# HFMU-013｜Obligation Geometry 反例與熵修正

## 0. 目標

HFMU-012 得到：

$$
r_0(\mathcal O)
=
\log_2 |X/{\sim_{\mathcal O}}|
$$

在那個線性世界中是 submodular。

HFMU-013 專門試圖打破它。

結果：

$$
\boxed{
\text{打破了。}
}
$$

而且不需要 nonlinear dynamics。

**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**日期：** 2026-10-07（整理日期；原稿未標註日期）  
**版本：** 原稿未標註（本次整理版）  

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# 1. 五個 states 就夠

取三個 binary obligations：

$$
q_1,q_2,q_3.
$$

五個 states：

| State | $q_1$ | $q_2$ | $q_3$ |
|---:|---:|---:|---:|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 2 | 0 | 1 | 0 |
| 3 | 0 | 1 | 1 |
| 4 | 1 | 0 | 0 |

即使 dynamics 只是 identity，也有反例。

令：

$$
\mathcal A=\{q_1,q_2\},
\qquad
\mathcal B=\{q_1,q_3\}.
$$

則：

$$
D(\mathcal A)=3,
\quad
D(\mathcal B)=3,
$$

$$
D(\mathcal A\cup\mathcal B)=5,
\quad
D(\mathcal A\cap\mathcal B)=2.
$$

若 $r_0=\log_2D$，submodularity 要求：

$$
\log_2 3+\log_2 3
\ge
\log_2 5+\log_2 2,
$$

等價於：

$$
9\ge10.
$$

錯。

本例 Hartley slack：

$$
-0.152003093445050.
$$

所以：

$$
\boxed{
r_0(\mathcal O)
=
\log_2|X/{\sim_{\mathcal O}}|
}
$$

一般不是 submodular rank。

---

# 2. 這個反例非常小

我窮舉 $\{0,1\}^3$ 的全部 255 個非空 supports。

結果：

- Hartley violation supports：24；
- 24 個全部都是 support size 5；
- 在這個三-bit 靜態族中，support size 1、2、3、4、6、7、8 沒有 violation；
- Shannon violation supports：0。

因此在這個受限類別中，5 states 已是最小反例大小。

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# 3. 加入 dynamics 後，delayed distinguishability 也可以共存

加入 deterministic action：

$$
0\mapsto3,\;
1\mapsto3,\;
2\mapsto3,\;
3\mapsto3,\;
4\mapsto1.
$$

Hartley violation 仍是同一個：

$$
3\times3<5\times2.
$$

而且現在只看 $q_2$：

$$
2\text{ current classes}
\rightarrow
3\text{ predictive classes}.
$$

看 $\{q_2,q_3\}$：

$$
4\text{ current classes}
\rightarrow
5\text{ predictive classes}.
$$

所以同一五態世界同時具有：

$$
\boxed{
\text{Delayed Distinguishability}
+
\text{Hartley Submodularity Failure}.
}
$$

---

# 4. HFMU-012 為什麼沒有壞

HFMU-012 在線性 $\mathbb F_2^5$ world 中，每個 predictive quotient class 是某個子空間的 coset。

uniform state distribution 下所有 coset 等大小，所以：

$$
H(Z_{\mathcal O})
=
\log_2|X/{\sim_{\mathcal O}}|.
$$

也就是：

$$
\boxed{
\text{Shannon entropy}
=
\text{Hartley entropy}.
}
$$

所以 HFMU-012 的 cardinality polymatroid 吃到了：

$$
\boxed{
\text{linear coset + equiprobable quotient classes}.
}
$$

---

# 5. 真正壞掉的是「只數 classes」

五態反例中，像 $q_1$ 的 partition 是：

$$
4+1.
$$

Hartley rank：

$$
\log_2 2=1
$$

只知道「有兩類」。

它完全不管這兩類是：

$$
80\%/20\%
$$

而不是：

$$
50\%/50\%.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{class count}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{predictive information mass}
}
$$

必須分開。

---

# 6. Shannon predictive entropy 可以一般證明 submodular

固定 initial-state distribution $\mu$。

令 $Z_{\mathcal O}$ 為 predictive quotient class random variable。

定義：

$$
\boxed{
h_\mu(\mathcal O)
=
H(Z_{\mathcal O}).
}
$$

對任意 $\mathcal A,\mathcal B$：

$$
Z_{\mathcal A\cup\mathcal B}
\cong
(Z_{\mathcal A},Z_{\mathcal B}).
$$

而 $Z_{\mathcal A\cap\mathcal B}$ 同時是 $Z_{\mathcal A}$ 與 $Z_{\mathcal B}$ 的 deterministic common function。

因此：

$$
I(Z_{\mathcal A};Z_{\mathcal B})
\ge
H(Z_{\mathcal A\cap\mathcal B}).
$$

所以：

$$
\boxed{
h_\mu(\mathcal A)
+
h_\mu(\mathcal B)
\ge
h_\mu(\mathcal A\cup\mathcal B)
+
h_\mu(\mathcal A\cap\mathcal B).
}
$$

這不需要線性 world。

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# 7. 五態反例裡 Shannon 立即修回來

同一組 $\mathcal A,\mathcal B$，uniform distribution 下的 Shannon slack：

$$
-2.220446049250313e-16.
$$

這只是 floating-point roundoff 的 0。

所以：

$$
\boxed{
\text{Hartley: fail}
}
$$

$$
\boxed{
\text{Shannon: pass}
}
$$

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# 8. 255-support exhaustive cross-check

Hartley：

$$
24
$$

個 supports 出現 violation。

Shannon：

$$
\boxed{
0
}
$$

個 violation。

Shannon 部分不是只靠窮舉；上一節已給一般證明。

---

# 9. Obligation Geometry 應拆成兩個 rank

### Support / Hartley predictive rank

$$
\boxed{
r_0(\mathcal O)
=
\log_2D_{\mathrm{eff}}(\mathcal O).
}
$$

它回答：

> 最多可能存在多少 predictive distinctions？

一般不保證 submodular。

### Entropic predictive rank

$$
\boxed{
r_1^\mu(\mathcal O)
=
H_\mu(Z_{\mathcal O}).
}
$$

它回答：

> 在當前 state distribution 下，平均有多少 predictive information？

它一般 submodular。

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# 10. Distinction Economy 因而分成 worst-case 與 weighted-case

 $H_0$ 偏向：

$$
\text{worst-case support / possibility geometry}.
$$

 $H_1$ 偏向：

$$
\text{probability-weighted average information geometry}.
$$

所以更完整的 Distinction Economy 應該是：

$$
\boxed{
\text{support geometry}
+
\text{distribution-weighted information geometry}.
}
$$

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# 11. 這輪成功推翻了 HFMU-012 的過強版本

應把上一輪的說法修正成：

> 在線性、uniform、equal-coset 條件下，Hartley predictive rank 形成 integral polymatroid。

不能說：

> 一般 predictive quotient 的 class-count rank 都是 polymatroid。

但我們同時得到更一般的命題：

> 對固定 initial-state distribution，Shannon predictive quotient entropy 是 submodular。

所以這一輪的結果不是單純「失敗」。

而是：

$$
\boxed{
\text{錯的 rank 被反例淘汰；更一般的 rank 被找出來。}
}
$$

---

# 12. 下一步

HFMU-014 應研究不同 entropy / risk regime：

$$
H_0,\quad H_1,\quad H_\alpha,\quad H_\infty.
$$

問題變成：

> 哪些 Distinction Economy 幾何保留 monotonicity、submodularity、closure 與可組合性？

這會把 Obligation Geometry 推成：

$$
\boxed{
\text{multi-scale Obligation Information Geometry}.
}
$$