SDRPC-PRIME-001 Validation Phase I — Round 17

Source-Residual Lower-Bound Search

日期： 2026-09-23

作者： Neo.K
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司
版本： 原稿未標註（本次整理版）

1. 這輪從 Experiment 升成 Class-Level Theorem

Round 16 得到：固定 quotient/readout 類 source 即使產生很多漂亮 features，也可能只是 Q0 的重編碼。

Round 17 直接問：

如果整個 source class 都限制在有限個 fixed-period probes，是否原理上就不可能全域決定 primality？

答案是：可以直接構造通用 contradictory pair。

2. Theorem T17.1 — Finite Fixed-Period Probe Insufficiency

令：

P1,...,Pk

是作用在 n>1 的有限個 probes，而且每個 Pi 都有固定正週期 Ti：

Pi(n+Ti)=Pi(n)

令：

L = lcm(T1,...,Tk).

任取 prime：

p.

構造：

q = p(1+L).

則 q 顯然 composite，而且：

q - p = pL.

所以對每個 Ti：

q ≡ p (mod Ti).

由 periodicity：

Pi(q)=Pi(p)

對所有 i 都成立。

因此 joint probe state 在 prime p 與 composite q 上完全相同。

所以：

任何有限 fixed-period probe family
都不可能 globally task-sufficient for primality.

3. 這不是有限實驗結論

這次和前面 rounds 不同。

核心 insufficiency 不再依賴：

• 掃描到多少；
• 找到幾個 pseudoprime；
• 某個 empirical contradictory mass。

而是由通用 witness construction 直接成立。

而且因為 prime 有無限多個，可以產生無限多組：

(prime p, composite p(1+L))

contradictory pairs。

4. 計算重播

驗證包中的 verifier.py 會重新確認：

• p 為 prime；
• q=p(1+L)；
• q composite；
• q-p 為 L 的倍數；
• 所有 registered periods 下 p 與 q residue 相同。

5. Corollary：有限 Fixed Quotients 全部一起也不夠

若 probes 只依賴：

n mod m1, ..., n mod mk

那 joint state 本質上只需要共同週期：

L=lcm(m1,...,mk).

所以無論是：

• mod 6；
• mod 30；
• mod 210；
• CRT tuples；
• wheel signatures；
• gcd(n±c,M) 這類 deterministic residue readouts；

只要是有限 fixed quotient information，全部落在 T17.1。

6. 更廣的 Corollary：固定長度 Digit Suffix 也不夠

base b 的最後 k 位數其實就是：

n mod b^k.

因此任何有限組 fixed-length suffix / ending-pattern features，也屬 fixed-period probes。

它們不可能全域決定 primality。

7. Source Residual 第一次得到 Class-Level Lower Bound

Round 16 定義：

R_source(Q | G)

Round 17 對：

G = finite Q0 fixed-period source families

已經不只是 finite residual。

我們現在可以說：

R_source(primality | finite-Q0) > 0
globally.

這裡 >0 的意思是至少存在 contradictory fiber / pair，因此不可能達成 global task sufficiency。

8. 這真正回答了『mod X 本身是問題』

早先我們問：

為什麼是 mod 6？換 mod X 呢？一直加更多 mod 呢？

現在答案更強：

問題不是 6 選得不好。
問題是只要你永遠停留在有限 fixed-period quotient information，
就存在通用 prime/composite collision construction。

所以：

mod 6 -> mod 30 -> mod 210 -> ...

若最後仍只停在某個有限固定集合，全域 primality 的 Source Residual 一定不會消失。

9. 這也替 Wheel Refinement 找到真正極限

Wheel refinement 當然可以：

• 壓縮 candidate density；
• 排除越來越多 small-factor composites；
• 當 routing layer 很有價值。

但只要 wheel depth 固定：

finite wheel != global primality state.

Round 01 的 empirical observation 到這一輪終於有一個 class-level closure。

10. Theorem Boundary

• Q1 valuations：not covered — Exact v_p(n±1) is not a fixed-period probe over all integers.
• n-dependent modulus / self-modular probes：not covered — The modulus varies with n; no fixed common period is assumed.
• Fermat/Euler/SPRP：not covered — These are self-modular algebraic/algorithmic probes, not fixed-period readouts.
• factorization-derived probes：not covered — Not periodic fixed-quotient information.
• infinite family of growing moduli：not covered — The theorem is for a finite family with a finite common period.

尤其重要的是：T17.1 沒有證明：

• valuation source 不夠；
• 所有 growing-modulus schemes 不夠；
• Fermat/Euler/SPRP 不夠；
• 所有有限-state computation 不夠；
• 所有 possible probes 不夠。

它只精確封住：

finite fixed-period information source

這條線。

11. 算子本體論角度

固定 quotient probe 的 operator source 其實具有一個共同特性：

translation by L is observationally invisible.

也就是存在非零 translation：

n -> n+L

不改變整個 source family 的 observable state。

但 primality 不對這個 translation invariant。

因此 class-level insufficiency 也可以重新寫成：

probe-source symmetry
does not match
target-predicate symmetry.

這是非常接算子本體論的一個版本。

12. 一個更一般的研究模板

Round 17 提供的不只是 prime theorem。

對一般 task predicate Q，可以問：

source grammar G has which invariance group / semigroup?
Q has the same invariance?

如果 source 對某 transformation 完全不敏感，但 Q 會改變，

那就能直接構造：

source-class insufficiency witness.

這可能是 SDRPC 比單純 feature search 更有普適價值的地方。

13. 下一輪

Round 18 最值得做：

Source-Symmetry Mismatch Principle

把這次 fixed-period theorem 抽象化：

If all probes are invariant under transformation T,
but target predicate Q is not invariant under T,
then the probe family cannot be task-sufficient for Q.

然後測：

• quotient translation symmetry；
• rank/reindex symmetry；
• projection fibers；
• operator-transport symmetry。

如果這條能閉合，我們就會得到一個比 prime 更一般的 SDRPC insufficiency theorem schema。

14. Round 17 結論

finite fixed-period probes are globally insufficient for primality;
the obstruction is class-level, not modulus-specific;
adding finitely many fixed quotients cannot remove the global source residual;
the witness follows from a symmetry mismatch between periodic probes and primality.

這是目前 SDRPC prime validation 線第一次真正把 finite experimental residual 推成全域 source-class impossibility result。

Round 17: COMPLETE
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