SDRPC-PRIME-001 Validation Phase I — Round 08

Effective Minimal Task State Search

日期： 2026-09-23
最大掃描範圍： odd n ≤ 1,500,000

作者： Neo.K
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司
版本： 原稿未標註（本次整理版）

1. 這一輪為什麼改做 Horizon Search

Round 07 已經證明：最小 state bits 本身沒有意義，因為 1-bit target oracle 也可以完美分類。

Round 08 再加入一個必要維度：

minimality must be indexed by horizon / certificate scope

因此本輪用同一組 relational atoms，在逐步放大的 domain 上反覆搜尋最小 sufficient subset。

2. Registered Grammar

本輪允許：

• W6, W30, W210：cheap necessary-condition filters；
• S2, S3, S5, S7：strong probable-prime relational atoms。

不允許 target oracle、factorization-derived Ω、SPF 或 prime table 作 probe。

3. Expanding-Horizon Minimality

4. First-Failure Witnesses

• S2 = S2 → first composite all-pass within scan: 2047
• S2_S3 = S2+S3 → first composite all-pass within scan: 1373653
• S2_S5 = S2+S5 → first composite all-pass within scan: None
• S2_S3_S5 = S2+S3+S5 → first composite all-pass within scan: None
• W210_S2 = W210+S2 → first composite all-pass within scan: 2047
• W210_S2_S3 = W210+S2+S3 → first composite all-pass within scan: 1373653

最重要的現象是：原本在較小 horizon sufficient 的 state，會在第一個 all-pass composite 出現時失效。

這表示：

finite minimality is horizon-relative

而不是一個無條件的全域屬性。

5. Boundary Controls

• n=2,047: prime=False, S2=True, S3=False, S5=False, S7=False
• n=1,373,653: prime=False, S2=True, S3=True, S5=False, S7=False

本輪直接算出的兩個關鍵邊界：

• S2 在 2047 失效；
• S2+S3 在 1,373,653 失效。

這與已知 bounded deterministic Miller–Rabin 基準相符；但本輪不把這些既有 witness theorem 當成 SDRPC 新結果。

6. 第一個核心結果：EMTS 必須帶 Scope

原本容易寫：

EMTS(Q)

現在更合理的是：

EMTS(Q; D, G, C)

其中：

• D = domain / horizon；
• G = allowed generator/probe grammar；
• C = certificate scope。

沒有這三個參數，『最小』沒有足夠明確的數學語義。

7. 第二個核心結果：First Failure 是 Certificate Boundary

一個 all-pass composite 不只是 ordinary counterexample。

它同時宣告：

the previous finite sufficiency certificate ends before this point

例如 S2+S3 在 1,373,653 出現 composite all-pass，意味著小於該邊界的 finite certificate 不能再裸延伸。

8. 第三個核心結果：Wheel 沒有自動縮短 EMTS

在本輪 grammar 中加入 W6/W30/W210，確實可先排除大量 composite，但沒有神奇地把最小 sufficient relational state 壓到比純 MR atoms 更小。

因此再次確認：

candidate compression != exact task-state compression

9. Horizon-dependent State Transition

本輪可以把最小 state 的演化看成：

small horizon: 1 relational atom may suffice
larger horizon: first pseudoprime breaks it
then 2-atom state becomes necessary
larger horizon again: a new joint pseudoprime breaks that pair
...

這不是 prime sequence 本身的表示，而是：

certificate scope -> relational state complexity

的序列。

10. EMTS 應該成為可序列化物件

最低結構建議改成：

emts:
  task:
  domain:
  atoms:
  source_relation:
  generator:
  state_bits:
  verifier:
  certified_horizon:
  first_known_failure:
  oracle_dependency:
  factorization_dependency:
  burden:

也就是 EMTS 本身不是一個裸 bit vector，而是一個帶 validity semantics 的可序列化證書狀態。

11. 對 MinDep 的進一步拆分

MinDep(Q_prime) 現在至少應拆成：

Definitional MinDep
Computational MinDep
Certificate MinDep
Task-State MinDep

同一個 prime predicate 在這四層的最小依賴不一定相同。

12. SDRPC 在這輪真正新增的是什麼

不是 Miller–Rabin witness bound。

真正新增的是研究組織方式：

probe atoms
-> finite sufficient state
-> first failure witness
-> validity horizon
-> state escalation
-> serialized certificate scope

這使『有限範圍內夠用』不再被模糊寫成『看起來應該夠用』。

13. 下一輪

Round 09 進入：

Certificate-Carrying EMTS

不只要求 state 給 pass/fail，而要求：

• composite rejection 帶 witness；
• prime acceptance 帶 bounded theorem / certificate scope；
• verifier 可獨立重播；
• state 的 validity boundary 顯式保存。

這會把 probe state 真正提升成 certified relational state。

14. Round 08 結論

minimal task state is horizon-relative;
first counterexample defines a certificate boundary;
cheap candidate filters do not automatically reduce exact task-state complexity;
EMTS must include state + generator + relation + scope + verifier + burden.

這一輪把『最小』從 bit-count 問題改成了 bounded mathematical object。

Round 08: COMPLETE
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