SDRPC-PRIME-001 Validation Phase I — Round 09
Certificate-Carrying Effective Minimal Task State
日期： 2026-09-23
Domain： odd 3 ≤ n ≤ 20,000
作者： Neo.K
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司
版本： 原稿未標註（本次整理版）
1. 本輪把 State 與 Certificate 正式拆開
probe state 只回答目前 relational probes 對 n 的觀測狀態；certificate 才回答 exact verdict 為什麼可被獨立驗證。
本輪硬規則：
MR fail -> compositeness witness
MR pass -> NOT a primality certificate
prime acceptance -> independent Pratt certificate
2. Registered States
| State | width | pass primes | pass composites | MR composite certs | factor fallbacks | Pratt prime certs | verifier failures |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| S2 | 1 | 2261 | 6 | 7732 | 6 | 2261 | 0 |
| S2_S5 | 2 | 2261 | 0 | 7738 | 0 | 2261 | 0 |
3. S2：1 bit，但有 Repair Burden
S2 只需要 1 bit，但本 domain 中有 6 個 composite state-pass。
因此這 6 個案例不能靠 probe state exact 判定，只能額外補 nontrivial-factor certificate。
其餘被 S2 拒絕的 composites 都可直接用 base-2 MR failure witness 證明 composite。
所以：
smaller probe state -> larger certificate repair burden
4. S2+S5：多 1 bit，消掉 Composite Fallback
本輪 ≤20,000 domain 中，S2+S5 有：
state-pass composites = 0
factor fallbacks = 0
所有 composite 都能被至少一個 registered MR base 直接拒絕並帶 witness。
但所有 state-pass primes 仍然附 Pratt certificate；我們沒有把 finite-domain zero-pseudoprime 結果冒充成 prime theorem。
5. Pratt Prime Certificates
- odd primes certified：
2261 - shared Pratt DAG nodes：
2262 - mean dependency closure nodes / prime：
6.031 - median closure：
6 - max closure：
10 - all stored Pratt nodes independently verified：
True
Pratt DAG 把 prime verdict 從 truth table 中抽離：只要 verifier 接受遞迴 factorization-of-(p-1) 與 witness 條件，就能獨立重驗。
6. Composite Certificates
本輪有兩類：
MR failure witness
保存 base、n-1=2^s d 與 modular squaring chain；verifier 重算即可拒絕 primality。
Nontrivial factor fallback
對 probe-state all-pass composite，保存 1<f<n 且 n mod f=0。
後者就是 state insufficiency 的 exact repair。
7. Certificate-Carrying EMTS
到這一步，EMTS 應升成：
C-EMTS = (probe_state, source_relation, certificate, verifier, scope, burden)
而不是只有 bit vector。
8. 最重要的新 Trade-off
Round 08 強調 horizon；Round 09 又多一個軸：
probe-state width <-> certificate repair burden
S2 比 S2+S5 少 1 bit，但需要 6 次 factor fallback；S2+S5 多 1 bit，卻在本 domain 把 composite fallback 降到 0。
所以：
more probe information can reduce downstream proof burden
9. Prime Acceptance 的成本仍然存在
即使 S2+S5 在 finite domain 沒有 state-pass composite，我們仍沒有 global acceptance theorem。
因此 prime acceptance 還是需要 Pratt certificate。
這指出另一個很重要的不對稱：
compositeness is often cheaply witnessable;
primality requires either a bounded theorem or a positive certificate.
10. 可序列化真正接到 Proof Evidence
驗證包包含：
certificates/pratt_nodes.json- MR composite certificate examples
- factor fallback examples
verifier.py- per-number certificate index
所以這一次『可序列化』不只是 research checkpoint，而是 replayable proof evidence。
11. 與 FELRA 的直接接口
未來 provenance node 可加入：
probe_state
certificate_type
certificate_ref
verifier_hash
scope
repair_reason
result_hash
這比普通 pass=true 明確很多。
12. 下一輪
Round 10 應做：
Total Proof Burden Optimization
比較：
- state width；
- generator cost；
- fallback frequency；
- certificate DAG size；
- verifier cost；
- bounded/global theorem dependence。
真正問題不再是『哪個 state 最小』，而是：
哪個 relational state + certificate architecture，在 exactness 不下降下使 total proof burden 最小？
13. Round 09 結論
probe state != certificate;
MR pass != prime proof;
MR fail can be a composite witness;
prime acceptance can be carried by Pratt certificates;
more state can reduce repair burden;
minimum bit count != minimum proof burden.
這一輪正式把 EMTS 從 classification state 提升成 certificate-carrying mathematical state。
Round 09: COMPLETE
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