# ESC-EXP-12：Epistemic Gain / Loss Geometry

**系列：** Extensional Structural Convergence — Experimental Phase  
**文件編號：** ESC-EXP-12  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-23  
**前置：** ESC-00 ～ ESC-06、ESC-EXP-00 ～ ESC-EXP-11  
**狀態：** Quantitative Epistemic Repair Experiment / Canonical UTF-8 Source

**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  

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## 摘要

ESC-EXP-11 已把 Safe Repair 寫成多目標 Pareto 問題，但 epistemic loss 軸仍然主要是 qualitative：

$$
L=0.
$$

本輪將這一軸正式資訊化。

對 target invariant：

$$
J
$$

與 projection：

$$
\Pi,
$$

定義 residual epistemic uncertainty：

$$
\boxed{
E_{\Pi}(J)
=
H(J\mid\Pi).
}
$$

對 same-domain intervention：

$$
\Pi
\rightarrow
\Pi',
$$

定義：

$$
\boxed{
G_J
=
\max
\left(
0,
H(J\mid\Pi)
-
H(J\mid\Pi')
\right)
}
$$

以及：

$$
\boxed{
L_J
=
\max
\left(
0,
H(J\mid\Pi')
-
H(J\mid\Pi)
\right).
}
$$

其中：

$$
G_J
$$

是 epistemic gain，

$$
L_J
$$

是 epistemic loss。

本輪三個主要結果：

1. observable promotion 的所有測試 target 均滿足：
   $$
   L_J=0;
   $$
2. accounting-only intervention：
   $$
   G_J=L_J=0;
   $$
3. deliberate observation degradation 產生可量化正 loss。

此外，support completion 因為改變 domain，不能直接做 cross-domain entropy subtraction。

因此本輪建立：

$$
\boxed{
\text{matched latent worlds}
}
$$

方法，在保持 partition/context/probe/history latent coordinates 相同的情況下，只改 relation-support geometry，再比較 F 的 uncertainty。

這使 structural edit 也第一次具有可比較的 epistemic gain。

---

# 1. Runtime

EXP-12 regression：

```text
5 passed
```

測試涵蓋：

- accounting intervention 必須零 gain / 零 loss；
- observer-frame promotion 必須正 gain、零 loss；
- deliberate degradation 必須產生正 loss；
- support completion 必須降低 partition uncertainty；
- support edit 比較必須明確使用 matched latent scope。

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# 2. Epistemic State Vector

對 target family：

$$
\mathcal J
=
\{J_1,\dots,J_k\},
$$

定義 projection 的 epistemic uncertainty vector：

$$
\boxed{
\mathbf E_{\Pi}
=
\left(
H(J_1\mid\Pi),
\dots,
H(J_k\mid\Pi)
\right).
}
$$

intervention：

$$
\Pi\rightarrow\Pi'
$$

產生：

$$
\Delta\mathbf E
=
\mathbf E_{\Pi'}
-
\mathbf E_{\Pi}.
$$

如果：

$$
\Delta E_i\leq0
$$

對所有 target 成立，則 intervention 對此 target family 為 componentwise non-lossy。

---

# 3. Monotone Epistemic Refinement Lemma

若：

$$
\Pi'(X)
=
\left(
\Pi(X),
S(X)
\right),
$$

則：

$$
\boxed{
H(J\mid\Pi,S)
\leq
H(J\mid\Pi)
}
$$

對任意 target：

$$
J
$$

成立。

原因是 conditioning cannot increase entropy。

因此同一 domain 內的 observable promotion，只要真的是：

$$
\Pi'
=
(\Pi,S),
$$

就自動具有：

$$
\boxed{
L_J=0.
}
$$

這把 EXP-11 的 strong-safe projection refinement 從 set-theoretic kernel inclusion 又提升成資訊論 monotonicity。

---

# 4. Accounting Neutrality

若 intervention 只改 cost：

$$
c\rightarrow c',
$$

但：

$$
\Pi'=\Pi,
$$

則：

$$
\boxed{
H(J\mid\Pi')
=
H(J\mid\Pi)
}
$$

所以：

$$
\boxed{
G_J=L_J=0.
}
$$

本輪所有 accounting-only 實驗都精確得到這個結果。

這正式證明：

$$
\boxed{
\text{ranking control}
\neq
\text{epistemic gain}.
}
$$

---

# 5. Same-Domain Repair Targets

F 的 same-domain repair 研究使用：

$$
\{
\text{partition block count},
\text{partition block sizes},
\text{context},
\text{probe},
\text{history}
\}.
$$

研究三個 incomplete-support domains：

$$
K_4-e,
\quad
C_4,
\quad
P_4.
$$

baseline 都是：

$$
\Pi_F.
$$

比較：

- accounting only；
- promote probe；
- promote partition count；
- promote observer frame。

---

# 6. $K_4-e$

F baseline joint uncertainty：

$$
\boxed{
1.266667\text{ bits}.
}
$$

## Accounting

$$
1.266667
\rightarrow
1.266667.
$$

所以：

$$
G=L=0.
$$

## Promote Probe

$$
1.266667
\rightarrow
0.266667.
$$

gain：

$$
\boxed{
1.000000\text{ bit}.
}
$$

## Promote Partition Count

$$
1.266667
\rightarrow
1.000000.
$$

gain：

$$
\boxed{
0.266667\text{ bits}.
}
$$

## Promote Observer Frame

$$
1.266667
\rightarrow
0.
$$

gain：

$$
\boxed{
1.266667\text{ bits}.
}
$$

---

# 7. $C_4$

baseline：

$$
\boxed{
1.400000\text{ bits}.
}
$$

promote probe：

$$
G=1.000000.
$$

promote partition count：

$$
G=0.400000.
$$

promote observer frame：

$$
G=1.400000.
$$

全部：

$$
L=0.
$$

---

# 8. $P_4$

baseline joint uncertainty：

$$
\boxed{
1.856984\text{ bits}.
}
$$

promote probe：

$$
G=1.000000.
$$

promote partition count：

$$
G\approx0.856984.
$$

promote observer frame：

$$
G\approx1.856984.
$$

同樣：

$$
L=0.
$$

---

# 9. Probe Promotion 為什麼永遠剛好約 $1$ bit？

本輪 probe mode 在：

$$
\{
\text{closed neighborhood},
\text{radius-2}
\}
$$

二元均勻變化。

F 原本完全不看 probe mode。

因此：

$$
H(P\mid F)
=
1\text{ bit}.
$$

promote probe 後：

$$
H(P\mid F,P)=0.
$$

所以 gain：

$$
\boxed{
1\text{ bit}.
}
$$

這是 projection-blind binary coordinate 的標準案例。

---

# 10. Epistemic Gain Efficiency

定義：

$$
\boxed{
\eta
=
\frac{
G_{\mathrm{joint}}
}{
H(S)
}
}
$$

其中：

$$
S
$$

是 promoted observable。

它量化：

> 每傳入 $1$ bit native observable，消除了多少 joint epistemic uncertainty？

---

# 11. Repair Efficiency： $K_4-e$

promote probe：

$$
\eta
\approx
1.000.
$$

promote partition count：

$$
\eta
\approx
0.171.
$$

promote observer frame：

$$
\eta
\approx
0.494.
$$

所以若唯一目標是「每 bit 最大 epistemic gain」：

$$
\boxed{
\text{probe promotion}
}
$$

最高。

但這不代表它 residual bridge 最低。

---

# 12. Repair Efficiency： $C_4$

probe：

$$
\eta\approx1.000.
$$

partition：

$$
\eta\approx0.256.
$$

observer frame：

$$
\eta\approx0.546.
$$

---

# 13. Repair Efficiency： $P_4$

probe：

$$
\eta\approx1.000.
$$

partition：

$$
\eta\approx0.548.
$$

observer frame：

$$
\eta\approx0.725.
$$

所以 partition-related observable 的 gain efficiency 會隨 support geometry 改變。

---

# 14. 為什麼 Observer Frame 的效率小於 $1$？

observer frame 同時傳：

$$
(\text{probe},\text{partition count}).
$$

但這兩個 promoted coordinates 不一定每一個 bit 都對 baseline ambiguity 同等有用。

因此：

$$
H(S)
$$

可以大於真正被消除的：

$$
H(J\mid\Pi)
-
H(J\mid\Pi,S).
$$

所以：

$$
\boxed{
\eta\leq1
}
$$

在 direct target-promotion 情況下是自然結果。

---

# 15. Unsafe Degradation：Hide F Context

把 context 從 F projection 中刪除。

三個 domains 都產生約：

$$
\boxed{
1\text{ bit}
}
$$

joint epistemic loss。

例如 $P_4$：

$$
1.856984
\rightarrow
2.856984.
$$

所以：

$$
\boxed{
L\approx1.
}
$$

這與 context 的 binary entropy 完全一致。

---

# 16. Unsafe Degradation：Hide C Partition

C 原本直接保存 global partition。

將 partition 從 C projection 移除後，joint loss：

$$
K_4-e:
\approx1.215461\text{ bits},
$$

$$
C_4:
\approx1.173976\text{ bits},
$$

$$
P_4:
\approx1.166713\text{ bits}.
$$

這不是固定：

$$
H(\pi)
$$

本身。

因為其它 C-visible relation/history data 仍能間接縮小 partition ambiguity。

所以：

$$
\boxed{
\text{hide raw coordinate}
\neq
\text{lose its full marginal entropy}.
}
$$

真正 loss 是 conditional uncertainty increase。

---

# 17. Quantitative Unsafe Criterion

因此對固定 domain / target family，可以定義：

$$
\boxed{
\text{unsafe}
\iff
\exists J:
L_J>0.
}
$$

strong-safe 則要求：

$$
\boxed{
\forall J:
L_J=0.
}
$$

這比 EXP-11 的 qualitative safety label 更直接。

---

# 18. Structural Support Edit 的比較問題

support completion：

$$
P_4\rightarrow K_4
$$

改變 substrate relation structure。

所以不能直接把：

$$
H_{\mathcal D_{P_4}}
(J\mid F)
$$

與：

$$
H_{\mathcal D_{K_4}}
(J\mid F)
$$

拿來相減。

因為兩個 domain 的 state distribution 本身不同。

因此本輪不使用 naive cross-domain entropy subtraction。

---

# 19. Matched Latent Worlds

本輪建立一組共同 latent coordinates：

- partition；
- context；
- probe；
- history bit。

固定：

- relation type；
- direction convention。

然後對每一個 latent world 建立：

$$
B_{\mathrm{incomplete}}
$$

與：

$$
B_{K_4}
$$

兩個版本。

所以 before / after 是：

$$
\boxed{
\text{same latent world, different support geometry}.
}
$$

這使 support intervention 的 epistemic gain 具有可比性。

---

# 20. $K_4-e\rightarrow K_4$

matched worlds：

$$
120.
$$

partition-block-size uncertainty：

$$
0.266667
\rightarrow
0.
$$

所以：

$$
\boxed{
G_{\pi}
=
0.266667\text{ bits}.
}
$$

joint gain 同樣約：

$$
0.266667.
$$

因為 support completion 不修 F 的 probe blindness，after 仍保留：

$$
1\text{ bit}
$$

probe uncertainty。

---

# 21. $C_4\rightarrow K_4$

缺：

$$
2
$$

條 edges。

partition gain：

$$
\boxed{
0.400000\text{ bits}.
}
$$

平均每 added edge：

$$
\boxed{
0.200000\text{ bits/edge}.
}
$$

---

# 22. $P_4\rightarrow K_4$

缺：

$$
3
$$

條 edges。

partition gain：

$$
\boxed{
0.856984\text{ bits}.
}
$$

平均：

$$
\boxed{
0.285661\text{ bits/edge}.
}
$$

---

# 23. Edge Gain 並不單調

三個 structural repair：

$$
K_4-e:
0.266667\text{ bits/edge},
$$

$$
C_4:
0.200000\text{ bits/edge},
$$

$$
P_4:
0.285661\text{ bits/edge}.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{epistemic gain per edge}
}
$$

並不只由 missing-edge count 決定。

support geometry 仍然影響每一條 edge 的資訊價值。

這與 EXP-05/09 的 support-shape geometry 再次一致。

---

# 24. Structural Information Value

因此可以定義對 support intervention：

$$
e:
G\rightarrow G+e,
$$

其 target-specific marginal information value：

$$
\boxed{
V_J(e\mid G)
=
H(J\mid\Pi_G)
-
H(J\mid\Pi_{G+e}).
}
$$

此值一般依賴：

$$
G
$$

本身。

所以同一條「加一 edge」操作沒有固定資訊價值。

---

# 25. Same-Domain vs Structural Gain

本輪必須保留兩種 gain。

## Same-domain gain

$$
G_J^{\mathrm{proj}}
$$

來自：

$$
\Pi\rightarrow(\Pi,S).
$$

這有 conditioning monotonicity 保證。

## Matched-world structural gain

$$
G_J^{\mathrm{struct}}
$$

來自 matched latent worlds 下：

$$
G\rightarrow G'.
$$

它不是單純 conditioning theorem，而是結構介入後重新計算 projection informativeness。

兩者不能偷換。

---

# 26. Epistemic Repair Vector

EXP-11 的 repair vector：

$$
(E,I,B,D,L)
$$

現在可以擴充為：

$$
\boxed{
\mathbf r_{\mathrm{epi}}
=
(E,I,B,D,\mathbf G,\mathbf L).
}
$$

其中：

$$
\mathbf G
=
(G_{J_1},\dots,G_{J_k}),
$$

$$
\mathbf L
=
(L_{J_1},\dots,L_{J_k}).
$$

所以 repair frontier 現在可以真正比較：

- 花多少資訊；
- 降多少 residual bridge；
- 得到多少 target-specific epistemic gain；
- 是否犧牲其他 target。

---

# 27. Net Epistemic Gain

定義：

$$
\boxed{
N_J
=
G_J-L_J
=
H(J\mid\Pi)
-
H(J\mid\Pi').
}
$$

對 strong-safe promotion：

$$
N_J\geq0.
$$

對 accounting：

$$
N_J=0.
$$

對 deliberate degradation：

某些 target：

$$
N_J<0.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{net epistemic gain}
}
$$

可以成為 intervention direction 的有號量。

---

# 28. Safe Repair 的資訊論定義

對固定 domain / target family：

$$
\mathcal J,
$$

可將 strong-safe repair 寫成：

$$
\boxed{
\forall J\in\mathcal J,
\quad
H(J\mid\Pi')
\leq
H(J\mid\Pi).
}
$$

如果至少一個 target 嚴格下降：

$$
\exists J:
H(J\mid\Pi')
<
H(J\mid\Pi),
$$

則是：

$$
\boxed{
\text{strict epistemic repair}.
}
$$

accounting-only 則是安全但非 strict：

$$
H(J\mid\Pi')
=
H(J\mid\Pi).
$$

---

# 29. EXP-12 對 EXP-11 的修正

EXP-11 說：

$$
L=0.
$$

EXP-12 現在可以把它替換成：

$$
\boxed{
\mathbf L=\mathbf0.
}
$$

而且同時知道：

$$
\mathbf G
$$

有多少。

所以兩個同樣 safe 的 repair 不再只有「都沒損失」這一個資訊。

可以進一步比較：

$$
\boxed{
\text{哪個真的學到了更多。}
}
$$

---

# 30. 系列錨點

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-12.A}
\quad
E_{\Pi}(J)=H(J\mid\Pi)
\text{ 可以作為 target-specific residual epistemic uncertainty。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-12.B}
\quad
\Pi'=(\Pi,S)
\Rightarrow
H(J\mid\Pi')\leq H(J\mid\Pi).
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-12.C}
\quad
\text{accounting-only chamber control 的 epistemic gain / loss 都是 }0.
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-12.D}
\quad
\text{support edits 必須透過 matched latent worlds 才能做 epistemic gain 比較。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-12.E}
\quad
\text{edge 的 epistemic value 是 context-dependent，而非固定常數。}
}
$$

---

# 31. 下一輪：ESC-EXP-13

下一輪最自然的是：

$$
\boxed{
\text{Epistemic Repair Frontier 2.0}
}
$$

把 EXP-11 與 EXP-12 合併。

也就是直接做多目標：

$$
\boxed{
\min(E,I,B,D)
}
$$

同時：

$$
\boxed{
\max \mathbf G
}
$$

subject to：

$$
\boxed{
\mathbf L=\mathbf0.
}
$$

並研究：

> 哪些 intervention 是 cost-Pareto-optimal，卻在 epistemic gain 上被另一個 intervention 支配？

這樣可以把「安全修復」從 cost frontier 升級成真正的 **cost × knowledge Pareto geometry**。