ESC-EXP-05：Multi-Coordinate Compatibility Phase Diagram

系列： Extensional Structural Convergence — Experimental Phase
文件編號： ESC-EXP-05
版本： v0.1
日期： 2026-09-22
前置： ESC-00 ～ ESC-06、ESC-EXP-00 ～ ESC-EXP-04
狀態： Executable Finite-Model Evidence / Canonical UTF-8 Source

作者： Neo.K
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司

摘要

ESC-EXP-04 已證明 ESC compatibility 必須相對於 target invariant 定義，並建立第一個 hard coordinate：

\kappa_R = \frac{|E_{\mathrm{support}}|}{\binom n2}.

本輪進一步把 compatibility 從一維 boundary 推進成多維 phase diagram。

核心新增三個研究層：

support graph shape：同一 $\kappa_R$ 是否仍有不同 recoverability？
multi-invariant intersection：多個共同 invariant 能否同時保持非平凡 recoverability？
conditional information loss：某條 projection 對 target invariant 還剩多少不確定性？

因此本輪把 exact recoverability：

H(J\mid\Pi)=0

與 partial information loss：

H(J\mid\Pi)>0

放在同一框架。

主要結果包括：

support graph shape 在相同 $\kappa_R$ 下會改變 partition resolution power；
graph/incidence kernel 與 partition kernel 在 coverage 軸上出現不同有效區；
若要求「graph structure 仍有非平凡變異」與「任意 partition 可完整共同恢復」同時成立，當前 F semantics 下會出現結構張力；
type、direction、context、probe、history 的 blind spots 可以被條件熵量化，而不只做 yes/no 判定；
三路聯合 projection 在控制域中對所有測試 target 均達： $H(J\mid FCI)=0.$

1. Runtime

本輪 regression tests：

28 passed

新增測試包含：

$n=4$ structural-core family；
partition kernel full-coverage boundary；
support-shape phase table；
multi-invariant region intersection；
information-loss matrix；
type / direction / context / probe / history visibility。

2. Structural-Core Family

為了把 compatibility geometry 與 nuisance variation 分開，本輪先固定：

單一 relation type；
每個 unordered support edge 使用固定 canonical direction；
guard 固定；
context 固定；
probe frame 固定；
history 為空。

只讓兩個部分變動：

\boxed{ \text{support graph} }

與：

\boxed{ \text{global distinction partition}. }

$n=4$ 時：

2^{\binom42} = 64

個 labelled support graphs，再與：

B_4=15

個 partition 組合，最後以 substrate isomorphism canonicalize。

3. Shared Kernel by Coverage

在固定 edge count：

m=|E|

的 slice 中，本輪檢查：

Graph kernel

K_G = \{ \text{edge count}, \text{degree multiset}, \text{components}, \text{cycle} \}.

Partition kernel

K_\pi = \{ \text{partition block count}, \text{partition block sizes} \}.

4. $n=4$ 的 nontrivial shared invariants

結果：

| $|E|$ | $\kappa_R$ | 非平凡三路共同 invariant | |---:|---:|---| | 0 | 0 | none | | 1 | $1/6$ | none | | 2 | $1/3$ | degree multiset | | 3 | $1/2$ | degree multiset, components, cycle | | 4 | $2/3$ | degree multiset | | 5 | $5/6$ | none | | 6 | $1$ | partition block count, partition block sizes |

這張表不能解讀成 $|E|=5,6$ 時 graph invariant 不可恢復。

真正原因是：

在固定 $|E|=5$ 或 $6$ 的 $n=4$ support graph slice 中，相關 graph invariants 已經退化成單一同構類或常數，因此不再算「非平凡 shared invariant」。

5. Graph Kernel 與 Partition Kernel 的 coverage 分層

本輪的 nontrivial region：

\boxed{ K_G: \kappa_R\in \left\{ \frac13, \frac12, \frac23 \right\} }

在目前 slice-based 非平凡性判準下成立。

而：

\boxed{ K_\pi: \kappa_R=1. }

只有 full relation coverage 才能共同恢復任意 partition 類 invariant。

6. 一個新的結構張力

若要求：

support graph 本身在 domain 中仍有非平凡變異；
partition 對所有 admissible states 又能由 F 完整恢復；

當前 F semantics 下兩者不能在單一「任意 partition × 可變 support graph」domain 中同時成立。

原因是 EXP-03/04 已證明：

\text{universal partition recovery} \Rightarrow E=\binom X2.

但：

E=\binom X2

立即固定 support graph 為 complete graph。

所以 support graph invariant 失去變異。

可寫成：

\boxed{ \text{arbitrary-partition recoverability} + \text{nontrivial support-graph variation} }

在目前 F observation model 中存在 trade-off。

這不是說 graph invariants 與 partition invariants 數學上不能同時存在，而是說：

在目前 observation semantics 下，要讓 F 對任意 partition 完整恢復，就必須把 support graph variation 凍結到 complete support。

7. Variation–Recoverability Trade-off Lemma

在目前 F semantics 中，設 domain：

\mathcal D

對每個 fixed support graph 都允許任意 partition。

若 partition structure 在 $\mathcal D$ 上由 F 完整恢復，則每個 support graph 必須：

E=\binom X2.

因此所有 support graph 均為 complete graph。

故任何只依賴 support graph isomorphism class 的 invariant：

J_G

在此 domain 上必為常數。

所以：

\boxed{ \text{universal partition recoverability} \Rightarrow \text{support-graph variation collapses}. }

這解釋了本輪：

\mathcal D_{K_G} \cap \mathcal D_{K_\pi}

在「所有分量都要求非平凡變異」的判準下為空。

8. Coverage 不是唯一幾何座標

EXP-04 已顯示同一 $\kappa_R$ 可以有不同 partition resolution power。

本輪將 support graph shape 顯式加入。

9. $n=4,\kappa_R=0.5$

即：

|E|=3.

若 support graph 是 triangle + isolated node：

\text{degree multiset} = (0,2,2,2),

則：

PRP = \frac{5}{15} = 0.333333.

若是 star：

(1,1,1,3)

或 path：

(1,1,2,2),

則：

PRP = \frac{8}{15} \approx0.533333.

所以：

\boxed{ \kappa_R \text{ 相同不代表 recoverability 相同。} }

10. $n=4,\kappa_R=2/3$

即：

|E|=4.

若 degree multiset：

(1,2,2,3),

則：

PRP = \frac{10}{15} \approx0.666667.

若 support graph 為 $C_4$ ：

(2,2,2,2),

則：

PRP = \frac{12}{15} = 0.8.

因此：

\boxed{ \text{support shape} }

是 compatibility geometry 的第二個實質座標。

11. 第一版 geometry coordinate

因此 partition recoverability 至少應寫成：

\boxed{ PRP = F \left( \kappa_R, \operatorname{Shape}(G) \right). }

而不是：

PRP=F(\kappa_R)

的一維模型。

12. Hard Visibility Faces

EXP-04 已建立六個 hard visibility directions：

relation type；
direction；
formation context；
probe frame；
history；
guard。

本輪保留它們作為 phase space 中的 hard faces。

它們不是 coverage 軸的平滑變化，而是：

若 target invariant 真正依賴該自由度，而 projection 對該自由度完全 blind，則除非 domain 凍結該自由度或由其他可見量唯一推導，否則 exact recoverability 不可能成立。

13. Conditional Information Loss

對 uniform finite domain，定義：

\boxed{ L_P(J) = H(J\mid \Pi_P). }

如果：

L_P(J)=0,

則 target invariant 在該 finite domain 上由 projection $P$ 精確 recoverable。

如果：

L_P(J)>0,

表示知道 projection 後仍有 ambiguity。

這是 Observation-Fiber Recoverability Lemma 的 soft-information 版本。

14. Controlled Information Family

本輪建立 $n=3$ controlled family：

unordered support complete；
relation type 二元變化；
direction 變化；
所有 partition；
context 二元變化；
probe mode 二元變化；
history length $0/1$ 。

canonicalize 後：

624

個 substrate classes。

因 support complete，partition 本身不再受 F 的 missing-pair 限制。

因此很適合單獨量測其他 visibility coordinates。

15. Partition Information Loss

對：

J=\text{partition block count},

得到：

H(J\mid F)=0,

H(J\mid C)=0,

H(J\mid I)=0,

H(J\mid FCI)=0.

這與 full-support partition recovery lemma 一致。

16. Relation-Type Entropy

定義：

H_T = \text{Shannon entropy of realized relation-type counts}.

結果：

H(H_T\mid F)=0,

H(H_T\mid C)=0,

但：

\boxed{ H(H_T\mid I) \approx0.941269\text{ bits}. }

聯合：

H(H_T\mid FCI)=0.

因此 I 的 type blindness 不只存在反例，而且在這個 finite domain 上留下接近 $1$ bit 的 residual uncertainty。

17. Directional Source Entropy

定義 direction-sensitive invariant：

H_D = H \left( \frac{\text{outgoing relation counts by source node}}{|R|} \right).

它在 node relabeling 下保持不變。

結果：

H(H_D\mid F)=0,

H(H_D\mid C)=0,

而：

\boxed{ H(H_D\mid I) \approx0.830097\text{ bits}. }

所以 I 的 direction blindness 也形成可量化資訊損失。

18. Formation Context

context mode 二元變化。

F 直接保存 context：

H(\Gamma\mid F)=0.

但：

\boxed{ H(\Gamma\mid C) \approx1\text{ bit}, }

\boxed{ H(\Gamma\mid I) = 1\text{ bit}. }

聯合：

H(\Gamma\mid FCI)=0.

這幾乎是完整一個 binary coordinate 被 C/I 丟失。

19. Probe Mode

I 保存 probe frame：

H(P\mid I)=0.

F 與 C 都 blind：

\boxed{ H(P\mid F) \approx1\text{ bit}, }

\boxed{ H(P\mid C) \approx1\text{ bit}. }

而：

H(P\mid FCI)=0.

20. History

本輪只讓 history length 在：

0/1

間變化。

F、C 都保存 history：

H(|H|\mid F)=0,

H(|H|\mid C)=0.

I 不保存：

\boxed{ H(|H|\mid I) \approx0.941269\text{ bits}. }

聯合仍為：

0.

21. Probe Density 的反例性提醒

定義：

D_P = \frac{|\mathcal A|}{2^n-1}.

在本 controlled complete-support family 中：

H(D_P\mid F) = H(D_P\mid C) = H(D_P\mid I) = 0.

這很重要。

因為：

\boxed{ \text{projection 看不到某個原始 coordinate} }

不代表：

\boxed{ \text{所有與該 coordinate 有關的函數都不可恢復}. }

在這個 domain 裡，probe density 可由其他可見結構推導。

所以 hard visibility face 應永遠相對於 target invariant，而不是相對於原始欄位名稱。

22. Joint Information Closure

對本輪 controlled family 所測 target：

J \in \{ \text{partition}, H_T, H_D, \Gamma, P, |H|, D_P \},

皆得到：

\boxed{ H(J\mid FCI)=0. }

這是 multi-coordinate 版本的 complementary incompleteness：

\boxed{ \text{不同 projection 各自有資訊缺口，但聯合後在此 finite family 完整閉合。} }

23. 共同結構核不是單調增加

這輪最有意思的理論修正是：

隨 $\kappa_R$ 增加，共同可恢復的「種類」不一定單調只增不減。

因為有兩件事同時發生：

recoverability 可能提高；
domain variation 本身可能被壓成常數。

因此要區分：

\boxed{ \text{recoverable} }

與：

\boxed{ \text{nontrivially varying and recoverable}. }

後者才是本輪 shared-kernel table 使用的標準。

24. Kernel-Variation Geometry

對 invariant $J$ ，除了：

R_J(\boldsymbol\kappa) = \mathbf 1 \left( J \text{ recoverable} \right),

還應加入 variation：

V_J(\boldsymbol\kappa) = \#\operatorname{Im} \left( J|_{\mathcal D(\boldsymbol\kappa)} \right).

真正非平凡共同核要求：

\boxed{ R_J=1 \quad\land\quad V_J>1. }

這解釋為什麼 complete support 時 graph invariants 雖然仍「可恢復」，卻退出 nontrivial kernel。

25. Compatibility Phase Diagram 的第一版形式

因此每個 target invariant 應該至少攜帶：

\boxed{ \left( R_J, V_J, H(J\mid F), H(J\mid C), H(J\mid I), H(J\mid FCI) \right). }

而 domain 則攜帶：

\boxed{ \boldsymbol\kappa = \left( \kappa_R, \operatorname{Shape}(G), v_T, v_D, v_\Gamma, v_P, v_H, v_G, \dots \right). }

這就是 ESC compatibility phase diagram 的第一版數學物件。

26. 多 invariant 合法域交集

如果要同時保存：

J_1,\dots,J_k,

則 compatibility region：

\boxed{ \mathcal D_{\mathrm{core}} = \bigcap_{r=1}^{k} \mathcal D_{J_r}. }

但本輪發現：

如果額外要求所有 $J_r$ 在該域中都保持非平凡變異，交集可能比 recoverability-region intersection 小很多，甚至為空。

這是「共同底空間」未來不能只談 recoverability，還要談 variation support 的原因。

27. 對「底空間上下界相同」的再修正

現在更準確的說法是：

對一組 target invariants：

\mathcal J,

應研究：

\boxed{ \mathfrak B_{-,\mathcal J} \preceq \mathcal D_{\mathcal J} \preceq \mathfrak B_{+,\mathcal J}. }

不同 $\mathcal J$ 可能具有不同 compatibility region、不同有效下界與不同完成上界。

因此上下界可能不是「理論名稱」的固有常數，而是：

\boxed{ \text{target-relative structural bounds}. }

28. EXP-05 的主要結論

本輪得到五個重要修正。

第一：

\boxed{ \kappa_R \text{ 不是完整 geometry；support graph shape 會改變 recoverability。} }

第二：

\boxed{ \text{recoverability 與 invariant variation 必須分開。} }

第三：

\boxed{ \text{global distinction recovery 與 support-graph variation 在目前 F semantics 下存在 trade-off。} }

第四：

\boxed{ H(J\mid\Pi) }

可把 blind spot 從 binary failure 提升成 residual-information measurement。

第五：

\boxed{ \text{多個 invariant 的共同合法域應研究 region intersection，而非假設單一全域同構。} }

29. 系列錨點

\boxed{ \textbf{ESC-EXP-05.A} \quad \text{Compatibility geometry 至少是 coverage × support-shape 的多維問題。} }

\boxed{ \textbf{ESC-EXP-05.B} \quad \text{nontrivial shared kernel 要求 recoverability 與 variation 同時成立。} }

\boxed{ \textbf{ESC-EXP-05.C} \quad \text{在目前 F semantics 下，任意 partition 完整恢復會迫使 support graph 完全化，造成 graph-variation collapse。} }

\boxed{ \textbf{ESC-EXP-05.D} \quad H(J\mid\Pi)=0 \text{ 是 finite exact recoverability 的資訊論版本。} }

\boxed{ \textbf{ESC-EXP-05.E} \quad \text{projection-blind raw coordinate 不代表其所有衍生 invariant 都不可恢復。} }

30. 下一輪：ESC-EXP-06

下一輪最自然的方向是：

\boxed{ \text{Common Kernel Optimization}. }

也就是不再只描述 phase diagram，而直接求：

在允許修改 observation language 的成本下，最少增加哪些 observable，就能讓指定共同 kernel 的 compatibility region 最大？

例如：

給 I 增加 relation-type channel 的成本；
給 F 增加 global distinction channel 的成本；
給 C 增加 context channel 的成本；
給 I 增加 history channel 的成本。

最後形成：

\boxed{ \min \operatorname{ObservationCost} }

subject to：

\boxed{ \mathcal J \text{ jointly recoverable on target domain}. }

這會把 ESC 從「描述哪些地方合法」推進到：

如何用最小資訊增量，讓三套表示在指定共同核心上合法對齊？

ESC-EXP-05：Multi-Coordinate Compatibility Phase Diagram

ESC-EXP-05：Multi-Coordinate Compatibility Phase Diagram

摘要

1. Runtime

2. Structural-Core Family

3. Shared Kernel by Coverage

Graph kernel

Partition kernel

4. n=4n=4n=4 的 nontrivial shared invariants

5. Graph Kernel 與 Partition Kernel 的 coverage 分層

6. 一個新的結構張力

7. Variation–Recoverability Trade-off Lemma

8. Coverage 不是唯一幾何座標

9. n=4,κR=0.5n=4,\kappa_R=0.5n=4,κR​=0.5

10. n=4,κR=2/3n=4,\kappa_R=2/3n=4,κR​=2/3

11. 第一版 geometry coordinate

12. Hard Visibility Faces

13. Conditional Information Loss

14. Controlled Information Family

15. Partition Information Loss

16. Relation-Type Entropy

17. Directional Source Entropy

18. Formation Context

19. Probe Mode

20. History

21. Probe Density 的反例性提醒

22. Joint Information Closure

23. 共同結構核不是單調增加

24. Kernel-Variation Geometry

25. Compatibility Phase Diagram 的第一版形式

26. 多 invariant 合法域交集

27. 對「底空間上下界相同」的再修正

28. EXP-05 的主要結論

29. 系列錨點

30. 下一輪：ESC-EXP-06

4. $n=4$ 的 nontrivial shared invariants

9. $n=4,\kappa_R=0.5$

10. $n=4,\kappa_R=2/3$