# ESC-EXP-05：Multi-Coordinate Compatibility Phase Diagram

**系列：** Extensional Structural Convergence — Experimental Phase  
**文件編號：** ESC-EXP-05  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-22  
**前置：** ESC-00 ～ ESC-06、ESC-EXP-00 ～ ESC-EXP-04  
**狀態：** Executable Finite-Model Evidence / Canonical UTF-8 Source

**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  

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## 摘要

ESC-EXP-04 已證明 ESC compatibility 必須相對於 target invariant 定義，並建立第一個 hard coordinate：

$$
\kappa_R
=
\frac{|E_{\mathrm{support}}|}{\binom n2}.
$$

本輪進一步把 compatibility 從一維 boundary 推進成多維 phase diagram。

核心新增三個研究層：

1. **support graph shape**：同一 $\kappa_R$ 是否仍有不同 recoverability？
2. **multi-invariant intersection**：多個共同 invariant 能否同時保持非平凡 recoverability？
3. **conditional information loss**：某條 projection 對 target invariant 還剩多少不確定性？

因此本輪把 exact recoverability：

$$
H(J\mid\Pi)=0
$$

與 partial information loss：

$$
H(J\mid\Pi)>0
$$

放在同一框架。

主要結果包括：

- support graph shape 在相同 $\kappa_R$ 下會改變 partition resolution power；
- graph/incidence kernel 與 partition kernel 在 coverage 軸上出現不同有效區；
- 若要求「graph structure 仍有非平凡變異」與「任意 partition 可完整共同恢復」同時成立，當前 F semantics 下會出現結構張力；
- type、direction、context、probe、history 的 blind spots 可以被條件熵量化，而不只做 yes/no 判定；
- 三路聯合 projection 在控制域中對所有測試 target 均達：
  $$
  H(J\mid FCI)=0.
  $$

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# 1. Runtime

本輪 regression tests：

```text
28 passed
```

新增測試包含：

- $n=4$ structural-core family；
- partition kernel full-coverage boundary；
- support-shape phase table；
- multi-invariant region intersection；
- information-loss matrix；
- type / direction / context / probe / history visibility。

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# 2. Structural-Core Family

為了把 compatibility geometry 與 nuisance variation 分開，本輪先固定：

- 單一 relation type；
- 每個 unordered support edge 使用固定 canonical direction；
- guard 固定；
- context 固定；
- probe frame 固定；
- history 為空。

只讓兩個部分變動：

$$
\boxed{
\text{support graph}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{global distinction partition}.
}
$$

 $n=4$ 時：

$$
2^{\binom42}
=
64
$$

個 labelled support graphs，再與：

$$
B_4=15
$$

個 partition 組合，最後以 substrate isomorphism canonicalize。

---

# 3. Shared Kernel by Coverage

在固定 edge count：

$$
m=|E|
$$

的 slice 中，本輪檢查：

## Graph kernel

$$
K_G
=
\{
\text{edge count},
\text{degree multiset},
\text{components},
\text{cycle}
\}.
$$

## Partition kernel

$$
K_\pi
=
\{
\text{partition block count},
\text{partition block sizes}
\}.
$$

---

# 4. $n=4$ 的 nontrivial shared invariants

結果：

| $|E|$ | $\kappa_R$ | 非平凡三路共同 invariant |
|---:|---:|---|
| 0 | 0 | none |
| 1 | $1/6$ | none |
| 2 | $1/3$ | degree multiset |
| 3 | $1/2$ | degree multiset, components, cycle |
| 4 | $2/3$ | degree multiset |
| 5 | $5/6$ | none |
| 6 | $1$ | partition block count, partition block sizes |

這張表不能解讀成 $|E|=5,6$ 時 graph invariant 不可恢復。

真正原因是：

> 在固定 $|E|=5$ 或 $6$ 的 $n=4$ support graph slice 中，相關 graph invariants 已經退化成單一同構類或常數，因此不再算「非平凡 shared invariant」。

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# 5. Graph Kernel 與 Partition Kernel 的 coverage 分層

本輪的 nontrivial region：

$$
\boxed{
K_G:
\kappa_R\in
\left\{
\frac13,
\frac12,
\frac23
\right\}
}
$$

在目前 slice-based 非平凡性判準下成立。

而：

$$
\boxed{
K_\pi:
\kappa_R=1.
}
$$

只有 full relation coverage 才能共同恢復任意 partition 類 invariant。

---

# 6. 一個新的結構張力

若要求：

1. support graph 本身在 domain 中仍有非平凡變異；
2. partition 對所有 admissible states 又能由 F 完整恢復；

當前 F semantics 下兩者不能在單一「任意 partition × 可變 support graph」domain 中同時成立。

原因是 EXP-03/04 已證明：

$$
\text{universal partition recovery}
\Rightarrow
E=\binom X2.
$$

但：

$$
E=\binom X2
$$

立即固定 support graph 為 complete graph。

所以 support graph invariant 失去變異。

可寫成：

$$
\boxed{
\text{arbitrary-partition recoverability}
+
\text{nontrivial support-graph variation}
}
$$

在目前 F observation model 中存在 trade-off。

這不是說 graph invariants 與 partition invariants 數學上不能同時存在，而是說：

> 在目前 observation semantics 下，要讓 F 對**任意** partition 完整恢復，就必須把 support graph variation 凍結到 complete support。

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# 7. Variation–Recoverability Trade-off Lemma

在目前 F semantics 中，設 domain：

$$
\mathcal D
$$

對每個 fixed support graph 都允許任意 partition。

若 partition structure 在 $\mathcal D$ 上由 F 完整恢復，則每個 support graph 必須：

$$
E=\binom X2.
$$

因此所有 support graph 均為 complete graph。

故任何只依賴 support graph isomorphism class 的 invariant：

$$
J_G
$$

在此 domain 上必為常數。

所以：

$$
\boxed{
\text{universal partition recoverability}
\Rightarrow
\text{support-graph variation collapses}.
}
$$

這解釋了本輪：

$$
\mathcal D_{K_G}
\cap
\mathcal D_{K_\pi}
$$

在「所有分量都要求非平凡變異」的判準下為空。

---

# 8. Coverage 不是唯一幾何座標

EXP-04 已顯示同一 $\kappa_R$ 可以有不同 partition resolution power。

本輪將 support graph shape 顯式加入。

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# 9. $n=4,\kappa_R=0.5$

即：

$$
|E|=3.
$$

若 support graph 是 triangle + isolated node：

$$
\text{degree multiset}
=
(0,2,2,2),
$$

則：

$$
PRP
=
\frac{5}{15}
=
0.333333.
$$

若是 star：

$$
(1,1,1,3)
$$

或 path：

$$
(1,1,2,2),
$$

則：

$$
PRP
=
\frac{8}{15}
\approx0.533333.
$$

所以：

$$
\boxed{
\kappa_R
\text{ 相同不代表 recoverability 相同。}
}
$$

---

# 10. $n=4,\kappa_R=2/3$

即：

$$
|E|=4.
$$

若 degree multiset：

$$
(1,2,2,3),
$$

則：

$$
PRP
=
\frac{10}{15}
\approx0.666667.
$$

若 support graph 為 $C_4$：

$$
(2,2,2,2),
$$

則：

$$
PRP
=
\frac{12}{15}
=
0.8.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{support shape}
}
$$

是 compatibility geometry 的第二個實質座標。

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# 11. 第一版 geometry coordinate

因此 partition recoverability 至少應寫成：

$$
\boxed{
PRP
=
F
\left(
\kappa_R,
\operatorname{Shape}(G)
\right).
}
$$

而不是：

$$
PRP=F(\kappa_R)
$$

的一維模型。

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# 12. Hard Visibility Faces

EXP-04 已建立六個 hard visibility directions：

- relation type；
- direction；
- formation context；
- probe frame；
- history；
- guard。

本輪保留它們作為 phase space 中的 hard faces。

它們不是 coverage 軸的平滑變化，而是：

> 若 target invariant 真正依賴該自由度，而 projection 對該自由度完全 blind，則除非 domain 凍結該自由度或由其他可見量唯一推導，否則 exact recoverability 不可能成立。

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# 13. Conditional Information Loss

對 uniform finite domain，定義：

$$
\boxed{
L_P(J)
=
H(J\mid \Pi_P).
}
$$

如果：

$$
L_P(J)=0,
$$

則 target invariant 在該 finite domain 上由 projection $P$ 精確 recoverable。

如果：

$$
L_P(J)>0,
$$

表示知道 projection 後仍有 ambiguity。

這是 Observation-Fiber Recoverability Lemma 的 soft-information 版本。

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# 14. Controlled Information Family

本輪建立 $n=3$ controlled family：

- unordered support complete；
- relation type 二元變化；
- direction 變化；
- 所有 partition；
- context 二元變化；
- probe mode 二元變化；
- history length $0/1$。

canonicalize 後：

$$
624
$$

個 substrate classes。

因 support complete，partition 本身不再受 F 的 missing-pair 限制。

因此很適合單獨量測其他 visibility coordinates。

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# 15. Partition Information Loss

對：

$$
J=\text{partition block count},
$$

得到：

$$
H(J\mid F)=0,
$$

$$
H(J\mid C)=0,
$$

$$
H(J\mid I)=0,
$$

$$
H(J\mid FCI)=0.
$$

這與 full-support partition recovery lemma 一致。

---

# 16. Relation-Type Entropy

定義：

$$
H_T
=
\text{Shannon entropy of realized relation-type counts}.
$$

結果：

$$
H(H_T\mid F)=0,
$$

$$
H(H_T\mid C)=0,
$$

但：

$$
\boxed{
H(H_T\mid I)
\approx0.941269\text{ bits}.
}
$$

聯合：

$$
H(H_T\mid FCI)=0.
$$

因此 I 的 type blindness 不只存在反例，而且在這個 finite domain 上留下接近 $1$ bit 的 residual uncertainty。

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# 17. Directional Source Entropy

定義 direction-sensitive invariant：

$$
H_D
=
H
\left(
\frac{\text{outgoing relation counts by source node}}{|R|}
\right).
$$

它在 node relabeling 下保持不變。

結果：

$$
H(H_D\mid F)=0,
$$

$$
H(H_D\mid C)=0,
$$

而：

$$
\boxed{
H(H_D\mid I)
\approx0.830097\text{ bits}.
}
$$

所以 I 的 direction blindness 也形成可量化資訊損失。

---

# 18. Formation Context

context mode 二元變化。

F 直接保存 context：

$$
H(\Gamma\mid F)=0.
$$

但：

$$
\boxed{
H(\Gamma\mid C)
\approx1\text{ bit},
}
$$

$$
\boxed{
H(\Gamma\mid I)
=
1\text{ bit}.
}
$$

聯合：

$$
H(\Gamma\mid FCI)=0.
$$

這幾乎是完整一個 binary coordinate 被 C/I 丟失。

---

# 19. Probe Mode

I 保存 probe frame：

$$
H(P\mid I)=0.
$$

F 與 C 都 blind：

$$
\boxed{
H(P\mid F)
\approx1\text{ bit},
}
$$

$$
\boxed{
H(P\mid C)
\approx1\text{ bit}.
}
$$

而：

$$
H(P\mid FCI)=0.
$$

---

# 20. History

本輪只讓 history length 在：

$$
0/1
$$

間變化。

F、C 都保存 history：

$$
H(|H|\mid F)=0,
$$

$$
H(|H|\mid C)=0.
$$

I 不保存：

$$
\boxed{
H(|H|\mid I)
\approx0.941269\text{ bits}.
}
$$

聯合仍為：

$$
0.
$$

---

# 21. Probe Density 的反例性提醒

定義：

$$
D_P
=
\frac{|\mathcal A|}{2^n-1}.
$$

在本 controlled complete-support family 中：

$$
H(D_P\mid F)
=
H(D_P\mid C)
=
H(D_P\mid I)
=
0.
$$

這很重要。

因為：

$$
\boxed{
\text{projection 看不到某個原始 coordinate}
}
$$

不代表：

$$
\boxed{
\text{所有與該 coordinate 有關的函數都不可恢復}.
}
$$

在這個 domain 裡，probe density 可由其他可見結構推導。

所以 hard visibility face 應永遠相對於 target invariant，而不是相對於原始欄位名稱。

---

# 22. Joint Information Closure

對本輪 controlled family 所測 target：

$$
J
\in
\{
\text{partition},
H_T,
H_D,
\Gamma,
P,
|H|,
D_P
\},
$$

皆得到：

$$
\boxed{
H(J\mid FCI)=0.
}
$$

這是 multi-coordinate 版本的 complementary incompleteness：

$$
\boxed{
\text{不同 projection 各自有資訊缺口，但聯合後在此 finite family 完整閉合。}
}
$$

---

# 23. 共同結構核不是單調增加

這輪最有意思的理論修正是：

> 隨 $\kappa_R$ 增加，共同可恢復的「種類」不一定單調只增不減。

因為有兩件事同時發生：

1. recoverability 可能提高；
2. domain variation 本身可能被壓成常數。

因此要區分：

$$
\boxed{
\text{recoverable}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{nontrivially varying and recoverable}.
}
$$

後者才是本輪 shared-kernel table 使用的標準。

---

# 24. Kernel-Variation Geometry

對 invariant $J$，除了：

$$
R_J(\boldsymbol\kappa)
=
\mathbf 1
\left(
J
\text{ recoverable}
\right),
$$

還應加入 variation：

$$
V_J(\boldsymbol\kappa)
=
\#\operatorname{Im}
\left(
J|_{\mathcal D(\boldsymbol\kappa)}
\right).
$$

真正非平凡共同核要求：

$$
\boxed{
R_J=1
\quad\land\quad
V_J>1.
}
$$

這解釋為什麼 complete support 時 graph invariants 雖然仍「可恢復」，卻退出 nontrivial kernel。

---

# 25. Compatibility Phase Diagram 的第一版形式

因此每個 target invariant 應該至少攜帶：

$$
\boxed{
\left(
R_J,
V_J,
H(J\mid F),
H(J\mid C),
H(J\mid I),
H(J\mid FCI)
\right).
}
$$

而 domain 則攜帶：

$$
\boxed{
\boldsymbol\kappa
=
\left(
\kappa_R,
\operatorname{Shape}(G),
v_T,
v_D,
v_\Gamma,
v_P,
v_H,
v_G,
\dots
\right).
}
$$

這就是 ESC compatibility phase diagram 的第一版數學物件。

---

# 26. 多 invariant 合法域交集

如果要同時保存：

$$
J_1,\dots,J_k,
$$

則 compatibility region：

$$
\boxed{
\mathcal D_{\mathrm{core}}
=
\bigcap_{r=1}^{k}
\mathcal D_{J_r}.
}
$$

但本輪發現：

> 如果額外要求所有 $J_r$ 在該域中都保持非平凡變異，交集可能比 recoverability-region intersection 小很多，甚至為空。

這是「共同底空間」未來不能只談 recoverability，還要談 variation support 的原因。

---

# 27. 對「底空間上下界相同」的再修正

現在更準確的說法是：

對一組 target invariants：

$$
\mathcal J,
$$

應研究：

$$
\boxed{
\mathfrak B_{-,\mathcal J}
\preceq
\mathcal D_{\mathcal J}
\preceq
\mathfrak B_{+,\mathcal J}.
}
$$

不同 $\mathcal J$ 可能具有不同 compatibility region、不同有效下界與不同完成上界。

因此上下界可能不是「理論名稱」的固有常數，而是：

$$
\boxed{
\text{target-relative structural bounds}.
}
$$

---

# 28. EXP-05 的主要結論

本輪得到五個重要修正。

第一：

$$
\boxed{
\kappa_R
\text{ 不是完整 geometry；support graph shape 會改變 recoverability。}
}
$$

第二：

$$
\boxed{
\text{recoverability 與 invariant variation 必須分開。}
}
$$

第三：

$$
\boxed{
\text{global distinction recovery 與 support-graph variation 在目前 F semantics 下存在 trade-off。}
}
$$

第四：

$$
\boxed{
H(J\mid\Pi)
}
$$

可把 blind spot 從 binary failure 提升成 residual-information measurement。

第五：

$$
\boxed{
\text{多個 invariant 的共同合法域應研究 region intersection，而非假設單一全域同構。}
}
$$

---

# 29. 系列錨點

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-05.A}
\quad
\text{Compatibility geometry 至少是 coverage × support-shape 的多維問題。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-05.B}
\quad
\text{nontrivial shared kernel 要求 recoverability 與 variation 同時成立。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-05.C}
\quad
\text{在目前 F semantics 下，任意 partition 完整恢復會迫使 support graph 完全化，造成 graph-variation collapse。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-05.D}
\quad
H(J\mid\Pi)=0
\text{ 是 finite exact recoverability 的資訊論版本。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-05.E}
\quad
\text{projection-blind raw coordinate 不代表其所有衍生 invariant 都不可恢復。}
}
$$

---

# 30. 下一輪：ESC-EXP-06

下一輪最自然的方向是：

$$
\boxed{
\text{Common Kernel Optimization}.
}
$$

也就是不再只描述 phase diagram，而直接求：

> 在允許修改 observation language 的成本下，最少增加哪些 observable，就能讓指定共同 kernel 的 compatibility region 最大？

例如：

- 給 I 增加 relation-type channel 的成本；
- 給 F 增加 global distinction channel 的成本；
- 給 C 增加 context channel 的成本；
- 給 I 增加 history channel 的成本。

最後形成：

$$
\boxed{
\min
\operatorname{ObservationCost}
}
$$

subject to：

$$
\boxed{
\mathcal J
\text{ jointly recoverable on target domain}.
}
$$

這會把 ESC 從「描述哪些地方合法」推進到：

> **如何用最小資訊增量，讓三套表示在指定共同核心上合法對齊？**