SDRPC-PRIME-001 Validation Phase I — Round 07 (Corrected)

Prime Ontology Compression vs Probe Compression

日期： 2026-09-23
Finite domain： 31 ≤ n ≤ 200,000

修正說明： 初版 Round 07 把 SPF_value 誤稱為 exact task state。Ablation 後可見，同一最小質因子值可同時對應 prime 與 composite；真正 task-sufficient 的是 relational state SPF(n) == n。本版已修正所有分類。

作者： Neo.K
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司
版本： 原稿未標註（本次整理版）

1. 本輪核心

要分開：state compression、task compression、computational/proof compression。

2. State Table

State	bits≥	CF states	CF mass	finite sufficient	exact scope	upstream
W210_bit	1	1	22.85743%	False	necessary_condition_only	gcd/mod small-prime exclusion
Q210_residue	8	48	22.85743%	False	representation_only	mod 210
FERMAT235_bits	3	1	8.99685%	False	heuristic/insufficient_on_domain	3 modular exponentiations
SPRP23_bits	2	0	0.00000%	True	finite_domain_task_sufficient_only	2 strong probable-prime tests
Omega_count	5	0	0.00000%	True	globally_exact_for_n_gt_1	full prime-factor multiplicity / factorization-dependent
SPF_value	15	76	6.84853%	False	not_task_sufficient_as_standalone_state	smallest-prime-factor discovery / sieve-or-search dependent
SPF_eq_n_bit	1	0	0.00000%	True	globally_exact_for_n_gt_1	SPF discovery plus relation-to-input comparison
Prime_label_bit	1	0	0.00000%	True	globally_exact_output_definition_but_truth-derived	target label itself; forbidden as discovery probe
Full_factor_multiset	18	0	0.00000%	True	globally_exact_factor_ontology	complete factorization

3. 新發現：Operator Output 不等於 Task State

SPF_value 本身有 contradictory fibers。例：一個 prime p 與某個以 p 為最小質因子的 composite 可以共享相同 SPF value。

所以單獨保存：

SPF(n)

不足以決定 primality。

真正 exact 的 relational state 是：

SPF(n) == n ?

這只需要 1 bit，但前提是 upstream 已經取得 SPF 並保留它與原輸入 n 的關係。

這是非常重要的 SDRPC 校準：

operator output != task-relevant relation

也是算子本體論和探針演算之間的一個新接口。

4. 1-bit Anti-example

Prime_label_bit 當然也是 1 bit 且完美 sufficient，但它就是 target oracle。

所以：

minimum output state != minimum discoverable state

5. Ω(n)

Ω(n)=1 iff n is prime，所以 Ω 是很小的 exact task state；但取得 Ω 通常需要完整 factor multiplicity。

因此它是 task compression，不自動是 computational compression。

6. SPF_eq_n

SPF(n)==n 是另一種 exact task state。

它比 raw SPF value 更小、更 task-oriented，但 upstream 仍需要 factor-search / sieve machinery。

所以：

relational compression can be exact
while upstream discovery remains expensive

7. Wheel / Quotient

W210_bit 很小、很便宜，但 insufficient。

Q210_residue 狀態更多，仍 insufficient。

因此：

more state != more task sufficiency

8. SPRP23

本有限域中 SPRP23_bits 仍為 task-sufficient 且只有 2 bits state lower bound；upstream 是 modular arithmetic，而不是 factorization ontology。

這使它成為本輪 registered states 中最重要的『中間態』控制。

但只限 finite-domain statement。

9. Cost Proxies

wheel210 small tests: 4
trial decision avg tests: 11.290
trial decision prime avg: 71.719
trial factorization avg tests: 26.026
SPRP23 modular-multiplication proxy: 24.658

只作 relative burden proxy，不當正式 complexity theorem。

10. Compression Taxonomy

Necessary-condition compression

W210。

Representation compression

Q210。

Finite-domain task compression

SPRP23。

Exact task compression with expensive upstream

Ω(n)、SPF(n)==n。

Raw operator output without enough relation

SPF_value。

Perfect-output anti-example

Prime_label_bit。

Full ontology

Full_factor_multiset。

11. Pareto-style Frontier

W210_bit: bits≥1, burden_rank=1, exactness_rank=0
SPRP23_bits: bits≥2, burden_rank=2, exactness_rank=1
SPF_eq_n_bit: bits≥1, burden_rank=3, exactness_rank=2

這只是本輪人工 axes 的 frontier，不是客觀數學排名。

12. 對 MinSer 的關鍵修正

原本：

MinSer_Q = smallest sufficient state

還不夠。

現在更準確應該是：

Effective Minimal Task State (EMTS)

需要同時保留：

state size；
task sufficiency；
relation to source object；
upstream generator dependency；
computation burden；
certificate burden。

SPF 這個修正案例證明：relation 本身也可能是不可刪的狀態。

13. 下一輪

Round 08 應搜尋 EMTS，而不是單純更小 bit count。

真正的問題是：

在不使用 target oracle、又不先取得完整 factor ontology 的條件下，能有效生成且足以決定 primality 的最小 relational state 是什麼？

14. Round 07 結論

small state != cheap computation
operator output != task-relevant relation
task compression != ontology compression
exactness != novelty

SDRPC 現在真正開始做的是：

auditing where information, relations, and computational burden were moved.

Round 07: COMPLETE (corrected)
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