# SDRPC-PRIME-001 Validation Phase I — Round 08
## Effective Minimal Task State Search

**日期：** 2026-09-23  
**最大掃描範圍：** odd `n ≤ 1,500,000`

**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**版本：** 原稿未標註（本次整理版）  

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## 1. 這一輪為什麼改做 Horizon Search

Round 07 已經證明：最小 state bits 本身沒有意義，因為 1-bit target oracle 也可以完美分類。

Round 08 再加入一個必要維度：

```text
minimality must be indexed by horizon / certificate scope
```

因此本輪用同一組 relational atoms，在逐步放大的 domain 上反覆搜尋最小 sufficient subset。

## 2. Registered Grammar

本輪允許：

- `W6`, `W30`, `W210`：cheap necessary-condition filters；
- `S2`, `S3`, `S5`, `S7`：strong probable-prime relational atoms。

不允許 target oracle、factorization-derived Ω、SPF 或 prime table 作 probe。

## 3. Expanding-Horizon Minimality

| Horizon | Odd n tested | MR-only minimal | All-registered minimal |
|---:|---:|---|---|
| 2,046 | 1,022 | S2 (bits≥1, states=2) | S2 (bits≥1, states=2) |
| 2,047 | 1,023 | S2+S3 (bits≥2, states=4); S2+S5 (bits≥2, states=4); S2+S7 (bits≥2, states=4); S3+S5 (bits≥2, states=4); S5+S7 (bits≥2, states=4) | S2+S3 (bits≥2, states=4); S2+S5 (bits≥2, states=4); S2+S7 (bits≥2, states=4); S3+S5 (bits≥2, states=4); S5+S7 (bits≥2, states=4) |
| 100,000 | 49,999 | S2+S3 (bits≥2, states=4); S2+S5 (bits≥2, states=4); S2+S7 (bits≥2, states=4); S3+S5 (bits≥2, states=4) | S2+S3 (bits≥2, states=4); S2+S5 (bits≥2, states=4); S2+S7 (bits≥2, states=4); S3+S5 (bits≥2, states=4) |
| 1,373,652 | 686,825 | S2+S3 (bits≥2, states=4); S2+S5 (bits≥2, states=4) | S2+S3 (bits≥2, states=4); S2+S5 (bits≥2, states=4) |
| 1,373,653 | 686,826 | S2+S5 (bits≥2, states=4) | S2+S5 (bits≥2, states=4) |
| 1,500,000 | 749,999 | S2+S5 (bits≥2, states=4) | S2+S5 (bits≥2, states=4) |

## 4. First-Failure Witnesses

- `S2` = `S2` → first composite all-pass within scan: `2047`
- `S2_S3` = `S2+S3` → first composite all-pass within scan: `1373653`
- `S2_S5` = `S2+S5` → first composite all-pass within scan: `None`
- `S2_S3_S5` = `S2+S3+S5` → first composite all-pass within scan: `None`
- `W210_S2` = `W210+S2` → first composite all-pass within scan: `2047`
- `W210_S2_S3` = `W210+S2+S3` → first composite all-pass within scan: `1373653`

最重要的現象是：原本在較小 horizon sufficient 的 state，會在第一個 all-pass composite 出現時失效。

這表示：

```text
finite minimality is horizon-relative
```

而不是一個無條件的全域屬性。

## 5. Boundary Controls

- `n=2,047`: prime=False, S2=True, S3=False, S5=False, S7=False
- `n=1,373,653`: prime=False, S2=True, S3=True, S5=False, S7=False

本輪直接算出的兩個關鍵邊界：

- `S2` 在 2047 失效；
- `S2+S3` 在 1,373,653 失效。

這與已知 bounded deterministic Miller–Rabin 基準相符；但本輪不把這些既有 witness theorem 當成 SDRPC 新結果。

## 6. 第一個核心結果：EMTS 必須帶 Scope

原本容易寫：

```text
EMTS(Q)
```

現在更合理的是：

```text
EMTS(Q; D, G, C)
```

其中：

- `D` = domain / horizon；
- `G` = allowed generator/probe grammar；
- `C` = certificate scope。

沒有這三個參數，『最小』沒有足夠明確的數學語義。

## 7. 第二個核心結果：First Failure 是 Certificate Boundary

一個 all-pass composite 不只是 ordinary counterexample。

它同時宣告：

```text
the previous finite sufficiency certificate ends before this point
```

例如 `S2+S3` 在 1,373,653 出現 composite all-pass，意味著小於該邊界的 finite certificate 不能再裸延伸。

## 8. 第三個核心結果：Wheel 沒有自動縮短 EMTS

在本輪 grammar 中加入 `W6/W30/W210`，確實可先排除大量 composite，但沒有神奇地把最小 sufficient relational state 壓到比純 MR atoms 更小。

因此再次確認：

```text
candidate compression != exact task-state compression
```

## 9. Horizon-dependent State Transition

本輪可以把最小 state 的演化看成：

```text
small horizon: 1 relational atom may suffice
larger horizon: first pseudoprime breaks it
then 2-atom state becomes necessary
larger horizon again: a new joint pseudoprime breaks that pair
...
```

這不是 prime sequence 本身的表示，而是：

```text
certificate scope -> relational state complexity
```

的序列。

## 10. EMTS 應該成為可序列化物件

最低結構建議改成：

```yaml
emts:
  task:
  domain:
  atoms:
  source_relation:
  generator:
  state_bits:
  verifier:
  certified_horizon:
  first_known_failure:
  oracle_dependency:
  factorization_dependency:
  burden:
```

也就是 EMTS 本身不是一個裸 bit vector，而是一個帶 validity semantics 的可序列化證書狀態。

## 11. 對 MinDep 的進一步拆分

`MinDep(Q_prime)` 現在至少應拆成：

```text
Definitional MinDep
Computational MinDep
Certificate MinDep
Task-State MinDep
```

同一個 prime predicate 在這四層的最小依賴不一定相同。

## 12. SDRPC 在這輪真正新增的是什麼

不是 Miller–Rabin witness bound。

真正新增的是研究組織方式：

```text
probe atoms
-> finite sufficient state
-> first failure witness
-> validity horizon
-> state escalation
-> serialized certificate scope
```

這使『有限範圍內夠用』不再被模糊寫成『看起來應該夠用』。

## 13. 下一輪

Round 09 進入：

```text
Certificate-Carrying EMTS
```

不只要求 state 給 pass/fail，而要求：

- composite rejection 帶 witness；
- prime acceptance 帶 bounded theorem / certificate scope；
- verifier 可獨立重播；
- state 的 validity boundary 顯式保存。

這會把 probe state 真正提升成 certified relational state。

## 14. Round 08 結論

```text
minimal task state is horizon-relative;
first counterexample defines a certificate boundary;
cheap candidate filters do not automatically reduce exact task-state complexity;
EMTS must include state + generator + relation + scope + verifier + burden.
```

這一輪把『最小』從 bit-count 問題改成了 bounded mathematical object。

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```text
Round 08: COMPLETE
Next: Round 09 — Certificate-Carrying EMTS
```