# ESC-EXP-13：Cost × Knowledge Pareto Geometry

**系列：** Extensional Structural Convergence — Experimental Phase  
**文件編號：** ESC-EXP-13  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-23  
**前置：** ESC-00 ～ ESC-06、ESC-EXP-00 ～ ESC-EXP-12  
**狀態：** Multi-Objective Cost × Knowledge Experiment / Canonical UTF-8 Source

**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  

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## 摘要

ESC-EXP-11 建立了 Safe Repair 的 cost-side Pareto geometry：

$$
(E,I,B,D,L),
$$

其中：

- $E$：structural edit count；
- $I$：promoted information bits；
- $B$：raw residual bridge bits；
- $D$：accounting distortion；
- $L$：epistemic loss。

ESC-EXP-12 則將 epistemic effect 量化為：

$$
\mathbf G
=
(G_{J_1},\dots,G_{J_k}),
$$

$$
\mathbf L
=
(L_{J_1},\dots,L_{J_k}).
$$

本輪正式將兩者合併，得到：

$$
\boxed{
r
=
(E,I,B,D,\mathbf G,\mathbf L).
}
$$

並要求 safe repair：

$$
\boxed{
\mathbf L=\mathbf0.
}
$$

同時：

$$
\min(E,I,B,D)
$$

與：

$$
\max\mathbf G.
$$

本輪最重要的結果不是單一 winner，而是一個新的 aggregation 問題：

> 若把 target-wise epistemic gain $\mathbf G$ 壓成單一 joint entropy gain $G_{\mathrm{joint}}$，某些具有明確 specialization 的 repair 會被錯誤地視為 dominated。

具體而言，在三個 domains：

$$
K_4-e,
\quad
C_4,
\quad
P_4
$$

中：

$$
\boxed{
\text{promote partition count}
}
$$

都會掉出 **joint-gain knowledge-efficiency frontier**，

但在保留：

$$
\boxed{
\mathbf G
}
$$

的 **vector-gain frontier** 中重新出現。

所以：

$$
\boxed{
G_{\mathrm{joint}}
\text{ 不能取代 }
\mathbf G.
}
$$

這是 EXP-13 的核心結論。

---

# 1. Runtime 狀態

本輪新增 regression：

```text
5 passed
```

經快取優化後，EXP-13 重新完整執行成功。

測試包含：

- 所有 safe candidates 在 matched benchmark 上 componentwise loss 為數值零；
- accounting-only joint gain 為零；
- support-completion + probe 與 observer-frame 的 joint gain 相等；
- joint-gain knowledge frontier 會淘汰 partition specialist；
- vector-gain frontier 會恢復 partition specialist。

數值零判準採：

$$
10^{-12}
$$

容差，以避免浮點殘差被誤判為真 epistemic loss。

---

# 2. 統一 Benchmark

不同 repair 必須放在同一 epistemic benchmark 上比較。

本輪沿用 EXP-12 的 matched latent worlds：

- partition；
- context；
- probe；
- history；

保持相同。

relation type / direction 固定。

對 structural repair：

$$
\text{incomplete support}
\rightarrow
K_4
$$

只改 support geometry。

對 same-domain repair：

$$
\Pi_F
\rightarrow
(\Pi_F,S).
$$

如此所有 candidate 的：

$$
\mathbf G,
\quad
\mathbf L
$$

都能在同一 latent-world family 上比較。

---

# 3. 本輪候選 Repair Set

每個 incomplete-support domain 有六種 candidate：

1. accounting only；
2. promote probe；
3. promote partition count；
4. promote observer frame；
5. support completion；
6. support completion + probe。

所有本輪 safe candidates：

$$
\boxed{
\mathbf L=\mathbf0
}
$$

在：

$$
10^{-12}
$$

數值容差下成立。

---

# 4. $K_4-e$：Cost × Knowledge Coordinates

## Accounting only

$$
E=0,
\quad
I=0,
$$

$$
B\approx8.399398,
$$

$$
D\approx0.219606,
$$

$$
G_{\mathrm{joint}}=0.
$$

它只改 ranking cost，不產生知識增益。

---

## Promote Probe

$$
E=0,
$$

$$
I=1,
$$

$$
B\approx7.399398,
$$

$$
D=0,
$$

$$
G_{\mathrm{joint}}=1.
$$

gain vector 主要為：

$$
\boxed{
G_{\mathrm{probe}}=1.
}
$$

---

## Promote Partition Count

$$
E=0,
$$

$$
I\approx1.562807,
$$

$$
B\approx6.836592,
$$

$$
D=0.
$$

joint gain：

$$
G_{\mathrm{joint}}
\approx0.266667.
$$

但 target-wise：

$$
\boxed{
G_{\mathrm{partition\ count}}
=
G_{\mathrm{partition\ sizes}}
\approx0.266667.
}
$$

所以它是明確的：

$$
\boxed{
\text{partition specialist}.
}
$$

---

## Promote Observer Frame

$$
E=0,
$$

$$
I\approx2.562807,
$$

$$
B\approx5.836592,
$$

$$
G_{\mathrm{joint}}
\approx1.266667.
$$

其 gain vector 同時包含：

$$
G_{\mathrm{probe}}=1
$$

與：

$$
G_{\mathrm{partition}}
\approx0.266667.
$$

---

## Support Completion

$$
E=1,
$$

$$
I=0,
$$

$$
B\approx7.058814.
$$

epistemic gain：

$$
G_{\mathrm{joint}}
\approx0.266667.
$$

gain vector與 partition repair 對應：

$$
G_{\mathrm{partition}}
\approx0.266667.
$$

---

## Support Completion + Probe

$$
E=1,
$$

$$
I=1,
$$

$$
B\approx6.058814.
$$

joint gain：

$$
G_{\mathrm{joint}}
\approx1.266667.
$$

在 matched benchmark 上，它與：

$$
\text{promote observer frame}
$$

得到相同 target-wise epistemic gain：

- partition gain；
- probe gain。

但使用不同 repair resources。

---

# 5. $C_4$

partition-related gain 提升為：

$$
0.4\text{ bits}.
$$

因此：

promote partition count：

$$
G_{\mathrm{joint}}=0.4.
$$

promote observer frame：

$$
G_{\mathrm{joint}}=1.4.
$$

support completion：

$$
G_{\mathrm{joint}}=0.4.
$$

support completion + probe：

$$
G_{\mathrm{joint}}=1.4.
$$

其 cost axes 與 $K_4-e$ 不同，尤其 structural edit：

$$
E=2
$$

才可完成 support restoration。

---

# 6. $P_4$

partition-related gain：

$$
\boxed{
0.856984\text{ bits}.
}
$$

因此：

promote partition count：

$$
G_{\mathrm{joint}}
\approx0.856984.
$$

promote observer frame：

$$
G_{\mathrm{joint}}
\approx1.856984.
$$

support completion：

$$
G_{\mathrm{joint}}
\approx0.856984.
$$

support completion + probe：

$$
G_{\mathrm{joint}}
\approx1.856984.
$$

structural completion cost：

$$
E=3.
$$

---

# 7. Full Repair Frontier

若 dominance 同時考慮：

$$
(E,I,B,D)
$$

以及 gain，

三個 domains 的六個 candidates 都仍留在 full repair frontier。

即：

$$
\boxed{
|\mathcal P_{\mathrm{full}}|=6.
}
$$

原因是 residual bridge：

$$
B
$$

為不同 repair 提供額外 trade-off。

例如：

promote partition count 比 promote probe：

- $I$ 更高；
- joint gain 可能更低；

但：

$$
B
$$

更低。

因此 promote probe 無法在 full repair geometry 中支配它。

---

# 8. 為什麼需要第二個 Frontier？

如果目標不是「整體 repair state」，而是只想研究：

> intervention resource 換取 epistemic gain 的效率

那 residual bridge：

$$
B
$$

應暫時從 dominance 中拿掉。

因此本輪另外定義：

$$
\boxed{
\mathcal P_{\mathrm{knowledge}}
}
$$

比較：

$$
(E,I,D,L)
$$

與 knowledge gain。

這不是取代 full frontier，而是另一個截面。

---

# 9. Joint-Gain Knowledge Frontier

當 gain 被壓成：

$$
G_{\mathrm{joint}}
$$

時，三個 domains 都出現相同現象：

$$
\boxed{
\text{promote partition count 被淘汰}.
}
$$

原因是 promote probe：

$$
E=0,
$$

$$
I=1
<
1.562807,
$$

$$
D=0,
$$

$$
L=0,
$$

且：

$$
G_{\mathrm{joint}}(\text{probe})
=
1
$$

大於：

$$
G_{\mathrm{joint}}(\text{partition})
$$

在三個 domains 的：

$$
0.266667,
\quad
0.4,
\quad
0.856984.
$$

所以 scalar joint-gain criterion 會判定：

$$
\boxed{
\text{promote probe}
\succ
\text{promote partition count}.
}
$$

---

# 10. 但這個 Dominance 是假的嗎？

不是數學上假的。

它是相對於：

$$
\boxed{
G_{\mathrm{joint}}
}
$$

這個 scalar objective 完全正確的 dominance。

真正問題是：

$$
G_{\mathrm{joint}}
$$

是否保存了我們真正關心的 target semantics？

答案是：

$$
\boxed{
\text{不一定}.
}
$$

---

# 11. Vector-Gain Frontier

如果不壓縮 target-wise gain：

$$
\mathbf G
=
(
G_{\pi},
G_P,
G_\Gamma,
G_H,
\dots
),
$$

則：

promote probe 的 gain：

$$
\mathbf G_{\mathrm{probe}}
=
(0,\dots,1_{\mathrm{probe}},\dots)
$$

而 promote partition：

$$
\mathbf G_{\pi}
=
(0.266\dots_{\mathrm{partition}},\dots,0_{\mathrm{probe}},\dots).
$$

兩者作用在不同 epistemic axis。

所以：

$$
\boxed{
\mathbf G_{\mathrm{probe}}
\not\succeq
\mathbf G_{\pi}.
}
$$

同樣：

$$
\mathbf G_{\pi}
\not\succeq
\mathbf G_{\mathrm{probe}}.
$$

因此 promote partition count 回到：

$$
\boxed{
\mathcal P_{\mathrm{knowledge}}^{\mathrm{vector}}.
}
$$

---

# 12. 本輪最重要的反壓縮結果

三個 domains 都一致：

$$
\boxed{
\text{promote partition count}
\notin
\mathcal P_{\mathrm{knowledge}}^{\mathrm{joint}}
}
$$

但：

$$
\boxed{
\text{promote partition count}
\in
\mathcal P_{\mathrm{knowledge}}^{\mathrm{vector}}.
}
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{scalar epistemic aggregation can erase specialization}.
}
$$

這與 ESC 一路拒絕過早 identity collapse / dimension collapse 的方向一致。

---

# 13. Joint Entropy 並沒有錯

需要特別避免另一個極端。

$$
H(\mathcal J\mid\Pi)
$$

仍然是合法而有價值的量。

它回答：

> 對整個 joint target vector，還剩多少總不確定性？

但它不回答：

> 這些 uncertainty 分別落在哪些 target axes？

因此：

$$
\boxed{
G_{\mathrm{joint}}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\mathbf G
}
$$

應同時保留。

---

# 14. Joint Gain 與 Vector Gain 的角色

建議未來 ESC repair record 同時保存：

$$
\boxed{
G_{\mathrm{joint}}
}
$$

作為總資訊 closure 指標，

以及：

$$
\boxed{
\mathbf G
}
$$

作為 target specialization profile。

前者方便全域比較。

後者避免語義維度被壓平。

---

# 15. Observer Frame 與 Support+Probe

本輪還得到另一個乾淨結果。

對 matched benchmark：

$$
\boxed{
\mathbf G_{\mathrm{observer\ frame}}
=
\mathbf G_{\mathrm{support+probe}}.
}
$$

兩者都消除：

- partition ambiguity；
- probe ambiguity。

但 repair resources 不同。

observer frame：

$$
(E,I)
=
(0,2.562807).
$$

support + probe：

$$
(E,I)
=
(m,1),
$$

其中：

$$
m=1,2,3
$$

依 domain 而定。

因此即使 epistemic effect 完全一樣，cost geometry 仍不同。

---

# 16. Epistemic-Effect Equivalence Class

因此可以定義：

$$
r_1
\equiv_G
r_2
$$

若：

$$
\boxed{
\mathbf G(r_1)=\mathbf G(r_2)
}
$$

且：

$$
\mathbf L(r_1)=\mathbf L(r_2).
$$

observer-frame 與 support+probe 在本 benchmark 中屬於同一：

$$
\equiv_G
$$

class。

但它們不具有相同 repair cost vector。

---

# 17. Repair Representation / Epistemic Quotient

這提示一個新結構：

先對 repair actions 依 epistemic effect quotient：

$$
\mathcal R/\equiv_G.
$$

再在每個 epistemic-effect class 中研究：

$$
(E,I,B,D)
$$

的最低 cost realization。

也就是：

$$
\boxed{
\text{先問學到了什麼，
再問用什麼方式最便宜地學到。}
}
$$

這可能比直接把所有 repair action 混在同一高維 frontier 更容易分析。

---

# 18. Accounting Only 的位置

accounting-only：

$$
G_{\mathrm{joint}}=0,
$$

$$
\mathbf G=\mathbf0.
$$

但它仍可能留在 frontier。

因為：

$$
E=0,
$$

$$
I=0.
$$

代價集中在：

$$
D>0.
$$

所以只要 accounting distortion 是獨立 cost axis，它仍然是 nondominated control point。

因此：

$$
\boxed{
\text{Pareto-optimal}
\not\Rightarrow
\text{epistemically productive}.
}
$$

---

# 19. Repair Productivity

可以定義：

$$
\boxed{
P_{\mathrm{epi}}(r)
=
\mathbf1
\left[
G_{\mathrm{joint}}(r)>0
\right].
}
$$

accounting-only：

$$
P_{\mathrm{epi}}=0.
$$

其餘 epistemic repairs：

$$
P_{\mathrm{epi}}=1.
$$

所以未來 application 可以額外要求：

$$
G_{\mathrm{joint}}>0
$$

來排除純 ranking controls。

---

# 20. Cost-Pareto 與 Knowledge-Pareto 不同

EXP-11 的主要問題是：

$$
\boxed{
\text{怎麼安全地低成本 repair？}
}
$$

EXP-13 增加：

$$
\boxed{
\text{低成本 repair 到底帶來了多少、哪一種 knowledge？}
}
$$

因此至少需要：

### Full Repair Frontier

$$
\mathcal P(E,I,B,D,\mathbf G)
$$

### Knowledge-Efficiency Frontier

$$
\mathcal P(E,I,D,\mathbf G)
$$

兩者不能互相取代。

---

# 21. Cost-Pareto-Optimal 但 Knowledge-Inefficient

本輪原本特別要找：

> 哪些 cost-Pareto-optimal repair，在加入 epistemic gain 後其實不值得保留？

答案需要分兩層。

若 residual bridge：

$$
B
$$

仍保留，六個 candidate 都沒有被淘汰。

所以：

$$
\boxed{
\text{full cost×knowledge frontier 沒有刪掉 EXP-11 的六個核心 repair types。}
}
$$

但若切到 intervention-cost × knowledge efficiency：

$$
(E,I,D,\mathbf G),
$$

則 scalar joint gain 會刪除：

$$
\boxed{
\text{promote partition count}.
}
$$

這正是我們要找的現象。

---

# 22. 但 Target-Wise Knowledge 又把它救回來

所以真正更深的答案是：

> 一個 repair 是否 knowledge-inefficient，本身也依賴你如何表示 knowledge objective。

用 scalar：

$$
G_{\mathrm{joint}}
$$

它 inefficient。

用 vector：

$$
\mathbf G
$$

它是 partition-specialized nondominated repair。

因此：

$$
\boxed{
\text{Pareto geometry itself is representation-sensitive}.
}
$$

---

# 23. Meta-ESC：Evaluation Representation 也會影響結論

這甚至形成一個 ESC 自我指涉式觀察。

我們一直研究：

> F/C/I 的 representation 會不會影響可恢復性？

EXP-13 現在發現：

> **連「repair quality」的 representation 也會影響 Pareto conclusion。**

即：

$$
\boxed{
G_{\mathrm{joint}}
\neq
\mathbf G
}
$$

會改變 dominance relation。

所以 evaluation space 本身也必須保留足夠的 extensional structure。

---

# 24. Anti-Collapse Principle

因此可以提出：

$$
\boxed{
\text{Anti-Collapse Principle}
}
$$

如果 evaluation vector：

$$
\mathbf y
$$

被 projection：

$$
q(\mathbf y)
$$

壓成 scalar，

則由：

$$
q(\mathbf y_1)
\ge
q(\mathbf y_2)
$$

不能推出：

$$
\mathbf y_1
\succeq
\mathbf y_2
$$

除非：

$$
q
$$

對指定 partial order 是 order-reflecting。

joint entropy gain 並不滿足對 target-wise Pareto order 的這種一般保證。

---

# 25. 這與 ESC 主題高度一致

ESC 最初就是在討論：

- projection；
- extensional identity；
- lost dimensions；
- recoverability；
- complementary incompleteness。

EXP-13 顯示：

$$
\boxed{
\text{這些問題也出現在我們拿來評價 repair 的 metric 本身。}
}
$$

所以評估層也不能無條件 scalarize。

---

# 26. 建議的 Repair Record

未來每個 repair candidate 至少保存：

$$
\boxed{
r
=
(
E,
I,
B,
D,
G_{\mathrm{joint}},
\mathbf G,
\mathbf L
).
}
$$

其中：

$$
G_{\mathrm{joint}}
$$

方便全域效率比較，

$$
\mathbf G
$$

保存 specialization，

$$
\mathbf L
$$

負責 safety。

---

# 27. Repair Dominance 的兩種版本

## Scalar-Joint Dominance

$$
r_1
\succeq_{\mathrm{joint}}
r_2
$$

使用：

$$
G_{\mathrm{joint}}.
$$

## Target-Vector Dominance

$$
r_1
\succeq_{\mathrm{vec}}
r_2
$$

要求：

$$
\forall J,
\quad
G_J(r_1)
\ge
G_J(r_2).
$$

本輪證明：

$$
\boxed{
\succeq_{\mathrm{joint}}
\neq
\succeq_{\mathrm{vec}}.
}
$$

---

# 28. 本輪錨點

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-13.A}
\quad
\text{Safe Repair Pareto geometry 應同時包含 cost axes 與 epistemic-gain axes。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-13.B}
\quad
G_{\mathrm{joint}}
\text{ 與 target-wise }\mathbf G
\text{ 誘導不同 dominance relations。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-13.C}
\quad
\text{promote partition count 在 joint-gain frontier 被支配，但在 vector-gain frontier 為 nondominated。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-13.D}
\quad
\text{相同 epistemic effect 可以由不同 structural / information resource 組合實現。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-13.E}
\quad
\text{evaluation scalarization 本身也是一種 projection，可能造成 epistemic specialization collapse。}
}
$$

---

# 29. 對原始「三個理論能不能合法放一起」的再次回扣

現在我們甚至可以更精確地說：

不只是三套理論不能被過早 scalarize 成「一樣／不一樣」。

連：

> 哪一種 repair 比較好？

也不能只壓成單一數字。

更成熟的形式是：

$$
\boxed{
\text{保持 representation plurality，
在明確 target-wise invariant 與 cost axes 上比較。}
}
$$

所以 ESC 逐漸不再只是「三個舊理論的統合」。

它正在變成一套：

$$
\boxed{
\text{representation-preserving comparison / repair theory}.
}
$$

---

# 30. 下一輪：ESC-EXP-14

下一輪最自然的是研究：

$$
\boxed{
\text{Epistemic-Effect Quotient and Minimal Realization}.
}
$$

先把具有相同：

$$
(\mathbf G,\mathbf L)
$$

的 repair actions quotient 成同一 epistemic-effect class：

$$
r_1
\equiv_G
r_2.
$$

然後對每個 class 求：

$$
\boxed{
\min(E,I,B,D)
}
$$

的 minimal realizations。

這會把目前高維、略顯雜亂的 repair frontier 收斂成：

> **我要得到哪一種知識增益？達到這個 epistemic effect 的最小實現方式有哪些？**

這應該會是 ESC repair line 下一個真正的結構收束點。