# ESC-EXP-08：Cross-Domain ESC Distance Field

**系列：** Extensional Structural Convergence — Experimental Phase  
**文件編號：** ESC-EXP-08  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-22  
**前置：** ESC-00 ～ ESC-06、ESC-EXP-00 ～ ESC-EXP-07  
**狀態：** Executable Finite-Model Evidence / Canonical UTF-8 Source

**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  

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## 摘要

ESC-EXP-07 在單一 controlled domain 中得到：

$$
d_{\mathrm{ESC}}(F,C)
<
d_{\mathrm{ESC}}(F,I)
<
d_{\mathrm{ESC}}(C,I).
$$

本輪專門測試這個排序是否具有 cross-domain stability。

為了避免把單一 finite distribution 的結果誤當成理論常數，本輪改變四類條件：

1. node count：
   $$
   n=3,4;
   $$
2. support geometry：
   $$
   \text{complete}
   \quad\text{vs.}\quad
   \text{path};
   $$
3. bridge-cost model：
   - entropy；
   - unit；
   - semantic premium；
4. target priority：
   - full kernel；
   - structural-relational；
   - semantic-observer；
   - relation-only。

因此共有：

$$
4
\times
3
\times
4
=
48
$$

個 distance-field samples。

主要結果是：

$$
\boxed{
d_{\mathrm{ESC}}
\text{ 的排序不是常數。}
}
$$

帶 explicit ties 的 48 個情境分布為：

- $FC<FI<CI$：5；
- $FC<CI<FI$：9；
- $FC<CI=FI$：22；
- $FI<CI=FC$：8；
- $FC=FI=CI$：4。

所以 EXP-07 的 strict baseline：

$$
FC<FI<CI
$$

只在：

$$
5/48
$$

個 samples 中維持。

更重要的是，有：

$$
\boxed{
9
}
$$

個 genuine：

$$
FC<CI<FI
$$

reversals，而不是 tie-breaking 假象。

---

# 1. Runtime 狀態

EXP-08 新增 regression：

```text
4 passed
```

完整 experimental regression：

```text
41 passed
```

本輪保留前七輪所有既有 finite checks。

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# 2. Controlled Microdomains

為了讓 cross-domain 比較在目前計算預算下可重播，本輪使用固定 support 的 controlled labelled microdomains，而不是重新做完整 graph-isomorphism census。

這與 EXP-07 的 canonical $624$ -state domain不同，因此 entropy cost 的絕對值不應跨輪直接視為同一 empirical distribution。

本輪 domain sizes：

$$
|\mathcal D_{3,\mathrm{complete}}|
=
640,
$$

$$
|\mathcal D_{3,\mathrm{path}}|
=
640,
$$

$$
|\mathcal D_{4,\mathrm{complete}}|
=
1080,
$$

$$
|\mathcal D_{4,\mathrm{path}}|
=
1080.
$$

各 microdomain 都系統性變動：

- partition；
- representative relation-type patterns；
- representative direction patterns；
- context；
- probe frame；
- history bit。

所以本輪目標是比較：

$$
\boxed{
\text{distance ordering stability}
}
$$

而不是重新估計自然資料分布。

---

# 3. Distance Field 的正式化

EXP-07 的 distance 現在需要再增加 cost model：

$$
\boxed{
d_{\mathrm{ESC}}
(P,Q
\mid
\mathcal D,
\mathcal J,
c)
}
$$

其中：

$$
\mathcal D
$$

是 domain，

$$
\mathcal J
$$

是 target kernel，

$$
c
$$

是 observation-cost model。

因此定義 ESC distance field：

$$
\boxed{
\mathbb D_{\mathrm{ESC}}(\theta)
=
\left[
d_{\mathrm{ESC}}(P,Q\mid\theta)
\right]_{P,Q}
}
$$

其中：

$$
\theta
=
(
\mathcal D,
\mathcal J,
c
).
$$

---

# 4. Adaptation-Cost Field

令：

$$
A_F(\theta),
\quad
A_C(\theta),
\quad
A_I(\theta)
$$

為 F/C/I 各自補到 target kernel 的最小 adaptation cost。

EXP-07 的 star bridge distance 為：

$$
d_{FC}
=
A_F+A_C,
$$

$$
d_{FI}
=
A_F+A_I,
$$

$$
d_{CI}
=
A_C+A_I.
$$

所以 pairwise distance ordering 其實由：

$$
\boxed{
\mathbf A(\theta)
=
(A_F,A_C,A_I)
}
$$

完全決定。

---

# 5. Star Bridge Ordering Lemma

對任意三個非負 adaptation costs：

$$
A_F,A_C,A_I,
$$

有：

$$
d_{FI}-d_{CI}
=
A_F-A_C,
$$

$$
d_{FC}-d_{FI}
=
A_C-A_I,
$$

$$
d_{FC}-d_{CI}
=
A_F-A_I.
$$

因此：

$$
\boxed{
A_F<A_C
\iff
d_{FI}<d_{CI}.
}
$$

同理：

$$
\boxed{
A_C<A_I
\iff
d_{FC}<d_{FI},
}
$$

$$
\boxed{
A_F<A_I
\iff
d_{FC}<d_{CI}.
}
$$

所以 distance ranking flip 等價於 adaptation-cost ordering flip。

這使 EXP-08 的 cross-domain distance field 可以降維為：

$$
\boxed{
\text{adaptation-cost field}
}
$$

加上一個固定的 star-distance transformation。

---

# 6. Distance Chambers

adaptation space：

$$
\mathbb R_{\ge0}^{3}
$$

被三個 tie surfaces：

$$
A_F=A_C,
$$

$$
A_F=A_I,
$$

$$
A_C=A_I
$$

切分成 strict-order chambers 與 tie walls。

例如：

$$
A_F<A_C<A_I
$$

對應：

$$
FC<FI<CI.
$$

而：

$$
A_C<A_F<A_I
$$

對應：

$$
FC<CI<FI.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{ESC distance ranking}
}
$$

具有一個明確的 chamber geometry。

---

# 7. Full Kernel + Entropy Cost：Complete Support

## $n=3$

adaptation costs：

$$
A_F=1,
$$

$$
A_C=2,
$$

$$
A_I=4.
$$

所以：

$$
d_{FC}=3,
$$

$$
d_{FI}=5,
$$

$$
d_{CI}=6.
$$

得到：

$$
\boxed{
FC<FI<CI.
}
$$

## $n=4$

adaptation：

$$
A_F=1,
$$

$$
A_C=2,
$$

$$
A_I\approx4.058814.
$$

仍然：

$$
\boxed{
FC<FI<CI.
}
$$

所以在本輪 complete-support microdomains 中：

$$
n=3\rightarrow4
$$

本身沒有造成 full-entropy ranking flip。

---

# 8. Full Kernel + Entropy Cost：Path Support

真正的 flip 來自 support geometry。

## $n=3$ path

$$
A_F\approx2.370951,
$$

$$
A_C=2,
$$

$$
A_I\approx3.811278.
$$

因此：

$$
d_{FC}\approx4.370951,
$$

$$
d_{CI}\approx5.811278,
$$

$$
d_{FI}\approx6.182229.
$$

排序：

$$
\boxed{
FC<CI<FI.
}
$$

## $n=4$ path

$$
A_F\approx2.562807,
$$

$$
A_C=2,
$$

$$
A_I\approx3.836592.
$$

得到：

$$
\boxed{
FC<CI<FI.
}
$$

---

# 9. 為什麼 Path 會翻轉？

complete support 時，EXP-03/04 已證明 F 能從 endpoint pair observations 完整恢復 partition。

所以 full kernel 對 F 只需補：

$$
\text{probe}.
$$

因此：

$$
A_F=1.
$$

但 path support 缺少部分 unordered pairs。

F 不再原生恢復 global partition，因此最佳 bridge 變成：

$$
\boxed{
\text{observer frame}
=
(\text{probe},\text{partition count}).
}
$$

導致：

$$
A_F
$$

上升到：

$$
2.37
\sim
2.56
\text{ bits}.
$$

此時：

$$
A_C=2<A_F,
$$

所以依 Star Bridge Ordering Lemma：

$$
d_{CI}<d_{FI}.
$$

也就是：

$$
\boxed{
\text{EXP-03/04 的 coverage boundary 直接造成 EXP-08 的 distance flip。}
}
$$

---

# 10. Node Count 與 Support Geometry

目前 tested range 顯示：

- complete $n=3$ 與 complete $n=4$ 排序相同；
- path $n=3$ 與 path $n=4$ 排序相同；
- complete → path 會翻轉 $FI/CI$ 次序。

所以目前比較強的 finite evidence 是：

$$
\boxed{
\text{support geometry}
>
\text{node count alone}
}
$$

對 full-kernel distance ordering 的影響。

這不是一般定理，只是本輪 microdomains 的穩定模式。

---

# 11. Cost Model 也會移動 Chamber Boundary

本輪三種 cost models：

## Entropy

channel cost：

$$
c(S)=H(S).
$$

## Unit

所有非平凡 channel：

$$
c(S)=1.
$$

## Semantic Premium

semantic / observer-related channels 被額外加權。

因此，即使 domain 與 target 不變：

$$
\mathbf A(\theta)
$$

也會移動。

---

# 12. Unit Cost 的結果

full kernel 下，四個 domains 都得到：

$$
A_F=1,
$$

$$
A_C=1,
$$

$$
A_I=2.
$$

所以：

$$
\boxed{
FC<CI=FI.
}
$$

原本 complete/path 的 entropy 差異被 unit-cost 模型抹平。

這證明：

$$
\boxed{
\text{distance field 不只依賴 observation geometry，也依賴 cost semantics。}
}
$$

---

# 13. Semantic Premium

full kernel 下：

 $n=3$ complete：

$$
FC<FI<CI.
$$

 $n=3$ path：

$$
FC<FI<CI.
$$

 $n=4$ complete：

$$
FC<FI<CI.
$$

但 $n=4$ path：

$$
\boxed{
FC<CI<FI.
}
$$

原因是 n4 path：

$$
A_F\approx3.062807
>
A_C=3.
$$

只差：

$$
\approx0.062807.
$$

所以 semantic premium 把 flip surface 推到非常接近：

$$
A_F=A_C.
$$

這顯示：

$$
\boxed{
\text{domain geometry}
+
\text{cost model}
}
$$

可以共同決定 ranking phase transition。

---

# 14. Target Priority 的影響更大

本輪另外測四種 target priorities。

## Full

所有六個 targets。

## Structural-Relational

$$
\{
\text{partition},
\text{type},
\text{direction},
\text{history}
\}.
$$

## Semantic-Observer

$$
\{
\text{context},
\text{probe}
\}.
$$

## Relation-Only

$$
\{
\text{type},
\text{direction}
\}.
$$

---

# 15. Relation-Only Kernel

所有 domain / cost model 都呈現：

$$
\boxed{
FC<CI=FI.
}
$$

因為 F、C 都原生保存 relation semantics：

$$
A_F=A_C=0,
$$

I 才需要 relation frame。

所以對 relation-only target：

$$
\boxed{
F\text{ 與 }C\text{ 重合度最高。}
}
$$

---

# 16. Semantic-Observer Kernel

在 entropy 與 semantic-premium 下：

$$
\boxed{
FI<CI=FC.
}
$$

因為：

- F 缺 probe；
- I 缺 context；
- C 同時缺 context + probe。

所以 F-I 反而成為最近 pair。

這與 relation-only：

$$
FC<CI=FI
$$

完全不同。

因此：

$$
\boxed{
\text{closest representation pair depends on target axis.}
}
$$

---

# 17. Semantic-Observer + Unit Cost

unit cost 對 bundle 只算一個 channel。

因此 F、C、I 都只需一個 channel：

$$
A_F=A_C=A_I=1.
$$

結果：

$$
\boxed{
FC=FI=CI.
}
$$

所以 cost aggregation semantics 本身就能把原本的 anisotropy 壓平。

---

# 18. Structural-Relational Kernel

complete support：

$$
A_F=A_C=0,
$$

I 需 relation/provenance bridge，因此：

$$
FC<CI=FI.
$$

path support：

F 又因 partition 缺口需要補 global distinction，

所以：

$$
A_C<A_F<A_I
$$

並得到：

$$
\boxed{
FC<CI<FI.
}
$$

這再次把 distance flip 追溯到 relation-support geometry。

---

# 19. 48-Sample Ranking Field

帶 explicit ties 的統計：

| Ranking phase | Count |
|---|---:|
| $FC<FI<CI$ | 5 |
| $FC<CI<FI$ | 9 |
| $FC<CI=FI$ | 22 |
| $FI<CI=FC$ | 8 |
| $FC=FI=CI$ | 4 |

因此 EXP-07 strict baseline 只占：

$$
\frac{5}{48}
\approx10.42\%.
$$

有：

$$
9
$$

組真正的：

$$
FC<CI<FI
$$

排序反轉。

另外：

$$
34
$$

組落在 tie walls 或其他 target-induced ordering。

---

# 20. 「43 個 baseline breaks」怎麼解讀？

48 組中有：

$$
43
$$

組不是 strict：

$$
FC<FI<CI.
$$

但不能把全部叫作「反轉」。

其中：

- 9 組是真正 $FI/CI$ reversal；
- 34 組是 ties 或其他 target-induced chambers。

所以本輪特別把：

$$
\boxed{
\text{strict reversal}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{baseline break}
}
$$

分開。

---

# 21. ESC Distance Field

因此 ESC distance 目前應提升為一個 field：

$$
\boxed{
\mathbb D_{\mathrm{ESC}}
:
\Theta
\rightarrow
\operatorname{Sym}_3(\mathbb R_{\ge0})
}
$$

其中 parameter space：

$$
\Theta
$$

至少包含：

$$
\Theta
=
\{
n,
\operatorname{SupportShape},
\mathcal J,
c,
\operatorname{Distribution},
\dots
\}.
$$

每一個：

$$
\theta\in\Theta
$$

都給出一個 pairwise distance matrix。

---

# 22. Ranking Field

此外可以定義：

$$
\boxed{
\rho_{\mathrm{ESC}}(\theta)
=
\operatorname{Ord}
\left(
d_{FC},
d_{FI},
d_{CI}
\right).
}
$$

 $\rho$ 是 piecewise-constant chamber label。

其 phase boundaries 正是：

$$
A_F=A_C,
$$

$$
A_F=A_I,
$$

$$
A_C=A_I.
$$

所以 ranking field 的幾何其實比 distance matrix 更容易分析。

---

# 23. EXP-07 排序不是失敗，而是局部截面

因此 EXP-08 並不是否定 EXP-07。

更準確地說：

$$
\boxed{
FC<FI<CI
}
$$

是 EXP-07 那個：

$$
(\mathcal D,\mathcal J,c)
$$

上的局部 chamber。

EXP-08 只是證明：

$$
\boxed{
\text{它不是 global ordering invariant。}
}
$$

---

# 24. 對 F/C/I 三條理論的新理解

這次結果很符合前幾輪逐步形成的 picture。

F：

- formation/context 強；
- relation semantics 強；
- global distinction 是否完整高度依賴 support coverage；
- probe frame 弱。

C：

- global distinction 強；
- dynamics / relation semantics 強；
- context / probe 弱。

I：

- probe/incidence 強；
- relation type/direction/history/context 弱；
- 但某些 graph/partition invariants 可由 incidence 間接恢復。

因此誰「離誰最近」沒有單一答案。

---

# 25. Anisotropy 進一步變成 Field Anisotropy

EXP-07：

$$
\mathbf d_{\mathrm{ESC}}(P,Q)
$$

已顯示 structural-axis anisotropy。

EXP-08 更進一步：

$$
\boxed{
\mathbf d_{\mathrm{ESC}}
=
\mathbf d_{\mathrm{ESC}}(\theta).
}
$$

也就是 anisotropy 本身會隨 domain / target / cost 移動。

---

# 26. 一個新的穩定性概念

未來可以定義 pair-order stability：

$$
S_{PQ,RS}
=
\Pr_{\theta\sim\mu}
\left[
d_{PQ}(\theta)
<
d_{RS}(\theta)
\right].
$$

或 worst-case：

$$
\boxed{
\sup_{\theta\in\Theta}
\left|
d_{PQ}(\theta)
-
d_{RS}(\theta)
\right|.
}
$$

這會比單一 distance matrix 更適合描述 representation relationship。

---

# 27. Cost-Model Robustness

也可以定義：

$$
\boxed{
R_{\mathrm{cost}}
=
\Pr_c
\left[
\rho(\mathcal D,\mathcal J,c)
=
\rho^\ast
\right].
}
$$

若同一 ranking 對多種 cost models 都保持，才能稱為較 robust 的 representation ordering。

本輪 full kernel 顯示 complete-support 的 baseline 比 path-support 更 robust，但 unit cost 仍會把 strict ordering 壓成 tie。

---

# 28. Domain-Geometry Robustness

complete domains：

entropy full kernel 都是：

$$
FC<FI<CI.
$$

path domains：

entropy full kernel都變成：

$$
FC<CI<FI.
$$

因此目前最清楚的有限 phase separator 是：

$$
\boxed{
\text{complete support}
\leftrightarrow
\text{incomplete path support}.
}
$$

其機制來自 F 的 partition recoverability。

---

# 29. 本輪最重要的理論結果

## ESC-EXP-08.A

$$
\boxed{
d_{\mathrm{ESC}}
\text{ 不是 representation pair 的固定常數，而是 target/domain/cost-conditioned field。}
}
$$

## ESC-EXP-08.B

$$
\boxed{
d_{FI}-d_{CI}
=
A_F-A_C.
}
$$

因此 $FI/CI$ 排序翻轉等價於 F/C adaptation-cost crossing。

## ESC-EXP-08.C

$$
\boxed{
\text{complete→path support 可使 }A_F>A_C,
}
$$

從而造成：

$$
FI>CI.
$$

## ESC-EXP-08.D

$$
\boxed{
\text{target priority 可以改變 closest pair。}
}
$$

relation-only 最近為 F-C；semantic-observer 最近為 F-I。

## ESC-EXP-08.E

$$
\boxed{
\text{cost semantics 能產生、消除或移動 ranking phase boundary。}
}
$$

---

# 30. 對「三條理論到底多像」的目前答案

目前已經不能合理回答：

> F 跟 C 比較像，還是 F 跟 I 比較像？

正確問題必須是：

> **對什麼共同結構？在哪個 domain？用什麼 bridge 成本？**

即：

$$
\boxed{
\text{Similarity}
=
\text{conditional relation}.
}
$$

這和 ESC 從一開始逐步拒絕「無條件同構」的方向完全一致。

---

# 31. 下一輪：ESC-EXP-09

下一輪最自然的不是再加更多隨機 domains，而是研究：

$$
\boxed{
\text{Distance Chamber Geometry}.
}
$$

也就是直接在：

$$
(A_F,A_C,A_I)
$$

空間中研究：

- 六個 strict ordering chambers；
- 三組 tie surfaces；
- domain trajectory 如何穿越 chamber boundary；
- support coverage $\kappa_R$ 如何推動 $A_F$ ；
- cost reweighting 如何移動 chamber crossing。

進一步可以把：

$$
\theta
\mapsto
\mathbf A(\theta)
$$

當成 ESC 的真正 representation-state map。

這會把「排序翻轉」從一堆有限數據提升成可解析的幾何結構。