HFMU-013｜Obligation Geometry 反例與熵修正

0. 目標

HFMU-012 得到：

r_0(\mathcal O) = \log_2 |X/{\sim_{\mathcal O}}|

在那個線性世界中是 submodular。

HFMU-013 專門試圖打破它。

結果：

\boxed{ \text{打破了。} }

而且不需要 nonlinear dynamics。

作者： Neo.K
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司
日期： 2026-10-07（整理日期；原稿未標註日期）
版本： 原稿未標註（本次整理版）

1. 五個 states 就夠

取三個 binary obligations：

q_1,q_2,q_3.

五個 states：

State	$q_1$	$q_2$	$q_3$
0	0	0	0
1	0	0	1
2	0	1	0
3	0	1	1
4	1	0	0

即使 dynamics 只是 identity，也有反例。

令：

\mathcal A=\{q_1,q_2\}, \qquad \mathcal B=\{q_1,q_3\}.

則：

D(\mathcal A)=3, \quad D(\mathcal B)=3,

D(\mathcal A\cup\mathcal B)=5, \quad D(\mathcal A\cap\mathcal B)=2.

若 $r_0=\log_2D$ ，submodularity 要求：

\log_2 3+\log_2 3 \ge \log_2 5+\log_2 2,

等價於：

9\ge10.

錯。

本例 Hartley slack：

-0.152003093445050.

所以：

\boxed{ r_0(\mathcal O) = \log_2|X/{\sim_{\mathcal O}}| }

一般不是 submodular rank。

2. 這個反例非常小

我窮舉 $\{0,1\}^3$ 的全部 255 個非空 supports。

結果：

Hartley violation supports：24；
24 個全部都是 support size 5；
在這個三-bit 靜態族中，support size 1、2、3、4、6、7、8 沒有 violation；
Shannon violation supports：0。

因此在這個受限類別中，5 states 已是最小反例大小。

3. 加入 dynamics 後，delayed distinguishability 也可以共存

加入 deterministic action：

0\mapsto3,\; 1\mapsto3,\; 2\mapsto3,\; 3\mapsto3,\; 4\mapsto1.

Hartley violation 仍是同一個：

3\times3<5\times2.

而且現在只看 $q_2$ ：

2\text{ current classes} \rightarrow 3\text{ predictive classes}.

看 $\{q_2,q_3\}$ ：

4\text{ current classes} \rightarrow 5\text{ predictive classes}.

所以同一五態世界同時具有：

\boxed{ \text{Delayed Distinguishability} + \text{Hartley Submodularity Failure}. }

4. HFMU-012 為什麼沒有壞

HFMU-012 在線性 $\mathbb F_2^5$ world 中，每個 predictive quotient class 是某個子空間的 coset。

uniform state distribution 下所有 coset 等大小，所以：

H(Z_{\mathcal O}) = \log_2|X/{\sim_{\mathcal O}}|.

也就是：

\boxed{ \text{Shannon entropy} = \text{Hartley entropy}. }

所以 HFMU-012 的 cardinality polymatroid 吃到了：

\boxed{ \text{linear coset + equiprobable quotient classes}. }

5. 真正壞掉的是「只數 classes」

五態反例中，像 $q_1$ 的 partition 是：

4+1.

Hartley rank：

\log_2 2=1

只知道「有兩類」。

它完全不管這兩類是：

80\%/20\%

而不是：

50\%/50\%.

所以：

\boxed{ \text{class count} }

與：

\boxed{ \text{predictive information mass} }

必須分開。

6. Shannon predictive entropy 可以一般證明 submodular

固定 initial-state distribution $\mu$ 。

令 $Z_{\mathcal O}$ 為 predictive quotient class random variable。

定義：

\boxed{ h_\mu(\mathcal O) = H(Z_{\mathcal O}). }

對任意 $\mathcal A,\mathcal B$ ：

Z_{\mathcal A\cup\mathcal B} \cong (Z_{\mathcal A},Z_{\mathcal B}).

而 $Z_{\mathcal A\cap\mathcal B}$ 同時是 $Z_{\mathcal A}$ 與 $Z_{\mathcal B}$ 的 deterministic common function。

因此：

I(Z_{\mathcal A};Z_{\mathcal B}) \ge H(Z_{\mathcal A\cap\mathcal B}).

所以：

\boxed{ h_\mu(\mathcal A) + h_\mu(\mathcal B) \ge h_\mu(\mathcal A\cup\mathcal B) + h_\mu(\mathcal A\cap\mathcal B). }

這不需要線性 world。

7. 五態反例裡 Shannon 立即修回來

同一組 $\mathcal A,\mathcal B$ ，uniform distribution 下的 Shannon slack：

-2.220446049250313e-16.

這只是 floating-point roundoff 的 0。

所以：

\boxed{ \text{Hartley: fail} }

\boxed{ \text{Shannon: pass} }

8. 255-support exhaustive cross-check

Hartley：

24

個 supports 出現 violation。

Shannon：

\boxed{ 0 }

個 violation。

Shannon 部分不是只靠窮舉；上一節已給一般證明。

9. Obligation Geometry 應拆成兩個 rank

Support / Hartley predictive rank

\boxed{ r_0(\mathcal O) = \log_2D_{\mathrm{eff}}(\mathcal O). }

它回答：

最多可能存在多少 predictive distinctions？

一般不保證 submodular。

Entropic predictive rank

\boxed{ r_1^\mu(\mathcal O) = H_\mu(Z_{\mathcal O}). }

它回答：

在當前 state distribution 下，平均有多少 predictive information？

它一般 submodular。

10. Distinction Economy 因而分成 worst-case 與 weighted-case

$H_0$ 偏向：

\text{worst-case support / possibility geometry}.

$H_1$ 偏向：

\text{probability-weighted average information geometry}.

所以更完整的 Distinction Economy 應該是：

\boxed{ \text{support geometry} + \text{distribution-weighted information geometry}. }

11. 這輪成功推翻了 HFMU-012 的過強版本

應把上一輪的說法修正成：

在線性、uniform、equal-coset 條件下，Hartley predictive rank 形成 integral polymatroid。

不能說：

一般 predictive quotient 的 class-count rank 都是 polymatroid。

但我們同時得到更一般的命題：

對固定 initial-state distribution，Shannon predictive quotient entropy 是 submodular。

所以這一輪的結果不是單純「失敗」。

而是：

\boxed{ \text{錯的 rank 被反例淘汰；更一般的 rank 被找出來。} }

12. 下一步

HFMU-014 應研究不同 entropy / risk regime：

H_0,\quad H_1,\quad H_\alpha,\quad H_\infty.

問題變成：

哪些 Distinction Economy 幾何保留 monotonicity、submodularity、closure 與可組合性？

這會把 Obligation Geometry 推成：

\boxed{ \text{multi-scale Obligation Information Geometry}. }