SDRPC-PRIME-001 Validation Phase I — Round 05

Cross-Representation Invariant Extraction / Operator-Ontology Audit

日期： 2026-09-23
Finite integer domain： 2 ≤ n ≤ 200,000

作者： Neo.K
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司
版本： 原稿未標註（本次整理版）

1. 本輪轉向

Round 04 顯示：prime 在 structure-preserving transport 下保持，但 operation semantics 真正改變時會改變。

Round 05 不再問『哪個表示看起來像 prime』，而直接抽取跨表示 canonical core：

multiplicative irreducibility relative to (⊗, unit, factorization relation)

這正是算子本體論版本的 prime core：predicate 不是黏在符號上，而是黏在運算／關係結構上。

2. Canonical Operator-Relative Core

候選核心：

x is non-unit, and every factorization x = a ⊗ b has a unit factor

也就是乘法結構中的 irreducibility / primality core（在正整數這類熟悉結構中兩者對應良好）。

本輪不宣稱發明了 irreducibility；要測的是：它是否能作為 SDRPC 的 cross-representation canonical layer。

3. Domain 結果

* divisor-closure audit 在每個 domain 的 n ≤ 50,000 截面上檢查，最多保存 20 個 violation。

4. 第一個重要結果：Divisor-Closed Multiplicative Subdomains 保持 Prime Core

在：

• Odd
• C6
• C30
• C210

這些 subdomains 中，本輪沒有觀察到 ordinary primality 與 domain-relative multiplicative irreducibility 的差異。

原因結構很清楚：如果 n 在這些 domain 中，n 的任何正因數也仍在同一 domain；也就是它們對整除具有 divisor-closure。

因此 ordinary composite 不會因為『因子被域刪掉』而偽裝成 irreducible。

這給出一個比『odd domain 看起來還能用 prime』更強的 canonical condition：

multiplicative closure + divisor closure

使 prime/irreducible restriction 能乾淨存活。

5. Negative Control：R1mod6

R1mod6 = { n > 0 : n ≡ 1 (mod 6) } 對乘法是封閉的，但不是 divisor-closed。

所以 ordinary composite 可以在這個 submonoid 中變成 irreducible。

本輪前幾個 disagreement：

[
  {
    "n": 25,
    "ordinary_prime": false,
    "domain_irreducible": true,
    "factorization": {
      "5": 2
    }
  },
  {
    "n": 55,
    "ordinary_prime": false,
    "domain_irreducible": true,
    "factorization": {
      "5": 1,
      "11": 1
    }
  },
  {
    "n": 85,
    "ordinary_prime": false,
    "domain_irreducible": true,
    "factorization": {
      "5": 1,
      "17": 1
    }
  },
  {
    "n": 115,
    "ordinary_prime": false,
    "domain_irreducible": true,
    "factorization": {
      "5": 1,
      "23": 1
    }
  },
  {
    "n": 121,
    "ordinary_prime": false,
    "domain_irreducible": true,
    "factorization": {
      "11": 2
    }
  },
  {
    "n": 145,
    "ordinary_prime": false,
    "domain_irreducible": true,
    "factorization": {
      "5": 1,
      "29": 1
    }
  },
  {
    "n": 187,
    "ordinary_prime": false,
    "domain_irreducible": true,
    "factorization": {
      "11": 1,
      "17": 1
    }
  },
  {
    "n": 205,
    "ordinary_prime": false,
    "domain_irreducible": true,
    "factorization": {
      "5": 1,
      "41": 1
    }
  },
  {
    "n": 235,
    "ordinary_prime": false,
    "domain_irreducible": true,
    "factorization": {
      "5": 1,
      "47": 1
    }
  },
  {
    "n": 253,
    "ordinary_prime": false,
    "domain_irreducible": true,
    "factorization": {
      "11": 1,
      "23": 1
    }
  }
]

典型例子：

25 = 5 × 5

但 5 ≡ 5 (mod 6) 不在 R1mod6，所以在只允許 1 mod 6 元素作因子的 submonoid 中，25 可能變成 irreducible。

這是本系列到目前最乾淨的 operator-relative domain counterexample 之一。

6. 與 M6 的差異突然變得很清楚

C6 = {n : gcd(n,6)=1} 包含 residues 1,5 mod 6，而且 divisor-closed。

R1mod6 只保留 residue 1 mod 6，雖然乘法封閉，卻不是 divisor-closed。

因此：

C6 preserves ordinary prime core on retained elements;
R1mod6 can create new irreducibles from ordinary composites.

這也說明為什麼把 6k±1 整體視為 coprime domain，和只挑 6k+1，在 operator ontology 上完全不是同一件事。

7. Transported Operation

對 f(n)=2n+1：

若乘法與 unit 結構全部經 f 搬運，則 transported irreducibility 與 source primality 完全同構。

本輪 transported/source disagreements：0。

但如果對同一 code symbol y=2n+1 改用 ordinary integer multiplication：

transported-vs-ordinary agreement rate = 74.768000%。

所以：

same symbols + transported operator  -> same structure
same symbols + different operator    -> different prime-like predicate

8. Radix Control

bases [2, 3, 8, 10, 16] exact round-trip failures：0。

radix 改變只換 representation，沒有改 multiplication operator，所以 canonical prime core 不變。

9. Cross-Representation Invariant Extraction

目前可以把存活結構壓成：

Canonical Prime Core
  = multiplicative irreducibility
  relative to:
    - multiplication operator
    - unit structure
    - factorization/equality relation

它在以下情形可被安全搬運：

1. 可逆 representation encoding；
2. structure-preserving isomorphism；
3. divisor-closed multiplicative subdomain restriction。

而在以下情形會失敗或需要重定義：

1. non-divisor-closed submonoid；
2. index/rank substitution；
3. operation semantic replacement。

10. 這正好接回『算子本體論』

SDRPC 目前得到的最乾淨解讀是：

prime is not fundamentally a decimal / residue / index object;
prime is a predicate induced by a multiplicative operator ontology.

更準確地說，數字符號只是 carrier；真正支撐 prime-like concept 的是 operator + unit + factorization relation。

這並不是宣稱現有代數學沒有這些概念，而是把 SDRPC 的 sequence-domain / probe / serialization 線，重新錨到 operator-relative semantics 上。

11. 對『數學相對論』的進一步修正

現在可以把 earlier structural relativity 再壓成一句：

Relativity lives in the chosen operator/relational structure;
invariants are what survive admissible structure-preserving transport.

所以真正該找的不是『所有表示都相同的 pattern』，而是：

哪些 operator-relative predicates 在指定 morphism class 下保持？

12. 下一輪

Round 06 建議進入：

Operator-Relative Prime Core + Morphism Classification

正式分類：

• representation isomorphism；
• subdomain embedding；
• divisor-closed embedding；
• quotient；
• homomorphic image；
• non-faithful projection；

並測：哪一類 morphism 保持 prime core、哪一類只保持必要條件、哪一類會創造新的 irreducibles。

這會把『算子本體論 × SDRPC』真正合成一個可驗證分類框架。

13. Round 05 結論

prime is structure-relative,
but its canonical cross-representation core is operator-relative irreducibility;
divisor-closed multiplicative restrictions preserve that core;
non-divisor-closed restrictions can create new irreducibles.

這是目前 SDRPC 對 prime 線最有結構含量的一輪結果。

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