MCC-OE-06 — B01 Chart-Free Boundary Threat Cover
Hausdorff–Steiner Leaf Certificate、超過半數體積的 HSL Cover Prototype 與多路證書自適應閉包
系列： Measured-Construct Closure / Observable Exhaustion文件代號： MCC-OE-06-v0.1作者： Neo.K機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司版本： v0.1日期： 2026-09-22文件性質： B01 Boundary Cover／Chart-Free HSL Runtime／Adaptive Certificate-Route Cover前置： MCC-OE-00～05；LESR 09H～09I狀態： FIRST >50% CHART-FREE BOUNDARY VOLUME COVER / RESEARCH CERTIFICATE / B01 PARENT STILL PARTIALCanonical Source： UTF-8 Markdown數學原始碼規範： inline math 僅使用 $...$，display math 僅使用 $$...$$
摘要
MCC-OE-05 得到一個重要修正：B01 第一個 genuine bridge leaf 本身跨越多個 support-chart regimes，但 09I 的 Hausdorff–Steiner Leaf（HSL）certificate 仍然成立。因此，B01 boundary finite cover 不應以「support chart 必須固定」作為 leaf pass gate。
本文正式把 B01 boundary slice 改寫成 chart-free certificate problem。
在：
r = s r=s r = s 上，對任意 boundary parameter cell：
L = I ρ × I u × I v × I w , L
=
I_\rho
\times
I_u
\times
I_v
\times
I_w, L = I ρ × I u × I v × I w , 取中心：
c L = ( ρ c , u c , v c , w c ) , c_L
=
(\rho_c,u_c,v_c,w_c), c L = ( ρ c , u c , v c , w c ) , 利用 sampling-free exact-envelope center area：
A c = A ( s ; ρ c , u c , v c , w c ) , A_c
=
A(s;\rho_c,u_c,v_c,w_c), A c = A ( s ; ρ c , u c , v c , w c ) , 再以 09I 的 component-motion Hausdorff bound：
δ L \delta_L δ L 及 Steiner area continuity：
E H S L ( δ L ) = 2 π R h u l l δ L + π δ L 2 \boxed{
E_{\rm HSL}(\delta_L)
=
2\pi R_{\rm hull}\delta_L
+
\pi\delta_L^2
} E HSL ( δ L ) = 2 π R hull δ L + π δ L 2 建立整格 lower enclosure：
A l o w ( L ) = A c − E H S L ( δ L ) − ε A . \boxed{
A_{\rm low}(L)
=
A_c
-
E_{\rm HSL}(\delta_L)
-
\varepsilon_A.
} A low ( L ) = A c − E HSL ( δ L ) − ε A . target upper 使用：
A t a r g e t u p ( L ) = A 0 + 0.1 ( ρ ‾ L ) 2 . \boxed{
A_{\rm target}^{\rm up}(L)
=
A_0
+
0.1
\left(
\overline\rho_L
\right)^2.
} A target up ( L ) = A 0 + 0.1 ( ρ L ) 2 . 因此 leaf certificate margin：
m H S L ( L ) = A c − E H S L ( δ L ) − ε A − A t a r g e t u p ( L ) . \boxed{
m_{\rm HSL}(L)
=
A_c
-
E_{\rm HSL}(\delta_L)
-
\varepsilon_A
-
A_{\rm target}^{\rm up}(L).
} m HSL ( L ) = A c − E HSL ( δ L ) − ε A − A target up ( L ) . 只要：
m H S L ( L ) > 0 , \boxed{
m_{\rm HSL}(L)>0,
} m HSL ( L ) > 0 , 則整個 parameter cell 在 boundary：
r = s r=s r = s 上通過 area target，而且不要求：
fixed support chart；
fixed winner sequence；
fixed contact topology。
再由 09I 已完成的 B01 radial certificate：
A ( r ; ρ , u , v , w ) ≥ A ( s ; ρ , u , v , w ) ∀ r ≥ s , \boxed{
A(r;\rho,u,v,w)
\ge
A(s;\rho,u,v,w)
\qquad
\forall r\ge s,
} A ( r ; ρ , u , v , w ) ≥ A ( s ; ρ , u , v , w ) ∀ r ≥ s , boundary PASS leaf 可直接 lift 成完整 radial bridge leaf。
本文第一次實際把這個 chart-free rule 大規模施加到完整 B01 primary boundary domain：
ρ ∈ [ 10 − 4 , 1.4 × 10 − 4 ] , \rho
\in
[10^{-4},1.4\times10^{-4}], ρ ∈ [ 1 0 − 4 , 1.4 × 1 0 − 4 ] , u ∈ [ 4.5 , 6.0 ] , u
\in
[4.5,6.0], u ∈ [ 4.5 , 6.0 ] , v ∈ [ − 0.23 , − 0.15 ] , v
\in
[-0.23,-0.15], v ∈ [ − 0.23 , − 0.15 ] , w ∈ [ − 0.01 , 0.01 ] . w
\in
[-0.01,0.01]. w ∈ [ − 0.01 , 0.01 ] . 在多個 uniform anisotropic grids 上執行 research-level HSL cover。最有效的本輪 grid 為：
192 × 12 × 96 × 16 = 3,538,944 \boxed{
192
\times
12
\times
96
\times
16
=
3{,}538{,}944
} 192 × 12 × 96 × 16 = 3 , 538 , 944 個等體積 boundary cells。
其中：
1,877,776 \boxed{
1{,}877{,}776
} 1 , 877 , 776 個 cells 直接取得：
m H S L > 0. m_{\rm HSL}>0. m HSL > 0. 因此在 declared research error contract 下：
HSL-Certified Boundary Volume Fraction ≈ 53.0603479456 % . \boxed{
\text{HSL-Certified Boundary Volume Fraction}
\approx
53.0603479456\%.
} HSL-Certified Boundary Volume Fraction ≈ 53.0603479456%. 這是 AMRAL B01 boundary slice 第一次得到超過一半體積的 chart-free direct finite cover prototype 。
重要的是，其餘約：
46.94 % 46.94\% 46.94% 並不是 counterexample region。它們只是：
HSL enclosure too wide at current cell resolution . \boxed{
\text{HSL enclosure too wide at current cell resolution}.
} HSL enclosure too wide at current cell resolution . 本輪所有 uniform-grid center evaluations 仍維持正 raw boundary margin；但 center positivity 不能替代 cell certificate，所以 unresolved cells 保持 OPEN / REFINE。
本文也得到第二個重要工程結論：cover efficiency 對 anisotropic grid allocation 非常敏感。比起單純增加 cell 數，將解析度集中到對 Hausdorff guard 影響最大的 ρ , v , w \rho,v,w ρ , v , w
4,194,304 4{,}194{,}304 4 , 194 , 304 35.50 % 35.50\% 35.50% 3,276,800 3{,}276{,}800 3 , 276 , 800 46.06 % 46.06\% 46.06% 3,538,944 3{,}538{,}944 3 , 538 , 944 53.06 % 53.06\% 53.06%
因此後續不應使用 naïve isotropic refinement，而應採：
certificate-margin-driven anisotropic splitting . \boxed{
\text{certificate-margin-driven anisotropic splitting}.
} certificate-margin-driven anisotropic splitting . 本文最後提出 B01 multi-route adaptive cover：
HSL route ：跨 chart wall 的 hard local cells；Direct-area / strong-margin route ：遠離 minimum 的大 cells；09H analytic/scalar route ：canonical / analytic micro-region；Radial lift route ：統一將 boundary certificate 提升至 r ≥ s r\ge s r ≥ s
B01 尚未 globally closed，但 closure responsibility 已從：
未知 support topology \boxed{
\text{未知 support topology}
} 未知 support topology 進一步縮成：
尚未被任一 certificate route 覆蓋的 boundary volume . \boxed{
\text{尚未被任一 certificate route 覆蓋的 boundary volume}.
} 尚未被任一 certificate route 覆蓋的 boundary volume . 關鍵詞： B01、Chart-Free Cover、Hausdorff–Steiner、Boundary Threat Cover、Adaptive Leaf、Certificate Route、Observable Exhaustion、AMRAL、Lebesgue
1. B01 Boundary Domain
本文沿用 09I B01 primary local box：
D B 01 = I ρ × I u × I v × I w \boxed{
D_{B01}
=
I_\rho
\times
I_u
\times
I_v
\times
I_w
} D B 01 = I ρ × I u × I v × I w 其中：
I ρ = [ 10 − 4 , 1.4 × 10 − 4 ] , I_\rho
=
[10^{-4},1.4\times10^{-4}], I ρ = [ 1 0 − 4 , 1.4 × 1 0 − 4 ] , I u = [ 4.5 , 6.0 ] , I_u
=
[4.5,6.0], I u = [ 4.5 , 6.0 ] , I v = [ − 0.23 , − 0.15 ] , I_v
=
[-0.23,-0.15], I v = [ − 0.23 , − 0.15 ] , I w = [ − 0.01 , 0.01 ] . I_w
=
[-0.01,0.01]. I w = [ − 0.01 , 0.01 ] . 2. Radial Variable 已 Quotient
09I 已建立 research-level B01 radial finite cover：
Δ h > 0 \boxed{
\Delta_h>0
} Δ h > 0 於 declared B01 primary local box。
配合既有 radial convexity：
A ( r ; ρ , u , v , w ) ≥ A ( s ; ρ , u , v , w ) ∀ r ≥ s . \boxed{
A(r;\rho,u,v,w)
\ge
A(s;\rho,u,v,w)
\qquad
\forall r\ge s.
} A ( r ; ρ , u , v , w ) ≥ A ( s ; ρ , u , v , w ) ∀ r ≥ s . 因此 MCC-OE-06 不再對：
r r r 做 branch-and-bound。
只需 cover：
r = s . \boxed{
r=s.
} r = s . 3. Boundary Target
target：
A ( s ; ρ , u , v , w ) > A 0 + 0.1 ρ 2 . \boxed{
A(s;\rho,u,v,w)
>
A_0
+
0.1\rho^2.
} A ( s ; ρ , u , v , w ) > A 0 + 0.1 ρ 2 . 其中現有 canonical：
A 0 = 0.8349861105592240998506623565577005921 … \boxed{
A_0
=
0.8349861105592240998506623565577005921\ldots
} A 0 = 0.8349861105592240998506623565577005921 … 4. HSL Certificate
對 cell：
L = [ ρ − , ρ + ] × [ u − , u + ] × [ v − , v + ] × [ w − , w + ] , L
=
[\rho_-,\rho_+]
\times
[u_-,u_+]
\times
[v_-,v_+]
\times
[w_-,w_+], L = [ ρ − , ρ + ] × [ u − , u + ] × [ v − , v + ] × [ w − , w + ] , 中心：
( ρ c , u c , v c , w c ) (\rho_c,u_c,v_c,w_c) ( ρ c , u c , v c , w c ) 與 half widths：
( h ρ , h u , h v , h w ) . (h_\rho,h_u,h_v,h_w). ( h ρ , h u , h v , h w ) . 5. Body-Motion Bound
09I B01 compiler 使用：
q = ρ u . q
=
\rho u. q = ρ u . 對 B 3 B_3 B 3
δ 3 ≤ s ( ∣ u c ∣ h ρ + ( ρ c + h ρ ) h u ) . \boxed{
\delta_3
\le
s
\left(
|u_c|h_\rho
+
(\rho_c+h_\rho)h_u
\right).
} δ 3 ≤ s ( ∣ u c ∣ h ρ + ( ρ c + h ρ ) h u ) . 對 B 5 B_5 B 5
δ 5 ≤ R 5 h ρ + ( ∣ w c ∣ h ρ + ( ρ c + h ρ ) h w ) 2 + ( ∣ v c ∣ h ρ + ( ρ c + h ρ ) h v ) 2 . \boxed{
\delta_5
\le
R_5h_\rho
+
\sqrt{
\left(
|w_c|h_\rho
+
(\rho_c+h_\rho)h_w
\right)^2
+
\left(
|v_c|h_\rho
+
(\rho_c+h_\rho)h_v
\right)^2
}.
} δ 5 ≤ R 5 h ρ + ( ∣ w c ∣ h ρ + ( ρ c + h ρ ) h w ) 2 + ( ∣ v c ∣ h ρ + ( ρ c + h ρ ) h v ) 2 . 因此：
δ L = max { δ 3 , δ 5 } . \boxed{
\delta_L
=
\max
\{
\delta_3,\delta_5
\}.
} δ L = max { δ 3 , δ 5 } . 6. Hull Stability
convex hull對 component Hausdorff perturbation滿足：
d H ( K , K c ) ≤ δ L . \boxed{
d_H(K,K_c)
\le
\delta_L.
} d H ( K , K c ) ≤ δ L . 09I 使用共同 containment radius：
R h u l l = 0.61. \boxed{
R_{\rm hull}
=
0.61.
} R hull = 0.61. 7. Steiner Area Guard
因此：
∣ A ( K ) − A ( K c ) ∣ ≤ 2 π R h u l l δ L + π δ L 2 . \boxed{
|
A(K)-A(K_c)
|
\le
2\pi R_{\rm hull}\delta_L
+
\pi\delta_L^2.
} ∣ A ( K ) − A ( K c ) ∣ ≤ 2 π R hull δ L + π δ L 2 . 定義：
E H S L ( L ) = 2 π R h u l l δ L + π δ L 2 . \boxed{
E_{\rm HSL}(L)
=
2\pi R_{\rm hull}\delta_L
+
\pi\delta_L^2.
} E HSL ( L ) = 2 π R hull δ L + π δ L 2 . 8. Center Error Contract
沿用 09I research contract：
ε A = 10 − 10 . \boxed{
\varepsilon_A
=
10^{-10}.
} ε A = 1 0 − 10 . 它不是 publication interval center enclosure。
因此本篇 authority仍是：
RESEARCH CERTIFICATE
9. Target Upper
對整 cell：
ρ ≤ ρ + , \rho
\le
\rho_+, ρ ≤ ρ + , 所以：
A 0 + 0.1 ρ 2 ≤ A 0 + 0.1 ρ + 2 . \boxed{
A_0+0.1\rho^2
\le
A_0+0.1\rho_+^2.
} A 0 + 0.1 ρ 2 ≤ A 0 + 0.1 ρ + 2 . 10. Final HSL Margin
因此：
m H S L ( L ) = A c − E H S L ( L ) − ε A − A 0 − 0.1 ρ + 2 . \boxed{
m_{\rm HSL}(L)
=
A_c
-
E_{\rm HSL}(L)
-
\varepsilon_A
-
A_0
-
0.1\rho_+^2.
} m HSL ( L ) = A c − E HSL ( L ) − ε A − A 0 − 0.1 ρ + 2 . 11. Pass Rule
如果：
m H S L ( L ) > 0 , \boxed{
m_{\rm HSL}(L)>0,
} m HSL ( L ) > 0 , 則：
A ( s ; ρ , u , v , w ) > A 0 + 0.1 ρ 2 \boxed{
A(s;\rho,u,v,w)
>
A_0+0.1\rho^2
} A ( s ; ρ , u , v , w ) > A 0 + 0.1 ρ 2 對所有：
( ρ , u , v , w ) ∈ L (\rho,u,v,w)\in L ( ρ , u , v , w ) ∈ L 成立，在 declared research contract 下。
12. Crucial Property
HSL pass rule 不包含：
Σ s u p p o r t . \Sigma_{\rm support}. Σ support . 也不包含：
m r o o t , m w i n . m_{\rm root},
\qquad
m_{\rm win}. m root , m win . 因此：
support-chart changes inside L \boxed{
\text{support-chart changes inside }L
} support-chart changes inside L 不會自動 invalidate HSL。
13. First Genuine Leaf Revisited
09I first genuine leaf：
B01-RADIAL-HARD-0001
已有：
m b o u n d a r y ≥ 1.0219353921 × 10 − 9 . \boxed{
m_{\rm boundary}
\ge
1.0219353921\times10^{-9}.
} m boundary ≥ 1.0219353921 × 1 0 − 9 . MCC-OE-05 又發現：
center support sequence非 canonical；
16 corners 出現多種 support sequences；
chart micro-cells 可細至約 10 − 11 10^{-11} 1 0 − 11 10 − 12 10^{-12} 1 0 − 12
但 HSL certificate仍 PASS。
因此 genuine leaf 是：
Chart-Variable Certificate-Stable \boxed{
\text{Chart-Variable Certificate-Stable}
} Chart-Variable Certificate-Stable 的 prototype。
14. First Cover Prototype
本篇將 HSL pass rule直接跑在完整：
D B 01 . D_{B01}. D B 01 . 所有 grids 都是等體積 Cartesian cells。
所以：
pass-cell fraction = certified parameter-volume fraction . \boxed{
\text{pass-cell fraction}
=
\text{certified parameter-volume fraction}.
} pass-cell fraction = certified parameter-volume fraction . 15. Grid Prototype G1
resolution：
96 × 24 × 48 × 12. \boxed{
96
\times
24
\times
48
\times
12.
} 96 × 24 × 48 × 12. 總 cells：
1,327,104. \boxed{
1{,}327{,}104.
} 1 , 327 , 104. PASS：
188,687. \boxed{
188{,}687.
} 188 , 687. volume fraction：
14.2179512683 % . \boxed{
14.2179512683\%.
} 14.2179512683%. 16. G1 Cell Widths
Δ ρ ≈ 4.1666667 × 10 − 7 , \Delta\rho
\approx
4.1666667\times10^{-7}, Δ ρ ≈ 4.1666667 × 1 0 − 7 , Δ u = 0.0625 , \Delta u
=
0.0625, Δ u = 0.0625 , Δ v ≈ 0.0016666667 , \Delta v
\approx
0.0016666667, Δ v ≈ 0.0016666667 , Δ w ≈ 0.0016666667. \Delta w
\approx
0.0016666667. Δ w ≈ 0.0016666667. 17. Prototype G2
resolution：
128 × 32 × 64 × 16. \boxed{
128
\times
32
\times
64
\times
16.
} 128 × 32 × 64 × 16. 總 cells：
4,194,304. \boxed{
4{,}194{,}304.
} 4 , 194 , 304. PASS：
1,489,129. \boxed{
1{,}489{,}129.
} 1 , 489 , 129. fraction：
35.5036020279 % . \boxed{
35.5036020279\%.
} 35.5036020279%. 18. G2 Cell Widths
Δ ρ = 3.125 × 10 − 7 , \Delta\rho
=
3.125\times10^{-7}, Δ ρ = 3.125 × 1 0 − 7 , Δ u = 0.046875 , \Delta u
=
0.046875, Δ u = 0.046875 , Δ v = 0.00125 , \Delta v
=
0.00125, Δ v = 0.00125 , Δ w = 0.00125. \Delta w
=
0.00125. Δ w = 0.00125. 19. Prototype G3 — Better Anisotropic Allocation
resolution：
160 × 16 × 80 × 16. \boxed{
160
\times
16
\times
80
\times
16.
} 160 × 16 × 80 × 16. 總 cells：
3,276,800. \boxed{
3{,}276{,}800.
} 3 , 276 , 800. PASS：
1,509,243. \boxed{
1{,}509{,}243.
} 1 , 509 , 243. fraction：
46.0584411621 % . \boxed{
46.0584411621\%.
} 46.0584411621%. 20. Why G3 Matters
G3 使用的 cells 比 G2 少：
3.28 M < 4.19 M , 3.28\text{M}
<
4.19\text{M}, 3.28 M < 4.19 M , 但 certified volume 更高：
46.06 % > 35.50 % . 46.06\%
>
35.50\%. 46.06% > 35.50%. 所以：
more cells ≠ better cover . \boxed{
\text{more cells}
\neq
\text{better cover}.
} more cells = better cover . 真正關鍵是：
anisotropic uncertainty allocation . \boxed{
\text{anisotropic uncertainty allocation}.
} anisotropic uncertainty allocation . 21. Prototype G4 — First Majority-Volume Cover
resolution：
192 × 12 × 96 × 16. \boxed{
192
\times
12
\times
96
\times
16.
} 192 × 12 × 96 × 16. 總 cells：
3,538,944. \boxed{
3{,}538{,}944.
} 3 , 538 , 944. PASS：
1,877,776. \boxed{
1{,}877{,}776.
} 1 , 877 , 776. 因此：
f c o v e r H S L = 0.5306034794560185. \boxed{
f_{\rm cover}^{\rm HSL}
=
0.5306034794560185.
} f cover HSL = 0.5306034794560185. 即：
53.0603479456 % . \boxed{
53.0603479456\%.
} 53.0603479456%. 22. G4 Cell Widths
Δ ρ ≈ 2.0833333 × 10 − 7 , \Delta\rho
\approx
2.0833333\times10^{-7}, Δ ρ ≈ 2.0833333 × 1 0 − 7 , Δ u = 0.125 , \Delta u
=
0.125, Δ u = 0.125 , Δ v ≈ 8.3333333 × 10 − 4 , \Delta v
\approx
8.3333333\times10^{-4}, Δ v ≈ 8.3333333 × 1 0 − 4 , Δ w = 0.00125. \Delta w
=
0.00125. Δ w = 0.00125. 23. Why Coarser u u u
在 HSL motion bound 中：
u u u 主要經：
s ( ρ + h ρ ) h u s(\rho+h_\rho)h_u s ( ρ + h ρ ) h u 影響 B 3 B_3 B 3
而：
ρ , v , w \rho,
v,w ρ , v , w 直接進 B 5 B_5 B 5
R 5 h ρ + ⋯ . R_5h_\rho
+
\sqrt{\cdots}. R 5 h ρ + ⋯ . 在目前 B01 domain 尺度下，
過度投資 u u u
G4 把更多 budget移到：
ρ 與 v , \rho
\quad\text{與}\quad
v, ρ 與 v , 因此 cover 效率提升。
24. First Quantitative Adaptive Lesson
所以 future split axis不應用：
longest coordinate width
也不應用：
round-robin split
而應估計：
Δ E H S L \boxed{
\Delta E_{\rm HSL}
} Δ E HSL 每個 axis 對 enclosure width 的貢獻。
25. HSL Uncertainty Contributions
可使用近似：
S ρ ∼ R 5 h ρ + s ∣ u c ∣ h ρ + ( ∣ w c ∣ h ρ ) 2 + ( ∣ v c ∣ h ρ ) 2 , S_\rho
\sim
R_5h_\rho
+
s|u_c|h_\rho
+
\sqrt{
(|w_c|h_\rho)^2
+
(|v_c|h_\rho)^2
}, S ρ ∼ R 5 h ρ + s ∣ u c ∣ h ρ + ( ∣ w c ∣ h ρ ) 2 + ( ∣ v c ∣ h ρ ) 2 , S u ∼ s ( ρ c + h ρ ) h u , S_u
\sim
s(\rho_c+h_\rho)h_u, S u ∼ s ( ρ c + h ρ ) h u , S v ∼ ( ρ c + h ρ ) h v , S_v
\sim
(\rho_c+h_\rho)h_v, S v ∼ ( ρ c + h ρ ) h v , S w ∼ ( ρ c + h ρ ) h w . S_w
\sim
(\rho_c+h_\rho)h_w. S w ∼ ( ρ c + h ρ ) h w . 26. Split Heuristic
選：
j ⋆ = arg max j S j . \boxed{
j^\star
=
\arg\max_j
S_j.
} j ⋆ = arg j max S j . 或更進一步：
j ⋆ = arg max j Δ E H S L ( j ) split cost j . \boxed{
j^\star
=
\arg\max_j
\frac{
\Delta E_{\rm HSL}^{(j)}
}{
\text{split cost}_j
}.
} j ⋆ = arg j max split cost j Δ E HSL ( j ) . 27. Current Unresolved Fraction
G4 後仍有：
46.9396520544 % \boxed{
46.9396520544\%
} 46.9396520544% parameter volume 未被這一個 uniform HSL tessellation certificate。
它們不是：
THREAT
而是：
UNRESOLVED_BY_THIS_LEAF_SCALE
28. Center Scan Does Not Reveal Counterexample
在 G4 的：
3,538,944 3{,}538{,}944 3 , 538 , 944 個 centers 中，本輪 minimum raw center boundary margin仍為正，約：
4.10 × 10 − 9 . \boxed{
4.10\times10^{-9}.
} 4.10 × 1 0 − 9 . 但這只能說：
NO CENTER COUNTEREXAMPLE FOUND
不能說：
UNRESOLVED CELLS SAFE
29. Why Raw-Center Positivity Is Not Enough
因為 cell內 area可能下降。
必須扣：
E H S L + ε A + target growth . E_{\rm HSL}
+
\varepsilon_A
+
\text{target growth}. E HSL + ε A + target growth . 所以未 pass 的 cell保持：
OPEN . \boxed{
\text{OPEN}.
} OPEN . 30. HSL-Only Full Cover Is Expensive
最 hard region 的 raw margin可以只在：
10 − 9 10^{-9} 1 0 − 9 量級。
而 area guard一階約：
2 π R h u l l δ ≈ 3.83 δ . 2\pi R_{\rm hull}\delta
\approx
3.83\delta. 2 π R hull δ ≈ 3.83 δ . 所以 near minimizer leaf需要：
δ \delta δ 進入：
10 − 10 10^{-10} 1 0 − 10 甚至更小尺度。
若用單一 uniform grid覆蓋整個 B01，
cell 數會迅速爆炸。
31. This Confirms 09I's Multi-Route Prediction
09I 已經預期：
hard core：
small HSL / Taylor boxes , \boxed{
\text{small HSL / Taylor boxes},
} small HSL / Taylor boxes , outer region：
large direct-area / AREF boxes . \boxed{
\text{large direct-area / AREF boxes}.
} large direct-area / AREF boxes . 本輪計算支持這個架構。
32. Existing Genuine Leaf Is Conservative
以 09I first genuine leaf 的 high-precision center area、
source-reported：
δ h u l l ≤ 3.49098568 × 10 − 11 , \delta_{\rm hull}
\le
3.49098568\times10^{-11}, δ hull ≤ 3.49098568 × 1 0 − 11 , 以及同一 HSL formula做同中心 uniform scale test，
該 leaf 的四個 parameter half-widths在同一比例下約可放大至：
8.64 \boxed{
8.64
} 8.64 倍後才耗盡其 HSL margin。
33. Corresponding Volume Factor
四維 volume scale約：
8.64 4 ≈ 5.57 × 10 3 . \boxed{
8.64^4
\approx
5.57\times10^3.
} 8.6 4 4 ≈ 5.57 × 1 0 3 . 這是 model-derived HSL scaling estimate，
不是重新輸出的 canonical leaf certificate。
但它說明 09I first leaf 是保守 existence leaf ，並非最大化 leaf。
34. Why This Matters
下一步 adaptive cover 不應複製：
B01-RADIAL-HARD-0001
的 tiny fixed dimensions到所有位置。
應根據 local margin 自動 grow leaf。
35. Maximal HSL Leaf Problem
給中心：
c , c, c , 找最大 box：
L ( c ) L(c) L ( c ) 使：
m H S L ( L ( c ) ) > 0. \boxed{
m_{\rm HSL}(L(c))>0.
} m HSL ( L ( c )) > 0. 這可以視為：
local certified trust region . \boxed{
\text{local certified trust region}.
} local certified trust region . 36. Anisotropic Leaf Growth
因各 parameter 對 Hausdorff motion 的敏感度不同，
最大 leaf不應同比例放大。
應解近似：
max Vol ( L ) \boxed{
\max
\operatorname{Vol}(L)
} max Vol ( L ) subject to：
m H S L ( L ) > 0. m_{\rm HSL}(L)>0. m HSL ( L ) > 0. 37. Certificate-Aware Branch-and-Bound
新的 boundary cover runtime：
START WITH LARGE CELLS
FOR EACH CELL:
choose certificate route
if HSL PASS:
close leaf
elif direct-area / AREF route PASS:
close leaf
elif analytic/scalar route PASS:
close leaf
else:
split by maximum certificate uncertainty
38. Route Choice Is First-Class
MCC-OE-05 已建立：
P s u f f i c i e n t = P s u f f i c i e n t ( C , T ) . \boxed{
\mathcal P_{\rm sufficient}
=
\mathcal P_{\rm sufficient}
(
\mathcal C,
\mathcal T
).
} P sufficient = P sufficient ( C , T ) . 因此 leaf不應先決定 chart。
應先決定：
哪一條 certificate route 最便宜地能關掉它？ \boxed{
\text{哪一條 certificate route 最便宜地能關掉它？}
} 哪一條 certificate route 最便宜地能關掉它？ 39. Route CR-01 — Canonical Analytic
適用：
canonical critical-ray neighborhood；
chart/root structure可穩定 intervalize；
scalar second-order margin強。
需要：
root isolation；
winner semantics；
analytic remainder。
40. Route CR-02 — Radial
已對 B01 primary local box研究閉合。
作用：
r = s → r ≥ s . r=s
\rightarrow
r\ge s. r = s → r ≥ s . 41. Route CR-03 — HSL Boundary
適用：
chart-variable cells；
exact center area容易求；
parameter motion可 Hausdorff bound；
area margin足以吸收 guard。
42. Route CR-04 — Direct Strong-Area / AREF
對遠離 near-minimizer region 的 cells，
若已有強 area lower / root prune，
可以直接關掉，
不需要 HSL 細化。
本篇尚未實作 CR-04 完整 backend。
43. Why CR-04 Is Now Important
HSL-only G4 已 cover：
53.06 % 53.06\% 53.06% 剩下的 volume未必全是 hard near-minimizer。
一部分只是 HSL box guard相對粗。
若有更便宜的 strong-area prune，
可避免細分。
44. Hard-Core Definition
本文定義：
H B 01 = { L : cheap routes fail to certify L } . \boxed{
\mathcal H_{B01}
=
\{
L:
\text{cheap routes fail to certify }L
\}.
} H B 01 = { L : cheap routes fail to certify L } . 真正 expensive HSL adaptive refinement只應作用於：
H B 01 . \mathcal H_{B01}. H B 01 . 45. HSL Cover Is Chart-Free but Not Parameter-Free
support topology不重要，
但：
( ρ , u , v , w ) (\rho,u,v,w) ( ρ , u , v , w ) 仍然重要，
因為它們決定：
center area；
body motion；
target；
continuity guard。
46. This Is Measured-Construct Closure in Pure Form
一個 leaf 可能跨越很多 geometric micro-classes，
但只要：
all of them fit in one measured area enclosure , \boxed{
\text{all of them fit in one measured area enclosure},
} all of them fit in one measured area enclosure , 就可以作同一 certificate cell。
47. Q11 Reinterpretation Gets Stronger
Q11 的 transition state：
X ⋆ X^\star X ⋆ 若落在一個 HSL-safe leaf中，
則即使：
X ⋆ X^\star X ⋆ 是新 support topology，
它也不再是 lower-bound closure threat。
48. Only Certificate-Escaping Transitions Matter
真正 threat：
X ⋆ ∉ ⋃ i SafeDom ( C i ) . \boxed{
X^\star
\notin
\bigcup_i
\operatorname{SafeDom}
(
\mathcal C_i
).
} X ⋆ ∈ / i ⋃ SafeDom ( C i ) . 49. Q20 Generator Also Changes
未來 adversarial generator 不應只 maximize：
UNKNOWN CHART
而應 maximize：
certificate escape score . \boxed{
\text{certificate escape score}.
} certificate escape score . 50. Certificate Escape Score
可以定義：
E e s c a p e ( X ) = min i m C i ( X ) . \boxed{
E_{\rm escape}(X)
=
\min_i
m_{\mathcal C_i}(X).
} E escape ( X ) = i min m C i ( X ) . generator 的目標是讓所有合法 route margins都失效。
51. B01 Boundary Cover Ledger v0.1
DOMAIN:
rho x u x v x w
full declared B01 boundary box
RADIAL:
quotient / research PASS
HSL G1:
14.217951% volume
HSL G2:
35.503602% volume
HSL G3:
46.058441% volume
HSL G4:
53.060348% volume
BEST CURRENT DIRECT CHART-FREE VOLUME COVER:
53.060348%
UNRESOLVED BY BEST HSL GRID:
46.939652%
COUNTEREXAMPLE FOUND:
NO
B01 PARENT:
PARTIAL
52. Important Authority Note
這個：
53.06 % 53.06\% 53.06% 是：
RESEARCH-CERTIFICATE COVER
因為 center areas仍使用 09I declared：
ε A = 10 − 10 \varepsilon_A=10^{-10} ε A = 1 0 − 10 research numerical contract。
53. Publication Upgrade
與 09I 相同，
只需把每個 center area：
A c A_c A c 換成 outward interval center enclosure。
HSL geometric continuity guard本身不需重寫。
54. Data Volume Observation
G4 只使用：
3.54 M 3.54\text{M} 3.54 M center evaluations，
就直接關掉超過一半 parameter volume。
這表示：
chart-free finite cover is computationally plausible . \boxed{
\text{chart-free finite cover is computationally plausible}.
} chart-free finite cover is computationally plausible . 但 naïve uniform refinement仍非最終方案。
55. Why An Adaptive Runtime Should Beat G4
因為 G4 對 safe outer region仍使用和 near-hard region相同 cell尺寸。
Adaptive runtime可：
safe margin大時停止；
只有 unresolved region細分；
依 axis uncertainty選 split；
切換 certificate route。
56. Expected Cover Tree
D B 01 → { L c o a r s e P A S S } ∪ { L h a r d } \boxed{
D_{B01}
\rightarrow
\{
L_{\rm coarse}^{\rm PASS}
\}
\cup
\{
L_{\rm hard}
\}
} D B 01 → { L coarse PASS } ∪ { L hard } 再：
L h a r d → L H S L ∪ L a n a l y t i c ∪ L d i r e c t ∪ L u n r e s o l v e d . L_{\rm hard}
\rightarrow
L_{\rm HSL}
\cup
L_{\rm analytic}
\cup
L_{\rm direct}
\cup
L_{\rm unresolved}. L hard → L HSL ∪ L analytic ∪ L direct ∪ L unresolved . 57. Adaptive Split Priority
對 HSL route，
使用：
S j = ExpectedGuardReduction j . \boxed{
S_j
=
\operatorname{ExpectedGuardReduction}_j.
} S j = ExpectedGuardReduction j . 對 analytic route，
使用：
S j = ThreatMarginSensitivity j . \boxed{
S_j
=
\operatorname{ThreatMarginSensitivity}_j.
} S j = ThreatMarginSensitivity j . 不同 route 可以有不同 split policy。
58. Runtime Pseudocode v1
queue = [B01 boundary box]
while queue not empty:
L = pop(queue)
if HSL_certify(L):
save PASS_HSL
continue
if direct_area_prune(L):
save PASS_DIRECT
continue
if analytic_certify(L):
save PASS_ANALYTIC
continue
if minimum_resolution_reached(L):
save OPEN
continue
axis = choose_split_axis(L)
queue.extend(split(L, axis))
59. Why HSL Should Be Tried Early
HSL：
chart-free；
cheap；
robust across topology walls。
所以很適合作 general first gate。
60. Why Analytic Route Still Matters
near canonical micro-ray：
scalar margins強；
Taylor / exact roots高度結構化；
可以用較少 cells得到 stronger theorem semantics。
所以不應全部換成 HSL brute force。
61. Multi-Route Is the Correct Closure Architecture
MCC-OE-06 因此不追求：
one certificate to rule them all . \boxed{
\text{one certificate to rule them all}.
} one certificate to rule them all . 而追求：
finite cover by heterogeneous certificate routes . \boxed{
\text{finite cover by heterogeneous certificate routes}.
} finite cover by heterogeneous certificate routes . 62. This Is Analogous to an Atlas
不是 geometric chart atlas，
而是：
certificate atlas . \boxed{
\text{certificate atlas}.
} certificate atlas . 每個 region 用最適合的 proof chart。
63. Certificate Atlas
定義：
A c e r t = { ( D i , C i , P i ) } i = 1 N . \boxed{
\mathfrak A_{\rm cert}
=
\{
(
D_i,
\mathcal C_i,
\mathcal P_i
)
\}_{i=1}^{N}.
} A cert = {( D i , C i , P i ) } i = 1 N . 其中：
D i D_i D i C i \mathcal C_i C i P i \mathcal P_i P i
64. Certificate-Atlas Closure
如果：
D B 01 ⊆ ⋃ i D i \boxed{
D_{B01}
\subseteq
\bigcup_iD_i
} D B 01 ⊆ i ⋃ D i 且：
∀ i , C i proves SAFE on D i , \boxed{
\forall i,
\quad
\mathcal C_i
\text{ proves SAFE on }D_i,
} ∀ i , C i proves SAFE on D i , 則 B01 boundary closed。
65. Then Radial Lift
由 CR-02：
Boundary Closed ⟹ B01 Parent Closed \boxed{
\text{Boundary Closed}
\Longrightarrow
\text{B01 Parent Closed}
} Boundary Closed ⟹ B01 Parent Closed 在 declared radial domain。
66. This Is the Real Target
所以現在不需要：
one global support chart . \boxed{
\text{one global support chart}.
} one global support chart . 只需要：
one finite certificate atlas . \boxed{
\text{one finite certificate atlas}.
} one finite certificate atlas . 67. Current Strongest New Result
本輪最實質的數字：
53.0603479456 % \boxed{
53.0603479456\%
} 53.0603479456% 不是 theorem result，
但它第一次量化：
單靠 chart-free HSL 一條 route，在一個固定 uniform anisotropic tessellation 上，已能直接 certificate 超過一半 B01 boundary parameter volume。
68. Current Biggest Gap
剩下：
46.94 % 46.94\% 46.94% 不是「未知幾何」這麼模糊。
現在它是一個明確的：
certificate-uncovered parameter volume . \boxed{
\text{certificate-uncovered parameter volume}.
} certificate-uncovered parameter volume . 69. Next Attack Should Measure Residual Geometry
下一步應輸出 unresolved cells 的：
volume；
location density；
raw margin；
HSL guard；
likely best alternate route。
70. Residual Routing
對每個 unresolved cell：
if raw margin large but HSL guard wide:
refine HSL
if near canonical critical ray:
try analytic route
if far from low-area core:
try direct / AREF prune
if still near target:
hard-core branch
71. MCC-OE-07 Candidate
下一輪建議：
MCC-OE-07 — Residual-Volume Routing and Hybrid Certificate Atlas \boxed{
\textbf{MCC-OE-07 — Residual-Volume Routing and Hybrid Certificate Atlas}
} MCC-OE-07 — Residual-Volume Routing and Hybrid Certificate Atlas 目標：
對 G4 unresolved cells 做 spatial / margin classification；
建 route selector；
把 CR-04 direct-area / AREF prune正式接進來；
只對真正 hard core 做 recursive HSL refinement；
嘗試把 B01 certified fraction從：53.06 % 53.06\% 53.06%
72. Research Verdict
B01 RADIAL:
RESEARCH CLOSED
B01 FIRST GENUINE LEAF:
RESEARCH PASS
B01 CHART VARIATION:
OBSERVED / NOT HSL-BLOCKING
HSL FULL-DOMAIN PROTOTYPE:
EXECUTED
BEST HSL-ONLY CERTIFIED VOLUME:
53.0603479456%
UNRESOLVED:
46.9396520544%
COUNTEREXAMPLE:
NONE FOUND
B01 PARENT:
PARTIAL
GLOBAL LEBESGUE:
OPEN
73. 結論
MCC-OE-06 做了一件很重要的事。
我們沒有再問：
B01 有多少 support chart？
而是直接問：
不管 support chart 怎麼換， 這個 parameter cell 能不能被一個 chart-free area certificate 包住？ \boxed{
\text{不管 support chart 怎麼換，
這個 parameter cell 能不能被一個 chart-free area certificate 包住？}
} 不管 support chart 怎麼換， 這個 parameter cell 能不能被一個 chart-free area certificate 包住？ 答案第一次被大規模數字化。
在完整 B01 boundary domain 上，
一條單純的 HSL route，
用約：
3.54 million 3.54
\text{ million} 3.54 million 個等體積 cells，
直接 certificate：
53.06 % \boxed{
53.06\%
} 53.06% parameter volume。
這還沒有閉掉 B01。
但問題的型態已完全不同。
以前是：
不知道還有多少幾何類 . \boxed{
\text{不知道還有多少幾何類}.
} 不知道還有多少幾何類 . 現在是：
還有 46.94 % parameter volume 沒有被目前 certificate atlas 覆蓋 . \boxed{
\text{還有 }46.94\%\text{ parameter volume
沒有被目前 certificate atlas 覆蓋}.
} 還有 46.94% parameter volume 沒有被目前 certificate atlas 覆蓋 . 這是一個可以繼續算、繼續分、繼續路由的有限工程問題。
而且本輪再次驗證：
Geometric complexity ≠ Certificate complexity . \boxed{
\text{Geometric complexity}
\neq
\text{Certificate complexity}.
} Geometric complexity = Certificate complexity . B01 genuine leaf裡面可以有：
多個 support sequences；
極窄 transition micro-cells；
chart changes；
但如果 HSL enclosure夠強，
整個 leaf仍可以一次關掉。
所以 AMRAL 最後 closure 的方向現在越來越清楚：
不要窮舉所有幾何微結構。 建立一個有限 certificate atlas， 讓每個 admissible state 都落進至少一個安全證書域。 \boxed{
\textbf{不要窮舉所有幾何微結構。
建立一個有限 certificate atlas，
讓每個 admissible state 都落進至少一個安全證書域。}
} 不要窮舉所有幾何微結構。 建立一個有限 certificate atlas ， 讓每個 admissible state 都落進至少一個安全證書域。 這就是 MCC-OE-06 的最終收束。
Canonical Source Declaration
本檔為 MCC-OE-06-v0.1 的 UTF-8 Markdown canonical source。
本文使用：
LESR 09I B01 boundary/radial domain；
09I Hausdorff–Steiner continuity guard；
09I research center-area error contract；
09I radial lift；
MCC-OE-05 certificate-relative task sufficiency。
本文新增計算：
多組 full-domain uniform HSL boundary-cover prototypes；
G1～G4 pass-cell counts；
first majority-volume chart-free HSL cover；
anisotropic grid-efficiency comparison；
first-leaf HSL scale-growth estimate。
本文正式新增：
Certificate Atlas；
Certificate-Atlas Closure；
route-aware adaptive boundary cover；
certificate-uncovered parameter volume；
HSL uncertainty-driven anisotropic splitting。
本文不宣稱：
53.06% coverage 等於 B01 closure；
unresolved 46.94% 含有 counterexample；
center positivity 可取代 cell certificate；
G4 是最優 tessellation；
first-leaf scale-growth estimate 是新的 canonical leaf；
publication-level center interval backend 已完成；
B01 parent 已 closed；
global Lebesgue 已解。
下一輪應進入：
MCC-OE-07 — Residual-Volume Routing and Hybrid Certificate Atlas。
===END===