# SDRPC-PRIME-001 Validation Phase I — Round 09
## Certificate-Carrying Effective Minimal Task State

**日期：** 2026-09-23  
**Domain：** odd `3 ≤ n ≤ 20,000`

**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**版本：** 原稿未標註（本次整理版）  

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## 1. 本輪把 State 與 Certificate 正式拆開

probe state 只回答目前 relational probes 對 n 的觀測狀態；certificate 才回答 exact verdict 為什麼可被獨立驗證。

本輪硬規則：

```text
MR fail -> compositeness witness
MR pass -> NOT a primality certificate
prime acceptance -> independent Pratt certificate
```

## 2. Registered States

| State | width | pass primes | pass composites | MR composite certs | factor fallbacks | Pratt prime certs | verifier failures |
|---|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| S2 | 1 | 2261 | 6 | 7732 | 6 | 2261 | 0 |
| S2_S5 | 2 | 2261 | 0 | 7738 | 0 | 2261 | 0 |

## 3. S2：1 bit，但有 Repair Burden

`S2` 只需要 1 bit，但本 domain 中有 **6 個 composite state-pass**。

因此這 6 個案例不能靠 probe state exact 判定，只能額外補 nontrivial-factor certificate。

其餘被 S2 拒絕的 composites 都可直接用 base-2 MR failure witness 證明 composite。

所以：

```text
smaller probe state -> larger certificate repair burden
```

## 4. S2+S5：多 1 bit，消掉 Composite Fallback

本輪 `≤20,000` domain 中，`S2+S5` 有：

```text
state-pass composites = 0
factor fallbacks = 0
```

所有 composite 都能被至少一個 registered MR base 直接拒絕並帶 witness。

但所有 state-pass primes 仍然附 Pratt certificate；我們沒有把 finite-domain zero-pseudoprime 結果冒充成 prime theorem。

## 5. Pratt Prime Certificates

- odd primes certified：`2261`
- shared Pratt DAG nodes：`2262`
- mean dependency closure nodes / prime：`6.031`
- median closure：`6`
- max closure：`10`
- all stored Pratt nodes independently verified：`True`

Pratt DAG 把 prime verdict 從 truth table 中抽離：只要 verifier 接受遞迴 factorization-of-(p-1) 與 witness 條件，就能獨立重驗。

## 6. Composite Certificates

本輪有兩類：

### MR failure witness
保存 base、`n-1=2^s d` 與 modular squaring chain；verifier 重算即可拒絕 primality。

### Nontrivial factor fallback
對 probe-state all-pass composite，保存 `1<f<n` 且 `n mod f=0`。

後者就是 state insufficiency 的 exact repair。

## 7. Certificate-Carrying EMTS

到這一步，EMTS 應升成：

```text
C-EMTS = (probe_state, source_relation, certificate, verifier, scope, burden)
```

而不是只有 bit vector。

## 8. 最重要的新 Trade-off

Round 08 強調 horizon；Round 09 又多一個軸：

```text
probe-state width <-> certificate repair burden
```

`S2` 比 `S2+S5` 少 1 bit，但需要 6 次 factor fallback；`S2+S5` 多 1 bit，卻在本 domain 把 composite fallback 降到 0。

所以：

```text
more probe information can reduce downstream proof burden
```

## 9. Prime Acceptance 的成本仍然存在

即使 `S2+S5` 在 finite domain 沒有 state-pass composite，我們仍沒有 global acceptance theorem。

因此 prime acceptance 還是需要 Pratt certificate。

這指出另一個很重要的不對稱：

```text
compositeness is often cheaply witnessable;
primality requires either a bounded theorem or a positive certificate.
```

## 10. 可序列化真正接到 Proof Evidence

驗證包包含：

- `certificates/pratt_nodes.json`
- MR composite certificate examples
- factor fallback examples
- `verifier.py`
- per-number certificate index

所以這一次『可序列化』不只是 research checkpoint，而是 replayable proof evidence。

## 11. 與 FELRA 的直接接口

未來 provenance node 可加入：

```text
probe_state
certificate_type
certificate_ref
verifier_hash
scope
repair_reason
result_hash
```

這比普通 `pass=true` 明確很多。

## 12. 下一輪

Round 10 應做：

```text
Total Proof Burden Optimization
```

比較：

- state width；
- generator cost；
- fallback frequency；
- certificate DAG size；
- verifier cost；
- bounded/global theorem dependence。

真正問題不再是『哪個 state 最小』，而是：

> 哪個 relational state + certificate architecture，在 exactness 不下降下使 total proof burden 最小？

## 13. Round 09 結論

```text
probe state != certificate;
MR pass != prime proof;
MR fail can be a composite witness;
prime acceptance can be carried by Pratt certificates;
more state can reduce repair burden;
minimum bit count != minimum proof burden.
```

這一輪正式把 EMTS 從 classification state 提升成 certificate-carrying mathematical state。

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```text
Round 09: COMPLETE
Next: Round 10 — Total Proof Burden Optimization
```