# SDRPC-PRIME-001 Validation Phase I — Round 17
## Source-Residual Lower-Bound Search

**日期：** 2026-09-23

**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**版本：** 原稿未標註（本次整理版）  

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## 1. 這輪從 Experiment 升成 Class-Level Theorem

Round 16 得到：固定 quotient/readout 類 source 即使產生很多漂亮 features，也可能只是 Q0 的重編碼。

Round 17 直接問：

> 如果整個 source class 都限制在有限個 fixed-period probes，是否原理上就不可能全域決定 primality？

答案是：可以直接構造通用 contradictory pair。

## 2. Theorem T17.1 — Finite Fixed-Period Probe Insufficiency

令：

```text
P1,...,Pk
```

是作用在 `n>1` 的有限個 probes，而且每個 `Pi` 都有固定正週期 `Ti`：

```text
Pi(n+Ti)=Pi(n)
```

令：

```text
L = lcm(T1,...,Tk).
```

任取 prime：

```text
p.
```

構造：

```text
q = p(1+L).
```

則 `q` 顯然 composite，而且：

```text
q - p = pL.
```

所以對每個 `Ti`：

```text
q ≡ p (mod Ti).
```

由 periodicity：

```text
Pi(q)=Pi(p)
```

對所有 `i` 都成立。

因此 joint probe state 在 prime `p` 與 composite `q` 上完全相同。

所以：

```text
任何有限 fixed-period probe family
都不可能 globally task-sufficient for primality.
```

## 3. 這不是有限實驗結論

這次和前面 rounds 不同。

核心 insufficiency 不再依賴：

- 掃描到多少；
- 找到幾個 pseudoprime；
- 某個 empirical contradictory mass。

而是由通用 witness construction 直接成立。

而且因為 prime 有無限多個，可以產生無限多組：

```text
(prime p, composite p(1+L))
```

contradictory pairs。

## 4. 計算重播

| Family | Periods | LCM L | Example prime p | Composite q=p(1+L) | Same state? |
|---|---|---:|---:|---:|---|
| M6 | `6` | 6 | 2 | 14 | True |
| M30 | `30` | 30 | 2 | 62 | True |
| M210 | `210` | 210 | 2 | 422 | True |
| JOINT_6_10_14 | `6;10;14` | 210 | 2 | 422 | True |
| CRT_8_3_5_7 | `8;3;5;7` | 840 | 2 | 1682 | True |
| LAST_DIGITS_BASE10_K3 | `1000` | 1000 | 2 | 2002 | True |
| MIXED_PERIODIC | `12;25;49` | 14700 | 2 | 29402 | True |

驗證包中的 `verifier.py` 會重新確認：

- `p` 為 prime；
- `q=p(1+L)`；
- `q` composite；
- `q-p` 為 `L` 的倍數；
- 所有 registered periods 下 `p` 與 `q` residue 相同。

## 5. Corollary：有限 Fixed Quotients 全部一起也不夠

若 probes 只依賴：

```text
n mod m1, ..., n mod mk
```

那 joint state 本質上只需要共同週期：

```text
L=lcm(m1,...,mk).
```

所以無論是：

- mod 6；
- mod 30；
- mod 210；
- CRT tuples；
- wheel signatures；
- `gcd(n±c,M)` 這類 deterministic residue readouts；

只要是**有限 fixed quotient information**，全部落在 T17.1。

## 6. 更廣的 Corollary：固定長度 Digit Suffix 也不夠

base `b` 的最後 `k` 位數其實就是：

```text
n mod b^k.
```

因此任何有限組 fixed-length suffix / ending-pattern features，也屬 fixed-period probes。

它們不可能全域決定 primality。

## 7. Source Residual 第一次得到 Class-Level Lower Bound

Round 16 定義：

```text
R_source(Q | G)
```

Round 17 對：

```text
G = finite Q0 fixed-period source families
```

已經不只是 finite residual。

我們現在可以說：

```text
R_source(primality | finite-Q0) > 0
globally.
```

這裡 `>0` 的意思是至少存在 contradictory fiber / pair，因此不可能達成 global task sufficiency。

## 8. 這真正回答了『mod X 本身是問題』

早先我們問：

> 為什麼是 mod 6？換 mod X 呢？一直加更多 mod 呢？

現在答案更強：

```text
問題不是 6 選得不好。
問題是只要你永遠停留在有限 fixed-period quotient information，
就存在通用 prime/composite collision construction。
```

所以：

```text
mod 6 -> mod 30 -> mod 210 -> ...
```

若最後仍只停在**某個有限固定集合**，全域 primality 的 Source Residual 一定不會消失。

## 9. 這也替 Wheel Refinement 找到真正極限

Wheel refinement 當然可以：

- 壓縮 candidate density；
- 排除越來越多 small-factor composites；
- 當 routing layer 很有價值。

但只要 wheel depth 固定：

```text
finite wheel != global primality state.
```

Round 01 的 empirical observation 到這一輪終於有一個 class-level closure。

## 10. Theorem Boundary

- `Q1 valuations`：**not covered** — Exact v_p(n±1) is not a fixed-period probe over all integers.
- `n-dependent modulus / self-modular probes`：**not covered** — The modulus varies with n; no fixed common period is assumed.
- `Fermat/Euler/SPRP`：**not covered** — These are self-modular algebraic/algorithmic probes, not fixed-period readouts.
- `factorization-derived probes`：**not covered** — Not periodic fixed-quotient information.
- `infinite family of growing moduli`：**not covered** — The theorem is for a finite family with a finite common period.

尤其重要的是：T17.1 **沒有**證明：

- valuation source 不夠；
- 所有 growing-modulus schemes 不夠；
- Fermat/Euler/SPRP 不夠；
- 所有有限-state computation 不夠；
- 所有 possible probes 不夠。

它只精確封住：

```text
finite fixed-period information source
```

這條線。

## 11. 算子本體論角度

固定 quotient probe 的 operator source 其實具有一個共同特性：

```text
translation by L is observationally invisible.
```

也就是存在非零 translation：

```text
n -> n+L
```

不改變整個 source family 的 observable state。

但 primality 不對這個 translation invariant。

因此 class-level insufficiency 也可以重新寫成：

```text
probe-source symmetry
does not match
target-predicate symmetry.
```

這是非常接算子本體論的一個版本。

## 12. 一個更一般的研究模板

Round 17 提供的不只是 prime theorem。

對一般 task predicate `Q`，可以問：

```text
source grammar G has which invariance group / semigroup?
Q has the same invariance?
```

如果 source 對某 transformation 完全不敏感，但 `Q` 會改變，

那就能直接構造：

```text
source-class insufficiency witness.
```

這可能是 SDRPC 比單純 feature search 更有普適價值的地方。

## 13. 下一輪

Round 18 最值得做：

```text
Source-Symmetry Mismatch Principle
```

把這次 fixed-period theorem 抽象化：

```text
If all probes are invariant under transformation T,
but target predicate Q is not invariant under T,
then the probe family cannot be task-sufficient for Q.
```

然後測：

- quotient translation symmetry；
- rank/reindex symmetry；
- projection fibers；
- operator-transport symmetry。

如果這條能閉合，我們就會得到一個比 prime 更一般的 SDRPC insufficiency theorem schema。

## 14. Round 17 結論

```text
finite fixed-period probes are globally insufficient for primality;
the obstruction is class-level, not modulus-specific;
adding finitely many fixed quotients cannot remove the global source residual;
the witness follows from a symmetry mismatch between periodic probes and primality.
```

這是目前 SDRPC prime validation 線第一次真正把 finite experimental residual 推成全域 source-class impossibility result。

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```text
Round 17: COMPLETE
Next: Round 18 — Source-Symmetry Mismatch Principle
```