ESC-EXP-04：Compatibility Region Geometry

系列： Extensional Structural Convergence — Experimental Phase
文件編號： ESC-EXP-04
版本： v0.1
日期： 2026-09-22
前置： ESC-00 ～ ESC-06、ESC-EXP-00 ～ ESC-EXP-03
狀態： Executable Finite-Model Evidence / Canonical UTF-8 Source

作者： Neo.K
機構： EveMissLab／一言諾科技有限公司

摘要

ESC-EXP-03 已把「三套理論能不能合法放一起」改寫為 domain-conditioned compatibility：

F \sim_{\mathrm{ESC},\mathcal D} C \sim_{\mathrm{ESC},\mathcal D} I.

本輪進一步把：

\mathcal D

本身當成研究對象。

核心問題變成：

對某個目標 invariant，哪些結構座標決定三條 representation 是否都能各自恢復它？合法共用域的邊界在哪裡？

因此本輪建立 compatibility coordinates，並同時研究：

正向 phase boundary；
負向 impossibility directions。

目前最清楚的正向座標是 relation-support coverage：

\boxed{ \kappa_R = \frac{|E_{\mathrm{support}}|}{\binom n2}. }

對 partition recovery，完整枚舉：

n=2,3,4,5,6

都得到同一臨界線：

\boxed{ \kappa_R^{\ast}=1. }

亦即，只有所有 unordered pair 都被 formation support 覆蓋，F 才能對任意 partition 完整恢復。

同時，本輪正式建立一個一般性判準：若某 projection 的同一 fiber 中，目標 invariant 具有不同值，則該 invariant 不可能由該 projection 恢復。

這使 type、direction、context、probe、history 與 guard 的盲點都被轉化成可檢查的 impossibility witnesses。

1. Runtime 狀態

本輪 regression tests：

20 passed

測試包括：

$n=2$ 至 $n=5$ partition phase boundary；
所有 incomplete pair-support 均不可能對任意 partition 完整恢復；
full support 的 partition resolution power 必為 $1$ ；
type / direction / context / probe / history / guard blindness witnesses；
前三輪既有 regression tests。

2. Compatibility Region 的正式定義

對目標 invariant：

J: \mathfrak B \rightarrow \mathcal Y,

與 projection：

\Pi_P: \mathfrak B \rightarrow \mathfrak P,

其中：

P\in\{F,C,I\},

我們說 $J$ 在 domain：

\mathcal D \subseteq \mathfrak B

上可由 $P$ 恢復，如果存在：

f_P : \Pi_P(\mathcal D) \rightarrow \mathcal Y

使：

\boxed{ J|_{\mathcal D} = f_P \circ \Pi_P|_{\mathcal D}. }

因此三路 compatibility domain 定義為：

\boxed{ \mathcal D_J = \left\{ \mathcal D: J \text{ 同時 factor through } \Pi_F,\Pi_C,\Pi_I \text{ on }\mathcal D \right\}. }

這比「三條理論相不相同」更精確。

3. Observation-Fiber Recoverability Lemma

對 projection：

\Pi: X \rightarrow Y

與 target invariant：

J: X \rightarrow Z,

存在：

f:Y\rightarrow Z

使：

J=f\circ\Pi

若且唯若：

\boxed{ \Pi(x_1)=\Pi(x_2) \Rightarrow J(x_1)=J(x_2). }

也就是：

\boxed{ J \text{ 必須在 }\Pi\text{ 的每個 fiber 上為常數。} }

證明

若：

J=f\circ\Pi,

則：

\Pi(x_1)=\Pi(x_2)

立即推出：

J(x_1) = f(\Pi(x_1)) = f(\Pi(x_2)) = J(x_2).

反之，若 $J$ 在每個 fiber 上為常數，對任意：

y\in\Pi(X),

取：

x\in\Pi^{-1}(y),

定義：

f(y)=J(x).

fiber-constancy 保證此定義與代表元選擇無關。

故：

J=f\circ\Pi.

\Box

4. Impossibility Corollary

如果存在：

x_1,x_2

滿足：

\Pi(x_1)=\Pi(x_2),

但：

J(x_1)\neq J(x_2),

則：

\boxed{ J \text{ 不可能由 }\Pi\text{ 恢復。} }

這就是本輪所有 blindness witnesses 的共同數學形式。

5. Partition Compatibility Coordinate

對 partition invariant，F 目前只在 formation-support endpoint 上看到：

\mathbf 1(u\sim_\pi v).

因此自然座標為：

\boxed{ \kappa_R = \frac{|E|}{\binom n2}. }

其中：

E

是被 F 實際觀察到的 unordered pair support。

6. Exact Phase Boundary： $n=2$ 到 $n=6$

完整枚舉結果：

$n$	Bell number	first injective $\lvert E\rvert$	$\binom n2$	critical $\kappa_R$
2	2	1	1	1
3	5	3	3	1
4	15	6	6	1
5	52	10	10	1
6	203	15	15	1

因此：

\boxed{ \kappa_R^{\ast}=1 }

在：

n=2,\dots,6

的 exact finite enumeration 全部成立。

這與 ESC-EXP-03 的 Partition Recovery Coverage Lemma 一致。

7. Phase boundary 之前不是「完全沒資訊」

雖然 universal recovery 只有：

\kappa_R=1

才成立，但 partition resolution power 在邊界之前會逐步上升。

定義：

PRP(E) = \frac{ \#\{\text{由 support }E\text{ 區分出的 partition signatures}\} }{ B_n },

其中：

B_n

為 Bell number。

對同一 support edge count：

m,

不同 support graph shape 可能得到不同 $PRP$ 。

8. $n=4$ 的 soft geometry

$n=4$ ：

B_4=15.

當：

\kappa_R=0.5

即：

|E|=3,

平均：

\overline{PRP} \approx0.493333,

而不同 support graph 的範圍為：

0.333333 \leq PRP \leq 0.533333.

因此：

\boxed{ \kappa_R \text{ 並不是唯一決定 finite resolution power 的座標。} }

support graph geometry 也重要。

9. $n=5$ 與 $n=6$

$n=5$ ：

\kappa_R=0.5

時平均：

PRP\approx0.393315,

範圍：

0.25 \leq PRP \leq 0.519231.

即使：

\kappa_R=0.9,

仍只有：

PRP\approx0.903846<1.

$n=6$ 時，即使：

\kappa_R=\frac{14}{15}\approx0.9333,

仍只有：

PRP\approx0.926108.

所以 universal partition recovery 的最後一個 missing pair 仍然是本質缺口，而不是可以靠「幾乎全覆蓋」忽略的小誤差。

10. 第一個 geometry 結論

partition compatibility region 具有兩層：

Soft region

0<\kappa_R<1

時，資訊隨 coverage 增加，但仍存在不可分離 partition fibers。

Hard boundary

\boxed{ \kappa_R=1 }

時才進入 universal partition-recoverable region。

因此：

\boxed{ \text{resolution growth} \neq \text{complete recoverability}. }

11. Relation Type Axis

I projection 刻意丟失 relation type。

本輪構造兩個 substrate：

相同 node；
相同 partition；
相同 untyped support；
相同 probe structure；

但 relation type counts 不同。

得到：

\Pi_I(B_1)=\Pi_I(B_2),

但：

J_{\mathrm{type}}(B_1) \neq J_{\mathrm{type}}(B_2).

因此：

\boxed{ \text{nontrivial relation-type invariant} }

不能在 type-blind I 上全域恢復。

合法共用域必須至少滿足其中之一：

type variation 被固定；
type 由其他 I-visible structure 唯一決定；
I observation language 被擴張。

12. Direction Axis

I 同樣把 relation direction 壓成 undirected neighborhood incidence。

本輪構造：

B_1: 0\rightarrow1, \quad 0\rightarrow2,

與：

B_2: 1\rightarrow0, \quad 0\rightarrow2.

兩者 I projection 相同，但：

\operatorname{OutDegMultiset}(B_1) \neq \operatorname{OutDegMultiset}(B_2).

因此任何真正 orientation-sensitive invariant 都不能由目前 I 全域恢復。

13. Context Axis

C 與 I 都不讀 formation context。

因此可有：

\Pi_C(B_1)=\Pi_C(B_2),

\Pi_I(B_1)=\Pi_I(B_2),

但：

\Gamma(B_1)\neq\Gamma(B_2).

所以 context-sensitive invariant 的三路 compatibility region 必須凍結 context variation，或把 context 加進 C/I observation language。

14. Probe Axis

F 與 C 都不讀 probe mode。

因此：

\Pi_F(B_1)=\Pi_F(B_2),

\Pi_C(B_1)=\Pi_C(B_2),

但：

P(B_1)\neq P(B_2).

所以 probe-sensitive invariant 不能在目前 F/C 上全域共享。

15. History Axis

I 不保存 transition history。

本輪構造相同 static substrate、不同 history：

H_1=\varnothing,

H_2=(e_1).

得到：

\Pi_I(B_1)=\Pi_I(B_2),

但：

|H_1|\neq|H_2|.

所以 history-sensitive invariant 若要三路共享，必須：

history 被固定；
history 可由 incidence 唯一重建；
或 I 被擴張為 history-aware。

16. Guard Axis

I 不保存 guard semantics。

因此相同 realized relations 可以來自：

g_{\mathrm{not\ self}}

或：

g_{\mathrm{distinguishable\ only}},

而 incidence 相同。

故 guard-sensitive invariant 不能由目前 I 全域恢復。

17. Compatibility Coordinate Vector

本輪因此把 compatibility geometry 暫時寫成：

\boxed{ \boldsymbol\kappa = ( \kappa_R, v_T, v_D, v_\Gamma, v_P, v_H, v_G ). }

其中：

\kappa_R

是 pair-support coverage；

其餘：

v_T, v_D, v_\Gamma, v_P, v_H, v_G

表示目標 invariant 所需的 type、direction、context、probe、history、guard 資訊是否在三條 projection 中都可見或可由可見資料推導。

18. Compatibility Region 不是一個固定區域

真正應寫成：

\boxed{ \mathcal D_J \subseteq \mathcal K }

其中：

J

是目標 invariant，

\mathcal K

是 compatibility coordinate space。

不同 invariant 具有不同：

\mathcal D_J.

例如 partition structure 的主 boundary 是：

\kappa_R=1.

relation-type invariant 則主要被：

v_T

控制。

history invariant 則被：

v_H

控制。

所以不存在一個單一的「F/C/I 永遠合法共用區」。

19. Hard Faces 與 Soft Geometry

目前可區分兩種 boundary。

Hard face

由 observation-fiber impossibility 直接給出的必要條件。

例如：

\kappa_R=1

對 universal partition recovery。

又例如：

v_T=1

對真正 type-sensitive shared recovery，除非 type variation 被 domain 固定。

Soft geometry

不影響理論可恢復性的絕對可能／不可能，而影響 partial resolution power。

例如：

0<\kappa_R<1

時：

PRP

會依 coverage 與 support graph shape 平滑改變。

20. 一個新的 ESC 形式

因此目前最準確的共同性形式不再只是：

F \sim_{\mathrm{ESC},\mathcal D} C \sim_{\mathrm{ESC},\mathcal D} I.

還可以進一步寫成：

\boxed{ \operatorname{Compat}_{J} (F,C,I\mid\boldsymbol\kappa). }

其值可以是：

完整相容

1

不完整但部分可辨識

0<c<1

不可恢復

0.

partition 的：

PRP

就是第一個具體的 partial-compatibility measure。

21. 這次真正回答了什麼？

最初擔心是：

三套理論會不會根本不能合法放在一起？

截至 EXP-04，答案已經相當清楚：

\boxed{ \text{不能無條件全域放在一起。} }

因為 type、direction、context、probe、history、guard 都有 explicit fiber counterexamples。

但也不是：

\boxed{ \text{完全不能放在一起。} }

因為 partition 在：

\kappa_R=1

時具有明確共同 recoverability，且其他 untyped graph invariants 在特定 finite domains 也曾取得 $Q_1@E_2$ 證據。

所以目前最準確的是：

\boxed{ \text{三條路形成 invariant-dependent compatibility regions。} }

22. 對「上下界可能一樣」的修正

這也回頭修正最早的共同上下界直覺。

不是：

\boxed{ \inf F=\inf C=\inf I, \quad \sup F=\sup C=\sup I }

無條件成立。

更合理的是：

\boxed{ \text{對指定 invariant }J \text{ 與 compatibility region }\mathcal D_J, }

再問三路是否共享：

\mathfrak B_{-,J},

以及：

\mathfrak B_{+,J}.

也就是上下界本身可能也是 target-relative。

23. Observation-Fiber Impossibility 的理論價值

這個 lemma 讓未來不必每次都跑完整枚舉。

如果已知某個 transformation：

\tau

滿足：

\Pi_P(\tau B)=\Pi_P(B),

但：

J(\tau B)\neq J(B),

則立刻得到：

\boxed{ J \text{ 無法由 }P\text{ 恢復。} }

所以可以直接從 projection design 推出 impossibility。

這把 ESC 從「實驗找失敗」往「結構上預先判定失敗」推了一步。

24. EXP-04 的最終結論

本輪首次把 compatibility domain 變成具有座標與 phase boundary 的對象。

目前最強結論：

\boxed{ \kappa_R^\ast=1 }

是 universal partition recovery 的 hard boundary，已由一般有限論證與：

n=2,\dots,6

完整枚舉共同支持。

同時，type、direction、context、probe、history、guard 分別形成其他 hard visibility constraints。

因此：

\boxed{ \text{ESC compatibility} }

不是單一 yes/no 性質，而更像：

\boxed{ \text{invariant-dependent, multi-coordinate recoverability geometry}. }

25. 系列錨點

\boxed{ \textbf{ESC-EXP-04.A} \quad J\text{ 可由 }\Pi\text{ 恢復} \iff J\text{ 在 }\Pi\text{ 的每個 fiber 上為常數。} }

\boxed{ \textbf{ESC-EXP-04.B} \quad \text{universal partition recovery 的 relation-support phase boundary 為 }\kappa_R=1. }

\boxed{ \textbf{ESC-EXP-04.C} \quad \text{partial resolution power 在 hard boundary 前仍有非平凡 soft geometry。} }

\boxed{ \textbf{ESC-EXP-04.D} \quad \text{type、direction、context、probe、history、guard 各自形成 projection-visibility constraints。} }

\boxed{ \textbf{ESC-EXP-04.E} \quad \text{ESC compatibility region 必須相對於 target invariant 定義。} }

26. 下一輪：ESC-EXP-05

下一輪最自然的工作是把：

\boldsymbol\kappa

從概念座標真正變成可估計的多維 phase diagram。

尤其可以研究：

support graph shape，而不只是 $\kappa_R$ ；
relation-type entropy；
direction entropy；
probe information density；
history observability；
多個 invariant 同時 recoverable 的 region intersection。

也就是正式開始研究：

\boxed{ \mathcal D_{J_1} \cap \mathcal D_{J_2} \cap \cdots }

——從單一 invariant 的合法域，進入「一整組共同結構核」的合法域。

ESC-EXP-04：Compatibility Region Geometry

ESC-EXP-04：Compatibility Region Geometry

摘要

1. Runtime 狀態

2. Compatibility Region 的正式定義

3. Observation-Fiber Recoverability Lemma

證明

4. Impossibility Corollary

5. Partition Compatibility Coordinate

6. Exact Phase Boundary： n=2n=2n=2 到 n=6n=6n=6

7. Phase boundary 之前不是「完全沒資訊」

8. n=4n=4n=4 的 soft geometry

9. n=5n=5n=5 與 n=6n=6n=6

10. 第一個 geometry 結論

Soft region

Hard boundary

11. Relation Type Axis

12. Direction Axis

13. Context Axis

14. Probe Axis

15. History Axis

16. Guard Axis

17. Compatibility Coordinate Vector

18. Compatibility Region 不是一個固定區域

19. Hard Faces 與 Soft Geometry

Hard face

Soft geometry

20. 一個新的 ESC 形式

完整相容

不完整但部分可辨識

不可恢復

21. 這次真正回答了什麼？

22. 對「上下界可能一樣」的修正

23. Observation-Fiber Impossibility 的理論價值

24. EXP-04 的最終結論

25. 系列錨點

26. 下一輪：ESC-EXP-05

6. Exact Phase Boundary： $n=2$ 到 $n=6$

8. $n=4$ 的 soft geometry

9. $n=5$ 與 $n=6$