ESC-EXP-08：Cross-Domain ESC Distance Field

系列： Extensional Structural Convergence — Experimental Phase
文件編號： ESC-EXP-08
版本： v0.1
日期： 2026-09-22
前置： ESC-00 ～ ESC-06、ESC-EXP-00 ～ ESC-EXP-07
狀態： Executable Finite-Model Evidence / Canonical UTF-8 Source

作者： Neo.K
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司

摘要

ESC-EXP-07 在單一 controlled domain 中得到：

d_{\mathrm{ESC}}(F,C) < d_{\mathrm{ESC}}(F,I) < d_{\mathrm{ESC}}(C,I).

本輪專門測試這個排序是否具有 cross-domain stability。

為了避免把單一 finite distribution 的結果誤當成理論常數，本輪改變四類條件：

node count： $n=3,4;$
support geometry： $\text{complete} \quad\text{vs.}\quad \text{path};$
bridge-cost model：
- entropy；
- unit；
- semantic premium；
target priority：
- full kernel；
- structural-relational；
- semantic-observer；
- relation-only。

因此共有：

4 \times 3 \times 4 = 48

個 distance-field samples。

主要結果是：

\boxed{ d_{\mathrm{ESC}} \text{ 的排序不是常數。} }

帶 explicit ties 的 48 個情境分布為：

$FC<FI<CI$ ：5；
$FC<CI<FI$ ：9；
$FC<CI=FI$ ：22；
$FI<CI=FC$ ：8；
$FC=FI=CI$ ：4。

所以 EXP-07 的 strict baseline：

FC<FI<CI

只在：

5/48

個 samples 中維持。

更重要的是，有：

\boxed{ 9 }

個 genuine：

FC<CI<FI

reversals，而不是 tie-breaking 假象。

1. Runtime 狀態

EXP-08 新增 regression：

4 passed

完整 experimental regression：

41 passed

本輪保留前七輪所有既有 finite checks。

2. Controlled Microdomains

為了讓 cross-domain 比較在目前計算預算下可重播，本輪使用固定 support 的 controlled labelled microdomains，而不是重新做完整 graph-isomorphism census。

這與 EXP-07 的 canonical $624$ -state domain不同，因此 entropy cost 的絕對值不應跨輪直接視為同一 empirical distribution。

本輪 domain sizes：

|\mathcal D_{3,\mathrm{complete}}| = 640,

|\mathcal D_{3,\mathrm{path}}| = 640,

|\mathcal D_{4,\mathrm{complete}}| = 1080,

|\mathcal D_{4,\mathrm{path}}| = 1080.

各 microdomain 都系統性變動：

partition；
representative relation-type patterns；
representative direction patterns；
context；
probe frame；
history bit。

所以本輪目標是比較：

\boxed{ \text{distance ordering stability} }

而不是重新估計自然資料分布。

3. Distance Field 的正式化

EXP-07 的 distance 現在需要再增加 cost model：

\boxed{ d_{\mathrm{ESC}} (P,Q \mid \mathcal D, \mathcal J, c) }

其中：

\mathcal D

是 domain，

\mathcal J

是 target kernel，

c

是 observation-cost model。

因此定義 ESC distance field：

\boxed{ \mathbb D_{\mathrm{ESC}}(\theta) = \left[ d_{\mathrm{ESC}}(P,Q\mid\theta) \right]_{P,Q} }

其中：

\theta = ( \mathcal D, \mathcal J, c ).

4. Adaptation-Cost Field

令：

A_F(\theta), \quad A_C(\theta), \quad A_I(\theta)

為 F/C/I 各自補到 target kernel 的最小 adaptation cost。

EXP-07 的 star bridge distance 為：

d_{FC} = A_F+A_C,

d_{FI} = A_F+A_I,

d_{CI} = A_C+A_I.

所以 pairwise distance ordering 其實由：

\boxed{ \mathbf A(\theta) = (A_F,A_C,A_I) }

完全決定。

5. Star Bridge Ordering Lemma

對任意三個非負 adaptation costs：

A_F,A_C,A_I,

有：

d_{FI}-d_{CI} = A_F-A_C,

d_{FC}-d_{FI} = A_C-A_I,

d_{FC}-d_{CI} = A_F-A_I.

因此：

\boxed{ A_F<A_C \iff d_{FI}<d_{CI}. }

同理：

\boxed{ A_C<A_I \iff d_{FC}<d_{FI}, }

\boxed{ A_F<A_I \iff d_{FC}<d_{CI}. }

所以 distance ranking flip 等價於 adaptation-cost ordering flip。

這使 EXP-08 的 cross-domain distance field 可以降維為：

\boxed{ \text{adaptation-cost field} }

加上一個固定的 star-distance transformation。

6. Distance Chambers

adaptation space：

\mathbb R_{\ge0}^{3}

被三個 tie surfaces：

A_F=A_C,

A_F=A_I,

A_C=A_I

切分成 strict-order chambers 與 tie walls。

例如：

A_F<A_C<A_I

對應：

FC<FI<CI.

而：

A_C<A_F<A_I

對應：

FC<CI<FI.

因此：

\boxed{ \text{ESC distance ranking} }

具有一個明確的 chamber geometry。

7. Full Kernel + Entropy Cost：Complete Support

$n=3$

adaptation costs：

A_F=1,

A_C=2,

A_I=4.

所以：

d_{FC}=3,

d_{FI}=5,

d_{CI}=6.

得到：

\boxed{ FC<FI<CI. }

$n=4$

adaptation：

A_F=1,

A_C=2,

A_I\approx4.058814.

仍然：

\boxed{ FC<FI<CI. }

所以在本輪 complete-support microdomains 中：

n=3\rightarrow4

本身沒有造成 full-entropy ranking flip。

8. Full Kernel + Entropy Cost：Path Support

真正的 flip 來自 support geometry。

$n=3$ path

A_F\approx2.370951,

A_C=2,

A_I\approx3.811278.

因此：

d_{FC}\approx4.370951,

d_{CI}\approx5.811278,

d_{FI}\approx6.182229.

排序：

\boxed{ FC<CI<FI. }

$n=4$ path

A_F\approx2.562807,

A_C=2,

A_I\approx3.836592.

得到：

\boxed{ FC<CI<FI. }

9. 為什麼 Path 會翻轉？

complete support 時，EXP-03/04 已證明 F 能從 endpoint pair observations 完整恢復 partition。

所以 full kernel 對 F 只需補：

\text{probe}.

因此：

A_F=1.

但 path support 缺少部分 unordered pairs。

F 不再原生恢復 global partition，因此最佳 bridge 變成：

\boxed{ \text{observer frame} = (\text{probe},\text{partition count}). }

導致：

A_F

上升到：

2.37 \sim 2.56 \text{ bits}.

此時：

A_C=2<A_F,

所以依 Star Bridge Ordering Lemma：

d_{CI}<d_{FI}.

也就是：

\boxed{ \text{EXP-03/04 的 coverage boundary 直接造成 EXP-08 的 distance flip。} }

10. Node Count 與 Support Geometry

目前 tested range 顯示：

complete $n=3$ 與 complete $n=4$ 排序相同；
path $n=3$ 與 path $n=4$ 排序相同；
complete → path 會翻轉 $FI/CI$ 次序。

所以目前比較強的 finite evidence 是：

\boxed{ \text{support geometry} > \text{node count alone} }

對 full-kernel distance ordering 的影響。

這不是一般定理，只是本輪 microdomains 的穩定模式。

11. Cost Model 也會移動 Chamber Boundary

本輪三種 cost models：

Entropy

channel cost：

c(S)=H(S).

Unit

所有非平凡 channel：

c(S)=1.

Semantic Premium

semantic / observer-related channels 被額外加權。

因此，即使 domain 與 target 不變：

\mathbf A(\theta)

也會移動。

12. Unit Cost 的結果

full kernel 下，四個 domains 都得到：

A_F=1,

A_C=1,

A_I=2.

所以：

\boxed{ FC<CI=FI. }

原本 complete/path 的 entropy 差異被 unit-cost 模型抹平。

這證明：

\boxed{ \text{distance field 不只依賴 observation geometry，也依賴 cost semantics。} }

13. Semantic Premium

full kernel 下：

$n=3$ complete：

FC<FI<CI.

$n=3$ path：

FC<FI<CI.

$n=4$ complete：

FC<FI<CI.

但 $n=4$ path：

\boxed{ FC<CI<FI. }

原因是 n4 path：

A_F\approx3.062807 > A_C=3.

只差：

\approx0.062807.

所以 semantic premium 把 flip surface 推到非常接近：

A_F=A_C.

這顯示：

\boxed{ \text{domain geometry} + \text{cost model} }

可以共同決定 ranking phase transition。

14. Target Priority 的影響更大

本輪另外測四種 target priorities。

Full

所有六個 targets。

Structural-Relational

\{ \text{partition}, \text{type}, \text{direction}, \text{history} \}.

Semantic-Observer

\{ \text{context}, \text{probe} \}.

Relation-Only

\{ \text{type}, \text{direction} \}.

15. Relation-Only Kernel

所有 domain / cost model 都呈現：

\boxed{ FC<CI=FI. }

因為 F、C 都原生保存 relation semantics：

A_F=A_C=0,

I 才需要 relation frame。

所以對 relation-only target：

\boxed{ F\text{ 與 }C\text{ 重合度最高。} }

16. Semantic-Observer Kernel

在 entropy 與 semantic-premium 下：

\boxed{ FI<CI=FC. }

因為：

F 缺 probe；
I 缺 context；
C 同時缺 context + probe。

所以 F-I 反而成為最近 pair。

這與 relation-only：

FC<CI=FI

完全不同。

因此：

\boxed{ \text{closest representation pair depends on target axis.} }

17. Semantic-Observer + Unit Cost

unit cost 對 bundle 只算一個 channel。

因此 F、C、I 都只需一個 channel：

A_F=A_C=A_I=1.

結果：

\boxed{ FC=FI=CI. }

所以 cost aggregation semantics 本身就能把原本的 anisotropy 壓平。

18. Structural-Relational Kernel

complete support：

A_F=A_C=0,

I 需 relation/provenance bridge，因此：

FC<CI=FI.

path support：

F 又因 partition 缺口需要補 global distinction，

所以：

A_C<A_F<A_I

並得到：

\boxed{ FC<CI<FI. }

這再次把 distance flip 追溯到 relation-support geometry。

19. 48-Sample Ranking Field

帶 explicit ties 的統計：

Ranking phase	Count
$FC<FI<CI$	5
$FC<CI<FI$	9
$FC<CI=FI$	22
$FI<CI=FC$	8
$FC=FI=CI$	4

因此 EXP-07 strict baseline 只占：

\frac{5}{48} \approx10.42\%.

有：

9

組真正的：

FC<CI<FI

排序反轉。

另外：

34

組落在 tie walls 或其他 target-induced ordering。

20. 「43 個 baseline breaks」怎麼解讀？

48 組中有：

43

組不是 strict：

FC<FI<CI.

但不能把全部叫作「反轉」。

其中：

9 組是真正 $FI/CI$ reversal；
34 組是 ties 或其他 target-induced chambers。

所以本輪特別把：

\boxed{ \text{strict reversal} }

與：

\boxed{ \text{baseline break} }

分開。

21. ESC Distance Field

因此 ESC distance 目前應提升為一個 field：

\boxed{ \mathbb D_{\mathrm{ESC}} : \Theta \rightarrow \operatorname{Sym}_3(\mathbb R_{\ge0}) }

其中 parameter space：

\Theta

至少包含：

\Theta = \{ n, \operatorname{SupportShape}, \mathcal J, c, \operatorname{Distribution}, \dots \}.

每一個：

\theta\in\Theta

都給出一個 pairwise distance matrix。

22. Ranking Field

此外可以定義：

\boxed{ \rho_{\mathrm{ESC}}(\theta) = \operatorname{Ord} \left( d_{FC}, d_{FI}, d_{CI} \right). }

$\rho$ 是 piecewise-constant chamber label。

其 phase boundaries 正是：

A_F=A_C,

A_F=A_I,

A_C=A_I.

所以 ranking field 的幾何其實比 distance matrix 更容易分析。

23. EXP-07 排序不是失敗，而是局部截面

因此 EXP-08 並不是否定 EXP-07。

更準確地說：

\boxed{ FC<FI<CI }

是 EXP-07 那個：

(\mathcal D,\mathcal J,c)

上的局部 chamber。

EXP-08 只是證明：

\boxed{ \text{它不是 global ordering invariant。} }

24. 對 F/C/I 三條理論的新理解

這次結果很符合前幾輪逐步形成的 picture。

F：

formation/context 強；
relation semantics 強；
global distinction 是否完整高度依賴 support coverage；
probe frame 弱。

C：

global distinction 強；
dynamics / relation semantics 強；
context / probe 弱。

I：

probe/incidence 強；
relation type/direction/history/context 弱；
但某些 graph/partition invariants 可由 incidence 間接恢復。

因此誰「離誰最近」沒有單一答案。

25. Anisotropy 進一步變成 Field Anisotropy

EXP-07：

\mathbf d_{\mathrm{ESC}}(P,Q)

已顯示 structural-axis anisotropy。

EXP-08 更進一步：

\boxed{ \mathbf d_{\mathrm{ESC}} = \mathbf d_{\mathrm{ESC}}(\theta). }

也就是 anisotropy 本身會隨 domain / target / cost 移動。

26. 一個新的穩定性概念

未來可以定義 pair-order stability：

S_{PQ,RS} = \Pr_{\theta\sim\mu} \left[ d_{PQ}(\theta) < d_{RS}(\theta) \right].

或 worst-case：

\boxed{ \sup_{\theta\in\Theta} \left| d_{PQ}(\theta) - d_{RS}(\theta) \right|. }

這會比單一 distance matrix 更適合描述 representation relationship。

27. Cost-Model Robustness

也可以定義：

\boxed{ R_{\mathrm{cost}} = \Pr_c \left[ \rho(\mathcal D,\mathcal J,c) = \rho^\ast \right]. }

若同一 ranking 對多種 cost models 都保持，才能稱為較 robust 的 representation ordering。

本輪 full kernel 顯示 complete-support 的 baseline 比 path-support 更 robust，但 unit cost 仍會把 strict ordering 壓成 tie。

28. Domain-Geometry Robustness

complete domains：

entropy full kernel 都是：

FC<FI<CI.

path domains：

entropy full kernel都變成：

FC<CI<FI.

因此目前最清楚的有限 phase separator 是：

\boxed{ \text{complete support} \leftrightarrow \text{incomplete path support}. }

其機制來自 F 的 partition recoverability。

29. 本輪最重要的理論結果

ESC-EXP-08.A

\boxed{ d_{\mathrm{ESC}} \text{ 不是 representation pair 的固定常數，而是 target/domain/cost-conditioned field。} }

ESC-EXP-08.B

\boxed{ d_{FI}-d_{CI} = A_F-A_C. }

因此 $FI/CI$ 排序翻轉等價於 F/C adaptation-cost crossing。

ESC-EXP-08.C

\boxed{ \text{complete→path support 可使 }A_F>A_C, }

從而造成：

FI>CI.

ESC-EXP-08.D

\boxed{ \text{target priority 可以改變 closest pair。} }

relation-only 最近為 F-C；semantic-observer 最近為 F-I。

ESC-EXP-08.E

\boxed{ \text{cost semantics 能產生、消除或移動 ranking phase boundary。} }

30. 對「三條理論到底多像」的目前答案

目前已經不能合理回答：

F 跟 C 比較像，還是 F 跟 I 比較像？

正確問題必須是：

對什麼共同結構？在哪個 domain？用什麼 bridge 成本？

即：

\boxed{ \text{Similarity} = \text{conditional relation}. }

這和 ESC 從一開始逐步拒絕「無條件同構」的方向完全一致。

31. 下一輪：ESC-EXP-09

下一輪最自然的不是再加更多隨機 domains，而是研究：

\boxed{ \text{Distance Chamber Geometry}. }

也就是直接在：

(A_F,A_C,A_I)

空間中研究：

六個 strict ordering chambers；
三組 tie surfaces；
domain trajectory 如何穿越 chamber boundary；
support coverage $\kappa_R$ 如何推動 $A_F$ ；
cost reweighting 如何移動 chamber crossing。

進一步可以把：

\theta \mapsto \mathbf A(\theta)

當成 ESC 的真正 representation-state map。

這會把「排序翻轉」從一堆有限數據提升成可解析的幾何結構。

ESC-EXP-08：Cross-Domain ESC Distance Field

ESC-EXP-08：Cross-Domain ESC Distance Field

摘要

1. Runtime 狀態

2. Controlled Microdomains

3. Distance Field 的正式化

4. Adaptation-Cost Field

5. Star Bridge Ordering Lemma

6. Distance Chambers

7. Full Kernel + Entropy Cost：Complete Support

n=3n=3n=3

n=4n=4n=4

8. Full Kernel + Entropy Cost：Path Support

n=3n=3n=3 path

n=4n=4n=4 path

9. 為什麼 Path 會翻轉？

10. Node Count 與 Support Geometry

11. Cost Model 也會移動 Chamber Boundary

Entropy

Unit

Semantic Premium

12. Unit Cost 的結果

13. Semantic Premium

14. Target Priority 的影響更大

Full

Structural-Relational

Semantic-Observer

Relation-Only

15. Relation-Only Kernel

16. Semantic-Observer Kernel

17. Semantic-Observer + Unit Cost

18. Structural-Relational Kernel

19. 48-Sample Ranking Field

20. 「43 個 baseline breaks」怎麼解讀？

21. ESC Distance Field

22. Ranking Field

23. EXP-07 排序不是失敗，而是局部截面

24. 對 F/C/I 三條理論的新理解

25. Anisotropy 進一步變成 Field Anisotropy

26. 一個新的穩定性概念

27. Cost-Model Robustness

28. Domain-Geometry Robustness

29. 本輪最重要的理論結果

ESC-EXP-08.A

ESC-EXP-08.B

ESC-EXP-08.C

ESC-EXP-08.D

ESC-EXP-08.E

30. 對「三條理論到底多像」的目前答案

31. 下一輪：ESC-EXP-09

$n=3$

$n=4$

$n=3$ path

$n=4$ path