# SDRPC-PRIME-001 Validation Phase I — Round 05 ## Cross-Representation Invariant Extraction / Operator-Ontology Audit **日期：** 2026-09-23 **Finite integer domain：** `2 ≤ n ≤ 200,000` **作者：** Neo.K **機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司 **版本：** 原稿未標註（本次整理版） --- ## 1. 本輪轉向 Round 04 顯示：prime 在 structure-preserving transport 下保持，但 operation semantics 真正改變時會改變。 Round 05 不再問『哪個表示看起來像 prime』，而直接抽取跨表示 canonical core： ```text multiplicative irreducibility relative to (⊗, unit, factorization relation) ``` 這正是算子本體論版本的 prime core：predicate 不是黏在符號上，而是黏在運算／關係結構上。 ## 2. Canonical Operator-Relative Core 候選核心： ```text x is non-unit, and every factorization x = a ⊗ b has a unit factor ``` 也就是乘法結構中的 irreducibility / primality core（在正整數這類熟悉結構中兩者對應良好）。 本輪不宣稱發明了 irreducibility；要測的是：它是否能作為 SDRPC 的 cross-representation canonical layer。 ## 3. Domain 結果 | Domain | Tested | Prime count | Irreducible count | Disagreements | Agreement | Composite→irreducible | Divisor-closure violations* | |---|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:| | Nplus | 199999 | 17984 | 17984 | 0 | 100.000000% | 0 | 0 | | Odd | 99999 | 17983 | 17983 | 0 | 100.000000% | 0 | 0 | | C6 | 66666 | 17982 | 17982 | 0 | 100.000000% | 0 | 0 | | C30 | 53333 | 17981 | 17981 | 0 | 100.000000% | 0 | 0 | | C210 | 45714 | 17980 | 17980 | 0 | 100.000000% | 0 | 0 | | R1mod6 | 33333 | 8988 | 17064 | 8076 | 75.771758% | 8076 | 20 | `*` divisor-closure audit 在每個 domain 的 `n ≤ 50,000` 截面上檢查，最多保存 20 個 violation。 ## 4. 第一個重要結果：Divisor-Closed Multiplicative Subdomains 保持 Prime Core 在： - `Odd` - `C6` - `C30` - `C210` 這些 subdomains 中，本輪沒有觀察到 ordinary primality 與 domain-relative multiplicative irreducibility 的差異。 原因結構很清楚：如果 `n` 在這些 domain 中，`n` 的任何正因數也仍在同一 domain；也就是它們對整除具有 divisor-closure。 因此 ordinary composite 不會因為『因子被域刪掉』而偽裝成 irreducible。 這給出一個比『odd domain 看起來還能用 prime』更強的 canonical condition： ```text multiplicative closure + divisor closure ``` 使 prime/irreducible restriction 能乾淨存活。 ## 5. Negative Control：R1mod6 `R1mod6 = { n > 0 : n ≡ 1 (mod 6) }` 對乘法是封閉的，但不是 divisor-closed。 所以 ordinary composite 可以在這個 submonoid 中變成 irreducible。 本輪前幾個 disagreement： ```json [ { "n": 25, "ordinary_prime": false, "domain_irreducible": true, "factorization": { "5": 2 } }, { "n": 55, "ordinary_prime": false, "domain_irreducible": true, "factorization": { "5": 1, "11": 1 } }, { "n": 85, "ordinary_prime": false, "domain_irreducible": true, "factorization": { "5": 1, "17": 1 } }, { "n": 115, "ordinary_prime": false, "domain_irreducible": true, "factorization": { "5": 1, "23": 1 } }, { "n": 121, "ordinary_prime": false, "domain_irreducible": true, "factorization": { "11": 2 } }, { "n": 145, "ordinary_prime": false, "domain_irreducible": true, "factorization": { "5": 1, "29": 1 } }, { "n": 187, "ordinary_prime": false, "domain_irreducible": true, "factorization": { "11": 1, "17": 1 } }, { "n": 205, "ordinary_prime": false, "domain_irreducible": true, "factorization": { "5": 1, "41": 1 } }, { "n": 235, "ordinary_prime": false, "domain_irreducible": true, "factorization": { "5": 1, "47": 1 } }, { "n": 253, "ordinary_prime": false, "domain_irreducible": true, "factorization": { "11": 1, "23": 1 } } ] ``` 典型例子： ```text 25 = 5 × 5 ``` 但 `5 ≡ 5 (mod 6)` 不在 `R1mod6`，所以在只允許 `1 mod 6` 元素作因子的 submonoid 中，25 可能變成 irreducible。 這是本系列到目前最乾淨的 operator-relative domain counterexample 之一。 ## 6. 與 M6 的差異突然變得很清楚 `C6 = {n : gcd(n,6)=1}` 包含 residues `1,5 mod 6`，而且 divisor-closed。 `R1mod6` 只保留 residue `1 mod 6`，雖然乘法封閉，卻不是 divisor-closed。 因此： ```text C6 preserves ordinary prime core on retained elements; R1mod6 can create new irreducibles from ordinary composites. ``` 這也說明為什麼把 `6k±1` 整體視為 coprime domain，和只挑 `6k+1`，在 operator ontology 上完全不是同一件事。 ## 7. Transported Operation 對 `f(n)=2n+1`： 若乘法與 unit 結構全部經 `f` 搬運，則 transported irreducibility 與 source primality 完全同構。 本輪 transported/source disagreements：**0**。 但如果對同一 code symbol `y=2n+1` 改用 ordinary integer multiplication： transported-vs-ordinary agreement rate = **74.768000%**。 所以： ```text same symbols + transported operator -> same structure same symbols + different operator -> different prime-like predicate ``` ## 8. Radix Control bases `[2, 3, 8, 10, 16]` exact round-trip failures：**0**。 radix 改變只換 representation，沒有改 multiplication operator，所以 canonical prime core 不變。 ## 9. Cross-Representation Invariant Extraction 目前可以把存活結構壓成： ```text Canonical Prime Core = multiplicative irreducibility relative to: - multiplication operator - unit structure - factorization/equality relation ``` 它在以下情形可被安全搬運： 1. 可逆 representation encoding； 2. structure-preserving isomorphism； 3. divisor-closed multiplicative subdomain restriction。 而在以下情形會失敗或需要重定義： 1. non-divisor-closed submonoid； 2. index/rank substitution； 3. operation semantic replacement。 ## 10. 這正好接回『算子本體論』 SDRPC 目前得到的最乾淨解讀是： ```text prime is not fundamentally a decimal / residue / index object; prime is a predicate induced by a multiplicative operator ontology. ``` 更準確地說，數字符號只是 carrier；真正支撐 prime-like concept 的是 operator + unit + factorization relation。 這並不是宣稱現有代數學沒有這些概念，而是把 SDRPC 的 sequence-domain / probe / serialization 線，重新錨到 operator-relative semantics 上。 ## 11. 對『數學相對論』的進一步修正 現在可以把 earlier structural relativity 再壓成一句： ```text Relativity lives in the chosen operator/relational structure; invariants are what survive admissible structure-preserving transport. ``` 所以真正該找的不是『所有表示都相同的 pattern』，而是： ```text 哪些 operator-relative predicates 在指定 morphism class 下保持？ ``` ## 12. 下一輪 Round 06 建議進入： ```text Operator-Relative Prime Core + Morphism Classification ``` 正式分類： - representation isomorphism； - subdomain embedding； - divisor-closed embedding； - quotient； - homomorphic image； - non-faithful projection； 並測：哪一類 morphism 保持 prime core、哪一類只保持必要條件、哪一類會創造新的 irreducibles。 這會把『算子本體論 × SDRPC』真正合成一個可驗證分類框架。 ## 13. Round 05 結論 ```text prime is structure-relative, but its canonical cross-representation core is operator-relative irreducibility; divisor-closed multiplicative restrictions preserve that core; non-divisor-closed restrictions can create new irreducibles. ``` 這是目前 SDRPC 對 prime 線最有結構含量的一輪結果。 --- ```text Round 01: COMPLETE Round 02: COMPLETE Round 03: COMPLETE Round 04: COMPLETE Round 05: COMPLETE Next: Round 06 — Operator-Relative Prime Core + Morphism Classification ```