定義：

\boxed{ \Delta_3 = \frac{ A-A_0 }{ \rho^2 } - L_2. }

62. Required Inequality

\boxed{ \Delta_3 \ge - C_3^\downarrow\rho. }

63. Avoiding Division Near $\rho=0$

等價寫：

\boxed{ A-A_0-\rho^2L_2 \ge -C_3^\downarrow\rho^3. }

這更適合 Taylor model。

64. Interval Polynomial Form

若：

G_j(\rho,\xi) = A-A_0-\rho^2L_{2,j},

則要證：

\boxed{ G_j+\overline C_{3,j}^\downarrow\rho^3 \ge0. }

65. Why This Can Be Easier Than Third Derivative Norm

Taylor model直接可以：

cancel constant；
cancel first-order；
cancel certified second-order lower；
inspect only residual polynomial / remainder。

66. Positive Omitted Terms Need Not Be Bounded Above

如果 secondary topology多出一個：

+P(\rho)

且：

P\ge0,

它完全可以忽略。

67. This Is a Major Topology Simplification

09D本來就把：

\text{omitted secondary contribution lower}\ge0

列為 structural assumption。

one-sided remainder與這個方向完全對齊。

68. Topology Certificate Goal

不需要知道每個 omitted sliver多大。

只需證：

\boxed{ \text{它不是負 contribution}. }

69. This Is Better Matched to Paired-Sliver Domination

09D 的真正精神本來就是：

\boxed{ \text{lower-bound structure} }

而不是 exact reconstruction每一個 secondary coefficient。

70. Critical-Cone Route v2

因此新的 route：

Step 1:
    certify coefficient intervals

Step 2:
    certify paired-sliver lower model

Step 3:
    prove omitted terms nonnegative

Step 4:
    one-sided remainder C3_down

Step 5:
    check finite lower > 0.1

71. What Is Already Done

Step 1：

09H research interval完成。

Step 2：

09D analytic scalar theorem完成。

72. Still Open

Step 3：

five-sliver / omitted-term topology publication certificate。

Step 4：

one-sided interval remainder。

73. Why Step 4 Now Looks Cheap

required：

728 \sim897.

diagnostic dangerous scale：

10^{-2} \sim10^2

depending stress box。

74. Margin Is Not Uniformly Enormous Everywhere

不能把 sample maximum：

103.63

當 proof。

但至少沒有顯示 certificate target接近 failure。

75. Counterexample Condition

真正值得擔心的 point必須產生：

\boxed{ Q_\rho < L_2 - 728\rho }

using broad lower。

76. At $\rho=1.4\times10^{-4}$

允許 downward coefficient loss：

728.57\rho = 0.102.

所以即使：

L_2=0.202,

finite ratio只要仍：

>0.1

即可。

77. Numerical Diagnostics Are Far from That Collapse

current critical replay：

Q_\rho \approx0.22558.

78. Even Broad Secondary Stress Minima

在本輪 sampled boxes中，observed exact quadratic ratios仍遠高於：

0.1.

但這仍只是 numerical evidence。

79. Official B01 Coverage

不變：

\boxed{ 83.0642046752\%. }

80. Why We Do Not Add Conditional Critical-Cone Coverage

因：

secondary cone domain尚未 formal cover；
one-sided $C_3^\downarrow$ 尚未 outward；
topology atlas尚未 complete。

81. Main Research Result

本輪真正 closed的是：

\boxed{ \text{the correct remainder question}. }

82. Old Question

能不能證一個 uniform $|R_3|$ norm很小？

83. New Question

finite area 能不能相對 second-order lower model向下偏超過可接受 budget？

84. This Is a Reverse Probe

反向 threat compiler直接給：

\boxed{ C_3^\downarrow \ge 728.57 }

才可能打破 broad B01 finite gate。

85. Forward Probe

對任何 secondary cell：

\boxed{ P_{\downarrow} = \sup \frac{ L_2-Q_\rho }{ \rho }. }

只取 positive part。

86. No Need to Measure Upward Tail

這就是：

\boxed{ \text{task-specific measurement}. }

87. Relation to NIOT

同一 numerical object：

R_3

可以有：

absolute norm probe；
signed lower probe；
upper probe；
spectral probe。

對目前 theorem，

只有：

\boxed{ \text{downward probe} }

是 task-critical。

88. This Is the Numerical-Probe Thesis in Pure Form

不是：

測越多越好。

而是：

\boxed{ \text{measure the direction that can actually change the verdict}. }

89. Next Implementation Target

下一輪應建立：

\boxed{ \textbf{MCC-OE-14 — One-Sided Interval Remainder Compiler on the Secondary Atlas}. }

90. MCC-OE-14 Lane A

先 formalize：

\mathcal S_{100}.

91. Lane B

按：

\delta_+, \delta_-, \delta_T

sign chambers切。

92. Lane C

在每 chamber建立 positive-side exact-area Taylor model。

93. Lane D

直接 intervalize：

G_j = A-A_0-\rho^2L_{2,j}.

94. Lane E

搜尋 smallest：

C_{3,j}^\downarrow

使：

G_j+C_{3,j}^\downarrow\rho^3\ge0.

95. Lane F

只要求：

\max_jC_{3,j}^\downarrow < 728.57

即可使用 broad 09D gate。

96. Stronger Optional Gate

若係數 intervals持續用 09H measured lower，

則可放寬至：

897.05.

97. Secondary Atlas Failover

若某 chamber interval dependency爆掉：

subdivide；
switch to HSL；
or direct exact-envelope local verifier。

不需要整個 critical cone一起失敗。

98. Current Dashboard

B01 OFFICIAL COVER:
    83.0642046752%

09D BROAD PHI2 LOWER:
    0.202

09H CSTAR LOWER:
    0.2255863323301787...

ABSOLUTE C3 GATE:
    SUFFICIENT BUT OVER-STRONG

NEW ONE-SIDED BROAD BUDGET:
    C3_down < 728.57142857

NEW ONE-SIDED MEASURED BUDGET:
    C3_down < 897.04523093

09C REPRESENTATIVE DIAGNOSTIC C3_down:
    ~0.014 to 0.017

S50 DIAGNOSTIC MAX:
    ~1.40

S100:
    ~2.53

S200:
    ~4.41

S500:
    ~10.14

S5000:
    ~92.53

B01-LIKE LARGE SECONDARY STRESS:
    ~103.63

OUTWARD C3_down CERTIFICATE:
    OPEN

SECONDARY TOPOLOGY:
    MULTI-CHART OBSERVED

COUNTEREXAMPLE:
    NONE

99. 結論

MCC-OE-13 沒有直接完成：

C_3

interval AD。

但它把 remainder problem改成了真正應該證的東西。

09D 當初寫：

|R_3| \le C_3\rho^3

是一個非常自然的 generic Taylor condition。

可是我們現在不是在做 generic approximation theorem。

我們是在做：

\boxed{ \text{area lower bound}. }

對這個 task，

正 remainder：

R_3>0

不是 error。

它是 bonus。

真正危險的只有：

R_3<0.

所以 certificate應該看：

\boxed{ C_3^\downarrow. }

這個改寫看似只是把 absolute value拿掉，

實際上影響很大。

因 secondary topology在 finite radius中可以產生很多額外 positive slivers。

若用：

|R_3|,

這些全部把 norm推大。

若用：

R_3\ge-C_3^\downarrow\rho^3,

它們根本不需要被精確上界。

這和 09D 的：

\boxed{ \text{omitted corrections only need nonnegative lower status} }

完全對齊。

更重要的是，數字 probe開始告訴我們這個改寫不是只有形式上的。

canonical secondary representative：

C_3^\downarrow \sim0.015.

很寬的 secondary stress：

C_3^\downarrow \sim10^2

仍低於 B01容許：

728 \sim897.

雖然這些都還不是 interval proof，

但它們清楚顯示：

\boxed{ \textbf{the proof budget is not tight}. }

下一輪 therefore不需要發明更 sharp mathematics。

只要做一個正確方向的 interval compiler：

\boxed{ \textbf{secondary atlas + one-sided lower remainder}. }

如果這個 compiler能把：

C_3^\downarrow

證在：

728.57

以下，

critical cone finite-radius gate就會正式閉合。

而這一次，

我們不需要控制那些巨大的 positive correction。

這就是這輪真正的數字探針結果。

Canonical Source Declaration

本檔為 MCC-OE-13-v0.1 的 UTF-8 Markdown canonical source。

本文 source-backed inputs：

LESR 09C secondary LP nominal minimum與 finite- $\rho$ replay；
LESR 09D paired-sliver scalar lower與 finite-radius absolute remainder gate；
LESR 09H measured interval $c_\star$ ；
09C/09D secondary signed-width model；
09G sampling-free exact-envelope evaluator。

本文新增 formal reduction：

one-sided remainder constant： $R_3\ge-C_3^\downarrow\rho^3;$
one-sided finite-radius lemma；
B01 broad budget： $C_3^\downarrow<728.57142857;$
measured-coefficient budget： $C_3^\downarrow<897.04523093.$

本文新增 diagnostics：

09C replay-derived effective downward constants；
secondary-box exact-envelope stress；
large B01-like secondary stress；
support winner-sequence multiplicity diagnostics。

本文明確區分：

source numerical replay；
new numerical diagnostics；
formal one-sided lemma；
still-open interval certificate。

本文不宣稱：

any diagnostic $C_3^\downarrow$ maximum is rigorous；
S100 / S5000 is a formally complete critical cone；
observed 7–8 support sequences exhaust secondary topology；
$C_3^\downarrow<728.57$ has been interval-certified；
B01 official coverage has increased beyond 83.0642046752%；
B01 boundary is closed；
B01 parent is closed；
global Lebesgue is solved。

下一輪建議進入：

MCC-OE-14 — One-Sided Interval Remainder Compiler on the Secondary Atlas.

===END===

MCC-OE-13 — One-Sided Critical-Cone Remainder and Secondary-Atlas Stress Audit

MCC-OE-13 — One-Sided Critical-Cone Remainder and Secondary-Atlas Stress Audit

從 ∣R3∣|R_3|∣R3​∣ 到 R3≥−C3↓ρ3R_3\ge-C_3^\downarrow\rho^3R3​≥−C3↓​ρ3：把 Uniform Remainder Gate 改寫成真正的 Lower-Certificate 問題

摘要

1. 09D Original Remainder Gate

2. Why This Was Reasonable

3. Actual Theorem Direction

4. One-Sided Remainder Definition

5. One-Sided Finite-Radius Lemma

6. Proof

7. Exact B01 Acceptance Condition

8. Broad 09D Budget

9. Measured 09H Budget

10. Absolute Bound Implies One-Sided Bound

11. Converse Does Not Hold

12. Why This Matters for Secondary Topology

13. Source Diagnostic — 09C Replay

14. ρ=10−4\rho=10^{-4}ρ=10−4

15. ρ=5×10−5\rho=5\times10^{-5}ρ=5×10−5

16. ρ=2×10−5\rho=2\times10^{-5}ρ=2×10−5

17. ρ=10−5\rho=10^{-5}ρ=10−5

18. Source-Level Interpretation

19. Secondary Lower Model

20. Nominal Signed Widths

21. Diagnostic Downward Constant

22. Important Status

23. Secondary Box S50

24. S100

25. S200

26. S500

27. S5000

28. B01-Like Large Secondary Slab

29. Valid Sample Count

30. Maximum Downward Diagnostic

31. Why We Do Not Promote This

32. The Point of the Stress

33. Positive Corrections Can Be Huge

34. But These Are Harmless for Lower Bound

35. Therefore Absolute C3 Is Misconditioned for This Task

36. New Probe

37. Reverse Threat

38. Secondary Topology Stress

39. S50

40. S100

41. Consequence

42. Relation to 09C Five-Sliver Atlas

43. Important Discipline

44. Correct Remainder Architecture

45. Candidate First Interval Cone

46. Why S100

47. Numerical Slack

48. But It Has Multiple Charts

49. Secondary Atlas Coordinates

50. Paired-Sliver Advantage

51. New Remainder Certificate Form

52. Local Acceptance

53. Global Critical Cone

54. New JSON Contract

55. Verifier Rule

56. Derived Finite Lower

57. Pass

58. Absolute Bound Remains Optional

59. Interval AD Target

60. Instead

61. Signed Residual Function

62. Required Inequality

63. Avoiding Division Near ρ=0\rho=0ρ=0

64. Interval Polynomial Form

65. Why This Can Be Easier Than Third Derivative Norm

66. Positive Omitted Terms Need Not Be Bounded Above

67. This Is a Major Topology Simplification

68. Topology Certificate Goal

69. This Is Better Matched to Paired-Sliver Domination

70. Critical-Cone Route v2

71. What Is Already Done

72. Still Open

73. Why Step 4 Now Looks Cheap

74. Margin Is Not Uniformly Enormous Everywhere

75. Counterexample Condition

76. At ρ=1.4×10−4\rho=1.4\times10^{-4}ρ=1.4×10−4

從 $|R_3|$ 到 $R_3\ge-C_3^\downarrow\rho^3$ ：把 Uniform Remainder Gate 改寫成真正的 Lower-Certificate 問題

14. $\rho=10^{-4}$

15. $\rho=5\times10^{-5}$

16. $\rho=2\times10^{-5}$

17. $\rho=10^{-5}$

63. Avoiding Division Near $\rho=0$

76. At $\rho=1.4\times10^{-4}$