# ESC-EXP-21：Robust / Stochastic Recoverability Backing

**系列：** Extensional Structural Convergence — Experimental Phase  
**文件編號：** ESC-EXP-21  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-23  
**前置：** ESC-00 ～ ESC-06、ESC-EXP-00 ～ ESC-EXP-20  
**狀態：** Robust / Chance-Constrained / Bayesian Backing Experiment

**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  

---

## 摘要

ESC-EXP-20 已經建立：

$$
\boxed{
M_t^\ast
=
\bigwedge_{u=t}^{T}
\mathcal P_u
}
$$

也就是：

> 若 future active trajectory 已知，而且不允許 external reacquisition，最粗但仍足以支援所有未來 refinement 的 backing，是所有 future partitions 的共同細化。

本輪拿掉這個「future trajectory 已知」假設。

現在 future requirement：

$$
Q
$$

是一個不確定 partition：

$$
\boxed{
Q\sim\mu.
}
$$

因此現在不再只有單一：

$$
M^\ast.
$$

而是依照 risk semantics 產生不同 backing policy。

本輪比較三種基本策略：

### Robust Backing

要求：

$$
\boxed{
M
\preceq
Q
\quad
\forall
Q\in\operatorname{supp}\mu.
}
$$

也就是：

$$
\boxed{
M^{\mathrm{rob}}
=
\mathcal P_0
\wedge
\bigwedge_{
Q\in\operatorname{supp}\mu
}
Q.
}
$$

### Chance-Constrained Backing

允許 failure probability：

$$
\delta.
$$

要求：

$$
\boxed{
\Pr_\mu[
M\preceq Q
]
\ge
1-\delta.
}
$$

### Expected-Cost Backing

平衡現在 retention 與未來 reacquisition：

$$
\boxed{
\min_M
\left[
\eta
\operatorname{Retain}(M)
+
\rho
\mathbb E_\mu
\operatorname{Reacquire}(M,Q)
\right].
}
$$

本輪使用一個刻意設計的 finite future distribution：

| Future requirement | Probability | Classes |
|---|---:|---:|
| stable4 | $0.40$ | 4 |
| relaxed2 | $0.30$ | 2 |
| horizon2 | $0.20$ | 2 |
| atomic8 | $0.10$ | 8 |

這些 probability 是實驗 prior，不是任何現實系統的 empirical claim。

主要結果：

1. 只要 atomic 8-class future 在 support 中具有任何正 probability：
   $$
   \boxed{
   M^{\mathrm{rob}}
   =
   8\text{-class atomic backing}.
   }
   $$

2. robust policy 對 probability magnitude 不敏感，對 support 是否包含 tail event 高度敏感。

3. chance-constrained backing 產生：
   $$
   \boxed{
   8\rightarrow6\rightarrow5\rightarrow4
   }
   $$
   的 risk-budget staircase。

4. expected-cost backing 產生：
   $$
   \boxed{
   4\rightarrow5\rightarrow6\rightarrow8
   }
   $$
   的四個正寬度 Bayes regimes。

5. retention–reacquisition Pareto frontier 還包含一個 7-class backing：
   $$
   (3,0.1),
   $$
   但它只在：
   $$
   \boxed{
   \rho/\eta=10
   }
   $$
   與 6-class、8-class 三方同時打平，沒有自己的正寬度 linear-cost optimal interval。

所以：

$$
\boxed{
\text{Pareto-optimal}
\not\Rightarrow
\text{Bayes-optimal over a nonzero parameter interval}.
}
$$

---

# 1. Runtime

EXP-21 regression：

```text
5 passed
```

測試包含：

- robust backing 必須為 atomic 8-class；
- chance-constrained policy 必須呈現預期 staircase；
- expected-cost policy 必須走過 4 / 5 / 6 / 8-class regimes；
- lower-envelope breakpoints 有序且共三個；
- rare atomic tail 會強迫 full robust backing。

---

# 2. Current Active Partition

目前 active partition 使用 EXP-19 epsilon-pulse 的 strict 4-class state：

$$
\boxed{
\mathcal P_0
=
\{
\{\varnothing,G\},
\{D,DG\},
\{T,TG\},
\{TD,TDG\}
\}.
}
$$

所以：

$$
|\mathcal P_0|=4.
$$

任何 backing：

$$
M
$$

都必須至少滿足：

$$
\boxed{
M\preceq\mathcal P_0.
}
$$

也就是：

> future risk policy 可以決定保留更多 distinctions，但不能比目前 active state 還粗到無法實現現在。

---

# 3. Future Requirement Distribution

本輪 future support 包含四種 requirement。

## 3.1 Stable 4-Class

probability：

$$
0.40.
$$

partition 與目前 active 4-class 相容。

不需要額外 hidden backing。

---

## 3.2 Relaxed Cross-Cut 2-Class

probability：

$$
0.30.
$$

這不是目前 4-class 的單純 coarsening。

目前 backing如果只有 4 classes，仍不足以直接生成它。

兩者共同細化需要：

$$
\boxed{
6\text{ classes}.
}
$$

---

## 3.3 Horizon-Relaxed 2-Class

probability：

$$
0.20.
$$

這是另一個 2-class partition topology。

與目前 4-class requirement 的 meet 為：

$$
\boxed{
5\text{ classes}.
}
$$

---

## 3.4 Atomic 8-Class

probability：

$$
0.10.
$$

這要求完整 atomic distinction：

$$
\boxed{
8\text{ classes}.
}
$$

任何 backing只要少於 8 classes，就無法在沒有 external reacquisition 的情況下實現這個 future。

---

# 4. Robust Backing

robust policy 不問 probability 大小。

它只問：

> 這個 future 是否仍屬於可能 support？

要求：

$$
M
\preceq
Q
$$

對所有 future requirements成立。

由於 support 中含 atomic8：

$$
Q_{\mathrm{atomic}}
=
\bot_{\mathrm{partition}},
$$

也就是最細 partition。

所以：

$$
\boxed{
M^{\mathrm{rob}}
=
Q_{\mathrm{atomic}}.
}
$$

結果：

$$
\boxed{
|M^{\mathrm{rob}}|=8.
}
$$

相對目前 active：

$$
4,
$$

hidden backing cost：

$$
\boxed{
8-4=4.
}
$$

coverage：

$$
1.
$$

failure：

$$
0.
$$

expected reacquisition：

$$
0.
$$

---

# 5. Rare-Tail Discontinuity

這裡出現一個很漂亮的 discontinuity。

若 atomic future probability：

$$
p_{\mathrm{atomic}}=0,
$$

robust backing只需要：

$$
\boxed{
6\text{ classes}.
}
$$

但只要：

$$
p_{\mathrm{atomic}}>0,
$$

不論是：

$$
0.05,
0.10,
0.20,
0.30,
$$

robust backing全部立刻跳到：

$$
\boxed{
8.
}
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{robust backing depends on support, not probability mass}.
}
$$

這是一種：

$$
\boxed{
\text{tail-support discontinuity}.
}
$$

---

# 6. Robust Tax

相對 current active：

$$
4
$$

classes，

robust policy需要：

$$
8.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{Robust Hidden-Backing Tax}
=
4.
}
$$

而這個 tax 是由僅：

$$
10\%
$$

的 atomic tail event造成。

所以：

> 極低 probability、極高 refinement demand 的 future 可以完全主導 worst-case backing。

---

# 7. Chance Constraint

robust policy太保守時，可以允許：

$$
\delta
$$

failure probability。

要求：

$$
\boxed{
\Pr[M\preceq Q]
\ge
1-\delta.
}
$$

然後找最少 classes 的 backing。

---

# 8. Chance Constraint： $\delta<0.10$

如果：

$$
\delta<0.10,
$$

就不能忽略 10% atomic tail。

因此必須 cover：

$$
100\%
$$

future mass。

結果：

$$
\boxed{
8\text{ classes}.
}
$$

例如：

$$
\delta=0.05
$$

仍然：

$$
8.
$$

---

# 9. Chance Constraint： $\delta=0.10$

當：

$$
\delta=0.10,
$$

允許剛好不 cover atomic tail。

其餘 future mass：

$$
0.40+0.30+0.20
=
0.90.
$$

目前 4-class 與 relaxed2 / horizon2 的共同需求可以由：

$$
\boxed{
6\text{-class backing}
}
$$

滿足。

所以：

$$
\boxed{
\delta=0.10
\Rightarrow
|M|=6.
}
$$

coverage：

$$
0.90.
$$

failure：

$$
0.10.
$$

expected reacquisition：

$$
0.20.
$$

---

# 10. Chance Constraint： $0.10\le\delta<0.40$

只要 required coverage：

$$
1-\delta
>
0.60,
$$

就仍必須 cover：

- stable4；
- relaxed2；
- horizon2。

所以：

$$
\boxed{
6\text{ classes}.
}
$$

本輪：

$$
\delta=0.20,
0.39
$$

都維持：

$$
6.
$$

---

# 11. Chance Constraint： $\delta=0.40$

required coverage：

$$
0.60.
$$

此時可以只 cover：

- stable4： $0.40$ ；
- horizon2： $0.20$。

共同 backing：

$$
\boxed{
5\text{ classes}.
}
$$

所以：

$$
\boxed{
\delta=0.40
\Rightarrow
|M|=5.
}
$$

coverage：

$$
0.60.
$$

---

# 12. Chance Constraint： $\delta=0.60$

required coverage：

$$
0.40.
$$

只 cover stable4 本身就足夠。

因此 backing可退回目前 active partition：

$$
\boxed{
4\text{ classes}.
}
$$

---

# 13. Chance-Constrained Staircase

所以整體：

$$
\boxed{
|M_\delta|
=
\begin{cases}
8,
&
0\le\delta<0.10,
\\
6,
&
0.10\le\delta<0.40,
\\
5,
&
0.40\le\delta<0.60,
\\
4,
&
\delta\ge0.60.
\end{cases}
}
$$

這是第一個 ESC：

$$
\boxed{
\text{risk budget}
\rightarrow
\text{recoverability backing size}
}
$$

階梯。

---

# 14. Chance Constraint 不是 Expected-Cost Policy

chance constraint只關心：

$$
\boxed{
\Pr[\text{recoverable}]
}
$$

有沒有超過 threshold。

它不在意：

> fail 的 future 到底需要重建 1 個 distinction 還是 4 個。

所以：

$$
\boxed{
\text{failure probability}
\neq
\text{failure severity}.
}
$$

這就是 expected-cost policy要補上的地方。

---

# 15. Reacquisition Cost

對 backing：

$$
M
$$

與 future：

$$
Q,
$$

若：

$$
M\preceq Q,
$$

則：

$$
R(M,Q)=0.
$$

否則最少必須恢復到：

$$
M\wedge Q.
$$

本輪 block-count reacquisition proxy：

$$
\boxed{
R(M,Q)
=
|M\wedge Q|
-
|M|.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\mathbb E[R]
=
\sum_Q
\mu(Q)
R(M,Q).
}
$$

---

# 16. Retention–Reacquisition Frontier

完整枚舉所有 refine current active 的 candidate backing 後，得到五個 nondominated cost points：

| Backing classes | Hidden cost | Coverage | Expected reacquisition |
|---:|---:|---:|---:|
| 4 | 0 | 0.40 | 1.20 |
| 5 | 1 | 0.60 | 0.60 |
| 6 | 2 | 0.90 | 0.20 |
| 7 | 3 | 0.90 | 0.10 |
| 8 | 4 | 1.00 | 0.00 |

所以：

$$
\boxed{
\text{retain more now}
\Longrightarrow
\text{reacquire less later}.
}
$$

---

# 17. 為什麼 7-Class 仍在 Pareto Frontier？

6-class：

$$
(2,0.2)
$$

7-class：

$$
(3,0.1)
$$

8-class：

$$
(4,0).
$$

7-class比 6-class：

- retention更貴；
- reacquisition更少。

比 8-class：

- retention更便宜；
- reacquisition更多。

所以在純二維 Pareto 意義上：

$$
\boxed{
7\text{-class 不被支配}.
}
$$

---

# 18. 但 7-Class 沒有正寬度 Bayes Regime

expected-cost：

$$
C(M)
=
\eta H(M)
+
\rho
\mathbb E[R(M,Q)].
$$

把：

$$
\eta=1,
\quad
r=\rho/\eta
$$

寫成：

$$
C_M(r)
=
H(M)
+
rE[R].
$$

五條線：

$$
C_4(r)
=
1.2r,
$$

$$
C_5(r)
=
1+0.6r,
$$

$$
C_6(r)
=
2+0.2r,
$$

$$
C_7(r)
=
3+0.1r,
$$

$$
C_8(r)
=
4.
$$

---

# 19. 第一個 Breakpoint

令：

$$
C_4=C_5.
$$

得到：

$$
1.2r
=
1+0.6r.
$$

所以：

$$
\boxed{
r
=
\frac53
\approx
1.666667.
}
$$

---

# 20. 第二個 Breakpoint

$$
1+0.6r
=
2+0.2r.
$$

得到：

$$
\boxed{
r
=
2.5.
}
$$

---

# 21. 第三個 Breakpoint

$$
2+0.2r
=
4.
$$

得到：

$$
\boxed{
r=10.
}
$$

而此時：

$$
C_7(10)
=
3+1
=
4
$$

也同時成立。

所以：

$$
\boxed{
C_6(10)
=
C_7(10)
=
C_8(10)
=
4.
}
$$

---

# 22. Boundary-Only Pareto Point

因此 7-class policy：

$$
\boxed{
\text{Pareto-optimal}
}
$$

但只在：

$$
r=10
$$

這一個 measure-zero boundary 上成為 Bayes tie。

它沒有：

$$
(r_1,r_2)
$$

這種正寬度 parameter interval，使它嚴格勝出。

所以：

$$
\boxed{
\text{Pareto frontier}
\supsetneq
\text{positive-width linear-cost regimes}.
}
$$

這是本輪額外抓到的一個重要結果。

---

# 23. Expected-Cost Regimes

真正具有正寬度 optimal interval 的只有：

$$
\boxed{
4,
5,
6,
8
}
$$

classes。

---

# 24. Low Reacquisition Cost

若：

$$
0
\le
\rho/\eta
<
\frac53,
$$

reacquisition便宜。

所以最划算是完全不存 hidden backing：

$$
\boxed{
4\text{ classes}.
}
$$

也就是：

> 需要時再重建。

---

# 25. First Intermediate Regime

若：

$$
\frac53
<
\rho/\eta
<
2.5,
$$

選：

$$
\boxed{
5\text{ classes}.
}
$$

此時：

- hidden cost： $1$ ；
- expected reacquisition： $0.6$ ；
- coverage： $0.6$。

---

# 26. Second Intermediate Regime

若：

$$
2.5
<
\rho/\eta
<
10,
$$

選：

$$
\boxed{
6\text{ classes}.
}
$$

此時：

- hidden cost： $2$ ；
- coverage： $0.9$ ；
- expected reacquisition： $0.2$。

這是一個很大的 regime。

---

# 27. High Reacquisition Cost

若：

$$
\rho/\eta
>
10,
$$

未來重建太昂貴。

所以直接 full backing：

$$
\boxed{
8\text{ classes}.
}
$$

完全消除 future reacquisition。

---

# 28. Expected-Cost Phase Diagram

所以：

$$
\boxed{
M^\ast(r)
=
\begin{cases}
4,
&
0\le r<5/3,
\\
5,
&
5/3<r<5/2,
\\
6,
&
5/2<r<10,
\\
8,
&
r>10.
\end{cases}
}
$$

邊界點存在 ties。

尤其：

$$
r=10
$$

是：

$$
\boxed{
6/7/8
}
$$

三方 tie。

---

# 29. Robust / Chance / Expected 三種 Risk Semantics

現在 ESC backing policy至少分三種完全不同的 risk semantics。

## Worst-Case

$$
\boxed{
\text{Robust}
}
$$

只要 future 在 support裡，就全部防。

結果：

$$
8.
$$

## Quantile / Reliability

$$
\boxed{
\text{Chance Constraint}
}
$$

只保證：

$$
1-\delta
$$

mass 可恢復。

結果：

$$
8\rightarrow6\rightarrow5\rightarrow4.
$$

## Bayesian Economic

$$
\boxed{
\text{Expected Cost}
}
$$

平衡 retention與 failure severity。

結果：

$$
4\rightarrow5\rightarrow6\rightarrow8.
$$

---

# 30. 同一 Future Distribution 沒有唯一「正確 Backing」

這是本輪非常重要的概念結果。

給定完全相同：

$$
\mu(Q),
$$

依照 risk contract不同，合法答案可以是：

$$
4,
5,
6,
8.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{uncertain-future recoverability}
}
$$

不能只由 probability distribution決定。

還必須指定：

$$
\boxed{
\text{risk semantics}.
}
$$

---

# 31. Tail Probability 與 Tail Severity

atomic8 probability只有：

$$
0.10.
$$

但 refinement severity最大。

robust policy對 probability大小不敏感。

chance policy主要看：

$$
0.10
$$

mass。

expected-cost則同時看：

$$
0.10
$$

與需要恢復多少 distinctions。

因此可以正式區分：

$$
\boxed{
\text{tail probability}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{tail refinement severity}.
}
$$

---

# 32. Recoverability Risk

可以定義 future recoverability loss：

$$
\boxed{
L_R(M,Q)
=
R(M,Q).
}
$$

則：

### Robust

最小化：

$$
\sup_Q L_R.
$$

### Chance

控制：

$$
\Pr[L_R>0].
$$

### Expected

最小化：

$$
\mathbb E[L_R].
$$

這使 recoverability backing正式進入 risk-measure language。

---

# 33. Risk Measure 是 Representation Policy 的一部分

因此完整 representation policy 不只是：

$$
(\varepsilon,h,\mu).
$$

還應包含：

$$
\boxed{
\mathfrak R
=
\text{risk functional}.
}
$$

可以寫：

$$
\boxed{
M^\ast
=
M^\ast(
\mathcal P_0,
\mu,
\mathfrak R,
C_{\mathrm{retain}},
C_{\mathrm{reacquire}}
).
}
$$

---

# 34. Robust Backing 的 Support Sensitivity

robust：

$$
M^{\mathrm{rob}}
$$

實際依賴：

$$
\operatorname{supp}\mu
$$

而不是完整 probability values。

所以如果：

$$
\mu(Q)>0
$$

從：

$$
10^{-6}
$$

變成：

$$
10^{-9},
$$

只要仍在 support 中，robust decision可能完全不變。

這在安全關鍵系統很合理。

但在 ordinary resource optimization 中可能過度保守。

---

# 35. Chance Constraint 的 Mass Sensitivity

chance-constrained policy則對 probability mass 有階梯敏感性。

當 tail probability跨過：

$$
\delta
$$

boundary，

backing class count可能突然跳變。

因此：

$$
\boxed{
\text{chance-constrained backing has probability-threshold phase transitions}.
}
$$

---

# 36. Expected-Cost 的 Continuous Weight / Discrete Policy

expected cost：

$$
\rho/\eta
$$

是連續參數。

但 optimal backing仍離散跳：

$$
4\to5\to6\to8.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{continuous economics}
\rightarrow
\text{discrete representation phase transitions}.
}
$$

這與 EXP-17/18 的 compression phase transition 結構再次一致。

---

# 37. Rare Future 是否值得「偷偷保存」？

現在可以非常精確地回答。

若 atomic future：

- probability低；
- reacquisition便宜；

則：

$$
4/5/6
$$

backing可能合理。

若 atomic future：

- probability雖低；
- 但 reacquisition代價極大或不可接受；

則 policy會往：

$$
8
$$

移動。

因此：

$$
\boxed{
\text{rare}
\neq
\text{discardable}.
}
$$

---

# 38. Fail-Closed 與 Fail-Open Representation

可以把 robust/chance兩端理解為：

## Fail-Closed Representation

寧願多存：

$$
M
$$

也不能讓未來 refinement失敗。

## Fail-Open / Reconstructable Representation

接受部分 future requirement 到來時：

- reacquire；
- recompute；
- query external store。

這不是單純 safety policy，

而是 representation architecture choice。

---

# 39. Local Memory vs External World

如果 future distinctions可以從 world重新觀測，

$$
\rho
$$

可能低。

如果 future distinction來自：

- 已消失的 observation；
- unique historical state；
- one-shot experiment；
- private user interaction；
- extinct world state；

則：

$$
\rho
$$

可能極高甚至：

$$
\boxed{
\infty.
}
$$

此時 expected-cost policy自然逼近 robust backing。

---

# 40. Irrecoverable Tail

若某個 future requirement一旦 backing未保留就永遠無法恢復，

可以令：

$$
R(M,Q)
=
\infty.
$$

只要：

$$
\mu(Q)>0,
$$

expected-cost optimum也會被迫保留對應 distinction。

所以：

$$
\boxed{
\text{irrecoverability turns stochastic risk into effective hard constraint}.
}
$$

---

# 41. 本輪錨點

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-21.A}
\quad
M^{\mathrm{rob}}
=
\mathcal P_0
\wedge
\bigwedge_{
Q\in\operatorname{supp}\mu
}
Q.
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-21.B}
\quad
\text{robust backing 對 tail support 具 discontinuous sensitivity。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-21.C}
\quad
\text{chance-constrained backing 形成 }8\to6\to5\to4\text{ risk-budget staircase。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-21.D}
\quad
\text{expected-cost backing 形成 }4\to5\to6\to8\text{ 四個正寬度 Bayes regimes。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-21.E}
\quad
\text{7-class backing 雖 Pareto-optimal，但只在 }\rho/\eta=10\text{ 的 boundary tie 出現，不具有正寬度最優區間。}
}
$$

---

# 42. 從 EXP-20 到 EXP-21 的真正提升

EXP-20 問：

> future trajectory 已知時，現在到底要保留哪些 distinctions？

答案：

$$
\text{future meet}.
$$

EXP-21 問：

> future 不確定時，哪些 distinctions 值得保留？

現在答案不再是一個 partition。

而是一個：

$$
\boxed{
\text{risk-conditioned policy family}.
}
$$

即：

$$
\boxed{
\mu
+
\mathfrak R
+
C
\longrightarrow
M^\ast.
}
$$

---

# 43. 下一輪：ESC-EXP-22

EXP-21 仍然假設 probability distribution：

$$
\mu
$$

已知而且固定。

但真實世界通常連：

$$
\mu
$$

本身都不確定。

因此下一輪最自然是：

$$
\boxed{
\text{Distributionally Robust Recoverability Backing}
}
$$

也就是不再只有：

$$
Q\sim\mu,
$$

而是：

$$
\boxed{
\mu
\in
\mathcal U
}
$$

其中：

$$
\mathcal U
$$

是一個 ambiguity set。

可以研究：

- probability misspecification；
- rare-tail underestimation；
- adversarial probability shift；
- Wasserstein / total-variation ambiguity；
- empirical sample uncertainty；
- distributionally robust chance constraints；
- robust expected reacquisition。

真正問題變成：

> **如果連「未來發生什麼的機率」都可能估錯，現在該保留多少 distinction？**

這會把 ESC recoverability line 從 stochastic planning 再推進到：

$$
\boxed{
\text{model-uncertain representation preservation}.
}
$$