# MCC-OE-13 — One-Sided Critical-Cone Remainder and Secondary-Atlas Stress Audit
## 從 $|R_3|$ 到 $R_3\ge-C_3^\downarrow\rho^3$：把 Uniform Remainder Gate 改寫成真正的 Lower-Certificate 問題

**系列：** Measured-Construct Closure / Observable Exhaustion  
**文件代號：** `MCC-OE-13-v0.1`  
**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-23  
**文件性質：** One-Sided Remainder Recenter／Critical-Cone Stress Audit／Interval-AD Contract  
**前置：** MCC-OE-00～12；LESR 09C～09H  
**狀態：** `ONE-SIDED REMAINDER TARGET DEFINED / DIAGNOSTIC STRESS FAR BELOW BUDGET / OUTWARD C3-DOWN CERTIFICATE OPEN`  
**Canonical Source：** UTF-8 Markdown  
**數學原始碼規範：** inline math 僅使用 ` $...$ `，display math 僅使用 `$$...$$`

---

# 摘要

LESR 09D 將 root-6217 local second-order gate壓成：

$$
\boxed{
\Phi_2
\ge
c_\star
}
$$

並以 broad acceptance box建立：

$$
\boxed{
\Phi_2
\ge
0.202.
}
$$

09D 為了把 asymptotic second-order lower延伸到 finite radius，採用一個方便但偏強的充分條件：

$$
\boxed{
|R_3(\rho)|
\le
C_3\rho^3.
}
$$

然後要求：

$$
C_3\le30
$$

即可在：

$$
\rho\le0.003
$$

上得到：

$$
A(\rho)
\ge
A_0+0.112\rho^2.
$$

MCC-OE-12 重新放到 B01 micro-radius：

$$
\rho
\le
1.4\times10^{-4}
$$

後指出，若使用 09H measured：

$$
\underline c_\star
=
0.2255863323301787\ldots,
$$

其實只需要一個非常寬鬆的：

$$
C_3
<
897.04523093.
$$

本文再往前一步。

對 lower-bound theorem 而言，根本不需要控制：

$$
\boxed{
|R_3|.
}
$$

真正需要的只有：

$$
\boxed{
R_3
\ge
-
C_3^\downarrow\rho^3.
}
$$

也就是：

$$
\boxed{
\textbf{one-sided downward remainder}.
}
$$

因為正的 higher-order correction只會提高 area，對 lower-bound certificate 完全無害。

因此：

$$
A
=
A_0
+
\rho^2\Phi_2
+
R_3
$$

只要：

$$
\Phi_2\ge L_2
$$

以及：

$$
R_3
\ge
-
C_3^\downarrow\rho^3,
$$

就得到：

$$
\boxed{
A-A_0
\ge
\rho^2
\left(
L_2
-
C_3^\downarrow\rho
\right).
}
$$

所以 B01 target：

$$
A
\ge
A_0+0.1\rho^2
$$

真正需要的是：

$$
\boxed{
C_3^\downarrow
<
\frac{
L_2-0.1
}{
\rho_{\max}
}.
}
$$

用 09D broad：

$$
L_2=0.202
$$

只需：

$$
\boxed{
C_3^\downarrow
<
728.57142857.
}
$$

用 09H measured：

$$
\underline c_\star
=
0.2255863323301787\ldots
$$

則只需：

$$
\boxed{
C_3^\downarrow
<
897.04523093.
}
$$

這比「absolute third-order norm」更符合真正 proof obligation。

本文接著用兩組 diagnostics測試這個新量。

第一組完全來自 09C 的 finite- $\rho$ replay。

09C 在 canonical secondary representative：

$$
(u_2^\star,v_2^\star,w_2^\star)
\approx
(
37.01279,
0.133549,
-0.178616
)
$$

上給出：

$$
Q_\rho
=
\frac{
A(\rho)-A_0
}{
\rho^2
}
$$

如下：

$$
\rho=10^{-4}:
\quad
Q_\rho\approx0.2255848,
$$

$$
\rho=5\times10^{-5}:
\quad
Q_\rho\approx0.2255856,
$$

$$
\rho=2\times10^{-5}:
\quad
Q_\rho\approx0.2255860,
$$

$$
\rho=10^{-5}:
\quad
Q_\rho\approx0.2255862.
$$

相對 nominal：

$$
\Phi_2^{\min}
\approx
0.22558634,
$$

定義 diagnostic downward constant：

$$
\boxed{
C_{3,\mathrm{eff}}^\downarrow(\rho)
=
\max
\left(
0,
\frac{
\Phi_2^{\min}-Q_\rho
}{
\rho
}
\right).
}
$$

得到：

| $\rho$ | $C_{3,\mathrm{eff}}^\downarrow$ |
|---:|---:|
| $10^{-4}$ | $\approx0.0154$ |
| $5\times10^{-5}$ | $\approx0.0148$ |
| $2\times10^{-5}$ | $\approx0.0170$ |
| $10^{-5}$ | $\approx0.0140$ |

也就是：

$$
\boxed{
C_{3,\mathrm{eff}}^\downarrow
\sim10^{-2}
}
$$

在 canonical secondary representative上。

這和 09D 自己記錄的：

> empirical cubic coefficient about $10^{-2}$

完全一致。

第二組是本文新增的 secondary-cone exact-envelope stress。

使用 09G sampling-free exact-envelope evaluator，並以 09C/09D nominal secondary lower model：

$$
L_2^{\rm model}
=
c_0
+
\gamma_w w_2
+
\lambda_S
\left(
|\delta_+|
+
|\delta_-|
\right)
+
\lambda_T[\delta_T]_+
$$

作 asymptotic comparison基準。

對 finite：

$$
(u_2,v_2,w_2)
$$

盒做隨機 stress，定義：

$$
\boxed{
C_{3,\mathrm{eff}}^\downarrow
=
\max
\left[
0,
\frac{
L_2^{\rm model}-Q_\rho
}{
\rho
}
\right].
}
$$

注意：

若：

$$
Q_\rho
>
L_2^{\rm model},
$$

則差值是正 correction，對 lower bound無害，因此記為：

$$
0.
$$

20,000-point diagnostics得到：

| Secondary box | max diagnostic $C_3^\downarrow$ |
|---|---:|
| $|u_2|\le50,\ |v_2|,|w_2|\le0.5$ | $\approx1.40$ |
| $|u_2|\le100,\ |v_2|,|w_2|\le1$ | $\approx2.53$ |
| $|u_2|\le200,\ |v_2|,|w_2|\le2$ | $\approx4.41$ |
| $|u_2|\le500,\ |v_2|,|w_2|\le5$ | $\approx10.14$ |

再將 secondary stress擴至：

$$
|u_2|\le5000,
\qquad
|v_2|,|w_2|\le50,
$$

10,000-point diagnostic仍只看到約：

$$
\boxed{
C_{3,\mathrm{eff}}^\downarrow
\approx92.53
}
$$

的最大 downward value。

另一個接近 B01 central hard slab 的 large diagnostic cone：

$$
|u_2|\le8500,
\qquad
|v_2|\le110,
\qquad
|w_2|\le100
$$

並只保留實際落回 B01 domain 的樣本，約：

$$
18{,}943
$$

個 valid points中，最大 downward diagnostic約：

$$
\boxed{
103.63.
}
$$

全部仍遠低於：

$$
728.57
$$

與：

$$
897.05.
$$

這些數值**不是 interval proof**。

其用途是顯示：

$$
\boxed{
\text{the dangerous negative remainder appears dramatically smaller
than the available B01 budget}.
}
$$

更重要的是，本輪同時發現：

如果還沿用 absolute：

$$
|R_3|
$$

思維，secondary stress中會出現非常大的 positive effective cubic corrections，例如數百、數千甚至更高。

但那些大的值主要來自：

$$
\boxed{
Q_\rho
>
L_2^{\rm model},
}
$$

也就是 finite geometry增加了比 nominal lower model更多的正 area contribution。

對 lower-bound theorem，這些 correction不是 threat。

所以：

$$
\boxed{
\text{absolute remainder mixes dangerous negative error
with harmless positive geometry}.
}
$$

這就是 one-sided recenter 的核心價值。

本文另外對 secondary topology做 exact-envelope stress。

即使在：

$$
|u_2|\le50,
\qquad
|v_2|,|w_2|\le0.5
$$

的有限 box中，1000-point exact-envelope diagnostics已觀察到：

$$
\boxed{
7
}
$$

種不同 winner sequences。

放大到：

$$
|u_2|\le100,
\qquad
|v_2|,|w_2|\le1
$$

後觀察到：

$$
\boxed{
8
}
$$

種。

因此 critical-cone remainder不能被實作成：

> 固定 canonical 18-piece chart後算一個 third derivative。

這會違反 09C 已經揭露的 secondary-sliver結構。

真正的 interval compiler應該是：

$$
\boxed{
\text{secondary atlas}
+
\text{one-sided lower remainder}.
}
$$

本文因此將 09D local template中的：

```text
C3_upper
```

重新細分為：

```text
C3_abs_upper       # optional stronger field
C3_down_upper      # theorem-critical field
```

並把 finite-radius verifier主 gate改寫為：

$$
\boxed{
L_2
-
C_3^\downarrow\rho_{\max}
>
0.1.
}
$$

這不是削弱證明嚴謹度。

而是把 certificate predicate精確對齊 theorem真正需要的方向。

本文沒有取得：

$$
\boxed{
C_3^\downarrow<728.57
}
$$

的 outward interval certificate。

所以 official B01 coverage仍維持：

$$
\boxed{
83.0642046752\%.
}
$$

但 remainder problem已再次大幅收縮：

原本是：

$$
\boxed{
\text{prove a uniform absolute third-order norm bound}.
}
$$

現在是：

$$
\boxed{
\textbf{prove a one-sided downward residual bound
on a finite secondary atlas}.
}
$$

而目前 diagnostics顯示，required budget大約比 observed dangerous scale寬：

$$
\boxed{
7\times
\text{ 到 }
10^4\times
}
$$

不等。

這使下一輪 interval AD具有非常明確的成功標準與巨大 slack。

**關鍵詞：** One-Sided Remainder、 $C_3^\downarrow$ 、Critical Cone、Secondary Sliver、Interval AD、09D、AMRAL、Lebesgue、Observable Exhaustion

---

# 1. 09D Original Remainder Gate

09D寫：

$$
\boxed{
A(\rho)
=
A_0
+
\rho^2\Phi_2
+
R_3(\rho).
}
$$

並採 sufficient condition：

$$
\boxed{
|R_3(\rho)|
\le
C_3\rho^3.
}
$$

---

# 2. Why This Was Reasonable

absolute bound：

- 容易描述；
- 對上下誤差都安全；
- 可直接作 generic Taylor remainder。

但 target只有 lower bound。

---

# 3. Actual Theorem Direction

我們只需要：

$$
\boxed{
A-A_0
\ge
0.1\rho^2.
}
$$

若：

$$
\Phi_2\ge L_2,
$$

則只需控制：

$$
R_3
$$

向負方向的最壞情況。

---

# 4. One-Sided Remainder Definition

定義：

$$
\boxed{
C_3^\downarrow
}
$$

使：

$$
\boxed{
R_3(\rho)
\ge
-
C_3^\downarrow\rho^3.
}
$$

---

# 5. One-Sided Finite-Radius Lemma

若：

$$
\Phi_2\ge L_2
$$

以及：

$$
R_3
\ge
-C_3^\downarrow\rho^3,
$$

則：

$$
\boxed{
A-A_0
\ge
\rho^2
\left(
L_2
-
C_3^\downarrow\rho
\right).
}
$$

---

# 6. Proof

$$
A-A_0
=
\rho^2\Phi_2
+
R_3.
$$

使用兩個 lower bounds：

$$
\ge
\rho^2L_2
-
C_3^\downarrow\rho^3.
$$

factor：

$$
=
\rho^2
\left(
L_2-C_3^\downarrow\rho
\right).
$$

Q.E.D.

---

# 7. Exact B01 Acceptance Condition

因此只需：

$$
\boxed{
L_2-C_3^\downarrow\rho_{\max}>0.1.
}
$$

---

# 8. Broad 09D Budget

$$
L_2=0.202,
$$

$$
\rho_{\max}=1.4\times10^{-4}.
$$

所以：

$$
\boxed{
C_3^\downarrow
<
728.57142857.
}
$$

---

# 9. Measured 09H Budget

使用：

$$
\underline c_\star
=
0.2255863323301787499\ldots
$$

得到：

$$
\boxed{
C_3^\downarrow
<
897.04523093.
}
$$

---

# 10. Absolute Bound Implies One-Sided Bound

如果：

$$
|R_3|
\le
C_3\rho^3,
$$

當然有：

$$
R_3
\ge
-C_3\rho^3.
$$

所以 09D 舊 gate仍然合法。

---

# 11. Converse Does Not Hold

one-sided bound允許：

$$
R_3
$$

非常大且為正。

這對 lower bound沒有問題。

---

# 12. Why This Matters for Secondary Topology

新的 secondary slivers可能增加：

$$
O(\rho^3)
$$

甚至 finite positive corrections。

absolute norm會把這些也當作「error」。

one-sided lower certificate則不會。

---

# 13. Source Diagnostic — 09C Replay

09C nominal minimum：

$$
\boxed{
\Phi_2^{\min}
\approx
0.22558634.
}
$$

---

# 14. $\rho=10^{-4}$

$$
Q_\rho
\approx
0.2255848.
$$

所以：

$$
\boxed{
C_{3,\rm eff}^\downarrow
\approx
0.0154.
}
$$

---

# 15. $\rho=5\times10^{-5}$

$$
Q_\rho
\approx
0.2255856.
$$

所以：

$$
\boxed{
C_{3,\rm eff}^\downarrow
\approx
0.0148.
}
$$

---

# 16. $\rho=2\times10^{-5}$

$$
Q_\rho
\approx
0.2255860.
$$

所以：

$$
\boxed{
C_{3,\rm eff}^\downarrow
\approx
0.0170.
}
$$

---

# 17. $\rho=10^{-5}$

$$
Q_\rho
\approx
0.2255862.
$$

所以：

$$
\boxed{
C_{3,\rm eff}^\downarrow
\approx
0.0140.
}
$$

---

# 18. Source-Level Interpretation

這支持 09D 已寫出的：

$$
\boxed{
\text{empirical cubic coefficient }\sim10^{-2}.
}
$$

但：

```text
STATUS:
    HIGH-PRECISION NUMERICAL REPLAY
    NOT INTERVAL PROOF
```

---

# 19. Secondary Lower Model

使用 09C nominal：

$$
\Phi_2^{\rm model}
=
c_0
+
\gamma_w w_2
+
\lambda_S
\left(
|\delta_+|
+
|\delta_-|
\right)
+
\lambda_T[\delta_T]_+.
$$

---

# 20. Nominal Signed Widths

$$
\delta_+
=
A
+
Bu_2
+
Cv_2
+
Dw_2,
$$

$$
\delta_-
=
-A
+
Bu_2
+
Cv_2
-
Dw_2,
$$

$$
\delta_T
=
T
+
Eu_2
+
Fv_2.
$$

---

# 21. Diagnostic Downward Constant

對 exact finite ratio：

$$
Q_\rho
=
\frac{A(\rho)-A_0}{\rho^2},
$$

定義：

$$
\boxed{
C_{3,\rm eff}^\downarrow
=
\max
\left(
0,
\frac{
\Phi_2^{\rm model}-Q_\rho
}{
\rho
}
\right).
}
$$

---

# 22. Important Status

這只是：

```text
NOMINAL-MODEL DIAGNOSTIC
```

因：

- coefficients不是 outward intervals；
- topology exhaustion不是 interval-certified；
- exact envelope使用 numerical evaluator。

---

# 23. Secondary Box S50

$$
|u_2|\le50,
$$

$$
|v_2|\le0.5,
$$

$$
|w_2|\le0.5.
$$

20k stress：

$$
\boxed{
\max C_{3,\rm eff}^\downarrow
\approx1.40.
}
$$

---

# 24. S100

$$
|u_2|\le100,
$$

$$
|v_2|,|w_2|\le1.
$$

diagnostic：

$$
\boxed{
\approx2.53.
}
$$

---

# 25. S200

$$
|u_2|\le200,
$$

$$
|v_2|,|w_2|\le2.
$$

diagnostic：

$$
\boxed{
\approx4.41.
}
$$

---

# 26. S500

$$
|u_2|\le500,
$$

$$
|v_2|,|w_2|\le5.
$$

diagnostic：

$$
\boxed{
\approx10.14.
}
$$

---

# 27. S5000

$$
|u_2|\le5000,
$$

$$
|v_2|,|w_2|\le50.
$$

10k stress：

$$
\boxed{
\max C_{3,\rm eff}^\downarrow
\approx92.53.
}
$$

---

# 28. B01-Like Large Secondary Slab

取：

$$
|u_2|\le8500,
$$

$$
|v_2|\le110,
$$

$$
|w_2|\le100,
$$

並只保留映回 actual B01：

$$
u\in[4.5,6],
$$

$$
v\in[-0.23,-0.15],
$$

$$
w\in[-0.01,0.01]
$$

的 points。

---

# 29. Valid Sample Count

30k proposals中：

$$
\boxed{
18{,}943
}
$$

個 valid。

---

# 30. Maximum Downward Diagnostic

$$
\boxed{
C_{3,\rm eff}^\downarrow
\approx103.63.
}
$$

仍只有 broad 09D B01 budget：

$$
728.57
$$

的約七分之一。

---

# 31. Why We Do Not Promote This

因 secondary expansion要求：

$$
u_2,v_2,w_2
$$

在 epi-derivative sequence中保持 finite。

非常大的 finite coordinates在 fixed micro radius上可以作 stress，

但不能單靠 sampling宣稱 uniform asymptotic theorem。

---

# 32. The Point of the Stress

不是證明：

$$
C_3^\downarrow<104.
$$

而是檢查：

> required $728$ budget 是否看起來接近數值危險尺度？

目前答案：

$$
\boxed{
\text{沒有。}
}
$$

---

# 33. Positive Corrections Can Be Huge

在同一 stress中，

若看 signed：

$$
\frac{
Q_\rho-\Phi_2^{\rm model}
}{
\rho
},
$$

正方向可達：

- hundreds；
- thousands；
- larger values。

---

# 34. But These Are Harmless for Lower Bound

如果：

$$
Q_\rho
\gg
\Phi_2^{\rm model},
$$

代表 finite geometry比 lower asymptotic model更高。

---

# 35. Therefore Absolute C3 Is Misconditioned for This Task

absolute：

$$
\left|
Q_\rho-\Phi_2^{\rm model}
\right|/\rho
$$

會被 harmless positive corrections支配。

---

# 36. New Probe

真正 probe：

$$
\boxed{
P_{C_3^\downarrow}
=
\max
\left(
0,
\frac{
\Phi_2^{\rm lower}-Q_\rho
}{
\rho
}
\right).
}
$$

---

# 37. Reverse Threat

theorem threat只在：

$$
\boxed{
C_3^\downarrow
\ge
\frac{
L_2-0.1
}{
\rho
}
}
$$

時發生。

---

# 38. Secondary Topology Stress

本文另用 exact-envelope winner sequence作 topology diagnostic。

---

# 39. S50

1000 random secondary points內觀察：

$$
\boxed{
7
}
$$

種 winner sequences。

---

# 40. S100

觀察：

$$
\boxed{
8
}
$$

種。

---

# 41. Consequence

$$
\boxed{
\text{critical cone}
\neq
\text{one fixed finite support chart}.
}
$$

---

# 42. Relation to 09C Five-Sliver Atlas

這與 09C 的：

$$
\boxed{
\text{five potential secondary slivers}
}
$$

方向一致。

但本輪 sequence count不等於 five-sliver exhaustion proof。

---

# 43. Important Discipline

不能由：

$$
7\text{ or }8\text{ observed sequences}
$$

推出：

$$
\boxed{
\text{complete topology count}.
}
$$

它只否定 single-chart shortcut。

---

# 44. Correct Remainder Architecture

因此：

$$
\boxed{
\text{one-sided remainder}
+
\text{finite secondary atlas}.
}
$$

---

# 45. Candidate First Interval Cone

本文建議先從：

$$
\boxed{
\mathcal S_{100}
=
[-100,100]
\times
[-1,1]
\times
[-1,1]
}
$$

開始 interval AD。

---

# 46. Why S100

它包含 09C canonical representative：

$$
(
37.01279,
0.133549,
-0.178616
).
$$

---

# 47. Numerical Slack

diagnostic downward max：

$$
\approx2.53.
$$

相對：

$$
728.57
$$

有超過：

$$
\boxed{
280\times
}
$$

的 ratio。

---

# 48. But It Has Multiple Charts

所以 S100必須按 secondary topology / signed-width cells切。

---

# 49. Secondary Atlas Coordinates

natural walls：

$$
\delta_+=0,
$$

$$
\delta_-=0,
$$

$$
\delta_T=0.
$$

再加有限 support-transition walls。

---

# 50. Paired-Sliver Advantage

09D scalar inequality已經對：

$$
\delta_+,
\delta_-
$$

做解析消元。

所以 interval AD不必精確求 secondary minimizer。

---

# 51. New Remainder Certificate Form

對 atlas cell：

$$
S_j,
$$

需要：

$$
\boxed{
Q_\rho
\ge
L_{2,j}
-
C_{3,j}^\downarrow\rho.
}
$$

---

# 52. Local Acceptance

若：

$$
\boxed{
L_{2,j}
-
C_{3,j}^\downarrow\rho_{\max}
>
0.1,
}
$$

cell closed。

---

# 53. Global Critical Cone

如果：

$$
\mathcal S_{\rm crit}
=
\bigcup_jS_j
$$

且所有 cells PASS，

critical cone closed。

---

# 54. New JSON Contract

```json
{
  "uniform_remainder": {
    "mode": "ONE_SIDED_LOWER",
    "rho_max": "0.00014",
    "C3_down_upper": null,
    "C3_abs_upper": null,
    "status": "PENDING"
  }
}
```

---

# 55. Verifier Rule

舊：

```text
abs(R3) <= C3 * rho^3
```

新 primary lower gate：

```text
R3 >= -C3_down * rho^3
```

---

# 56. Derived Finite Lower

```text
finite_lower =
    phi2_lower
    - C3_down_upper * rho_max
```

---

# 57. Pass

```text
finite_lower > 0.1
```

---

# 58. Absolute Bound Remains Optional

如果 publication audit順便得到：

$$
|R_3|
\le
C_3^{\rm abs}\rho^3,
$$

當然很好。

但它不應阻塞 lower theorem。

---

# 59. Interval AD Target

不要對：

$$
A
$$

直接求 huge global third derivative norm。

---

# 60. Instead

對每 secondary atlas cell：

1. 建 exact / Taylor area expression；
2. subtract certified second-order lower model；
3. 只 enclosure negative residual。

---

# 61. Signed Residual Function

定義：

$$
\boxed{
\Delta_3
=
\frac{
A-A_0
}{
\rho^2
}
-
L_2.
}
$$

---

# 62. Required Inequality

$$
\boxed{
\Delta_3
\ge
-
C_3^\downarrow\rho.
}
$$

---

# 63. Avoiding Division Near $\rho=0$

等價寫：

$$
\boxed{
A-A_0-\rho^2L_2
\ge
-C_3^\downarrow\rho^3.
}
$$

這更適合 Taylor model。

---

# 64. Interval Polynomial Form

若：

$$
G_j(\rho,\xi)
=
A-A_0-\rho^2L_{2,j},
$$

則要證：

$$
\boxed{
G_j+\overline C_{3,j}^\downarrow\rho^3
\ge0.
}
$$

---

# 65. Why This Can Be Easier Than Third Derivative Norm

Taylor model直接可以：

- cancel constant；
- cancel first-order；
- cancel certified second-order lower；
- inspect only residual polynomial / remainder。

---

# 66. Positive Omitted Terms Need Not Be Bounded Above

如果 secondary topology多出一個：

$$
+P(\rho)
$$

且：

$$
P\ge0,
$$

它完全可以忽略。

---

# 67. This Is a Major Topology Simplification

09D本來就把：

$$
\text{omitted secondary contribution lower}\ge0
$$

列為 structural assumption。

one-sided remainder與這個方向完全對齊。

---

# 68. Topology Certificate Goal

不需要知道每個 omitted sliver多大。

只需證：

$$
\boxed{
\text{它不是負 contribution}.
}
$$

---

# 69. This Is Better Matched to Paired-Sliver Domination

09D 的真正精神本來就是：

$$
\boxed{
\text{lower-bound structure}
}
$$

而不是 exact reconstruction每一個 secondary coefficient。

---

# 70. Critical-Cone Route v2

因此新的 route：

```text
Step 1:
    certify coefficient intervals

Step 2:
    certify paired-sliver lower model

Step 3:
    prove omitted terms nonnegative

Step 4:
    one-sided remainder C3_down

Step 5:
    check finite lower > 0.1
```

---

# 71. What Is Already Done

Step 1：

09H research interval完成。

Step 2：

09D analytic scalar theorem完成。

---

# 72. Still Open

Step 3：

five-sliver / omitted-term topology publication certificate。

Step 4：

one-sided interval remainder。

---

# 73. Why Step 4 Now Looks Cheap

required：

$$
728
\sim897.
$$

diagnostic dangerous scale：

$$
10^{-2}
\sim10^2
$$

depending stress box。

---

# 74. Margin Is Not Uniformly Enormous Everywhere

不能把 sample maximum：

$$
103.63
$$

當 proof。

但至少沒有顯示 certificate target接近 failure。

---

# 75. Counterexample Condition

真正值得擔心的 point必須產生：

$$
\boxed{
Q_\rho
<
L_2
-
728\rho
}
$$

using broad lower。

---

# 76. At $\rho=1.4\times10^{-4}$

允許 downward coefficient loss：

$$
728.57\rho
=
0.102.
$$

所以即使：

$$
L_2=0.202,
$$

finite ratio只要仍：

$$
>0.1
$$

即可。

---

# 77. Numerical Diagnostics Are Far from That Collapse

current critical replay：

$$
Q_\rho
\approx0.22558.
$$

---

# 78. Even Broad Secondary Stress Minima

在本輪 sampled boxes中，observed exact quadratic ratios仍遠高於：

$$
0.1.
$$

但這仍只是 numerical evidence。

---

# 79. Official B01 Coverage

不變：

$$
\boxed{
83.0642046752\%.
}
$$

---

# 80. Why We Do Not Add Conditional Critical-Cone Coverage

因：

- secondary cone domain尚未 formal cover；
- one-sided $C_3^\downarrow$ 尚未 outward；
- topology atlas尚未 complete。

---

# 81. Main Research Result

本輪真正 closed的是：

$$
\boxed{
\text{the correct remainder question}.
}
$$

---

# 82. Old Question

> 能不能證一個 uniform $|R_3|$ norm很小？

---

# 83. New Question

> finite area 能不能相對 second-order lower model向下偏超過可接受 budget？

---

# 84. This Is a Reverse Probe

反向 threat compiler直接給：

$$
\boxed{
C_3^\downarrow
\ge
728.57
}
$$

才可能打破 broad B01 finite gate。

---

# 85. Forward Probe

對任何 secondary cell：

$$
\boxed{
P_{\downarrow}
=
\sup
\frac{
L_2-Q_\rho
}{
\rho
}.
}
$$

只取 positive part。

---

# 86. No Need to Measure Upward Tail

這就是：

$$
\boxed{
\text{task-specific measurement}.
}
$$

---

# 87. Relation to NIOT

同一 numerical object：

$$
R_3
$$

可以有：

- absolute norm probe；
- signed lower probe；
- upper probe；
- spectral probe。

對目前 theorem，

只有：

$$
\boxed{
\text{downward probe}
}
$$

是 task-critical。

---

# 88. This Is the Numerical-Probe Thesis in Pure Form

不是：

> 測越多越好。

而是：

$$
\boxed{
\text{measure the direction that can actually change the verdict}.
}
$$

---

# 89. Next Implementation Target

下一輪應建立：

$$
\boxed{
\textbf{MCC-OE-14 — One-Sided Interval Remainder Compiler on the Secondary Atlas}.
}
$$

---

# 90. MCC-OE-14 Lane A

先 formalize：

$$
\mathcal S_{100}.
$$

---

# 91. Lane B

按：

$$
\delta_+,
\delta_-,
\delta_T
$$

sign chambers切。

---

# 92. Lane C

在每 chamber建立 positive-side exact-area Taylor model。

---

# 93. Lane D

直接 intervalize：

$$
G_j
=
A-A_0-\rho^2L_{2,j}.
$$

---

# 94. Lane E

搜尋 smallest：

$$
C_{3,j}^\downarrow
$$

使：

$$
G_j+C_{3,j}^\downarrow\rho^3\ge0.
$$

---

# 95. Lane F

只要求：

$$
\max_jC_{3,j}^\downarrow
<
728.57
$$

即可使用 broad 09D gate。

---

# 96. Stronger Optional Gate

若係數 intervals持續用 09H measured lower，

則可放寬至：

$$
897.05.
$$

---

# 97. Secondary Atlas Failover

若某 chamber interval dependency爆掉：

- subdivide；
- switch to HSL；
- or direct exact-envelope local verifier。

不需要整個 critical cone一起失敗。

---

# 98. Current Dashboard

```text
B01 OFFICIAL COVER:
    83.0642046752%

09D BROAD PHI2 LOWER:
    0.202

09H CSTAR LOWER:
    0.2255863323301787...

ABSOLUTE C3 GATE:
    SUFFICIENT BUT OVER-STRONG

NEW ONE-SIDED BROAD BUDGET:
    C3_down < 728.57142857

NEW ONE-SIDED MEASURED BUDGET:
    C3_down < 897.04523093

09C REPRESENTATIVE DIAGNOSTIC C3_down:
    ~0.014 to 0.017

S50 DIAGNOSTIC MAX:
    ~1.40

S100:
    ~2.53

S200:
    ~4.41

S500:
    ~10.14

S5000:
    ~92.53

B01-LIKE LARGE SECONDARY STRESS:
    ~103.63

OUTWARD C3_down CERTIFICATE:
    OPEN

SECONDARY TOPOLOGY:
    MULTI-CHART OBSERVED

COUNTEREXAMPLE:
    NONE
```

---

# 99. 結論

MCC-OE-13 沒有直接完成：

$$
C_3
$$

interval AD。

但它把 remainder problem改成了真正應該證的東西。

09D 當初寫：

$$
|R_3|
\le
C_3\rho^3
$$

是一個非常自然的 generic Taylor condition。

可是我們現在不是在做 generic approximation theorem。

我們是在做：

$$
\boxed{
\text{area lower bound}.
}
$$

對這個 task，

正 remainder：

$$
R_3>0
$$

不是 error。

它是 bonus。

真正危險的只有：

$$
R_3<0.
$$

所以 certificate應該看：

$$
\boxed{
C_3^\downarrow.
}
$$

這個改寫看似只是把 absolute value拿掉，

實際上影響很大。

因 secondary topology在 finite radius中可以產生很多額外 positive slivers。

若用：

$$
|R_3|,
$$

這些全部把 norm推大。

若用：

$$
R_3\ge-C_3^\downarrow\rho^3,
$$

它們根本不需要被精確上界。

這和 09D 的：

$$
\boxed{
\text{omitted corrections only need nonnegative lower status}
}
$$

完全對齊。

更重要的是，數字 probe開始告訴我們這個改寫不是只有形式上的。

canonical secondary representative：

$$
C_3^\downarrow
\sim0.015.
$$

很寬的 secondary stress：

$$
C_3^\downarrow
\sim10^2
$$

仍低於 B01容許：

$$
728
\sim897.
$$

雖然這些都還不是 interval proof，

但它們清楚顯示：

$$
\boxed{
\textbf{the proof budget is not tight}.
}
$$

下一輪 therefore不需要發明更 sharp mathematics。

只要做一個正確方向的 interval compiler：

$$
\boxed{
\textbf{secondary atlas
+
one-sided lower remainder}.
}
$$

如果這個 compiler能把：

$$
C_3^\downarrow
$$

證在：

$$
728.57
$$

以下，

critical cone finite-radius gate就會正式閉合。

而這一次，

我們不需要控制那些巨大的 positive correction。

這就是這輪真正的數字探針結果。

---

# Canonical Source Declaration

本檔為 `MCC-OE-13-v0.1` 的 UTF-8 Markdown canonical source。

本文 source-backed inputs：
- LESR 09C secondary LP nominal minimum與 finite- $\rho$ replay；
- LESR 09D paired-sliver scalar lower與 finite-radius absolute remainder gate；
- LESR 09H measured interval $c_\star$ ；
- 09C/09D secondary signed-width model；
- 09G sampling-free exact-envelope evaluator。

本文新增 formal reduction：
- one-sided remainder constant：
  $$
  R_3\ge-C_3^\downarrow\rho^3;
  $$
- one-sided finite-radius lemma；
- B01 broad budget：
  $$
  C_3^\downarrow<728.57142857;
  $$
- measured-coefficient budget：
  $$
  C_3^\downarrow<897.04523093.
  $$

本文新增 diagnostics：
- 09C replay-derived effective downward constants；
- secondary-box exact-envelope stress；
- large B01-like secondary stress；
- support winner-sequence multiplicity diagnostics。

本文明確區分：
- source numerical replay；
- new numerical diagnostics；
- formal one-sided lemma；
- still-open interval certificate。

本文不宣稱：
- any diagnostic $C_3^\downarrow$ maximum is rigorous；
- S100 / S5000 is a formally complete critical cone；
- observed 7–8 support sequences exhaust secondary topology；
- $C_3^\downarrow<728.57$ has been interval-certified；
- B01 official coverage has increased beyond 83.0642046752%；
- B01 boundary is closed；
- B01 parent is closed；
- global Lebesgue is solved。

下一輪建議進入：

`MCC-OE-14 — One-Sided Interval Remainder Compiler on the Secondary Atlas`.

===END===