# ESC-EXP-04：Compatibility Region Geometry

**系列：** Extensional Structural Convergence — Experimental Phase  
**文件編號：** ESC-EXP-04  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-22  
**前置：** ESC-00 ～ ESC-06、ESC-EXP-00 ～ ESC-EXP-03  
**狀態：** Executable Finite-Model Evidence / Canonical UTF-8 Source

**作者：** Neo.K  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  

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## 摘要

ESC-EXP-03 已把「三套理論能不能合法放一起」改寫為 domain-conditioned compatibility：

$$
F
\sim_{\mathrm{ESC},\mathcal D}
C
\sim_{\mathrm{ESC},\mathcal D}
I.
$$

本輪進一步把：

$$
\mathcal D
$$

本身當成研究對象。

核心問題變成：

> 對某個目標 invariant，哪些結構座標決定三條 representation 是否都能各自恢復它？合法共用域的邊界在哪裡？

因此本輪建立 compatibility coordinates，並同時研究：

1. **正向 phase boundary**；
2. **負向 impossibility directions**。

目前最清楚的正向座標是 relation-support coverage：

$$
\boxed{
\kappa_R
=
\frac{|E_{\mathrm{support}}|}{\binom n2}.
}
$$

對 partition recovery，完整枚舉：

$$
n=2,3,4,5,6
$$

都得到同一臨界線：

$$
\boxed{
\kappa_R^{\ast}=1.
}
$$

亦即，只有所有 unordered pair 都被 formation support 覆蓋，F 才能對任意 partition 完整恢復。

同時，本輪正式建立一個一般性判準：若某 projection 的同一 fiber 中，目標 invariant 具有不同值，則該 invariant 不可能由該 projection 恢復。

這使 type、direction、context、probe、history 與 guard 的盲點都被轉化成可檢查的 impossibility witnesses。

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# 1. Runtime 狀態

本輪 regression tests：

```text
20 passed
```

測試包括：

- $n=2$ 至 $n=5$ partition phase boundary；
- 所有 incomplete pair-support 均不可能對任意 partition 完整恢復；
- full support 的 partition resolution power 必為 $1$ ；
- type / direction / context / probe / history / guard blindness witnesses；
- 前三輪既有 regression tests。

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# 2. Compatibility Region 的正式定義

對目標 invariant：

$$
J:
\mathfrak B
\rightarrow
\mathcal Y,
$$

與 projection：

$$
\Pi_P:
\mathfrak B
\rightarrow
\mathfrak P,
$$

其中：

$$
P\in\{F,C,I\},
$$

我們說 $J$ 在 domain：

$$
\mathcal D
\subseteq
\mathfrak B
$$

上可由 $P$ 恢復，如果存在：

$$
f_P
:
\Pi_P(\mathcal D)
\rightarrow
\mathcal Y
$$

使：

$$
\boxed{
J|_{\mathcal D}
=
f_P
\circ
\Pi_P|_{\mathcal D}.
}
$$

因此三路 compatibility domain 定義為：

$$
\boxed{
\mathcal D_J
=
\left\{
\mathcal D:
J
\text{ 同時 factor through }
\Pi_F,\Pi_C,\Pi_I
\text{ on }\mathcal D
\right\}.
}
$$

這比「三條理論相不相同」更精確。

---

# 3. Observation-Fiber Recoverability Lemma

對 projection：

$$
\Pi:
X
\rightarrow
Y
$$

與 target invariant：

$$
J:
X
\rightarrow
Z,
$$

存在：

$$
f:Y\rightarrow Z
$$

使：

$$
J=f\circ\Pi
$$

若且唯若：

$$
\boxed{
\Pi(x_1)=\Pi(x_2)
\Rightarrow
J(x_1)=J(x_2).
}
$$

也就是：

$$
\boxed{
J
\text{ 必須在 }\Pi\text{ 的每個 fiber 上為常數。}
}
$$

## 證明

若：

$$
J=f\circ\Pi,
$$

則：

$$
\Pi(x_1)=\Pi(x_2)
$$

立即推出：

$$
J(x_1)
=
f(\Pi(x_1))
=
f(\Pi(x_2))
=
J(x_2).
$$

反之，若 $J$ 在每個 fiber 上為常數，對任意：

$$
y\in\Pi(X),
$$

取：

$$
x\in\Pi^{-1}(y),
$$

定義：

$$
f(y)=J(x).
$$

fiber-constancy 保證此定義與代表元選擇無關。

故：

$$
J=f\circ\Pi.
$$

$$
\Box
$$

---

# 4. Impossibility Corollary

如果存在：

$$
x_1,x_2
$$

滿足：

$$
\Pi(x_1)=\Pi(x_2),
$$

但：

$$
J(x_1)\neq J(x_2),
$$

則：

$$
\boxed{
J
\text{ 不可能由 }\Pi\text{ 恢復。}
}
$$

這就是本輪所有 blindness witnesses 的共同數學形式。

---

# 5. Partition Compatibility Coordinate

對 partition invariant，F 目前只在 formation-support endpoint 上看到：

$$
\mathbf 1(u\sim_\pi v).
$$

因此自然座標為：

$$
\boxed{
\kappa_R
=
\frac{|E|}{\binom n2}.
}
$$

其中：

$$
E
$$

是被 F 實際觀察到的 unordered pair support。

---

# 6. Exact Phase Boundary： $n=2$ 到 $n=6$

完整枚舉結果：

| $n$ | Bell number | first injective $\lvert E\rvert$ | $\binom n2$ | critical $\kappa_R$ |
|---:|---:|---:|---:|---:|
| 2 | 2 | 1 | 1 | 1 |
| 3 | 5 | 3 | 3 | 1 |
| 4 | 15 | 6 | 6 | 1 |
| 5 | 52 | 10 | 10 | 1 |
| 6 | 203 | 15 | 15 | 1 |

因此：

$$
\boxed{
\kappa_R^{\ast}=1
}
$$

在：

$$
n=2,\dots,6
$$

的 exact finite enumeration 全部成立。

這與 ESC-EXP-03 的 Partition Recovery Coverage Lemma 一致。

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# 7. Phase boundary 之前不是「完全沒資訊」

雖然 universal recovery 只有：

$$
\kappa_R=1
$$

才成立，但 partition resolution power 在邊界之前會逐步上升。

定義：

$$
PRP(E)
=
\frac{
\#\{\text{由 support }E\text{ 區分出的 partition signatures}\}
}{
B_n
},
$$

其中：

$$
B_n
$$

為 Bell number。

對同一 support edge count：

$$
m,
$$

不同 support graph shape 可能得到不同 $PRP$。

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# 8. $n=4$ 的 soft geometry

 $n=4$：

$$
B_4=15.
$$

當：

$$
\kappa_R=0.5
$$

即：

$$
|E|=3,
$$

平均：

$$
\overline{PRP}
\approx0.493333,
$$

而不同 support graph 的範圍為：

$$
0.333333
\leq
PRP
\leq
0.533333.
$$

因此：

$$
\boxed{
\kappa_R
\text{ 並不是唯一決定 finite resolution power 的座標。}
}
$$

support graph geometry 也重要。

---

# 9. $n=5$ 與 $n=6$

 $n=5$：

$$
\kappa_R=0.5
$$

時平均：

$$
PRP\approx0.393315,
$$

範圍：

$$
0.25
\leq
PRP
\leq
0.519231.
$$

即使：

$$
\kappa_R=0.9,
$$

仍只有：

$$
PRP\approx0.903846<1.
$$

 $n=6$ 時，即使：

$$
\kappa_R=\frac{14}{15}\approx0.9333,
$$

仍只有：

$$
PRP\approx0.926108.
$$

所以 universal partition recovery 的最後一個 missing pair 仍然是本質缺口，而不是可以靠「幾乎全覆蓋」忽略的小誤差。

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# 10. 第一個 geometry 結論

partition compatibility region 具有兩層：

### Soft region

$$
0<\kappa_R<1
$$

時，資訊隨 coverage 增加，但仍存在不可分離 partition fibers。

### Hard boundary

$$
\boxed{
\kappa_R=1
}
$$

時才進入 universal partition-recoverable region。

因此：

$$
\boxed{
\text{resolution growth}
\neq
\text{complete recoverability}.
}
$$

---

# 11. Relation Type Axis

I projection 刻意丟失 relation type。

本輪構造兩個 substrate：

- 相同 node；
- 相同 partition；
- 相同 untyped support；
- 相同 probe structure；

但 relation type counts 不同。

得到：

$$
\Pi_I(B_1)=\Pi_I(B_2),
$$

但：

$$
J_{\mathrm{type}}(B_1)
\neq
J_{\mathrm{type}}(B_2).
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{nontrivial relation-type invariant}
}
$$

不能在 type-blind I 上全域恢復。

合法共用域必須至少滿足其中之一：

1. type variation 被固定；
2. type 由其他 I-visible structure 唯一決定；
3. I observation language 被擴張。

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# 12. Direction Axis

I 同樣把 relation direction 壓成 undirected neighborhood incidence。

本輪構造：

$$
B_1:
0\rightarrow1,
\quad
0\rightarrow2,
$$

與：

$$
B_2:
1\rightarrow0,
\quad
0\rightarrow2.
$$

兩者 I projection 相同，但：

$$
\operatorname{OutDegMultiset}(B_1)
\neq
\operatorname{OutDegMultiset}(B_2).
$$

因此任何真正 orientation-sensitive invariant 都不能由目前 I 全域恢復。

---

# 13. Context Axis

C 與 I 都不讀 formation context。

因此可有：

$$
\Pi_C(B_1)=\Pi_C(B_2),
$$

$$
\Pi_I(B_1)=\Pi_I(B_2),
$$

但：

$$
\Gamma(B_1)\neq\Gamma(B_2).
$$

所以 context-sensitive invariant 的三路 compatibility region 必須凍結 context variation，或把 context 加進 C/I observation language。

---

# 14. Probe Axis

F 與 C 都不讀 probe mode。

因此：

$$
\Pi_F(B_1)=\Pi_F(B_2),
$$

$$
\Pi_C(B_1)=\Pi_C(B_2),
$$

但：

$$
P(B_1)\neq P(B_2).
$$

所以 probe-sensitive invariant 不能在目前 F/C 上全域共享。

---

# 15. History Axis

I 不保存 transition history。

本輪構造相同 static substrate、不同 history：

$$
H_1=\varnothing,
$$

$$
H_2=(e_1).
$$

得到：

$$
\Pi_I(B_1)=\Pi_I(B_2),
$$

但：

$$
|H_1|\neq|H_2|.
$$

所以 history-sensitive invariant 若要三路共享，必須：

- history 被固定；
- history 可由 incidence 唯一重建；
- 或 I 被擴張為 history-aware。

---

# 16. Guard Axis

I 不保存 guard semantics。

因此相同 realized relations 可以來自：

$$
g_{\mathrm{not\ self}}
$$

或：

$$
g_{\mathrm{distinguishable\ only}},
$$

而 incidence 相同。

故 guard-sensitive invariant 不能由目前 I 全域恢復。

---

# 17. Compatibility Coordinate Vector

本輪因此把 compatibility geometry 暫時寫成：

$$
\boxed{
\boldsymbol\kappa
=
(
\kappa_R,
v_T,
v_D,
v_\Gamma,
v_P,
v_H,
v_G
).
}
$$

其中：

$$
\kappa_R
$$

是 pair-support coverage；

其餘：

$$
v_T,
v_D,
v_\Gamma,
v_P,
v_H,
v_G
$$

表示目標 invariant 所需的 type、direction、context、probe、history、guard 資訊是否在三條 projection 中都可見或可由可見資料推導。

---

# 18. Compatibility Region 不是一個固定區域

真正應寫成：

$$
\boxed{
\mathcal D_J
\subseteq
\mathcal K
}
$$

其中：

$$
J
$$

是目標 invariant，

$$
\mathcal K
$$

是 compatibility coordinate space。

不同 invariant 具有不同：

$$
\mathcal D_J.
$$

例如 partition structure 的主 boundary 是：

$$
\kappa_R=1.
$$

relation-type invariant 則主要被：

$$
v_T
$$

控制。

history invariant 則被：

$$
v_H
$$

控制。

所以不存在一個單一的「F/C/I 永遠合法共用區」。

---

# 19. Hard Faces 與 Soft Geometry

目前可區分兩種 boundary。

## Hard face

由 observation-fiber impossibility 直接給出的必要條件。

例如：

$$
\kappa_R=1
$$

對 universal partition recovery。

又例如：

$$
v_T=1
$$

對真正 type-sensitive shared recovery，除非 type variation 被 domain 固定。

## Soft geometry

不影響理論可恢復性的絕對可能／不可能，而影響 partial resolution power。

例如：

$$
0<\kappa_R<1
$$

時：

$$
PRP
$$

會依 coverage 與 support graph shape 平滑改變。

---

# 20. 一個新的 ESC 形式

因此目前最準確的共同性形式不再只是：

$$
F
\sim_{\mathrm{ESC},\mathcal D}
C
\sim_{\mathrm{ESC},\mathcal D}
I.
$$

還可以進一步寫成：

$$
\boxed{
\operatorname{Compat}_{J}
(F,C,I\mid\boldsymbol\kappa).
}
$$

其值可以是：

### 完整相容

$$
1
$$

### 不完整但部分可辨識

$$
0<c<1
$$

### 不可恢復

$$
0.
$$

partition 的：

$$
PRP
$$

就是第一個具體的 partial-compatibility measure。

---

# 21. 這次真正回答了什麼？

最初擔心是：

> 三套理論會不會根本不能合法放在一起？

截至 EXP-04，答案已經相當清楚：

$$
\boxed{
\text{不能無條件全域放在一起。}
}
$$

因為 type、direction、context、probe、history、guard 都有 explicit fiber counterexamples。

但也不是：

$$
\boxed{
\text{完全不能放在一起。}
}
$$

因為 partition 在：

$$
\kappa_R=1
$$

時具有明確共同 recoverability，且其他 untyped graph invariants 在特定 finite domains 也曾取得 $Q_1@E_2$ 證據。

所以目前最準確的是：

$$
\boxed{
\text{三條路形成 invariant-dependent compatibility regions。}
}
$$

---

# 22. 對「上下界可能一樣」的修正

這也回頭修正最早的共同上下界直覺。

不是：

$$
\boxed{
\inf F=\inf C=\inf I,
\quad
\sup F=\sup C=\sup I
}
$$

無條件成立。

更合理的是：

$$
\boxed{
\text{對指定 invariant }J
\text{ 與 compatibility region }\mathcal D_J,
}
$$

再問三路是否共享：

$$
\mathfrak B_{-,J},
$$

以及：

$$
\mathfrak B_{+,J}.
$$

也就是上下界本身可能也是 target-relative。

---

# 23. Observation-Fiber Impossibility 的理論價值

這個 lemma 讓未來不必每次都跑完整枚舉。

如果已知某個 transformation：

$$
\tau
$$

滿足：

$$
\Pi_P(\tau B)=\Pi_P(B),
$$

但：

$$
J(\tau B)\neq J(B),
$$

則立刻得到：

$$
\boxed{
J
\text{ 無法由 }P\text{ 恢復。}
}
$$

所以可以直接從 projection design 推出 impossibility。

這把 ESC 從「實驗找失敗」往「結構上預先判定失敗」推了一步。

---

# 24. EXP-04 的最終結論

本輪首次把 compatibility domain 變成具有座標與 phase boundary 的對象。

目前最強結論：

$$
\boxed{
\kappa_R^\ast=1
}
$$

是 universal partition recovery 的 hard boundary，已由一般有限論證與：

$$
n=2,\dots,6
$$

完整枚舉共同支持。

同時，type、direction、context、probe、history、guard 分別形成其他 hard visibility constraints。

因此：

$$
\boxed{
\text{ESC compatibility}
}
$$

不是單一 yes/no 性質，而更像：

$$
\boxed{
\text{invariant-dependent, multi-coordinate recoverability geometry}.
}
$$

---

# 25. 系列錨點

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-04.A}
\quad
J\text{ 可由 }\Pi\text{ 恢復}
\iff
J\text{ 在 }\Pi\text{ 的每個 fiber 上為常數。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-04.B}
\quad
\text{universal partition recovery 的 relation-support phase boundary 為 }\kappa_R=1.
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-04.C}
\quad
\text{partial resolution power 在 hard boundary 前仍有非平凡 soft geometry。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-04.D}
\quad
\text{type、direction、context、probe、history、guard 各自形成 projection-visibility constraints。}
}
$$

$$
\boxed{
\textbf{ESC-EXP-04.E}
\quad
\text{ESC compatibility region 必須相對於 target invariant 定義。}
}
$$

---

# 26. 下一輪：ESC-EXP-05

下一輪最自然的工作是把：

$$
\boldsymbol\kappa
$$

從概念座標真正變成可估計的多維 phase diagram。

尤其可以研究：

1. support graph shape，而不只是 $\kappa_R$ ；
2. relation-type entropy；
3. direction entropy；
4. probe information density；
5. history observability；
6. 多個 invariant 同時 recoverable 的 region intersection。

也就是正式開始研究：

$$
\boxed{
\mathcal D_{J_1}
\cap
\mathcal D_{J_2}
\cap
\cdots
}
$$

——從單一 invariant 的合法域，進入「一整組共同結構核」的合法域。