# SDRPC-PRIME-001 Validation Phase I — Round 07 (Corrected)
## Prime Ontology Compression vs Probe Compression

**日期：** 2026-09-23  
**Finite domain：** `31 ≤ n ≤ 200,000`

> **修正說明：** 初版 Round 07 把 `SPF_value` 誤稱為 exact task state。Ablation 後可見，同一最小質因子值可同時對應 prime 與 composite；真正 task-sufficient 的是 relational state `SPF(n) == n`。本版已修正所有分類。

**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**版本：** 原稿未標註（本次整理版）  

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## 1. 本輪核心

要分開：state compression、task compression、computational/proof compression。

## 2. State Table

| State | bits≥ | CF states | CF mass | finite sufficient | exact scope | upstream |
|---|---:|---:|---:|---|---|---|
| W210_bit | 1 | 1 | 22.85743% | False | necessary_condition_only | gcd/mod small-prime exclusion |
| Q210_residue | 8 | 48 | 22.85743% | False | representation_only | mod 210 |
| FERMAT235_bits | 3 | 1 | 8.99685% | False | heuristic/insufficient_on_domain | 3 modular exponentiations |
| SPRP23_bits | 2 | 0 | 0.00000% | True | finite_domain_task_sufficient_only | 2 strong probable-prime tests |
| Omega_count | 5 | 0 | 0.00000% | True | globally_exact_for_n_gt_1 | full prime-factor multiplicity / factorization-dependent |
| SPF_value | 15 | 76 | 6.84853% | False | not_task_sufficient_as_standalone_state | smallest-prime-factor discovery / sieve-or-search dependent |
| SPF_eq_n_bit | 1 | 0 | 0.00000% | True | globally_exact_for_n_gt_1 | SPF discovery plus relation-to-input comparison |
| Prime_label_bit | 1 | 0 | 0.00000% | True | globally_exact_output_definition_but_truth-derived | target label itself; forbidden as discovery probe |
| Full_factor_multiset | 18 | 0 | 0.00000% | True | globally_exact_factor_ontology | complete factorization |

## 3. 新發現：Operator Output 不等於 Task State

`SPF_value` 本身有 contradictory fibers。例：一個 prime `p` 與某個以 `p` 為最小質因子的 composite 可以共享相同 SPF value。

所以單獨保存：

```text
SPF(n)
```

不足以決定 primality。

真正 exact 的 relational state 是：

```text
SPF(n) == n ?
```

這只需要 1 bit，但前提是 upstream 已經取得 SPF 並保留它與原輸入 `n` 的關係。

這是非常重要的 SDRPC 校準：

```text
operator output != task-relevant relation
```

也是算子本體論和探針演算之間的一個新接口。

## 4. 1-bit Anti-example

`Prime_label_bit` 當然也是 1 bit 且完美 sufficient，但它就是 target oracle。

所以：

```text
minimum output state != minimum discoverable state
```

## 5. Ω(n)

`Ω(n)=1 iff n is prime`，所以 Ω 是很小的 exact task state；但取得 Ω 通常需要完整 factor multiplicity。

因此它是 task compression，不自動是 computational compression。

## 6. SPF_eq_n

`SPF(n)==n` 是另一種 exact task state。

它比 raw SPF value 更小、更 task-oriented，但 upstream 仍需要 factor-search / sieve machinery。

所以：

```text
relational compression can be exact
while upstream discovery remains expensive
```

## 7. Wheel / Quotient

`W210_bit` 很小、很便宜，但 insufficient。

`Q210_residue` 狀態更多，仍 insufficient。

因此：

```text
more state != more task sufficiency
```

## 8. SPRP23

本有限域中 `SPRP23_bits` 仍為 task-sufficient 且只有 2 bits state lower bound；upstream 是 modular arithmetic，而不是 factorization ontology。

這使它成為本輪 registered states 中最重要的『中間態』控制。

但只限 finite-domain statement。

## 9. Cost Proxies

- wheel210 small tests: `4`
- trial decision avg tests: `11.290`
- trial decision prime avg: `71.719`
- trial factorization avg tests: `26.026`
- SPRP23 modular-multiplication proxy: `24.658`

只作 relative burden proxy，不當正式 complexity theorem。

## 10. Compression Taxonomy

### Necessary-condition compression
`W210`。

### Representation compression
`Q210`。

### Finite-domain task compression
`SPRP23`。

### Exact task compression with expensive upstream
`Ω(n)`、`SPF(n)==n`。

### Raw operator output without enough relation
`SPF_value`。

### Perfect-output anti-example
`Prime_label_bit`。

### Full ontology
`Full_factor_multiset`。

## 11. Pareto-style Frontier

- `W210_bit`: bits≥1, burden_rank=1, exactness_rank=0
- `SPRP23_bits`: bits≥2, burden_rank=2, exactness_rank=1
- `SPF_eq_n_bit`: bits≥1, burden_rank=3, exactness_rank=2

這只是本輪人工 axes 的 frontier，不是客觀數學排名。

## 12. 對 MinSer 的關鍵修正

原本：

```text
MinSer_Q = smallest sufficient state
```

還不夠。

現在更準確應該是：

```text
Effective Minimal Task State (EMTS)
```

需要同時保留：

- state size；
- task sufficiency；
- relation to source object；
- upstream generator dependency；
- computation burden；
- certificate burden。

SPF 這個修正案例證明：**relation 本身也可能是不可刪的狀態。**

## 13. 下一輪

Round 08 應搜尋 EMTS，而不是單純更小 bit count。

真正的問題是：

> 在不使用 target oracle、又不先取得完整 factor ontology 的條件下，能有效生成且足以決定 primality 的最小 relational state 是什麼？

## 14. Round 07 結論

```text
small state != cheap computation
operator output != task-relevant relation
task compression != ontology compression
exactness != novelty
```

SDRPC 現在真正開始做的是：

```text
auditing where information, relations, and computational burden were moved.
```

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```text
Round 07: COMPLETE (corrected)
Next: Round 08 — Effective Minimal Task State Search
```