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lm-004248 · 2026-10

ESC-EXP-21：Robust _ Stochastic Recoverability Backing

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ESC-EXP-21：Robust / Stochastic Recoverability Backing

系列： Extensional Structural Convergence — Experimental Phase
文件編號： ESC-EXP-21
版本： v0.1
日期： 2026-09-23
前置： ESC-00 ～ ESC-06、ESC-EXP-00 ～ ESC-EXP-20
狀態： Robust / Chance-Constrained / Bayesian Backing Experiment

作者： Neo.K
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司

摘要

ESC-EXP-20 已經建立：

Mt∗=⋀u=tTPu\boxed{ M_t^\ast = \bigwedge_{u=t}^{T} \mathcal P_u }

也就是：

若 future active trajectory 已知，而且不允許 external reacquisition，最粗但仍足以支援所有未來 refinement 的 backing，是所有 future partitions 的共同細化。

本輪拿掉這個「future trajectory 已知」假設。

現在 future requirement：

QQ

是一個不確定 partition：

Q∼μ.\boxed{ Q\sim\mu. }

因此現在不再只有單一：

M∗.M^\ast.

而是依照 risk semantics 產生不同 backing policy。

本輪比較三種基本策略：

Robust Backing

要求：

M⪯Q∀Q∈supp⁡μ.\boxed{ M \preceq Q \quad \forall Q\in\operatorname{supp}\mu. }

也就是：

Mrob=P0∧⋀Q∈supp⁡μQ.\boxed{ M^{\mathrm{rob}} = \mathcal P_0 \wedge \bigwedge_{ Q\in\operatorname{supp}\mu } Q. }

Chance-Constrained Backing

允許 failure probability：

δ.\delta.

要求：

Pr⁡μ[M⪯Q]≥1−δ.\boxed{ \Pr_\mu[ M\preceq Q ] \ge 1-\delta. }

Expected-Cost Backing

平衡現在 retention 與未來 reacquisition：

min⁡M[ηRetain⁡(M)+ρEμReacquire⁡(M,Q)].\boxed{ \min_M \left[ \eta \operatorname{Retain}(M) + \rho \mathbb E_\mu \operatorname{Reacquire}(M,Q) \right]. }

本輪使用一個刻意設計的 finite future distribution：

Future requirement Probability Classes
stable4 0.400.40 4
relaxed2 0.300.30 2
horizon2 0.200.20 2
atomic8 0.100.10 8

這些 probability 是實驗 prior，不是任何現實系統的 empirical claim。

主要結果：

  1. 只要 atomic 8-class future 在 support 中具有任何正 probability： $$ \boxed{ M^{\mathrm{rob}}

    8\text{-class atomic backing}. } $$

  2. robust policy 對 probability magnitude 不敏感，對 support 是否包含 tail event 高度敏感。

  3. chance-constrained backing 產生：

    8→6→5→4\boxed{ 8\rightarrow6\rightarrow5\rightarrow4 }

    的 risk-budget staircase。

  4. expected-cost backing 產生：

    4→5→6→8\boxed{ 4\rightarrow5\rightarrow6\rightarrow8 }

    的四個正寬度 Bayes regimes。

  5. retention–reacquisition Pareto frontier 還包含一個 7-class backing：

    (3,0.1),(3,0.1),

    但它只在：

    ρ/η=10\boxed{ \rho/\eta=10 }

    與 6-class、8-class 三方同時打平，沒有自己的正寬度 linear-cost optimal interval。

所以：

Pareto-optimal⇏Bayes-optimal over a nonzero parameter interval.\boxed{ \text{Pareto-optimal} \not\Rightarrow \text{Bayes-optimal over a nonzero parameter interval}. }

1. Runtime

EXP-21 regression：

5 passed

測試包含：

  • robust backing 必須為 atomic 8-class；
  • chance-constrained policy 必須呈現預期 staircase；
  • expected-cost policy 必須走過 4 / 5 / 6 / 8-class regimes；
  • lower-envelope breakpoints 有序且共三個；
  • rare atomic tail 會強迫 full robust backing。

2. Current Active Partition

目前 active partition 使用 EXP-19 epsilon-pulse 的 strict 4-class state：

P0={{∅,G},{D,DG},{T,TG},{TD,TDG}}.\boxed{ \mathcal P_0 = \{ \{\varnothing,G\}, \{D,DG\}, \{T,TG\}, \{TD,TDG\} \}. }

所以：

∣P0∣=4.|\mathcal P_0|=4.

任何 backing：

MM

都必須至少滿足：

M⪯P0.\boxed{ M\preceq\mathcal P_0. }

也就是：

future risk policy 可以決定保留更多 distinctions，但不能比目前 active state 還粗到無法實現現在。

3. Future Requirement Distribution

本輪 future support 包含四種 requirement。

3.1 Stable 4-Class

probability：

0.40.0.40.

partition 與目前 active 4-class 相容。

不需要額外 hidden backing。

3.2 Relaxed Cross-Cut 2-Class

probability：

0.30.0.30.

這不是目前 4-class 的單純 coarsening。

目前 backing如果只有 4 classes，仍不足以直接生成它。

兩者共同細化需要：

6 classes.\boxed{ 6\text{ classes}. }

3.3 Horizon-Relaxed 2-Class

probability：

0.20.0.20.

這是另一個 2-class partition topology。

與目前 4-class requirement 的 meet 為：

5 classes.\boxed{ 5\text{ classes}. }

3.4 Atomic 8-Class

probability：

0.10.0.10.

這要求完整 atomic distinction：

8 classes.\boxed{ 8\text{ classes}. }

任何 backing只要少於 8 classes，就無法在沒有 external reacquisition 的情況下實現這個 future。

4. Robust Backing

robust policy 不問 probability 大小。

它只問：

這個 future 是否仍屬於可能 support？

要求：

M⪯QM \preceq Q

對所有 future requirements成立。

由於 support 中含 atomic8：

Qatomic=⊥partition,Q_{\mathrm{atomic}} = \bot_{\mathrm{partition}},

也就是最細 partition。

所以：

Mrob=Qatomic.\boxed{ M^{\mathrm{rob}} = Q_{\mathrm{atomic}}. }

結果：

∣Mrob∣=8.\boxed{ |M^{\mathrm{rob}}|=8. }

相對目前 active：

4,4,

hidden backing cost：

8−4=4.\boxed{ 8-4=4. }

coverage：

1.1.

failure：

0.0.

expected reacquisition：

0.0.

5. Rare-Tail Discontinuity

這裡出現一個很漂亮的 discontinuity。

若 atomic future probability：

patomic=0,p_{\mathrm{atomic}}=0,

robust backing只需要：

6 classes.\boxed{ 6\text{ classes}. }

但只要：

patomic>0,p_{\mathrm{atomic}}>0,

不論是：

0.05,0.10,0.20,0.30,0.05, 0.10, 0.20, 0.30,

robust backing全部立刻跳到：

8.\boxed{ 8. }

所以：

robust backing depends on support, not probability mass.\boxed{ \text{robust backing depends on support, not probability mass}. }

這是一種：

tail-support discontinuity.\boxed{ \text{tail-support discontinuity}. }

6. Robust Tax

相對 current active：

44

classes，

robust policy需要：

8.8.

所以：

Robust Hidden-Backing Tax=4.\boxed{ \text{Robust Hidden-Backing Tax} = 4. }

而這個 tax 是由僅：

10%10\%

的 atomic tail event造成。

所以：

極低 probability、極高 refinement demand 的 future 可以完全主導 worst-case backing。

7. Chance Constraint

robust policy太保守時，可以允許：

δ\delta

failure probability。

要求：

Pr⁡[M⪯Q]≥1−δ.\boxed{ \Pr[M\preceq Q] \ge 1-\delta. }

然後找最少 classes 的 backing。

8. Chance Constraint： δ<0.10\delta<0.10

如果：

δ<0.10,\delta<0.10,

就不能忽略 10% atomic tail。

因此必須 cover：

100%100\%

future mass。

結果：

8 classes.\boxed{ 8\text{ classes}. }

例如：

δ=0.05\delta=0.05

仍然：

8.8.

9. Chance Constraint： δ=0.10\delta=0.10

當：

δ=0.10,\delta=0.10,

允許剛好不 cover atomic tail。

其餘 future mass：

0.40+0.30+0.20=0.90.0.40+0.30+0.20 = 0.90.

目前 4-class 與 relaxed2 / horizon2 的共同需求可以由：

6-class backing\boxed{ 6\text{-class backing} }

滿足。

所以：

δ=0.10⇒∣M∣=6.\boxed{ \delta=0.10 \Rightarrow |M|=6. }

coverage：

0.90.0.90.

failure：

0.10.0.10.

expected reacquisition：

0.20.0.20.

10. Chance Constraint： 0.10≤δ<0.400.10\le\delta<0.40

只要 required coverage：

1−δ>0.60,1-\delta > 0.60,

就仍必須 cover：

  • stable4；
  • relaxed2；
  • horizon2。

所以：

6 classes.\boxed{ 6\text{ classes}. }

本輪：

δ=0.20,0.39\delta=0.20, 0.39

都維持：

6.6.

11. Chance Constraint： δ=0.40\delta=0.40

required coverage：

0.60.0.60.

此時可以只 cover：

  • stable4： 0.400.40 ；
  • horizon2： 0.200.20。

共同 backing：

5 classes.\boxed{ 5\text{ classes}. }

所以：

δ=0.40⇒∣M∣=5.\boxed{ \delta=0.40 \Rightarrow |M|=5. }

coverage：

0.60.0.60.

12. Chance Constraint： δ=0.60\delta=0.60

required coverage：

0.40.0.40.

只 cover stable4 本身就足夠。

因此 backing可退回目前 active partition：

4 classes.\boxed{ 4\text{ classes}. }

13. Chance-Constrained Staircase

所以整體：

∣Mδ∣={8,0≤δ<0.10,6,0.10≤δ<0.40,5,0.40≤δ<0.60,4,δ≥0.60.\boxed{ |M_\delta| = \begin{cases} 8, & 0\le\delta<0.10, \\ 6, & 0.10\le\delta<0.40, \\ 5, & 0.40\le\delta<0.60, \\ 4, & \delta\ge0.60. \end{cases} }

這是第一個 ESC：

risk budget→recoverability backing size\boxed{ \text{risk budget} \rightarrow \text{recoverability backing size} }

階梯。

14. Chance Constraint 不是 Expected-Cost Policy

chance constraint只關心：

Pr⁡[recoverable]\boxed{ \Pr[\text{recoverable}] }

有沒有超過 threshold。

它不在意：

fail 的 future 到底需要重建 1 個 distinction 還是 4 個。

所以：

failure probability≠failure severity.\boxed{ \text{failure probability} \neq \text{failure severity}. }

這就是 expected-cost policy要補上的地方。

15. Reacquisition Cost

對 backing：

MM

與 future：

Q,Q,

若：

M⪯Q,M\preceq Q,

則：

R(M,Q)=0.R(M,Q)=0.

否則最少必須恢復到：

M∧Q.M\wedge Q.

本輪 block-count reacquisition proxy：

R(M,Q)=∣M∧Q∣−∣M∣.\boxed{ R(M,Q) = |M\wedge Q| - |M|. }

因此：

E[R]=∑Qμ(Q)R(M,Q).\boxed{ \mathbb E[R] = \sum_Q \mu(Q) R(M,Q). }

16. Retention–Reacquisition Frontier

完整枚舉所有 refine current active 的 candidate backing 後，得到五個 nondominated cost points：

Backing classes Hidden cost Coverage Expected reacquisition
4 0 0.40 1.20
5 1 0.60 0.60
6 2 0.90 0.20
7 3 0.90 0.10
8 4 1.00 0.00

所以：

retain more now⟹reacquire less later.\boxed{ \text{retain more now} \Longrightarrow \text{reacquire less later}. }

17. 為什麼 7-Class 仍在 Pareto Frontier？

6-class：

(2,0.2)(2,0.2)

7-class：

(3,0.1)(3,0.1)

8-class：

(4,0).(4,0).

7-class比 6-class：

  • retention更貴；
  • reacquisition更少。

比 8-class：

  • retention更便宜；
  • reacquisition更多。

所以在純二維 Pareto 意義上：

7-class 不被支配.\boxed{ 7\text{-class 不被支配}. }

18. 但 7-Class 沒有正寬度 Bayes Regime

expected-cost：

C(M)=ηH(M)+ρE[R(M,Q)].C(M) = \eta H(M) + \rho \mathbb E[R(M,Q)].

把：

η=1,r=ρ/η\eta=1, \quad r=\rho/\eta

寫成：

CM(r)=H(M)+rE[R].C_M(r) = H(M) + rE[R].

五條線：

C4(r)=1.2r,C_4(r) = 1.2r, C5(r)=1+0.6r,C_5(r) = 1+0.6r, C6(r)=2+0.2r,C_6(r) = 2+0.2r, C7(r)=3+0.1r,C_7(r) = 3+0.1r, C8(r)=4.C_8(r) = 4.

19. 第一個 Breakpoint

令：

C4=C5.C_4=C_5.

得到：

1.2r=1+0.6r.1.2r = 1+0.6r.

所以：

r=53≈1.666667.\boxed{ r = \frac53 \approx 1.666667. }

20. 第二個 Breakpoint

1+0.6r=2+0.2r.1+0.6r = 2+0.2r.

得到：

r=2.5.\boxed{ r = 2.5. }

21. 第三個 Breakpoint

2+0.2r=4.2+0.2r = 4.

得到：

r=10.\boxed{ r=10. }

而此時：

C7(10)=3+1=4C_7(10) = 3+1 = 4

也同時成立。

所以：

C6(10)=C7(10)=C8(10)=4.\boxed{ C_6(10) = C_7(10) = C_8(10) = 4. }

22. Boundary-Only Pareto Point

因此 7-class policy：

Pareto-optimal\boxed{ \text{Pareto-optimal} }

但只在：

r=10r=10

這一個 measure-zero boundary 上成為 Bayes tie。

它沒有：

(r1,r2)(r_1,r_2)

這種正寬度 parameter interval，使它嚴格勝出。

所以：

Pareto frontier⊋positive-width linear-cost regimes.\boxed{ \text{Pareto frontier} \supsetneq \text{positive-width linear-cost regimes}. }

這是本輪額外抓到的一個重要結果。

23. Expected-Cost Regimes

真正具有正寬度 optimal interval 的只有：

4,5,6,8\boxed{ 4, 5, 6, 8 }

classes。

24. Low Reacquisition Cost

若：

0≤ρ/η<53,0 \le \rho/\eta < \frac53,

reacquisition便宜。

所以最划算是完全不存 hidden backing：

4 classes.\boxed{ 4\text{ classes}. }

也就是：

需要時再重建。

25. First Intermediate Regime

若：

53<ρ/η<2.5,\frac53 < \rho/\eta < 2.5,

選：

5 classes.\boxed{ 5\text{ classes}. }

此時：

  • hidden cost： 11 ；
  • expected reacquisition： 0.60.6 ；
  • coverage： 0.60.6。

26. Second Intermediate Regime

若：

2.5<ρ/η<10,2.5 < \rho/\eta < 10,

選：

6 classes.\boxed{ 6\text{ classes}. }

此時：

  • hidden cost： 22 ；
  • coverage： 0.90.9 ；
  • expected reacquisition： 0.20.2。

這是一個很大的 regime。

27. High Reacquisition Cost

若：

ρ/η>10,\rho/\eta > 10,

未來重建太昂貴。

所以直接 full backing：

8 classes.\boxed{ 8\text{ classes}. }

完全消除 future reacquisition。

28. Expected-Cost Phase Diagram

所以：

M∗(r)={4,0≤r<5/3,5,5/3<r<5/2,6,5/2<r<10,8,r>10.\boxed{ M^\ast(r) = \begin{cases} 4, & 0\le r<5/3, \\ 5, & 5/3<r<5/2, \\ 6, & 5/2<r<10, \\ 8, & r>10. \end{cases} }

邊界點存在 ties。

尤其：

r=10r=10

是：

6/7/8\boxed{ 6/7/8 }

三方 tie。

29. Robust / Chance / Expected 三種 Risk Semantics

現在 ESC backing policy至少分三種完全不同的 risk semantics。

Worst-Case

Robust\boxed{ \text{Robust} }

只要 future 在 support裡，就全部防。

結果：

8.8.

Quantile / Reliability

Chance Constraint\boxed{ \text{Chance Constraint} }

只保證：

1−δ1-\delta

mass 可恢復。

結果：

8→6→5→4.8\rightarrow6\rightarrow5\rightarrow4.

Bayesian Economic

Expected Cost\boxed{ \text{Expected Cost} }

平衡 retention與 failure severity。

結果：

4→5→6→8.4\rightarrow5\rightarrow6\rightarrow8.

30. 同一 Future Distribution 沒有唯一「正確 Backing」

這是本輪非常重要的概念結果。

給定完全相同：

μ(Q),\mu(Q),

依照 risk contract不同，合法答案可以是：

4,5,6,8.4, 5, 6, 8.

所以：

uncertain-future recoverability\boxed{ \text{uncertain-future recoverability} }

不能只由 probability distribution決定。

還必須指定：

risk semantics.\boxed{ \text{risk semantics}. }

31. Tail Probability 與 Tail Severity

atomic8 probability只有：

0.10.0.10.

但 refinement severity最大。

robust policy對 probability大小不敏感。

chance policy主要看：

0.100.10

mass。

expected-cost則同時看：

0.100.10

與需要恢復多少 distinctions。

因此可以正式區分：

tail probability\boxed{ \text{tail probability} }

與：

tail refinement severity.\boxed{ \text{tail refinement severity}. }

32. Recoverability Risk

可以定義 future recoverability loss：

LR(M,Q)=R(M,Q).\boxed{ L_R(M,Q) = R(M,Q). }

則：

Robust

最小化：

sup⁡QLR.\sup_Q L_R.

Chance

控制：

Pr⁡[LR>0].\Pr[L_R>0].

Expected

最小化：

E[LR].\mathbb E[L_R].

這使 recoverability backing正式進入 risk-measure language。

33. Risk Measure 是 Representation Policy 的一部分

因此完整 representation policy 不只是：

(ε,h,μ).(\varepsilon,h,\mu).

還應包含：

R=risk functional.\boxed{ \mathfrak R = \text{risk functional}. }

可以寫：

M∗=M∗(P0,μ,R,Cretain,Creacquire).\boxed{ M^\ast = M^\ast( \mathcal P_0, \mu, \mathfrak R, C_{\mathrm{retain}}, C_{\mathrm{reacquire}} ). }

34. Robust Backing 的 Support Sensitivity

robust：

MrobM^{\mathrm{rob}}

實際依賴：

supp⁡μ\operatorname{supp}\mu

而不是完整 probability values。

所以如果：

μ(Q)>0\mu(Q)>0

從：

10−610^{-6}

變成：

10−9,10^{-9},

只要仍在 support 中，robust decision可能完全不變。

這在安全關鍵系統很合理。

但在 ordinary resource optimization 中可能過度保守。

35. Chance Constraint 的 Mass Sensitivity

chance-constrained policy則對 probability mass 有階梯敏感性。

當 tail probability跨過：

δ\delta

boundary，

backing class count可能突然跳變。

因此：

chance-constrained backing has probability-threshold phase transitions.\boxed{ \text{chance-constrained backing has probability-threshold phase transitions}. }

36. Expected-Cost 的 Continuous Weight / Discrete Policy

expected cost：

ρ/η\rho/\eta

是連續參數。

但 optimal backing仍離散跳：

4→5→6→8.4\to5\to6\to8.

所以：

continuous economics→discrete representation phase transitions.\boxed{ \text{continuous economics} \rightarrow \text{discrete representation phase transitions}. }

這與 EXP-17/18 的 compression phase transition 結構再次一致。

37. Rare Future 是否值得「偷偷保存」？

現在可以非常精確地回答。

若 atomic future：

  • probability低；
  • reacquisition便宜；

則：

4/5/64/5/6

backing可能合理。

若 atomic future：

  • probability雖低；
  • 但 reacquisition代價極大或不可接受；

則 policy會往：

88

移動。

因此：

rare≠discardable.\boxed{ \text{rare} \neq \text{discardable}. }

38. Fail-Closed 與 Fail-Open Representation

可以把 robust/chance兩端理解為：

Fail-Closed Representation

寧願多存：

MM

也不能讓未來 refinement失敗。

Fail-Open / Reconstructable Representation

接受部分 future requirement 到來時：

  • reacquire；
  • recompute；
  • query external store。

這不是單純 safety policy，

而是 representation architecture choice。

39. Local Memory vs External World

如果 future distinctions可以從 world重新觀測，

ρ\rho

可能低。

如果 future distinction來自：

  • 已消失的 observation；
  • unique historical state；
  • one-shot experiment；
  • private user interaction；
  • extinct world state；

則：

ρ\rho

可能極高甚至：

∞.\boxed{ \infty. }

此時 expected-cost policy自然逼近 robust backing。

40. Irrecoverable Tail

若某個 future requirement一旦 backing未保留就永遠無法恢復，

可以令：

R(M,Q)=∞.R(M,Q) = \infty.

只要：

μ(Q)>0,\mu(Q)>0,

expected-cost optimum也會被迫保留對應 distinction。

所以：

irrecoverability turns stochastic risk into effective hard constraint.\boxed{ \text{irrecoverability turns stochastic risk into effective hard constraint}. }

41. 本輪錨點

ESC-EXP-21.AMrob=P0∧⋀Q∈supp⁡μQ.\boxed{ \textbf{ESC-EXP-21.A} \quad M^{\mathrm{rob}} = \mathcal P_0 \wedge \bigwedge_{ Q\in\operatorname{supp}\mu } Q. } ESC-EXP-21.Brobust backing 對 tail support 具 discontinuous sensitivity。\boxed{ \textbf{ESC-EXP-21.B} \quad \text{robust backing 對 tail support 具 discontinuous sensitivity。} } ESC-EXP-21.Cchance-constrained backing 形成 8→6→5→4 risk-budget staircase。\boxed{ \textbf{ESC-EXP-21.C} \quad \text{chance-constrained backing 形成 }8\to6\to5\to4\text{ risk-budget staircase。} } ESC-EXP-21.Dexpected-cost backing 形成 4→5→6→8 四個正寬度 Bayes regimes。\boxed{ \textbf{ESC-EXP-21.D} \quad \text{expected-cost backing 形成 }4\to5\to6\to8\text{ 四個正寬度 Bayes regimes。} } ESC-EXP-21.E7-class backing 雖 Pareto-optimal，但只在 ρ/η=10 的 boundary tie 出現，不具有正寬度最優區間。\boxed{ \textbf{ESC-EXP-21.E} \quad \text{7-class backing 雖 Pareto-optimal，但只在 }\rho/\eta=10\text{ 的 boundary tie 出現，不具有正寬度最優區間。} }

42. 從 EXP-20 到 EXP-21 的真正提升

EXP-20 問：

future trajectory 已知時，現在到底要保留哪些 distinctions？

答案：

future meet.\text{future meet}.

EXP-21 問：

future 不確定時，哪些 distinctions 值得保留？

現在答案不再是一個 partition。

而是一個：

risk-conditioned policy family.\boxed{ \text{risk-conditioned policy family}. }

即：

μ+R+C⟶M∗.\boxed{ \mu + \mathfrak R + C \longrightarrow M^\ast. }

43. 下一輪：ESC-EXP-22

EXP-21 仍然假設 probability distribution：

μ\mu

已知而且固定。

但真實世界通常連：

μ\mu

本身都不確定。

因此下一輪最自然是：

Distributionally Robust Recoverability Backing\boxed{ \text{Distributionally Robust Recoverability Backing} }

也就是不再只有：

Q∼μ,Q\sim\mu,

而是：

μ∈U\boxed{ \mu \in \mathcal U }

其中：

U\mathcal U

是一個 ambiguity set。

可以研究：

  • probability misspecification；
  • rare-tail underestimation；
  • adversarial probability shift；
  • Wasserstein / total-variation ambiguity；
  • empirical sample uncertainty；
  • distributionally robust chance constraints；
  • robust expected reacquisition。

真正問題變成：

如果連「未來發生什麼的機率」都可能估錯，現在該保留多少 distinction？

這會把 ESC recoverability line 從 stochastic planning 再推進到：

model-uncertain representation preservation.\boxed{ \text{model-uncertain representation preservation}. }