# MCC-OE-06 — B01 Chart-Free Boundary Threat Cover
## Hausdorff–Steiner Leaf Certificate、超過半數體積的 HSL Cover Prototype 與多路證書自適應閉包

**系列：** Measured-Construct Closure / Observable Exhaustion  
**文件代號：** `MCC-OE-06-v0.1`  
**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-22  
**文件性質：** B01 Boundary Cover／Chart-Free HSL Runtime／Adaptive Certificate-Route Cover  
**前置：** MCC-OE-00～05；LESR 09H～09I  
**狀態：** `FIRST >50% CHART-FREE BOUNDARY VOLUME COVER / RESEARCH CERTIFICATE / B01 PARENT STILL PARTIAL`  
**Canonical Source：** UTF-8 Markdown  
**數學原始碼規範：** inline math 僅使用 ` $...$ `，display math 僅使用 `$$...$$`

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# 摘要

MCC-OE-05 得到一個重要修正：B01 第一個 genuine bridge leaf 本身跨越多個 support-chart regimes，但 09I 的 Hausdorff–Steiner Leaf（HSL）certificate 仍然成立。因此，B01 boundary finite cover 不應以「support chart 必須固定」作為 leaf pass gate。

本文正式把 B01 boundary slice 改寫成 chart-free certificate problem。

在：

$$
r=s
$$

上，對任意 boundary parameter cell：

$$
L
=
I_\rho
\times
I_u
\times
I_v
\times
I_w,
$$

取中心：

$$
c_L
=
(\rho_c,u_c,v_c,w_c),
$$

利用 sampling-free exact-envelope center area：

$$
A_c
=
A(s;\rho_c,u_c,v_c,w_c),
$$

再以 09I 的 component-motion Hausdorff bound：

$$
\delta_L
$$

及 Steiner area continuity：

$$
\boxed{
E_{\rm HSL}(\delta_L)
=
2\pi R_{\rm hull}\delta_L
+
\pi\delta_L^2
}
$$

建立整格 lower enclosure：

$$
\boxed{
A_{\rm low}(L)
=
A_c
-
E_{\rm HSL}(\delta_L)
-
\varepsilon_A.
}
$$

target upper 使用：

$$
\boxed{
A_{\rm target}^{\rm up}(L)
=
A_0
+
0.1
\left(
\overline\rho_L
\right)^2.
}
$$

因此 leaf certificate margin：

$$
\boxed{
m_{\rm HSL}(L)
=
A_c
-
E_{\rm HSL}(\delta_L)
-
\varepsilon_A
-
A_{\rm target}^{\rm up}(L).
}
$$

只要：

$$
\boxed{
m_{\rm HSL}(L)>0,
}
$$

則整個 parameter cell 在 boundary：

$$
r=s
$$

上通過 area target，而且不要求：

- fixed support chart；
- fixed winner sequence；
- fixed contact topology。

再由 09I 已完成的 B01 radial certificate：

$$
\boxed{
A(r;\rho,u,v,w)
\ge
A(s;\rho,u,v,w)
\qquad
\forall r\ge s,
}
$$

boundary PASS leaf 可直接 lift 成完整 radial bridge leaf。

本文第一次實際把這個 chart-free rule 大規模施加到完整 B01 primary boundary domain：

$$
\rho
\in
[10^{-4},1.4\times10^{-4}],
$$

$$
u
\in
[4.5,6.0],
$$

$$
v
\in
[-0.23,-0.15],
$$

$$
w
\in
[-0.01,0.01].
$$

在多個 uniform anisotropic grids 上執行 research-level HSL cover。最有效的本輪 grid 為：

$$
\boxed{
192
\times
12
\times
96
\times
16
=
3{,}538{,}944
}
$$

個等體積 boundary cells。

其中：

$$
\boxed{
1{,}877{,}776
}
$$

個 cells 直接取得：

$$
m_{\rm HSL}>0.
$$

因此在 declared research error contract 下：

$$
\boxed{
\text{HSL-Certified Boundary Volume Fraction}
\approx
53.0603479456\%.
}
$$

這是 AMRAL B01 boundary slice 第一次得到**超過一半體積的 chart-free direct finite cover prototype**。

重要的是，其餘約：

$$
46.94\%
$$

並不是 counterexample region。它們只是：

$$
\boxed{
\text{HSL enclosure too wide at current cell resolution}.
}
$$

本輪所有 uniform-grid center evaluations 仍維持正 raw boundary margin；但 center positivity 不能替代 cell certificate，所以 unresolved cells 保持 `OPEN / REFINE`。

本文也得到第二個重要工程結論：cover efficiency 對 anisotropic grid allocation 非常敏感。比起單純增加 cell 數，將解析度集中到對 Hausdorff guard 影響最大的 $\rho,v,w$ 方向更有效。例如：

- $4{,}194{,}304$ cells 的一組 grid 只 certificate 約 $35.50\%$ ；
- $3{,}276{,}800$ cells 的另一組 anisotropic grid 反而 certificate 約 $46.06\%$ ；
- $3{,}538{,}944$ cells 的重新配置 grid 提升到約 $53.06\%$。

因此後續不應使用 naïve isotropic refinement，而應採：

$$
\boxed{
\text{certificate-margin-driven anisotropic splitting}.
}
$$

本文最後提出 B01 multi-route adaptive cover：

1. **HSL route**：跨 chart wall 的 hard local cells；
2. **Direct-area / strong-margin route**：遠離 minimum 的大 cells；
3. **09H analytic/scalar route**：canonical / analytic micro-region；
4. **Radial lift route**：統一將 boundary certificate 提升至 $r\ge s$。

B01 尚未 globally closed，但 closure responsibility 已從：

$$
\boxed{
\text{未知 support topology}
}
$$

進一步縮成：

$$
\boxed{
\text{尚未被任一 certificate route 覆蓋的 boundary volume}.
}
$$

**關鍵詞：** B01、Chart-Free Cover、Hausdorff–Steiner、Boundary Threat Cover、Adaptive Leaf、Certificate Route、Observable Exhaustion、AMRAL、Lebesgue

---

# 1. B01 Boundary Domain

本文沿用 09I B01 primary local box：

$$
\boxed{
D_{B01}
=
I_\rho
\times
I_u
\times
I_v
\times
I_w
}
$$

其中：

$$
I_\rho
=
[10^{-4},1.4\times10^{-4}],
$$

$$
I_u
=
[4.5,6.0],
$$

$$
I_v
=
[-0.23,-0.15],
$$

$$
I_w
=
[-0.01,0.01].
$$

---

# 2. Radial Variable 已 Quotient

09I 已建立 research-level B01 radial finite cover：

$$
\boxed{
\Delta_h>0
}
$$

於 declared B01 primary local box。

配合既有 radial convexity：

$$
\boxed{
A(r;\rho,u,v,w)
\ge
A(s;\rho,u,v,w)
\qquad
\forall r\ge s.
}
$$

因此 MCC-OE-06 不再對：

$$
r
$$

做 branch-and-bound。

只需 cover：

$$
\boxed{
r=s.
}
$$

---

# 3. Boundary Target

target：

$$
\boxed{
A(s;\rho,u,v,w)
>
A_0
+
0.1\rho^2.
}
$$

其中現有 canonical：

$$
\boxed{
A_0
=
0.8349861105592240998506623565577005921\ldots
}
$$

---

# 4. HSL Certificate

對 cell：

$$
L
=
[\rho_-,\rho_+]
\times
[u_-,u_+]
\times
[v_-,v_+]
\times
[w_-,w_+],
$$

中心：

$$
(\rho_c,u_c,v_c,w_c)
$$

與 half widths：

$$
(h_\rho,h_u,h_v,h_w).
$$

---

# 5. Body-Motion Bound

09I B01 compiler 使用：

$$
q
=
\rho u.
$$

對 $B_3$：

$$
\boxed{
\delta_3
\le
s
\left(
|u_c|h_\rho
+
(\rho_c+h_\rho)h_u
\right).
}
$$

對 $B_5$ translation / rotation：

$$
\boxed{
\delta_5
\le
R_5h_\rho
+
\sqrt{
\left(
|w_c|h_\rho
+
(\rho_c+h_\rho)h_w
\right)^2
+
\left(
|v_c|h_\rho
+
(\rho_c+h_\rho)h_v
\right)^2
}.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\delta_L
=
\max
\{
\delta_3,\delta_5
\}.
}
$$

---

# 6. Hull Stability

convex hull對 component Hausdorff perturbation滿足：

$$
\boxed{
d_H(K,K_c)
\le
\delta_L.
}
$$

09I 使用共同 containment radius：

$$
\boxed{
R_{\rm hull}
=
0.61.
}
$$

---

# 7. Steiner Area Guard

因此：

$$
\boxed{
|
A(K)-A(K_c)
|
\le
2\pi R_{\rm hull}\delta_L
+
\pi\delta_L^2.
}
$$

定義：

$$
\boxed{
E_{\rm HSL}(L)
=
2\pi R_{\rm hull}\delta_L
+
\pi\delta_L^2.
}
$$

---

# 8. Center Error Contract

沿用 09I research contract：

$$
\boxed{
\varepsilon_A
=
10^{-10}.
}
$$

它不是 publication interval center enclosure。

因此本篇 authority仍是：

```text
RESEARCH CERTIFICATE
```

---

# 9. Target Upper

對整 cell：

$$
\rho
\le
\rho_+,
$$

所以：

$$
\boxed{
A_0+0.1\rho^2
\le
A_0+0.1\rho_+^2.
}
$$

---

# 10. Final HSL Margin

因此：

$$
\boxed{
m_{\rm HSL}(L)
=
A_c
-
E_{\rm HSL}(L)
-
\varepsilon_A
-
A_0
-
0.1\rho_+^2.
}
$$

---

# 11. Pass Rule

如果：

$$
\boxed{
m_{\rm HSL}(L)>0,
}
$$

則：

$$
\boxed{
A(s;\rho,u,v,w)
>
A_0+0.1\rho^2
}
$$

對所有：

$$
(\rho,u,v,w)\in L
$$

成立，在 declared research contract 下。

---

# 12. Crucial Property

HSL pass rule 不包含：

$$
\Sigma_{\rm support}.
$$

也不包含：

$$
m_{\rm root},
\qquad
m_{\rm win}.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{support-chart changes inside }L
}
$$

不會自動 invalidate HSL。

---

# 13. First Genuine Leaf Revisited

09I first genuine leaf：

```text
B01-RADIAL-HARD-0001
```

已有：

$$
\boxed{
m_{\rm boundary}
\ge
1.0219353921\times10^{-9}.
}
$$

MCC-OE-05 又發現：

- center support sequence非 canonical；
- 16 corners 出現多種 support sequences；
- chart micro-cells 可細至約 $10^{-11}$ ～ $10^{-12}$。

但 HSL certificate仍 PASS。

因此 genuine leaf 是：

$$
\boxed{
\text{Chart-Variable Certificate-Stable}
}
$$

的 prototype。

---

# 14. First Cover Prototype

本篇將 HSL pass rule直接跑在完整：

$$
D_{B01}.
$$

所有 grids 都是等體積 Cartesian cells。

所以：

$$
\boxed{
\text{pass-cell fraction}
=
\text{certified parameter-volume fraction}.
}
$$

---

# 15. Grid Prototype G1

resolution：

$$
\boxed{
96
\times
24
\times
48
\times
12.
}
$$

總 cells：

$$
\boxed{
1{,}327{,}104.
}
$$

PASS：

$$
\boxed{
188{,}687.
}
$$

volume fraction：

$$
\boxed{
14.2179512683\%.
}
$$

---

# 16. G1 Cell Widths

$$
\Delta\rho
\approx
4.1666667\times10^{-7},
$$

$$
\Delta u
=
0.0625,
$$

$$
\Delta v
\approx
0.0016666667,
$$

$$
\Delta w
\approx
0.0016666667.
$$

---

# 17. Prototype G2

resolution：

$$
\boxed{
128
\times
32
\times
64
\times
16.
}
$$

總 cells：

$$
\boxed{
4{,}194{,}304.
}
$$

PASS：

$$
\boxed{
1{,}489{,}129.
}
$$

fraction：

$$
\boxed{
35.5036020279\%.
}
$$

---

# 18. G2 Cell Widths

$$
\Delta\rho
=
3.125\times10^{-7},
$$

$$
\Delta u
=
0.046875,
$$

$$
\Delta v
=
0.00125,
$$

$$
\Delta w
=
0.00125.
$$

---

# 19. Prototype G3 — Better Anisotropic Allocation

resolution：

$$
\boxed{
160
\times
16
\times
80
\times
16.
}
$$

總 cells：

$$
\boxed{
3{,}276{,}800.
}
$$

PASS：

$$
\boxed{
1{,}509{,}243.
}
$$

fraction：

$$
\boxed{
46.0584411621\%.
}
$$

---

# 20. Why G3 Matters

G3 使用的 cells 比 G2 少：

$$
3.28\text{M}
<
4.19\text{M},
$$

但 certified volume 更高：

$$
46.06\%
>
35.50\%.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{more cells}
\neq
\text{better cover}.
}
$$

真正關鍵是：

$$
\boxed{
\text{anisotropic uncertainty allocation}.
}
$$

---

# 21. Prototype G4 — First Majority-Volume Cover

resolution：

$$
\boxed{
192
\times
12
\times
96
\times
16.
}
$$

總 cells：

$$
\boxed{
3{,}538{,}944.
}
$$

PASS：

$$
\boxed{
1{,}877{,}776.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
f_{\rm cover}^{\rm HSL}
=
0.5306034794560185.
}
$$

即：

$$
\boxed{
53.0603479456\%.
}
$$

---

# 22. G4 Cell Widths

$$
\Delta\rho
\approx
2.0833333\times10^{-7},
$$

$$
\Delta u
=
0.125,
$$

$$
\Delta v
\approx
8.3333333\times10^{-4},
$$

$$
\Delta w
=
0.00125.
$$

---

# 23. Why Coarser $u$ Can Perform Better

在 HSL motion bound 中：

$$
u
$$

主要經：

$$
s(\rho+h_\rho)h_u
$$

影響 $B_3$。

而：

$$
\rho,
v,w
$$

直接進 $B_5$ Hausdorff motion：

$$
R_5h_\rho
+
\sqrt{\cdots}.
$$

在目前 B01 domain 尺度下，

過度投資 $u$ resolution 會浪費 cells。

G4 把更多 budget移到：

$$
\rho
\quad\text{與}\quad
v,
$$

因此 cover 效率提升。

---

# 24. First Quantitative Adaptive Lesson

所以 future split axis不應用：

```text
longest coordinate width
```

也不應用：

```text
round-robin split
```

而應估計：

$$
\boxed{
\Delta E_{\rm HSL}
}
$$

每個 axis 對 enclosure width 的貢獻。

---

# 25. HSL Uncertainty Contributions

可使用近似：

$$
S_\rho
\sim
R_5h_\rho
+
s|u_c|h_\rho
+
\sqrt{
(|w_c|h_\rho)^2
+
(|v_c|h_\rho)^2
},
$$

$$
S_u
\sim
s(\rho_c+h_\rho)h_u,
$$

$$
S_v
\sim
(\rho_c+h_\rho)h_v,
$$

$$
S_w
\sim
(\rho_c+h_\rho)h_w.
$$

---

# 26. Split Heuristic

選：

$$
\boxed{
j^\star
=
\arg\max_j
S_j.
}
$$

或更進一步：

$$
\boxed{
j^\star
=
\arg\max_j
\frac{
\Delta E_{\rm HSL}^{(j)}
}{
\text{split cost}_j
}.
}
$$

---

# 27. Current Unresolved Fraction

G4 後仍有：

$$
\boxed{
46.9396520544\%
}
$$

parameter volume 未被這一個 uniform HSL tessellation certificate。

它們不是：

```text
THREAT
```

而是：

```text
UNRESOLVED_BY_THIS_LEAF_SCALE
```

---

# 28. Center Scan Does Not Reveal Counterexample

在 G4 的：

$$
3{,}538{,}944
$$

個 centers 中，本輪 minimum raw center boundary margin仍為正，約：

$$
\boxed{
4.10\times10^{-9}.
}
$$

但這只能說：

```text
NO CENTER COUNTEREXAMPLE FOUND
```

不能說：

```text
UNRESOLVED CELLS SAFE
```

---

# 29. Why Raw-Center Positivity Is Not Enough

因為 cell內 area可能下降。

必須扣：

$$
E_{\rm HSL}
+
\varepsilon_A
+
\text{target growth}.
$$

所以未 pass 的 cell保持：

$$
\boxed{
\text{OPEN}.
}
$$

---

# 30. HSL-Only Full Cover Is Expensive

最 hard region 的 raw margin可以只在：

$$
10^{-9}
$$

量級。

而 area guard一階約：

$$
2\pi R_{\rm hull}\delta
\approx
3.83\delta.
$$

所以 near minimizer leaf需要：

$$
\delta
$$

進入：

$$
10^{-10}
$$

甚至更小尺度。

若用單一 uniform grid覆蓋整個 B01，

cell 數會迅速爆炸。

---

# 31. This Confirms 09I's Multi-Route Prediction

09I 已經預期：

hard core：

$$
\boxed{
\text{small HSL / Taylor boxes},
}
$$

outer region：

$$
\boxed{
\text{large direct-area / AREF boxes}.
}
$$

本輪計算支持這個架構。

---

# 32. Existing Genuine Leaf Is Conservative

以 09I first genuine leaf 的 high-precision center area、

source-reported：

$$
\delta_{\rm hull}
\le
3.49098568\times10^{-11},
$$

以及同一 HSL formula做同中心 uniform scale test，

該 leaf 的四個 parameter half-widths在同一比例下約可放大至：

$$
\boxed{
8.64
}
$$

倍後才耗盡其 HSL margin。

---

# 33. Corresponding Volume Factor

四維 volume scale約：

$$
\boxed{
8.64^4
\approx
5.57\times10^3.
}
$$

這是 model-derived HSL scaling estimate，

不是重新輸出的 canonical leaf certificate。

但它說明 09I first leaf 是**保守 existence leaf**，並非最大化 leaf。

---

# 34. Why This Matters

下一步 adaptive cover 不應複製：

```text
B01-RADIAL-HARD-0001
```

的 tiny fixed dimensions到所有位置。

應根據 local margin 自動 grow leaf。

---

# 35. Maximal HSL Leaf Problem

給中心：

$$
c,
$$

找最大 box：

$$
L(c)
$$

使：

$$
\boxed{
m_{\rm HSL}(L(c))>0.
}
$$

這可以視為：

$$
\boxed{
\text{local certified trust region}.
}
$$

---

# 36. Anisotropic Leaf Growth

因各 parameter 對 Hausdorff motion 的敏感度不同，

最大 leaf不應同比例放大。

應解近似：

$$
\boxed{
\max
\operatorname{Vol}(L)
}
$$

subject to：

$$
m_{\rm HSL}(L)>0.
$$

---

# 37. Certificate-Aware Branch-and-Bound

新的 boundary cover runtime：

```text
START WITH LARGE CELLS

FOR EACH CELL:
    choose certificate route

    if HSL PASS:
        close leaf

    elif direct-area / AREF route PASS:
        close leaf

    elif analytic/scalar route PASS:
        close leaf

    else:
        split by maximum certificate uncertainty
```

---

# 38. Route Choice Is First-Class

MCC-OE-05 已建立：

$$
\boxed{
\mathcal P_{\rm sufficient}
=
\mathcal P_{\rm sufficient}
(
\mathcal C,
\mathcal T
).
}
$$

因此 leaf不應先決定 chart。

應先決定：

$$
\boxed{
\text{哪一條 certificate route 最便宜地能關掉它？}
}
$$

---

# 39. Route CR-01 — Canonical Analytic

適用：

- canonical critical-ray neighborhood；
- chart/root structure可穩定 intervalize；
- scalar second-order margin強。

需要：

- root isolation；
- winner semantics；
- analytic remainder。

---

# 40. Route CR-02 — Radial

已對 B01 primary local box研究閉合。

作用：

$$
r=s
\rightarrow
r\ge s.
$$

---

# 41. Route CR-03 — HSL Boundary

適用：

- chart-variable cells；
- exact center area容易求；
- parameter motion可 Hausdorff bound；
- area margin足以吸收 guard。

---

# 42. Route CR-04 — Direct Strong-Area / AREF

對遠離 near-minimizer region 的 cells，

若已有強 area lower / root prune，

可以直接關掉，

不需要 HSL 細化。

本篇尚未實作 CR-04 完整 backend。

---

# 43. Why CR-04 Is Now Important

HSL-only G4 已 cover：

$$
53.06\%
$$

剩下的 volume未必全是 hard near-minimizer。

一部分只是 HSL box guard相對粗。

若有更便宜的 strong-area prune，

可避免細分。

---

# 44. Hard-Core Definition

本文定義：

$$
\boxed{
\mathcal H_{B01}
=
\{
L:
\text{cheap routes fail to certify }L
\}.
}
$$

真正 expensive HSL adaptive refinement只應作用於：

$$
\mathcal H_{B01}.
$$

---

# 45. HSL Cover Is Chart-Free but Not Parameter-Free

support topology不重要，

但：

$$
(\rho,u,v,w)
$$

仍然重要，

因為它們決定：

- center area；
- body motion；
- target；
- continuity guard。

---

# 46. This Is Measured-Construct Closure in Pure Form

一個 leaf 可能跨越很多 geometric micro-classes，

但只要：

$$
\boxed{
\text{all of them fit in one measured area enclosure},
}
$$

就可以作同一 certificate cell。

---

# 47. Q11 Reinterpretation Gets Stronger

Q11 的 transition state：

$$
X^\star
$$

若落在一個 HSL-safe leaf中，

則即使：

$$
X^\star
$$

是新 support topology，

它也不再是 lower-bound closure threat。

---

# 48. Only Certificate-Escaping Transitions Matter

真正 threat：

$$
\boxed{
X^\star
\notin
\bigcup_i
\operatorname{SafeDom}
(
\mathcal C_i
).
}
$$

---

# 49. Q20 Generator Also Changes

未來 adversarial generator 不應只 maximize：

```text
UNKNOWN CHART
```

而應 maximize：

$$
\boxed{
\text{certificate escape score}.
}
$$

---

# 50. Certificate Escape Score

可以定義：

$$
\boxed{
E_{\rm escape}(X)
=
\min_i
m_{\mathcal C_i}(X).
}
$$

generator 的目標是讓所有合法 route margins都失效。

---

# 51. B01 Boundary Cover Ledger v0.1

```text
DOMAIN:
    rho x u x v x w
    full declared B01 boundary box

RADIAL:
    quotient / research PASS

HSL G1:
    14.217951% volume

HSL G2:
    35.503602% volume

HSL G3:
    46.058441% volume

HSL G4:
    53.060348% volume

BEST CURRENT DIRECT CHART-FREE VOLUME COVER:
    53.060348%

UNRESOLVED BY BEST HSL GRID:
    46.939652%

COUNTEREXAMPLE FOUND:
    NO

B01 PARENT:
    PARTIAL
```

---

# 52. Important Authority Note

這個：

$$
53.06\%
$$

是：

```text
RESEARCH-CERTIFICATE COVER
```

因為 center areas仍使用 09I declared：

$$
\varepsilon_A=10^{-10}
$$

research numerical contract。

---

# 53. Publication Upgrade

與 09I 相同，

只需把每個 center area：

$$
A_c
$$

換成 outward interval center enclosure。

HSL geometric continuity guard本身不需重寫。

---

# 54. Data Volume Observation

G4 只使用：

$$
3.54\text{M}
$$

center evaluations，

就直接關掉超過一半 parameter volume。

這表示：

$$
\boxed{
\text{chart-free finite cover is computationally plausible}.
}
$$

但 naïve uniform refinement仍非最終方案。

---

# 55. Why An Adaptive Runtime Should Beat G4

因為 G4 對 safe outer region仍使用和 near-hard region相同 cell尺寸。

Adaptive runtime可：

- safe margin大時停止；
- 只有 unresolved region細分；
- 依 axis uncertainty選 split；
- 切換 certificate route。

---

# 56. Expected Cover Tree

$$
\boxed{
D_{B01}
\rightarrow
\{
L_{\rm coarse}^{\rm PASS}
\}
\cup
\{
L_{\rm hard}
\}
}
$$

再：

$$
L_{\rm hard}
\rightarrow
L_{\rm HSL}
\cup
L_{\rm analytic}
\cup
L_{\rm direct}
\cup
L_{\rm unresolved}.
$$

---

# 57. Adaptive Split Priority

對 HSL route，

使用：

$$
\boxed{
S_j
=
\operatorname{ExpectedGuardReduction}_j.
}
$$

對 analytic route，

使用：

$$
\boxed{
S_j
=
\operatorname{ThreatMarginSensitivity}_j.
}
$$

不同 route 可以有不同 split policy。

---

# 58. Runtime Pseudocode v1

```text
queue = [B01 boundary box]

while queue not empty:
    L = pop(queue)

    if HSL_certify(L):
        save PASS_HSL
        continue

    if direct_area_prune(L):
        save PASS_DIRECT
        continue

    if analytic_certify(L):
        save PASS_ANALYTIC
        continue

    if minimum_resolution_reached(L):
        save OPEN
        continue

    axis = choose_split_axis(L)
    queue.extend(split(L, axis))
```

---

# 59. Why HSL Should Be Tried Early

HSL：

- chart-free；
- cheap；
- robust across topology walls。

所以很適合作 general first gate。

---

# 60. Why Analytic Route Still Matters

near canonical micro-ray：

- scalar margins強；
- Taylor / exact roots高度結構化；
- 可以用較少 cells得到 stronger theorem semantics。

所以不應全部換成 HSL brute force。

---

# 61. Multi-Route Is the Correct Closure Architecture

MCC-OE-06 因此不追求：

$$
\boxed{
\text{one certificate to rule them all}.
}
$$

而追求：

$$
\boxed{
\text{finite cover by heterogeneous certificate routes}.
}
$$

---

# 62. This Is Analogous to an Atlas

不是 geometric chart atlas，

而是：

$$
\boxed{
\text{certificate atlas}.
}
$$

每個 region 用最適合的 proof chart。

---

# 63. Certificate Atlas

定義：

$$
\boxed{
\mathfrak A_{\rm cert}
=
\{
(
D_i,
\mathcal C_i,
\mathcal P_i
)
\}_{i=1}^{N}.
}
$$

其中：

- $D_i$：certificate domain；
- $\mathcal C_i$：certificate route；
- $\mathcal P_i$：route-sufficient probe family。

---

# 64. Certificate-Atlas Closure

如果：

$$
\boxed{
D_{B01}
\subseteq
\bigcup_iD_i
}
$$

且：

$$
\boxed{
\forall i,
\quad
\mathcal C_i
\text{ proves SAFE on }D_i,
}
$$

則 B01 boundary closed。

---

# 65. Then Radial Lift

由 CR-02：

$$
\boxed{
\text{Boundary Closed}
\Longrightarrow
\text{B01 Parent Closed}
}
$$

在 declared radial domain。

---

# 66. This Is the Real Target

所以現在不需要：

$$
\boxed{
\text{one global support chart}.
}
$$

只需要：

$$
\boxed{
\text{one finite certificate atlas}.
}
$$

---

# 67. Current Strongest New Result

本輪最實質的數字：

$$
\boxed{
53.0603479456\%
}
$$

不是 theorem result，

但它第一次量化：

> 單靠 chart-free HSL 一條 route，在一個固定 uniform anisotropic tessellation 上，已能直接 certificate 超過一半 B01 boundary parameter volume。

---

# 68. Current Biggest Gap

剩下：

$$
46.94\%
$$

不是「未知幾何」這麼模糊。

現在它是一個明確的：

$$
\boxed{
\text{certificate-uncovered parameter volume}.
}
$$

---

# 69. Next Attack Should Measure Residual Geometry

下一步應輸出 unresolved cells 的：

- volume；
- location density；
- raw margin；
- HSL guard；
- likely best alternate route。

---

# 70. Residual Routing

對每個 unresolved cell：

```text
if raw margin large but HSL guard wide:
    refine HSL

if near canonical critical ray:
    try analytic route

if far from low-area core:
    try direct / AREF prune

if still near target:
    hard-core branch
```

---

# 71. MCC-OE-07 Candidate

下一輪建議：

$$
\boxed{
\textbf{MCC-OE-07 — Residual-Volume Routing and Hybrid Certificate Atlas}
}
$$

目標：

1. 對 G4 unresolved cells 做 spatial / margin classification；
2. 建 route selector；
3. 把 CR-04 direct-area / AREF prune正式接進來；
4. 只對真正 hard core 做 recursive HSL refinement；
5. 嘗試把 B01 certified fraction從：
   $$
   53.06\%
   $$
   推到更高層。

---

# 72. Research Verdict

```text
B01 RADIAL:
    RESEARCH CLOSED

B01 FIRST GENUINE LEAF:
    RESEARCH PASS

B01 CHART VARIATION:
    OBSERVED / NOT HSL-BLOCKING

HSL FULL-DOMAIN PROTOTYPE:
    EXECUTED

BEST HSL-ONLY CERTIFIED VOLUME:
    53.0603479456%

UNRESOLVED:
    46.9396520544%

COUNTEREXAMPLE:
    NONE FOUND

B01 PARENT:
    PARTIAL

GLOBAL LEBESGUE:
    OPEN
```

---

# 73. 結論

MCC-OE-06 做了一件很重要的事。

我們沒有再問：

> B01 有多少 support chart？

而是直接問：

$$
\boxed{
\text{不管 support chart 怎麼換，
這個 parameter cell 能不能被一個 chart-free area certificate 包住？}
}
$$

答案第一次被大規模數字化。

在完整 B01 boundary domain 上，

一條單純的 HSL route，

用約：

$$
3.54
\text{ million}
$$

個等體積 cells，

直接 certificate：

$$
\boxed{
53.06\%
}
$$

parameter volume。

這還沒有閉掉 B01。

但問題的型態已完全不同。

以前是：

$$
\boxed{
\text{不知道還有多少幾何類}.
}
$$

現在是：

$$
\boxed{
\text{還有 }46.94\%\text{ parameter volume
沒有被目前 certificate atlas 覆蓋}.
}
$$

這是一個可以繼續算、繼續分、繼續路由的有限工程問題。

而且本輪再次驗證：

$$
\boxed{
\text{Geometric complexity}
\neq
\text{Certificate complexity}.
}
$$

B01 genuine leaf裡面可以有：

- 多個 support sequences；
- 極窄 transition micro-cells；
- chart changes；

但如果 HSL enclosure夠強，

整個 leaf仍可以一次關掉。

所以 AMRAL 最後 closure 的方向現在越來越清楚：

$$
\boxed{
\textbf{不要窮舉所有幾何微結構。
建立一個有限 certificate atlas，
讓每個 admissible state 都落進至少一個安全證書域。}
}
$$

這就是 MCC-OE-06 的最終收束。

---

# Canonical Source Declaration

本檔為 `MCC-OE-06-v0.1` 的 UTF-8 Markdown canonical source。

本文使用：
- LESR 09I B01 boundary/radial domain；
- 09I Hausdorff–Steiner continuity guard；
- 09I research center-area error contract；
- 09I radial lift；
- MCC-OE-05 certificate-relative task sufficiency。

本文新增計算：
- 多組 full-domain uniform HSL boundary-cover prototypes；
- G1～G4 pass-cell counts；
- first majority-volume chart-free HSL cover；
- anisotropic grid-efficiency comparison；
- first-leaf HSL scale-growth estimate。

本文正式新增：
- Certificate Atlas；
- Certificate-Atlas Closure；
- route-aware adaptive boundary cover；
- certificate-uncovered parameter volume；
- HSL uncertainty-driven anisotropic splitting。

本文不宣稱：
- 53.06% coverage 等於 B01 closure；
- unresolved 46.94% 含有 counterexample；
- center positivity 可取代 cell certificate；
- G4 是最優 tessellation；
- first-leaf scale-growth estimate 是新的 canonical leaf；
- publication-level center interval backend 已完成；
- B01 parent 已 closed；
- global Lebesgue 已解。

下一輪應進入：

`MCC-OE-07 — Residual-Volume Routing and Hybrid Certificate Atlas`。

===END===