ESC-EXP-12：Epistemic Gain / Loss Geometry

系列： Extensional Structural Convergence — Experimental Phase
文件編號： ESC-EXP-12
版本： v0.1
日期： 2026-09-23
前置： ESC-00 ～ ESC-06、ESC-EXP-00 ～ ESC-EXP-11
狀態： Quantitative Epistemic Repair Experiment / Canonical UTF-8 Source

作者： Neo.K
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司

摘要

ESC-EXP-11 已把 Safe Repair 寫成多目標 Pareto 問題，但 epistemic loss 軸仍然主要是 qualitative：

L=0.

本輪將這一軸正式資訊化。

對 target invariant：

J

與 projection：

\Pi,

定義 residual epistemic uncertainty：

\boxed{ E_{\Pi}(J) = H(J\mid\Pi). }

對 same-domain intervention：

\Pi \rightarrow \Pi',

定義：

\boxed{ G_J = \max \left( 0, H(J\mid\Pi) - H(J\mid\Pi') \right) }

以及：

\boxed{ L_J = \max \left( 0, H(J\mid\Pi') - H(J\mid\Pi) \right). }

其中：

G_J

是 epistemic gain，

L_J

是 epistemic loss。

本輪三個主要結果：

observable promotion 的所有測試 target 均滿足： $L_J=0;$
accounting-only intervention： $G_J=L_J=0;$
deliberate observation degradation 產生可量化正 loss。

此外，support completion 因為改變 domain，不能直接做 cross-domain entropy subtraction。

因此本輪建立：

\boxed{ \text{matched latent worlds} }

方法，在保持 partition/context/probe/history latent coordinates 相同的情況下，只改 relation-support geometry，再比較 F 的 uncertainty。

這使 structural edit 也第一次具有可比較的 epistemic gain。

1. Runtime

EXP-12 regression：

5 passed

測試涵蓋：

accounting intervention 必須零 gain / 零 loss；
observer-frame promotion 必須正 gain、零 loss；
deliberate degradation 必須產生正 loss；
support completion 必須降低 partition uncertainty；
support edit 比較必須明確使用 matched latent scope。

2. Epistemic State Vector

對 target family：

\mathcal J = \{J_1,\dots,J_k\},

定義 projection 的 epistemic uncertainty vector：

\boxed{ \mathbf E_{\Pi} = \left( H(J_1\mid\Pi), \dots, H(J_k\mid\Pi) \right). }

intervention：

\Pi\rightarrow\Pi'

產生：

\Delta\mathbf E = \mathbf E_{\Pi'} - \mathbf E_{\Pi}.

如果：

\Delta E_i\leq0

對所有 target 成立，則 intervention 對此 target family 為 componentwise non-lossy。

3. Monotone Epistemic Refinement Lemma

若：

\Pi'(X) = \left( \Pi(X), S(X) \right),

則：

\boxed{ H(J\mid\Pi,S) \leq H(J\mid\Pi) }

對任意 target：

J

成立。

原因是 conditioning cannot increase entropy。

因此同一 domain 內的 observable promotion，只要真的是：

\Pi' = (\Pi,S),

就自動具有：

\boxed{ L_J=0. }

這把 EXP-11 的 strong-safe projection refinement 從 set-theoretic kernel inclusion 又提升成資訊論 monotonicity。

4. Accounting Neutrality

若 intervention 只改 cost：

c\rightarrow c',

但：

\Pi'=\Pi,

則：

\boxed{ H(J\mid\Pi') = H(J\mid\Pi) }

所以：

\boxed{ G_J=L_J=0. }

本輪所有 accounting-only 實驗都精確得到這個結果。

這正式證明：

\boxed{ \text{ranking control} \neq \text{epistemic gain}. }

5. Same-Domain Repair Targets

F 的 same-domain repair 研究使用：

\{ \text{partition block count}, \text{partition block sizes}, \text{context}, \text{probe}, \text{history} \}.

研究三個 incomplete-support domains：

K_4-e, \quad C_4, \quad P_4.

baseline 都是：

\Pi_F.

比較：

accounting only；
promote probe；
promote partition count；
promote observer frame。

6. $K_4-e$

F baseline joint uncertainty：

\boxed{ 1.266667\text{ bits}. }

Accounting

1.266667 \rightarrow 1.266667.

所以：

G=L=0.

Promote Probe

1.266667 \rightarrow 0.266667.

gain：

\boxed{ 1.000000\text{ bit}. }

Promote Partition Count

1.266667 \rightarrow 1.000000.

gain：

\boxed{ 0.266667\text{ bits}. }

Promote Observer Frame

1.266667 \rightarrow 0.

gain：

\boxed{ 1.266667\text{ bits}. }

7. $C_4$

baseline：

\boxed{ 1.400000\text{ bits}. }

promote probe：

G=1.000000.

promote partition count：

G=0.400000.

promote observer frame：

G=1.400000.

全部：

L=0.

8. $P_4$

baseline joint uncertainty：

\boxed{ 1.856984\text{ bits}. }

promote probe：

G=1.000000.

promote partition count：

G\approx0.856984.

promote observer frame：

G\approx1.856984.

同樣：

L=0.

9. Probe Promotion 為什麼永遠剛好約 $1$ bit？

本輪 probe mode 在：

\{ \text{closed neighborhood}, \text{radius-2} \}

二元均勻變化。

F 原本完全不看 probe mode。

因此：

H(P\mid F) = 1\text{ bit}.

promote probe 後：

H(P\mid F,P)=0.

所以 gain：

\boxed{ 1\text{ bit}. }

這是 projection-blind binary coordinate 的標準案例。

10. Epistemic Gain Efficiency

定義：

\boxed{ \eta = \frac{ G_{\mathrm{joint}} }{ H(S) } }

其中：

S

是 promoted observable。

它量化：

每傳入 $1$ bit native observable，消除了多少 joint epistemic uncertainty？

11. Repair Efficiency： $K_4-e$

promote probe：

\eta \approx 1.000.

promote partition count：

\eta \approx 0.171.

promote observer frame：

\eta \approx 0.494.

所以若唯一目標是「每 bit 最大 epistemic gain」：

\boxed{ \text{probe promotion} }

最高。

但這不代表它 residual bridge 最低。

12. Repair Efficiency： $C_4$

probe：

\eta\approx1.000.

partition：

\eta\approx0.256.

observer frame：

\eta\approx0.546.

13. Repair Efficiency： $P_4$

probe：

\eta\approx1.000.

partition：

\eta\approx0.548.

observer frame：

\eta\approx0.725.

所以 partition-related observable 的 gain efficiency 會隨 support geometry 改變。

14. 為什麼 Observer Frame 的效率小於 $1$ ？

observer frame 同時傳：

(\text{probe},\text{partition count}).

但這兩個 promoted coordinates 不一定每一個 bit 都對 baseline ambiguity 同等有用。

因此：

H(S)

可以大於真正被消除的：

H(J\mid\Pi) - H(J\mid\Pi,S).

所以：

\boxed{ \eta\leq1 }

在 direct target-promotion 情況下是自然結果。

15. Unsafe Degradation：Hide F Context

把 context 從 F projection 中刪除。

三個 domains 都產生約：

\boxed{ 1\text{ bit} }

joint epistemic loss。

例如 $P_4$ ：

1.856984 \rightarrow 2.856984.

所以：

\boxed{ L\approx1. }

這與 context 的 binary entropy 完全一致。

16. Unsafe Degradation：Hide C Partition

C 原本直接保存 global partition。

將 partition 從 C projection 移除後，joint loss：

K_4-e: \approx1.215461\text{ bits},

C_4: \approx1.173976\text{ bits},

P_4: \approx1.166713\text{ bits}.

這不是固定：

H(\pi)

本身。

因為其它 C-visible relation/history data 仍能間接縮小 partition ambiguity。

所以：

\boxed{ \text{hide raw coordinate} \neq \text{lose its full marginal entropy}. }

真正 loss 是 conditional uncertainty increase。

17. Quantitative Unsafe Criterion

因此對固定 domain / target family，可以定義：

\boxed{ \text{unsafe} \iff \exists J: L_J>0. }

strong-safe 則要求：

\boxed{ \forall J: L_J=0. }

這比 EXP-11 的 qualitative safety label 更直接。

18. Structural Support Edit 的比較問題

support completion：

P_4\rightarrow K_4

改變 substrate relation structure。

所以不能直接把：

H_{\mathcal D_{P_4}} (J\mid F)

與：

H_{\mathcal D_{K_4}} (J\mid F)

拿來相減。

因為兩個 domain 的 state distribution 本身不同。

因此本輪不使用 naive cross-domain entropy subtraction。

19. Matched Latent Worlds

本輪建立一組共同 latent coordinates：

partition；
context；
probe；
history bit。

固定：

relation type；
direction convention。

然後對每一個 latent world 建立：

B_{\mathrm{incomplete}}

與：

B_{K_4}

兩個版本。

所以 before / after 是：

\boxed{ \text{same latent world, different support geometry}. }

這使 support intervention 的 epistemic gain 具有可比性。

20. $K_4-e\rightarrow K_4$

matched worlds：

120.

partition-block-size uncertainty：

0.266667 \rightarrow 0.

所以：

\boxed{ G_{\pi} = 0.266667\text{ bits}. }

joint gain 同樣約：

0.266667.

因為 support completion 不修 F 的 probe blindness，after 仍保留：

1\text{ bit}

probe uncertainty。

21. $C_4\rightarrow K_4$

缺：

2

條 edges。

partition gain：

\boxed{ 0.400000\text{ bits}. }

平均每 added edge：

\boxed{ 0.200000\text{ bits/edge}. }

22. $P_4\rightarrow K_4$

缺：

3

條 edges。

partition gain：

\boxed{ 0.856984\text{ bits}. }

平均：

\boxed{ 0.285661\text{ bits/edge}. }

23. Edge Gain 並不單調

三個 structural repair：

K_4-e: 0.266667\text{ bits/edge},

C_4: 0.200000\text{ bits/edge},

P_4: 0.285661\text{ bits/edge}.

所以：

\boxed{ \text{epistemic gain per edge} }

並不只由 missing-edge count 決定。

support geometry 仍然影響每一條 edge 的資訊價值。

這與 EXP-05/09 的 support-shape geometry 再次一致。

24. Structural Information Value

因此可以定義對 support intervention：

e: G\rightarrow G+e,

其 target-specific marginal information value：

\boxed{ V_J(e\mid G) = H(J\mid\Pi_G) - H(J\mid\Pi_{G+e}). }

此值一般依賴：

G

本身。

所以同一條「加一 edge」操作沒有固定資訊價值。

25. Same-Domain vs Structural Gain

本輪必須保留兩種 gain。

Same-domain gain

G_J^{\mathrm{proj}}

來自：

\Pi\rightarrow(\Pi,S).

這有 conditioning monotonicity 保證。

Matched-world structural gain

G_J^{\mathrm{struct}}

來自 matched latent worlds 下：

G\rightarrow G'.

它不是單純 conditioning theorem，而是結構介入後重新計算 projection informativeness。

兩者不能偷換。

26. Epistemic Repair Vector

EXP-11 的 repair vector：

(E,I,B,D,L)

現在可以擴充為：

\boxed{ \mathbf r_{\mathrm{epi}} = (E,I,B,D,\mathbf G,\mathbf L). }

其中：

\mathbf G = (G_{J_1},\dots,G_{J_k}),

\mathbf L = (L_{J_1},\dots,L_{J_k}).

所以 repair frontier 現在可以真正比較：

花多少資訊；
降多少 residual bridge；
得到多少 target-specific epistemic gain；
是否犧牲其他 target。

27. Net Epistemic Gain

定義：

\boxed{ N_J = G_J-L_J = H(J\mid\Pi) - H(J\mid\Pi'). }

對 strong-safe promotion：

N_J\geq0.

對 accounting：

N_J=0.

對 deliberate degradation：

某些 target：

N_J<0.

因此：

\boxed{ \text{net epistemic gain} }

可以成為 intervention direction 的有號量。

28. Safe Repair 的資訊論定義

對固定 domain / target family：

\mathcal J,

可將 strong-safe repair 寫成：

\boxed{ \forall J\in\mathcal J, \quad H(J\mid\Pi') \leq H(J\mid\Pi). }

如果至少一個 target 嚴格下降：

\exists J: H(J\mid\Pi') < H(J\mid\Pi),

則是：

\boxed{ \text{strict epistemic repair}. }

accounting-only 則是安全但非 strict：

H(J\mid\Pi') = H(J\mid\Pi).

29. EXP-12 對 EXP-11 的修正

EXP-11 說：

L=0.

EXP-12 現在可以把它替換成：

\boxed{ \mathbf L=\mathbf0. }

而且同時知道：

\mathbf G

有多少。

所以兩個同樣 safe 的 repair 不再只有「都沒損失」這一個資訊。

可以進一步比較：

\boxed{ \text{哪個真的學到了更多。} }

30. 系列錨點

\boxed{ \textbf{ESC-EXP-12.A} \quad E_{\Pi}(J)=H(J\mid\Pi) \text{ 可以作為 target-specific residual epistemic uncertainty。} }

\boxed{ \textbf{ESC-EXP-12.B} \quad \Pi'=(\Pi,S) \Rightarrow H(J\mid\Pi')\leq H(J\mid\Pi). }

\boxed{ \textbf{ESC-EXP-12.C} \quad \text{accounting-only chamber control 的 epistemic gain / loss 都是 }0. }

\boxed{ \textbf{ESC-EXP-12.D} \quad \text{support edits 必須透過 matched latent worlds 才能做 epistemic gain 比較。} }

\boxed{ \textbf{ESC-EXP-12.E} \quad \text{edge 的 epistemic value 是 context-dependent，而非固定常數。} }

31. 下一輪：ESC-EXP-13

下一輪最自然的是：

\boxed{ \text{Epistemic Repair Frontier 2.0} }

把 EXP-11 與 EXP-12 合併。

也就是直接做多目標：

\boxed{ \min(E,I,B,D) }

同時：

\boxed{ \max \mathbf G }

subject to：

\boxed{ \mathbf L=\mathbf0. }

並研究：

哪些 intervention 是 cost-Pareto-optimal，卻在 epistemic gain 上被另一個 intervention 支配？

這樣可以把「安全修復」從 cost frontier 升級成真正的 cost × knowledge Pareto geometry。

ESC-EXP-12：Epistemic Gain _ Loss Geometry

ESC-EXP-12：Epistemic Gain / Loss Geometry

摘要

1. Runtime

2. Epistemic State Vector

3. Monotone Epistemic Refinement Lemma

4. Accounting Neutrality

5. Same-Domain Repair Targets

6. K4−eK_4-eK4​−e

Accounting

Promote Probe

Promote Partition Count

Promote Observer Frame

7. C4C_4C4​

8. P4P_4P4​

9. Probe Promotion 為什麼永遠剛好約 111 bit？

10. Epistemic Gain Efficiency

11. Repair Efficiency： K4−eK_4-eK4​−e

12. Repair Efficiency： C4C_4C4​

13. Repair Efficiency： P4P_4P4​

14. 為什麼 Observer Frame 的效率小於 111？

15. Unsafe Degradation：Hide F Context

16. Unsafe Degradation：Hide C Partition

17. Quantitative Unsafe Criterion

18. Structural Support Edit 的比較問題

19. Matched Latent Worlds

20. K4−e→K4K_4-e\rightarrow K_4K4​−e→K4​

21. C4→K4C_4\rightarrow K_4C4​→K4​

22. P4→K4P_4\rightarrow K_4P4​→K4​

23. Edge Gain 並不單調

24. Structural Information Value

25. Same-Domain vs Structural Gain

Same-domain gain

Matched-world structural gain

26. Epistemic Repair Vector

27. Net Epistemic Gain

28. Safe Repair 的資訊論定義

29. EXP-12 對 EXP-11 的修正

30. 系列錨點

31. 下一輪：ESC-EXP-13

6. $K_4-e$

7. $C_4$

8. $P_4$

9. Probe Promotion 為什麼永遠剛好約 $1$ bit？

11. Repair Efficiency： $K_4-e$

12. Repair Efficiency： $C_4$

13. Repair Efficiency： $P_4$

14. 為什麼 Observer Frame 的效率小於 $1$ ？

20. $K_4-e\rightarrow K_4$

21. $C_4\rightarrow K_4$

22. $P_4\rightarrow K_4$