ESC-EXP-13：Cost × Knowledge Pareto Geometry

系列： Extensional Structural Convergence — Experimental Phase
文件編號： ESC-EXP-13
版本： v0.1
日期： 2026-09-23
前置： ESC-00 ～ ESC-06、ESC-EXP-00 ～ ESC-EXP-12
狀態： Multi-Objective Cost × Knowledge Experiment / Canonical UTF-8 Source

作者： Neo.K
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司

摘要

ESC-EXP-11 建立了 Safe Repair 的 cost-side Pareto geometry：

(E,I,B,D,L),

其中：

$E$ ：structural edit count；
$I$ ：promoted information bits；
$B$ ：raw residual bridge bits；
$D$ ：accounting distortion；
$L$ ：epistemic loss。

ESC-EXP-12 則將 epistemic effect 量化為：

\mathbf G = (G_{J_1},\dots,G_{J_k}),

\mathbf L = (L_{J_1},\dots,L_{J_k}).

本輪正式將兩者合併，得到：

\boxed{ r = (E,I,B,D,\mathbf G,\mathbf L). }

並要求 safe repair：

\boxed{ \mathbf L=\mathbf0. }

同時：

\min(E,I,B,D)

與：

\max\mathbf G.

本輪最重要的結果不是單一 winner，而是一個新的 aggregation 問題：

若把 target-wise epistemic gain $\mathbf G$ 壓成單一 joint entropy gain $G_{\mathrm{joint}}$ ，某些具有明確 specialization 的 repair 會被錯誤地視為 dominated。

具體而言，在三個 domains：

K_4-e, \quad C_4, \quad P_4

中：

\boxed{ \text{promote partition count} }

都會掉出 joint-gain knowledge-efficiency frontier，

但在保留：

\boxed{ \mathbf G }

的 vector-gain frontier 中重新出現。

所以：

\boxed{ G_{\mathrm{joint}} \text{ 不能取代 } \mathbf G. }

這是 EXP-13 的核心結論。

1. Runtime 狀態

本輪新增 regression：

5 passed

經快取優化後，EXP-13 重新完整執行成功。

測試包含：

所有 safe candidates 在 matched benchmark 上 componentwise loss 為數值零；
accounting-only joint gain 為零；
support-completion + probe 與 observer-frame 的 joint gain 相等；
joint-gain knowledge frontier 會淘汰 partition specialist；
vector-gain frontier 會恢復 partition specialist。

數值零判準採：

10^{-12}

容差，以避免浮點殘差被誤判為真 epistemic loss。

2. 統一 Benchmark

不同 repair 必須放在同一 epistemic benchmark 上比較。

本輪沿用 EXP-12 的 matched latent worlds：

partition；
context；
probe；
history；

保持相同。

relation type / direction 固定。

對 structural repair：

\text{incomplete support} \rightarrow K_4

只改 support geometry。

對 same-domain repair：

\Pi_F \rightarrow (\Pi_F,S).

如此所有 candidate 的：

\mathbf G, \quad \mathbf L

都能在同一 latent-world family 上比較。

3. 本輪候選 Repair Set

每個 incomplete-support domain 有六種 candidate：

accounting only；
promote probe；
promote partition count；
promote observer frame；
support completion；
support completion + probe。

所有本輪 safe candidates：

\boxed{ \mathbf L=\mathbf0 }

在：

10^{-12}

數值容差下成立。

4. $K_4-e$ ：Cost × Knowledge Coordinates

Accounting only

E=0, \quad I=0,

B\approx8.399398,

D\approx0.219606,

G_{\mathrm{joint}}=0.

它只改 ranking cost，不產生知識增益。

Promote Probe

E=0,

I=1,

B\approx7.399398,

D=0,

G_{\mathrm{joint}}=1.

gain vector 主要為：

\boxed{ G_{\mathrm{probe}}=1. }

Promote Partition Count

E=0,

I\approx1.562807,

B\approx6.836592,

D=0.

joint gain：

G_{\mathrm{joint}} \approx0.266667.

但 target-wise：

\boxed{ G_{\mathrm{partition\ count}} = G_{\mathrm{partition\ sizes}} \approx0.266667. }

所以它是明確的：

\boxed{ \text{partition specialist}. }

Promote Observer Frame

E=0,

I\approx2.562807,

B\approx5.836592,

G_{\mathrm{joint}} \approx1.266667.

其 gain vector 同時包含：

G_{\mathrm{probe}}=1

與：

G_{\mathrm{partition}} \approx0.266667.

Support Completion

E=1,

I=0,

B\approx7.058814.

epistemic gain：

G_{\mathrm{joint}} \approx0.266667.

gain vector與 partition repair 對應：

G_{\mathrm{partition}} \approx0.266667.

Support Completion + Probe

E=1,

I=1,

B\approx6.058814.

joint gain：

G_{\mathrm{joint}} \approx1.266667.

在 matched benchmark 上，它與：

\text{promote observer frame}

得到相同 target-wise epistemic gain：

partition gain；
probe gain。

但使用不同 repair resources。

5. $C_4$

partition-related gain 提升為：

0.4\text{ bits}.

因此：

promote partition count：

G_{\mathrm{joint}}=0.4.

promote observer frame：

G_{\mathrm{joint}}=1.4.

support completion：

G_{\mathrm{joint}}=0.4.

support completion + probe：

G_{\mathrm{joint}}=1.4.

其 cost axes 與 $K_4-e$ 不同，尤其 structural edit：

E=2

才可完成 support restoration。

6. $P_4$

partition-related gain：

\boxed{ 0.856984\text{ bits}. }

因此：

promote partition count：

G_{\mathrm{joint}} \approx0.856984.

promote observer frame：

G_{\mathrm{joint}} \approx1.856984.

support completion：

G_{\mathrm{joint}} \approx0.856984.

support completion + probe：

G_{\mathrm{joint}} \approx1.856984.

structural completion cost：

E=3.

7. Full Repair Frontier

若 dominance 同時考慮：

(E,I,B,D)

以及 gain，

三個 domains 的六個 candidates 都仍留在 full repair frontier。

即：

\boxed{ |\mathcal P_{\mathrm{full}}|=6. }

原因是 residual bridge：

B

為不同 repair 提供額外 trade-off。

例如：

promote partition count 比 promote probe：

$I$ 更高；
joint gain 可能更低；

但：

B

更低。

因此 promote probe 無法在 full repair geometry 中支配它。

8. 為什麼需要第二個 Frontier？

如果目標不是「整體 repair state」，而是只想研究：

intervention resource 換取 epistemic gain 的效率

那 residual bridge：

B

應暫時從 dominance 中拿掉。

因此本輪另外定義：

\boxed{ \mathcal P_{\mathrm{knowledge}} }

比較：

(E,I,D,L)

與 knowledge gain。

這不是取代 full frontier，而是另一個截面。

9. Joint-Gain Knowledge Frontier

當 gain 被壓成：

G_{\mathrm{joint}}

時，三個 domains 都出現相同現象：

\boxed{ \text{promote partition count 被淘汰}. }

原因是 promote probe：

E=0,

I=1 < 1.562807,

D=0,

L=0,

且：

G_{\mathrm{joint}}(\text{probe}) = 1

大於：

G_{\mathrm{joint}}(\text{partition})

在三個 domains 的：

0.266667, \quad 0.4, \quad 0.856984.

所以 scalar joint-gain criterion 會判定：

\boxed{ \text{promote probe} \succ \text{promote partition count}. }

10. 但這個 Dominance 是假的嗎？

不是數學上假的。

它是相對於：

\boxed{ G_{\mathrm{joint}} }

這個 scalar objective 完全正確的 dominance。

真正問題是：

G_{\mathrm{joint}}

是否保存了我們真正關心的 target semantics？

答案是：

\boxed{ \text{不一定}. }

11. Vector-Gain Frontier

如果不壓縮 target-wise gain：

\mathbf G = ( G_{\pi}, G_P, G_\Gamma, G_H, \dots ),

則：

promote probe 的 gain：

\mathbf G_{\mathrm{probe}} = (0,\dots,1_{\mathrm{probe}},\dots)

而 promote partition：

\mathbf G_{\pi} = (0.266\dots_{\mathrm{partition}},\dots,0_{\mathrm{probe}},\dots).

兩者作用在不同 epistemic axis。

所以：

\boxed{ \mathbf G_{\mathrm{probe}} \not\succeq \mathbf G_{\pi}. }

同樣：

\mathbf G_{\pi} \not\succeq \mathbf G_{\mathrm{probe}}.

因此 promote partition count 回到：

\boxed{ \mathcal P_{\mathrm{knowledge}}^{\mathrm{vector}}. }

12. 本輪最重要的反壓縮結果

三個 domains 都一致：

\boxed{ \text{promote partition count} \notin \mathcal P_{\mathrm{knowledge}}^{\mathrm{joint}} }

但：

\boxed{ \text{promote partition count} \in \mathcal P_{\mathrm{knowledge}}^{\mathrm{vector}}. }

所以：

\boxed{ \text{scalar epistemic aggregation can erase specialization}. }

這與 ESC 一路拒絕過早 identity collapse / dimension collapse 的方向一致。

13. Joint Entropy 並沒有錯

需要特別避免另一個極端。

H(\mathcal J\mid\Pi)

仍然是合法而有價值的量。

它回答：

對整個 joint target vector，還剩多少總不確定性？

但它不回答：

這些 uncertainty 分別落在哪些 target axes？

因此：

\boxed{ G_{\mathrm{joint}} }

與：

\boxed{ \mathbf G }

應同時保留。

14. Joint Gain 與 Vector Gain 的角色

建議未來 ESC repair record 同時保存：

\boxed{ G_{\mathrm{joint}} }

作為總資訊 closure 指標，

以及：

\boxed{ \mathbf G }

作為 target specialization profile。

前者方便全域比較。

後者避免語義維度被壓平。

15. Observer Frame 與 Support+Probe

本輪還得到另一個乾淨結果。

對 matched benchmark：

\boxed{ \mathbf G_{\mathrm{observer\ frame}} = \mathbf G_{\mathrm{support+probe}}. }

兩者都消除：

partition ambiguity；
probe ambiguity。

但 repair resources 不同。

observer frame：

(E,I) = (0,2.562807).

support + probe：

(E,I) = (m,1),

其中：

m=1,2,3

依 domain 而定。

因此即使 epistemic effect 完全一樣，cost geometry 仍不同。

16. Epistemic-Effect Equivalence Class

因此可以定義：

r_1 \equiv_G r_2

若：

\boxed{ \mathbf G(r_1)=\mathbf G(r_2) }

且：

\mathbf L(r_1)=\mathbf L(r_2).

observer-frame 與 support+probe 在本 benchmark 中屬於同一：

\equiv_G

class。

但它們不具有相同 repair cost vector。

17. Repair Representation / Epistemic Quotient

這提示一個新結構：

先對 repair actions 依 epistemic effect quotient：

\mathcal R/\equiv_G.

再在每個 epistemic-effect class 中研究：

(E,I,B,D)

的最低 cost realization。

也就是：

\boxed{ \text{先問學到了什麼， 再問用什麼方式最便宜地學到。} }

這可能比直接把所有 repair action 混在同一高維 frontier 更容易分析。

18. Accounting Only 的位置

accounting-only：

G_{\mathrm{joint}}=0,

\mathbf G=\mathbf0.

但它仍可能留在 frontier。

因為：

E=0,

I=0.

代價集中在：

D>0.

所以只要 accounting distortion 是獨立 cost axis，它仍然是 nondominated control point。

因此：

\boxed{ \text{Pareto-optimal} \not\Rightarrow \text{epistemically productive}. }

19. Repair Productivity

可以定義：

\boxed{ P_{\mathrm{epi}}(r) = \mathbf1 \left[ G_{\mathrm{joint}}(r)>0 \right]. }

accounting-only：

P_{\mathrm{epi}}=0.

其餘 epistemic repairs：

P_{\mathrm{epi}}=1.

所以未來 application 可以額外要求：

G_{\mathrm{joint}}>0

來排除純 ranking controls。

20. Cost-Pareto 與 Knowledge-Pareto 不同

EXP-11 的主要問題是：

\boxed{ \text{怎麼安全地低成本 repair？} }

EXP-13 增加：

\boxed{ \text{低成本 repair 到底帶來了多少、哪一種 knowledge？} }

因此至少需要：

Full Repair Frontier

\mathcal P(E,I,B,D,\mathbf G)

Knowledge-Efficiency Frontier

\mathcal P(E,I,D,\mathbf G)

兩者不能互相取代。

21. Cost-Pareto-Optimal 但 Knowledge-Inefficient

本輪原本特別要找：

哪些 cost-Pareto-optimal repair，在加入 epistemic gain 後其實不值得保留？

答案需要分兩層。

若 residual bridge：

B

仍保留，六個 candidate 都沒有被淘汰。

所以：

\boxed{ \text{full cost×knowledge frontier 沒有刪掉 EXP-11 的六個核心 repair types。} }

但若切到 intervention-cost × knowledge efficiency：

(E,I,D,\mathbf G),

則 scalar joint gain 會刪除：

\boxed{ \text{promote partition count}. }

這正是我們要找的現象。

22. 但 Target-Wise Knowledge 又把它救回來

所以真正更深的答案是：

一個 repair 是否 knowledge-inefficient，本身也依賴你如何表示 knowledge objective。

用 scalar：

G_{\mathrm{joint}}

它 inefficient。

用 vector：

\mathbf G

它是 partition-specialized nondominated repair。

因此：

\boxed{ \text{Pareto geometry itself is representation-sensitive}. }

23. Meta-ESC：Evaluation Representation 也會影響結論

這甚至形成一個 ESC 自我指涉式觀察。

我們一直研究：

F/C/I 的 representation 會不會影響可恢復性？

EXP-13 現在發現：

連「repair quality」的 representation 也會影響 Pareto conclusion。

即：

\boxed{ G_{\mathrm{joint}} \neq \mathbf G }

會改變 dominance relation。

所以 evaluation space 本身也必須保留足夠的 extensional structure。

24. Anti-Collapse Principle

因此可以提出：

\boxed{ \text{Anti-Collapse Principle} }

如果 evaluation vector：

\mathbf y

被 projection：

q(\mathbf y)

壓成 scalar，

則由：

q(\mathbf y_1) \ge q(\mathbf y_2)

不能推出：

\mathbf y_1 \succeq \mathbf y_2

除非：

q

對指定 partial order 是 order-reflecting。

joint entropy gain 並不滿足對 target-wise Pareto order 的這種一般保證。

25. 這與 ESC 主題高度一致

ESC 最初就是在討論：

projection；
extensional identity；
lost dimensions；
recoverability；
complementary incompleteness。

EXP-13 顯示：

\boxed{ \text{這些問題也出現在我們拿來評價 repair 的 metric 本身。} }

所以評估層也不能無條件 scalarize。

26. 建議的 Repair Record

未來每個 repair candidate 至少保存：

\boxed{ r = ( E, I, B, D, G_{\mathrm{joint}}, \mathbf G, \mathbf L ). }

其中：

G_{\mathrm{joint}}

方便全域效率比較，

\mathbf G

保存 specialization，

\mathbf L

負責 safety。

27. Repair Dominance 的兩種版本

Scalar-Joint Dominance

r_1 \succeq_{\mathrm{joint}} r_2

使用：

G_{\mathrm{joint}}.

Target-Vector Dominance

r_1 \succeq_{\mathrm{vec}} r_2

要求：

\forall J, \quad G_J(r_1) \ge G_J(r_2).

本輪證明：

\boxed{ \succeq_{\mathrm{joint}} \neq \succeq_{\mathrm{vec}}. }

28. 本輪錨點

\boxed{ \textbf{ESC-EXP-13.A} \quad \text{Safe Repair Pareto geometry 應同時包含 cost axes 與 epistemic-gain axes。} }

\boxed{ \textbf{ESC-EXP-13.B} \quad G_{\mathrm{joint}} \text{ 與 target-wise }\mathbf G \text{ 誘導不同 dominance relations。} }

\boxed{ \textbf{ESC-EXP-13.C} \quad \text{promote partition count 在 joint-gain frontier 被支配，但在 vector-gain frontier 為 nondominated。} }

\boxed{ \textbf{ESC-EXP-13.D} \quad \text{相同 epistemic effect 可以由不同 structural / information resource 組合實現。} }

\boxed{ \textbf{ESC-EXP-13.E} \quad \text{evaluation scalarization 本身也是一種 projection，可能造成 epistemic specialization collapse。} }

29. 對原始「三個理論能不能合法放一起」的再次回扣

現在我們甚至可以更精確地說：

不只是三套理論不能被過早 scalarize 成「一樣／不一樣」。

連：

哪一種 repair 比較好？

也不能只壓成單一數字。

更成熟的形式是：

\boxed{ \text{保持 representation plurality， 在明確 target-wise invariant 與 cost axes 上比較。} }

所以 ESC 逐漸不再只是「三個舊理論的統合」。

它正在變成一套：

\boxed{ \text{representation-preserving comparison / repair theory}. }

30. 下一輪：ESC-EXP-14

下一輪最自然的是研究：

\boxed{ \text{Epistemic-Effect Quotient and Minimal Realization}. }

先把具有相同：

(\mathbf G,\mathbf L)

的 repair actions quotient 成同一 epistemic-effect class：

r_1 \equiv_G r_2.

然後對每個 class 求：

\boxed{ \min(E,I,B,D) }

的 minimal realizations。

這會把目前高維、略顯雜亂的 repair frontier 收斂成：

我要得到哪一種知識增益？達到這個 epistemic effect 的最小實現方式有哪些？

這應該會是 ESC repair line 下一個真正的結構收束點。

ESC-EXP-13：Cost × Knowledge Pareto Geometry

ESC-EXP-13：Cost × Knowledge Pareto Geometry

摘要

1. Runtime 狀態

2. 統一 Benchmark

3. 本輪候選 Repair Set

4. K4−eK_4-eK4​−e：Cost × Knowledge Coordinates

Accounting only

Promote Probe

Promote Partition Count

Promote Observer Frame

Support Completion

Support Completion + Probe

5. C4C_4C4​

6. P4P_4P4​

7. Full Repair Frontier

8. 為什麼需要第二個 Frontier？

9. Joint-Gain Knowledge Frontier

10. 但這個 Dominance 是假的嗎？

11. Vector-Gain Frontier

12. 本輪最重要的反壓縮結果

13. Joint Entropy 並沒有錯

14. Joint Gain 與 Vector Gain 的角色

15. Observer Frame 與 Support+Probe

16. Epistemic-Effect Equivalence Class

17. Repair Representation / Epistemic Quotient

18. Accounting Only 的位置

19. Repair Productivity

20. Cost-Pareto 與 Knowledge-Pareto 不同

Full Repair Frontier

Knowledge-Efficiency Frontier

21. Cost-Pareto-Optimal 但 Knowledge-Inefficient

22. 但 Target-Wise Knowledge 又把它救回來

23. Meta-ESC：Evaluation Representation 也會影響結論

24. Anti-Collapse Principle

25. 這與 ESC 主題高度一致

26. 建議的 Repair Record

27. Repair Dominance 的兩種版本

Scalar-Joint Dominance

Target-Vector Dominance

28. 本輪錨點

29. 對原始「三個理論能不能合法放一起」的再次回扣

30. 下一輪：ESC-EXP-14

4. $K_4-e$ ：Cost × Knowledge Coordinates

5. $C_4$

6. $P_4$